보편 양화사

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1. 개요
2. 기본 개념
- 2.1. 정의
- 2.2. 표기법
3. 성질
4. 전체 폐포
5. 수반 함자로서의 전칭 양화
6. 기호법의 역사
7. 유니코드
참조

1. 개요

보편 양화사는 논리학에서 사용되는 개념으로, 주어진 영역 내의 모든 원소가 특정 술어를 만족함을 나타낸다. 기호로는 뒤집힌 A 모양의 ∀를 사용하며, 이는 "모든"을 의미한다. 예를 들어, "모든 자연수 n에 대해 2·n = n + n이다"와 같이 표현될 수 있다. 보편 양화는 전칭 기호 "∀"를 사용하여 자유 변수를 묶어 닫힌 논리식을 만들며, 존재 기호와 부정 기호를 통해 다른 방식으로 표현될 수 있다. 1935년 게르하르트 겐첸에 의해 처음 사용되었으며, 1879년 고틀로프 프레게가 독특한 2차원 표기법을 도입한 이후, 러셀-화이트헤드, 겐첸 등을 거치며 현재의 기호법으로 정착되었다.

2. 기본 개념

"2·0 = 0 + 0, 그리고 2·1 = 1 + 1, 그리고 2·2 = 2 + 2, ..., 그리고 2 · 100 = 100 + 100, 등등."과 같은 표현은 "그리고"를 반복적으로 사용하여 논리적 결합처럼 보이지만, "등등"은 형식 논리에서 결합으로 해석될 수 없다. 대신 다음과 같이 바꿔 표현할 수 있다.

모든 자연수 ''n''에 대해, 2·''n'' = ''n'' + ''n''이다.

이처럼 "모든 x에 대해 P(x)이다" 형태로 표현하는 것을 전칭 양화라고 하며, 주어진 영역의 모든 원소 x가 술어 P(x)를 만족시킨다는 의미를 갖는다.^[1]

"등등"과 같은 표현은 비공식적으로 자연수를 포함하지만, 엄밀하게는 자연수임을 명시하지 않는다. 반면 전칭 양화를 사용하면 자연수를 명확하게 언급할 수 있다. 예를 들어 "모든 자연수 ''n''에 대해, 2·''n'' = ''n'' + ''n''이다"는 명제는 참이다. 모든 자연수를 ''n''에 대입했을 때 "2·''n'' = ''n'' + ''n''"이 항상 참이기 때문이다.

하지만 "모든 자연수 ''n''에 대해, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"는 명제는 거짓이다. ''n''이 1일 때 "2·1 > 2 + 1"은 거짓이 되기 때문이다. 이처럼 하나의 반례만 존재해도 전칭 양화는 거짓이 된다.

반면 "모든 합성수 ''n''에 대해, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"는 참이다. 반례가 되는 값들은 합성수가 아니기 때문이다. 이 예시는 ''n''이 가질 수 있는 값의 범위를 지정하는 ''담화 영역''의 중요성을 보여준다.^[1] 담화 영역을 특정 술어를 만족하는 객체로 제한하려면 논리적 조건문을 사용해야 한다. 예를 들어 "모든 합성수 ''n''에 대해, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"는 "모든 자연수 ''n''에 대해, 만약 ''n''이 합성수라면, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"와 논리적으로 동치이다.

2. 1. 정의

"모든 자연수 ''n''에 대해, 2·''n'' = ''n'' + ''n''이다."와 같이, 전칭 양화는 "모든 x에 대해 P(x)이다" 형태로 표현된다. 이는 주어진 영역의 모든 원소 x가 술어 P(x)를 만족시킨다는 의미이다.^[1]

Open formula^영어인 "''P''(''x'')"가 있을 때, "……는 ''P''이다"라는 의미만으로는 참, 거짓을 판별할 수 없다. 따라서 자유 변항 "''x''"를 양화사로 묶어 Sentence (mathematical logic)^영어을 만든다. 전칭 기호 "∀"로 묶으면 "∀''xP''(''x'')"라는 닫힌 논리식을 얻으며, "모든 (임의의) ''x''에 대해, ''x''는 ''P''이다" (간단히 "모든 ''x''는 ''P''이다")라는 의미가 된다. 이렇게 얻은 닫힌 논리식을 원래 논리식의 '''전칭 폐포'''(universal closure)라고 한다.^[6]^[7]

"∀''xP''(''x'')"는 존재 기호와 부정 기호를 사용하여 "￢∃''x''￢''P''(''x'')"로 표현할 수 있다. "￢∃''x''￢''P''(''x'')"는 "''P''가 아닌 ''x''는 존재하지 않는다"는 의미이므로, "모든 ''x''는 ''P''이다"와 같다.^[6]^[7]

2. 2. 표기법

일차 논리와 같은 기호 논리에서 보편 양화를 나타내는 기호는

\forall

(산세리프체 A를 뒤집은 모양, 유니코드 U+2200)이다. 이 기호는 1935년 게르하르트 겐첸이 처음 사용하였는데, 이는 주세페 페아노의 존재 양화 기호

\exists

(뒤집힌 E) 표기법과 버트런드 러셀이 페아노의 표기법을 나중에 사용한 것과 유사하다.^[2]

예를 들어, ''P''(''n'')이 "2·''n'' > 2 + ''n''"이라는 술어이고, '''N'''이 자연수의 집합이면,

:

\forall n\!\in\!\mathbb{N}\; P(n)

는 (거짓) 명제

:"모든 자연수 ''n''에 대해, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"이다.

마찬가지로, ''Q''(''n'')이 "''n''은 합성수이다"라는 술어이면,

:

\forall n\!\in\!\mathbb{N}\; \bigl( Q(n) \rightarrow P(n) \bigr)

는 (참) 명제

:"모든 자연수 ''n''에 대해, 만약 ''n''이 합성수이면, 2·''n'' > 2 + ''n''이다"이다.

양화 표기법의 여러 변형(모든 형태에 적용됨)은 ''양화사'' 문서에서 찾을 수 있다.

「''P''(''x'')」라는 Open formula|열린 논리식^영어이 주어졌을 때, "……는 ''P''이다"는 의미이며, 이것만으로는 진위를 확정할 수 없다. 그래서 자유 변항 "''x''"를 양화사에 의해 묶어 Sentence (mathematical logic)|닫힌 논리식^영어을 얻을 수 있다. 일반적으로 양화 기호에는 "모든"을 의미하는 전칭 기호 "∀"와 존재 기호 "∃"의 2종류가 있다. 전칭 기호 "∀"에 의해 묶인 "∀''xP''(''x'')"는 "모든 (임의의) ''x''에 대해, ''x''는 ''P''이다"라는 의미가 된다. 이와 같이 자유 변수를 묶어 얻을 수 있는 닫힌 논리식은 원래의 논리식의 '''전칭 폐포''' (universal closure)라고 불린다.

"∀''xP''(''x'')"는 존재 기호와 부정 기호를 사용하여, "￢∃''x''￢''P''(''x'')"로 표현할 수도 있다. "￢∃''x''￢''P''(''x'')"는 "''P''가 아닌 ''x''는 존재하지 않는다"는 의미이므로, "모든 ''x''는 ''P''이다"라는 것이다. 또한, 논의 영역 (domain of discourse)이 유한한 경우, "∀''xP''(''x'')"는 전칭 기호를 사용하지 않고 연언만으로 표현할 수 있다. 예를 들어 논의 영역이 {''a'', ''b'', ''c''}일 때, "∀''xP''(''x'')"와 "''P''(''a'') ∧ ''P''(''b'') ∧ ''P''(''c'')"는 같은 의미가 된다.^[6]^[7]

3. 성질

보편 양화사는 존재 양화사와 함께 주요한 논리적 성질을 가진다. 보편 양화사의 부정은 존재 양화사로 표현될 수 있으며, 다양한 논리 연결사와의 관계를 통해 복잡한 논리식을 구성할 수 있다.^[3]

성질	설명
부정	보편 양화사의 부정은 보편 양화사를 존재 양화사로 바꾸고 양화된 공식을 부정함으로써 얻을 수 있다.
다른 논리 연결사와의 관계	보편 양화사는 ∧, ∨, →, ↚과 같은 논리 연결사와 결합될 때, 다른 피연산자에 영향을 미치지 않으면 변하지 않고 유지된다. 반면, ↑, ↓, ↛, ←과 같은 논리 연결사의 경우, 양화사가 바뀐다.

3. 1. 부정

보편 양화사의 부정은 보편 양화사를 존재 양화사로 바꾸고 양화된 공식을 부정함으로써 얻을 수 있다. 즉,

: "

\lnot \forall x\; P(x)

는

\exists x\;\lnot P(x)

" 와 동치이다. 여기서

\lnot

는 부정을 나타낸다.^[1]

예를 들어, 명제 함수 "P(x): x는 결혼했다"이고, X가 모든 살아있는 인간의 집합일 때, "어떤 살아있는 사람 x에 대해, 그 사람이 결혼했다는 것은 아니다."는 명제는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\lnot\ \forall x \in X\, P(x)

.

함수 P(x)가 X의 ''모든'' 요소에 대해 참이 아니라면, 그 명제가 거짓인 요소가 적어도 하나는 있어야 한다. 즉,

\forall x \in X\, P(x)

의 부정은 "결혼하지 않은 살아있는 사람 x가 존재한다"는 것과 논리적으로 동치이며, 다음과 같다.

:

\exists x \in X\, \lnot P(x)

"모든 사람이 결혼하지 않았다" (즉, "결혼한 사람은 존재하지 않는다")와 "모든 사람이 결혼한 것은 아니다" (즉, "결혼하지 않은 사람이 존재한다")를 혼동하는 것은 오류이다.^[1]

:

\lnot\ \exists x \in X\, P(x) \equiv\ \forall x \in X\, \lnot P(x) \not\equiv\ \lnot\ \forall x\in X\, P(x) \equiv\ \exists x \in X\, \lnot P(x)

3. 2. 다른 논리 연결사와의 관계

보편 양화사(∀)는 ∧, ∨, →, ↚과 같은 논리 연결사와 결합될 때, 다른 피연산자에 영향을 미치지 않으면 다음과 같은 관계를 유지하며 변하지 않는다.^[3]

논리 연결사	관계식 (단, Y≠∅)
∧	`P(x) ∧ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∀y∈Y (P(x) ∧ Q(y))`
∨	`P(x) ∨ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∀y∈Y (P(x) ∨ Q(y))`
→	`P(x) → (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∀y∈Y (P(x) → Q(y))`
↚	`P(x) ↚ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∀y∈Y (P(x) ↚ Q(y))`

반면, ↑, ↓, ↛, ←과 같은 논리 연결사의 경우, 양화사가 바뀌는 다음과 같은 관계가 성립한다.

논리 연결사	관계식 (단, Y≠∅)
↑	`P(x) ↑ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∃y∈Y (P(x) ↑ Q(y))`
↓	`P(x) ↓ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∃y∈Y (P(x) ↓ Q(y))`
↛	`P(x) ↛ (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∃y∈Y (P(x) ↛ Q(y))`
←	`P(x) ← (∀y∈Y Q(y)) ≡ ∃y∈Y (P(x) ← Q(y))`

3. 3. 추론 규칙

추론 규칙은 가설에서 결론으로 이어지는 논리적 단계를 정당화하는 규칙이다. 보편 양화사를 활용하는 몇 가지 추론 규칙이 있다.

'''보편 사례화'''(Universal Instantiation)는 명제 함수가 보편적으로 참인 것으로 알려진 경우, 담화 영역의 임의의 원소에 대해서도 참임에 틀림없다고 결론 내리는 규칙이다. 기호로 표현하면 다음과 같다.

:

\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to P(c)

여기서 ''c''는 담화 영역의 완전히 임의적인 원소이다.

'''보편 일반화'''(Universal Generalization)는 명제 함수가 담화 영역의 임의의 원소에 대해 참이면 보편적으로 참임에 틀림없다고 결론 내리는 규칙이다. 기호로, 임의의 ''c''에 대해,

:

P(c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x).

원소 ''c''는 완전히 임의적이어야 한다. 그렇지 않으면 논리가 따르지 않는다. ''c''가 임의적이지 않고 담론 영역의 특정 원소인 경우 P(''c'')는 명제 함수의 존재 양화만 의미한다.^[1]

3. 4. 공집합

관례에 따라, 공식

\forall{x}{\in}\emptyset \, P(x)

는 ''P''(''x'')와 관계없이 항상 참이다. 무의미한 진리를 참조하라.

4. 전체 폐포

명제 φ의 '''전체 폐포'''는 φ의 모든 자유 변수에 대해 전칭 양화사를 추가하여 얻은 자유 변수가 없는 공식이다. 예를 들어, 다음 명제의 전체 폐포는

: $P(y) \land \exists x Q(x,z)$

다음과 같다.

: $\forall y \forall z ( P(y) \land \exists x Q(x,z))$ .

Open formula|열린 논리식^영어 「''P''(''x'')」가 주어졌을 때, 이것이 의미하는 바는 "……는 ''P''이다"일 뿐이며, 이것만으로는 진위를 확정할 수 없다. 그래서, "''P''(''x'')"에 나타나는 자유 변항 "''x''"를 양화사에 의해 묶어, 새롭게 Sentence (mathematical logic)|닫힌 논리식^영어을 얻을 수 있다. 이러한 닫힌 논리식은 적절한 해석을 가함으로써 진위를 확정할 수 있다. 일반적으로 양화 기호에는, "모든"을 의미하는 전칭 기호 "∀"와, "존재한다"를 의미하는 존재 기호 "∃"의 2종류가 있다. 이 중 전칭 기호 "∀"에 의해 묶인 경우에는 "∀''xP''(''x'')"라는 닫힌 논리식을 얻으며, 이는 "모든 (임의의) ''x''에 대해, ''x''는 ''P''이다" (보다 간단히는 "모든 ''x''는 ''P''이다")라는 의미가 된다. 이와 같이 자유 변수를 묶어 얻을 수 있는 닫힌 논리식은 원래의 논리식의 '''전체 폐포''' (universal closure)라고 불린다.

"∀''xP''(''x'')"는 존재 기호와 부정 기호를 사용하여, "￢∃''x''￢''P''(''x'')"로 표현할 수도 있다. "￢∃''x''￢''P''(''x'')"는 "''P''가 아닌 ''x''는 존재하지 않는다"는 의미이므로, 이는 즉 "모든 ''x''는 ''P''이다"라는 것이다. 또한, 논의 영역 (domain of discourse)이 유한한 경우, "∀''xP''(''x'')"는 전칭 기호를 사용하지 않고 연언만으로 표현할 수 있다. 예를 들어 논의 영역이 {''a'', ''b'', ''c''}일 때, "∀''xP''(''x'')"와 "''P''(''a'') ∧ ''P''(''b'') ∧ ''P''(''c'')"는 같은 의미가 된다 (자세한 내용은 술어 논리, 양화 각 기사를 참조). 또한 ∀''x'' ∈ ''A'' ''P''(''x'')에 의해 ∀''x''[''x'' ∈ ''A'' ⇒ ''P''(''x'')] 또는 ∀''x'' > 0 ''P''(''x'')에 의해 ∀''x''[''x'' > 0 ⇒ ''P''(''x'')]를 의미하는 약기가 사용된다^[6]^[7]。

5. 수반 함자로서의 전칭 양화

범주론과 기초 토포스 이론에서, 보편 양화사는 멱집합 사이의 함자, 즉 집합 간의 함수의 역상 함자의 오른쪽 수반으로 이해될 수 있다.^[4]

집합 $X$ 에 대해, $\mathcal{P}X$ 는 해당 멱집합을 나타낸다. 집합 $X$ 와 $Y$ 사이의 함수 $f:X\to Y$ 에 대해, 멱집합 사이에 역상 함자 $f^*:\mathcal{P}Y\to \mathcal{P}X$ 가 존재하며, 이는 ''f''의 공역의 부분 집합을 다시 정의역의 부분 집합으로 가져온다. 이 함자의 오른쪽 수반은 보편 양화사 $\forall_f$ 이다.

$\forall_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y$ 는 각 부분 집합 $S \subset X$ 에 대해, 다음으로 주어진 부분 집합 $\forall_f S \subset Y$ 를 제공하는 함자이다.

: $\forall_f S =\{ y\in Y \;|\; \forall x\in X.\ f(x)=y \quad\implies\quad x\in S \},$

이는 $f$ 에 따른 역상이 $S$ 에 포함되는 $y$ 들이다.

일차 논리에서 사용되는 양화사의 더 익숙한 형태는 함수 ''f''를 유일한 함수 $!:X \to 1$ 로 취함으로써 얻어지며, 여기서 $\mathcal{P}(1) = \{T,F\}$ 는 참과 거짓 값을 갖는 두 개의 원소 집합이고, 부분 집합 ''S''는 술어 $S(x)$ 가 성립하는 해당 부분 집합이다.

: $\begin{array}{rl}\mathcal{P}(!)\colon \mathcal{P}(1) & \to \mathcal{P}(X)\\ T &\mapsto X \\ F &\mapsto \{\}\end{array}$

: $\forall_! S = \forall x. S(x),$

이는 S가 X가 아니면 거짓이다.

위에 주어진 보편 양화사는 프리셰프 범주로 일반화된다.

6. 기호법의 역사

기호 논리에서 보편 양화를 나타내는 기호 $\forall$ (산세리프체 A를 뒤집은 모양, 유니코드 U+2200)는 1935년 게르하르트 겐첸이 처음 사용하였다. 이는 주세페 페아노의 존재 양화를 나타내는 $\exists$ (뒤집힌 E) 표기법과 버트런드 러셀이 페아노의 표기법을 사용한 것과 유사하다.^[2]

겐첸은 1935년에 발표한 논문 "논리적 추론에 대한 연구 1"에서 "∀"를 All-Zeichen|알자이헨^de(직역하면 "모두 기호")으로 사용했는데, 이는 버트런드 러셀이 사용하던 존재 기호 "∃"에 대응하여 디자인한 것이다.^[2] 이 기호의 형태는 "all"("모든"을 의미하는 독일어 단어)의 머리글자 "A"를 뒤집은 것이다. 제2차 세계 대전 이후 스티븐 콜 클리니의 『메타수학 입문』(1952년)^[13]과 셰인필드의 『수리 논리학』(1967년)^[14]에서 이 겐첸식 기호법이 사용되고 있다.

슈뢰더나 우카시에비치는 전칭 기호로 "Π"(존재 기호는 "Σ")를, 타르스키는 "∩"(존재 기호는 "∪")를 사용했다.^[15]

6. 1. 프레게

고틀로프 프레게는 1879년 자신의 저서 개념 표기법에서 전칭 양화를 표현하는 독특한 2차원 표기법을 처음 도입했다.^[8] 그러나 이 표기법은 현재 널리 사용되는 선형적인 표기법과는 크게 달랐다. 프레게의 표기법에서 "∀''xP''(''x'')"는 다음과 같이 표현되었다.

''P''(''x'')의 왼쪽에 있는 움푹 들어간 부분이 전칭 기호에 해당한다.^[9] 이 표기법은 그 특수성 때문에, 그 후 널리 보급되지는 않았다.

6. 2. 러셀-화이트헤드

이탈리아의 수학자 주세페 페아노에 의해 선형적인 논리식 표기법이 정비되었고, 이를 계승한 러셀과 화이트헤드의 『수학 원리』(1910년-1913년)^[10]에서는 전칭 기호는 "( )"로 표현되었다. 즉, "∀''xP''(''x'')"는 "((''x'')''P''(''x'')"로 표기되었다. 이 "( )"라는 기호법의 형태는 "모든"을 의미하는 라틴어 "omnis|옴니스^ln"의 머리글자 "O"에서 유래한다. 『수학 원리』에서는 이 외에도 "(''x'')[''P''(''x'') ⊃ ''Q''(''x'')]"의 약기법으로 (이것 또한 페아노에서 유래) "''P''(''x'') ⊃_''x'' ''Q''(''x'')"라는 표기법이 사용되었다^[11]。이 러셀식 기호법은 처치나 콰인의 교과서에도 채택되었기 때문에 그 후에도 일정한 영향력을 가졌다.

6. 3. 겐첸

"∀" 기호는 독일의 논리학자 게르하르트 겐첸이 1935년 논문에서 처음 도입한 것으로 알려져 있다. 겐첸은 1935년에 발표한 논문 "논리적 추론에 대한 연구 1"에서 "∀"를 All-Zeichen|알자이헨^de(직역하면 "모두 기호")으로 사용했는데, 이는 버트런드 러셀이 사용하던 존재 기호 "∃"에 대응하여 디자인한 것이다.^[2] 이 기호의 형태는 "all"("모든"을 의미하는 독일어 단어)의 머리글자 "A"를 뒤집은 것에서 유래했다.

겐첸은 수학에서 이미 다른 의미로 사용되던 괄호 "( )"를 굳이 채택하지 않았는데, 이는 기존 용법과의 혼동을 피하기 위해서였다고 설명한다.^[12] 제2차 세계 대전 이후 수리 논리학계를 대표하는 두 권의 교과서인 스티븐 콜 클리니의 『메타수학 입문』(1952년)^[13]과 셰인필드의 『수리 논리학』(1967년)^[14]에서는 이 겐첸식 기호법이 사용되고 있다.

6. 4. 기타 기호법

슈뢰더나 우카시에비치는 전칭 기호로 "Π"(존재 기호는 "Σ")를, 타르스키는 "∩"(존재 기호는 "∪")를 사용했다.^[15] 전칭 양화는 연언(논리곱)과 관련되어 있으며, "Π"나 "∩"와 같은 곱 기호가 전칭 기호로 사용되는 것은 이 때문이다. 이러한 "∀" 이외의 기호법은 최근에는 거의 사용되지 않지만, 현재에도 대상 양화와 대입 양화를 구별하고 싶을 때에는, 대입 양화의 전칭 기호로 특히 "Π"를 사용하는 경우가 있다.

7. 유니코드

기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조	명칭
∀	U+2200	1-2-47	∀	보편 양화 기호

참조

_[1] 문서 Quantification (logic)
_[2] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic http://jeff560.tripo[...]
_[3] 문서 that is, if the variable $y$ does not occur free in the formula $P(x)$ in the equivalences below
_[4] 서적 Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag
_[5] 문서 「普通限定子」は[[JIS]]の規格書にしか登場しない。規格書作成の際、手書き原稿の「普遍」を「普通」と誤植したものが規格書によって固定化し普及したものと見られる。
_[6] 서적 数学基礎論岩波書店
_[7] 서적 数学基礎論講義：不完全性定理とその発展日本評論社
_[8] 서적 Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens Halle
_[9] 웹사이트 Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic http://plato.stanfor[...] 2005
_[10] 서적 Principia Mathematica Cambridge University Press
_[11] 웹사이트 The Notation in ''Principia Mathematica'' http://plato.stanfor[...] 2005
_[12] 논문 Untersuchungen über das logische Schließen I https://eudml.org/do[...] Mathematische Zeitschrift
_[13] 서적 Introduction to Metamathematics North-Holland
_[14] 서적 Mathematical Logic Addison-Wesley
_[15] 서적 Dictionary of Symbols of Mathematical Logic North-Holland

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