지수적 감쇠

3. 미분 방정식 및 해

지수적 감쇠를 설명하는 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{dN(t)\}\{dt\}\; =\; -\backslash lambda\; N(t)$

이를 재배열하고 변수 분리라는 방법을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{dN(t)\}\{N(t)\}\; =\; -\backslash lambda\; dt.$

위 식을 적분하면 다음과 같다.

:$\backslash ln\; N\; =\; -\backslash lambda\; t\; +\; C\; \backslash ,$

여기서 C는 적분 상수이다. 따라서,

:$N(t)\; =\; e^C\; e^\{-\backslash lambda\; t\}\; =\; N\_0\; e^\{-\backslash lambda\; t\}\; \backslash ,$

여기서 ''N''₀ = ''e''^''C''는 ''t'' = 0일 때의 초기값으로 정의된다.

이 식은 지수적 감쇠를 설명하는 데 가장 일반적으로 사용된다. 감쇠 상수, 평균 수명, 반감기 중 어느 것을 사용해도 지수적 감쇠를 충분히 나타낼 수 있다. 붕괴 상수 λ를 사용하는 것은 고유값의 흔적이다. 이 경우 λ는 미분 연산자의 음수 고유값이며, ''N''(''t'')는 고유 함수에 해당한다.

4. 평균 수명의 미분

어떤 집합에서 시간이 지남에 따라 특정 원소의 개수가 감소할 때, 각 원소가 집합에 존재하는 평균 시간을 '''평균 수명'''(mean lifetime^영어)이라고 하며, 그리스 문자 τ로 표기한다. 평균 수명은 개별 수명의 산술 평균으로, 원소가 집합에서 제거되기 전까지의 시간의 기댓값이다.

개체수 공식 $N\; =\; N\_0\; e^\{-\backslash lambda\; t\},\; \backslash ,$에서 시작하여, ''c''를 확률 밀도 함수로 변환하기 위한 정규화 인자로 두면 다음과 같다.

:$1\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; c\; \backslash cdot\; N\_0\; e^\{-\backslash lambda\; t\}\backslash ,\; dt\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{N\_0\}\{\backslash lambda\}$

이를 재정렬하면 다음과 같다.

:$c\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{N\_0\}.$

지수적 감쇠는 지수 분포의 스칼라 곱이므로, 부분 적분법을 사용하여 평균 수명을 계산할 수 있다.

:$\backslash tau\; =\; \backslash langle\; t\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; t\; \backslash cdot\; c\; \backslash cdot\; N\_0\; e^\{-\backslash lambda\; t\}\backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash lambda\; t\; e^\{-\backslash lambda\; t\}\backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}.$

따라서 평균 수명 τ는 감쇠 상수 λ의 역수이다.

5. 둘 이상의 붕괴 과정

어떤 양이 두 개 이상의 과정을 통해 동시에 붕괴할 수 있다. 이러한 과정을 "붕괴 모드", "붕괴 채널", "붕괴 경로" 등으로 부르며, 각 과정은 서로 다른 확률로 발생한다. 따라서 서로 다른 속도와 반감기를 가지며 병렬적으로 발생한다.

전체 붕괴율은 각 붕괴 경로의 붕괴율을 합한 값으로 주어진다. 예를 들어, 두 개의 붕괴 과정이 있는 경우, 전체 붕괴율은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$-\backslash frac\{dN(t)\}\{dt\}\; =\; N\backslash lambda\; \_1\; +\; N\backslash lambda\; \_2\; =\; (\backslash lambda\; \_1\; +\; \backslash lambda\; \_2)N.$

여기서 $\backslash lambda\_1$과 $\backslash lambda\_2$는 각 붕괴 과정의 붕괴 상수이다. 이 방정식의 해는 다음과 같다.

:$N(t)\; =\; N\_0\; e^\{-(\backslash lambda\; \_1\; +\; \backslash lambda\; \_2)\; t\}\; =\; N\_0\; e^\{-(\backslash lambda\; \_c)\; t\}.$

여기서 $\backslash lambda\_c\; =\; \backslash lambda\_1\; +\; \backslash lambda\_2$는 전체 붕괴 상수이다.

각 과정과 관련된 부분 평균 수명은 해당 부분 붕괴 상수의 역수로 정의된다. 즉, $\backslash tau\; =\; 1/\backslash lambda$이다. 전체 평균 수명 $\backslash tau\_c$는 각 부분 평균 수명 $\backslash tau\_1$, $\backslash tau\_2$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash tau\_c\}\; =\; \backslash lambda\_c\; =\; \backslash lambda\_1\; +\; \backslash lambda\_2\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash tau\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash tau\_2\}$

:$\backslash tau\_c\; =\; \backslash frac\{\backslash tau\_1\; \backslash tau\_2\}\{\backslash tau\_1\; +\; \backslash tau\_2\}.$

반감기는 평균 수명과 상수 인자만큼 다르므로, 반감기에 대해서도 동일한 방정식을 적용할 수 있다.

:$T\_\{1/2\}\; =\; \backslash frac\{t\_1\; t\_2\}\{t\_1\; +\; t\_2\}$

여기서 $T\; \_\{1/2\}$는 전체 반감기, $t\_1$과 $t\_2$는 각 과정의 부분 반감기이다.

"부분 반감기" 및 "부분 평균 수명"이라는 용어는 마치 해당 붕괴 모드가 유일한 붕괴 모드인 것처럼 붕괴 상수로부터 유도된 값을 나타내지만, 실제로는 어떤 양이 절반으로 줄어드는 시간 간격을 측정할 수 없으므로 오해의 소지가 있다.

전체 반감기 $T\; \_\{1/2\}$는 붕괴 상수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$T\_\{1/2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash lambda\; \_c\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash lambda\; \_1\; +\; \backslash lambda\; \_2\}.$

세 개의 붕괴 과정이 동시에 일어나는 경우, 전체 반감기는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$T\_\{1/2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash lambda\; \_c\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash lambda\_1\; +\; \backslash lambda\_2\; +\; \backslash lambda\_3\}\; =\; \backslash frac\{t\_1\; t\_2\; t\_3\}\{(t\_1\; t\_2)\; +\; (t\_1\; t\_3)\; +\; (t\_2\; t\_3)\}.$

6. 연쇄 붕괴 / 결합 붕괴

핵과학 및 약동학에서, 관심 대상 물질은 붕괴 연쇄에 위치할 수 있으며, 이 경우 축적은 소스 물질의 지수적 감쇠에 의해 결정되는 반면, 관심 대상 물질 자체는 지수 과정을 통해 붕괴된다.

이러한 시스템은 배이트먼 방정식을 사용하여 해결된다.

약리학적 환경에서, 섭취된 일부 물질은 지수적 감쇠로 모델링된 과정을 통해 신체에 흡수될 수 있으며, 그러한 방출 프로파일을 갖도록 의도적으로 제형될 수 있다.

7. 지수적 감쇠의 응용 및 예시

지수적 감쇠는 자연 과학을 비롯한 매우 다양한 분야에서 나타난다. 그러나 많은 경우 이러한 감쇠 과정은 표본이 크고 대수의 법칙이 적용될 때에만 지수적으로 나타난다. 작은 표본의 경우에는 푸아송 과정을 고려하여 보다 일반적인 분석이 필요하다.^[4]

어떤 양 ''N''(''t'')이 이산적인 원소로 구성된 집합일 때, 해당 집합 내 원소의 잔존 평균 시간을 계산할 수 있다. 이를 평균 수명(또는 수명, 지수 함수적 시정수)이라 하고, τ로 표기한다. 평균 수명 τ는 붕괴 상수 λ에 의해 결정되며, 그 관계는 다음과 같다.

:

평균 수명은 스케일링 시간으로 간주할 수 있으며, 지수 함수적 감쇠의 식은 평균 수명 τ를 붕괴 상수 λ 대신 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

이는 시간이 τ만큼 경과하면, ''N''은 약 36.8% (오일러 수 ''e''의 역수)까지 감소한다는 것을 의미한다. 예를 들어 초기 인구가 1000명인 인구가 지수 함수적으로 감소한다고 가정하면, 평균 수명 τ만큼 시간이 경과하면 368명으로 감소한다.

반감기는 감쇠하는 양이 최초의 양에서 절반이 되는 데 필요한 시간을 말하며, ''t'' _1/2와 같은 기호로 나타낸다. 반감기는 붕괴 상수 λ 또는 평균 수명 τ를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

여기서 평균 수명 τ에 대해 풀면

:{\ln2} \simeq 1.443\cdot{t_{1/2}}}}

이지만, 이것을 위 지수 함수에 대입하면 exp(ln 2) = 2가 되므로,

:

가 된다. 따라서, 몇 번의 반감기가 경과했는지에 따라 ''N''이 몇 번 반감했는지를 알 수 있다. 예를 들어, 3번의 반감기가 경과했다면, ''N''은 초기 값의 1/2³ = 1/8까지 감소했다는 것을 즉시 알 수 있다.

예를 들어, 폴로늄-210은 반감기가 138일이며, 평균 수명은 200일이다.

7. 1. 자연 과학

• '''화학 반응''': 특정 유형의 화학 반응에서 반응 속도는 하나 이상의 반응물 농도에 의존한다. 반응 속도가 하나의 반응물 농도에만 의존하는 반응 (1차 반응)은 지수 감쇠를 따른다. 예를 들어, 많은 효소-촉매 반응이 이와 같이 작동한다.^[4]
• '''정전기학''': 축전기 (정전 용량 ''C'')에 포함된 전하(또는 전위)는 지수 감쇠로 방전되며 (축전기가 저항 ''R''의 일정한 외부 부하를 경험할 때), 지수 감쇠의 미러 이미지로 충전된다 (축전기가 일정한 저항을 통해 일정한 전압원에서 충전될 때). 이 과정의 지수 시간 상수는 $\backslash tau\; =\; R\; \backslash ,\; C\; ,$이므로 반감기는 $R\; \backslash ,\; C\; \backslash ,\; \backslash ln(2)\; .$이다. 동일한 방정식은 인덕터의 전류 쌍대성에 적용될 수 있다.^[4]
• * 여러 개의 병렬 저항을 통해 변화하는 축전기 또는 인덕터의 특정 사례는 여러 감쇠 과정을 보여주는 흥미로운 예이다. 각 저항은 별도의 과정을 나타낸다. 병렬로 연결된 두 저항의 등가 저항에 대한 표현식은 두 개의 감쇠 과정을 갖는 반감기 방정식과 유사하다.
• '''지구물리학''': 대기압은 해수면 위로 높이가 증가함에 따라 대략 지수적으로 감소하며, 약 1,000m당 12%의 비율로 감소한다.^[4]
• '''열 전달''': 한 온도에 있는 물체가 다른 온도의 매체에 노출되면 물체와 매체 간의 온도 차이는 지수 감쇠를 따른다 (느린 과정의 한계 내에서; 물체 내부의 "좋은" 열 전도와 동일하므로 물체의 온도는 부피 전체에서 비교적 균일하게 유지된다). 뉴턴의 냉각 법칙도 참조.^[4]
• '''발광''': 여기 후, 여기된 원자 또는 분자의 수에 비례하는 발광 물질의 방출 강도는 지수적으로 감소한다. 관련 메커니즘의 수에 따라 감쇠는 단일 지수 또는 다중 지수일 수 있다.^[4]
• '''약리학 및 독성학''': 많은 투여된 물질이 지수 감쇠 패턴에 따라 분포되고 대사 (''클리어런스'' 참조)된다. 물질의 생물학적 반감기 "알파 반감기"와 "베타 반감기"는 물질이 얼마나 빨리 분포되고 제거되는지 측정한다.^[4]
• '''물리 광학''': 흡수 매체에서 빛, X선 또는 감마선과 같은 전자기파의 강도는 흡수 매체로의 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 이것은 비어-램버트 법칙이라고 알려져 있다.^[4]
• '''방사능''': 다른 상태로 방사성 붕괴를 겪는 방사성 핵종 샘플에서 원래 상태의 원자 수는 남은 원자 수가 많을 경우 지수 감쇠를 따른다. 붕괴 생성물은 방사성 생성 핵종이라고 불린다.^[4]
• '''열전기''': 온도가 증가함에 따라 부온도 계수 서미스터의 저항은 감소한다.^[4]
• '''진동''': 일부 진동은 지수적으로 감쇠할 수 있다. 이 특성은 종종 감쇠된 기계적 진동자에서 발견되며, ADSR 엔벨로프를 신디사이저에서 생성하는 데 사용된다. 과다 감쇠 시스템은 지수 감쇠를 통해 평형 상태로 돌아간다.^[4]
• '''맥주 거품''': 루트비히 막시밀리안 뮌헨 대학교의 아른트 라이케는 이그 노벨상을 수상하여 맥주 거품이 지수 감쇠 법칙을 따른다는 것을 증명했다.^[4]

7. 2. 사회 과학

• '''금융''': 퇴직 기금은 일반적으로 월별로 정해진 지급액과 지속적인 이자율에 따라 지수적으로 감소한다. 기금에 남아있는 금액 A에 도달하는 시간을 찾기 위해 미분 방정식 dA/dt = 투입 - 산출을 작성하고 풀 수 있다.^[1]
• 단순한 '''언어 연대기'''에서 하나의 언어가 사용되던 시대는 지수적 감쇠에 의해 계산된다(두 언어에서 더 분기된 경우에는 가정을 추가해야 하며, 게다가 그 경우에는 지수적 감쇠를 따르지 않는다).^[4]
• 과학사에서 옳다고 믿어졌던 지식이 점차 반증되어 가는 과정은 지수적 감쇠이다 (Half-life_of_knowledge|지식의 반감기^영어도 참조).^[5]

7. 3. 컴퓨터 과학

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 논문 Demonstration of the exponential decay law using beer froth
_[5] 서적 岩波数学入門辞典 http://www.iwanami.c[...] 岩波書店