초특별군

3. 성질

모든 ''p''-초특별군의 크기는 $p^\{1+2n\}$ (''n''은 양의 정수) 꼴이다. 반대로, 임의의 $p^\{1+2n\}$ 꼴의 수에 대해, 이 크기를 갖는 초특별군은 군의 동형 아래 정확히 2개가 존재한다.

초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다.

두 개의 초특별 ''p''-군의 중심곱은 초특별군이며, 모든 초특별군은 차수가 $p^3$인 초특별군의 중심곱으로 표현될 수 있다. 이는 초특별군의 분류를 차수가 $p^3$인 초특별군의 분류 문제로 축소시킨다. 분류는 종종 ''p''가 홀수인 소수일 때와 ''p'' = 2인 경우로 나누어 제시되지만, 통일된 방식으로 표현하는 것도 가능하다.

4. 연산

두 군 $G$와 $H$ 및 군의 동형 사상

:$\backslash theta\backslash colon\backslash operatorname\; Z(G)\backslash to\backslash operatorname\; Z(H)$

가 주어졌다고 하자. 여기서 $\backslash operatorname\; Z(G)$는 군 $G$의 중심을 나타낸다. 그렇다면, $G$와 $H$의 $\backslash theta$에 대한 '''중심곱'''(central product|중심곱^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:$G\backslash star\; H=\backslash frac\{G\backslash times\; H\}\{\backslash \{(g,h)\backslash in\; \backslash operatorname\; Z(G)\backslash times\backslash operatorname\; Z(H)\backslash colon\; \backslash theta(g)h=1\backslash \}\}$

이 정의는 일반적으로 동형 사상 $\backslash theta$에 따라 달라지지만, 만약 $G$와 $H$가 둘 다 초특별군일 경우에는 군의 동형 아래에서 유일하게 결정된다. 또한, 두 초특별군의 중심곱 역시 초특별군이다.

초특별군의 중심곱 연산은 군의 동형 아래에서 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 초특별군 $G,H,K$에 대하여 다음이 성립한다.

:$G\backslash star\; H\backslash cong\; H\backslash star\; G$ (교환 법칙)

:$(G\backslash star\; H)\backslash star\; K\; \backslash cong\; G\backslash star\; (H\backslash star\; K)$ (결합 법칙)

여기서 $\backslash cong$ 기호는 군이 서로 동형임을 의미한다. (그러나 이 동형 관계가 반드시 표준적일 필요는 없다.)

5. 분류

임의의 소수 $p$에 대하여, 모든 $p$-초특별군은 크기가 $p^3$인 초특별군들의 중심곱으로 표현될 수 있다. 이는 초특별군의 분류를 차수가 $p^3$인 초특별군의 분류로 축소시킨다.

모든 초특별 $p$-군은 어떤 양의 정수 $n$에 대해 차수가 $p^\{1+2n\}$이며, 반대로 그러한 각 수에 대해 동형사상까지 정확히 두 개의 초특별군이 존재한다. 분류는 종종 $p$가 홀수이고 $p=2$인 두 경우로 나누어 제시되지만, 균일한 표현도 가능하다. 자세한 분류는 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 짝수 p

• Dih(4) (크기 8의 정이면체군)
• Q₈

• 짝수 개의 Q₈을 포함하는 중심곱으로 표현되는 군
• 홀수 개의 Q₈을 포함하는 중심곱으로 표현되는 군

5. 2. 홀수 p

• $G\_1=\backslash left\backslash \{$

• $G\_2\; =\; \backslash operatorname\{Cyc\}(p^2)\backslash rtimes\backslash operatorname\{Cyc\}(p)$

• 크기 $p^3$인 초특별군 $n$개의 중심곱으로, 모두 $G\_1$ 타입이거나 $G\_2$ 타입이 짝수 개 포함된 경우. 이 초특별군은 모든 원소의 위수가 최대 $p$이며, 군의 지수는 $p$이다.
• 크기 $p^3$인 초특별군 $n$개의 중심곱으로, $G\_2$ 타입이 홀수 개 포함된 경우. 이 초특별군은 위수 $p^2$인 원소를 가지며, 군의 지수는 $p^2$이다.

5. 3. 모든 p

• 대각선에 1이 있고, 유한체의 원소를 요소로 갖는 3x3 삼각 행렬의 군. 이 군은 홀수 $p$에 대해 지수 $p$를 갖는다 (하지만 $p=2$인 경우 지수 4를 갖는다).
• 차수 $p^2$인 순환군과 이 군에 비자명하게 작용하는 차수 $p$인 순환군의 반직접곱. 이 군은 지수 $p^2$를 갖는다.

• 지수가 모두 $p$인 차수 $p^3$인 $n$개의 초특별군의 중심곱. 이 초특별군 역시 지수 $p$를 갖는다.
• 차수 $p^3$인 $n$개의 초특별군의 중심곱, 적어도 하나는 지수 $p^2$. 이 초특별군은 지수 $p^2$를 갖는다.

• $M(p)\; =\; \backslash langle\; a,b,c\; :\; a^p\; =\; b^p\; =\; 1,\; c^p\; =\; 1,\; ba=abc,\; ca=ac,\; cb=bc\; \backslash rangle$
• $N(p)\; =\; \backslash langle\; a,b,c\; :\; a^p\; =\; b^p\; =\; c,\; c^p\; =\; 1,\; ba=abc,\; ca=ac,\; cb=bc\; \backslash rangle$

6. 지표 이론

만약 G가 차수 p¹⁺²ⁿ인 초특별군이라면, 그 기약 복소수 표현은 다음과 같다.

• 차원이 1인 기약 표현이 정확히 p²ⁿ개 존재한다. 중심 Z는 자명하게 작용하며, 표현은 아벨 군 G/Z의 표현과 정확히 일치한다.
• 차원이 pⁿ인 기약 표현이 정확히 p − 1개 존재한다. 중심의 각 비자명 문자 χ에 대해 하나씩 존재하며, 여기서 중심은 χ를 곱하는 것으로 작용한다. 문자 값은 Z에서 pⁿχ이고, Z에 속하지 않는 요소에 대해서는 0이다.
• 만약 비아벨 p-군 G가 최소 차수의 비선형 기약 문자를 p² − p개 미만으로 가지고 있다면, 이는 초특별군이다.

7. 예시

유한 단순군에서 대합의 중심화 부분군은 정규 특수 부분군을 포함하는 경우가 상당히 흔하다. 예를 들어, 몬스터군에서 2B형 대합의 중심화 부분군은 2¹⁺²⁴.Co₁의 구조를 가지며, 이는 2¹⁺²⁴ 차수의 정규 특수 부분군을 가지고 몫은 콘웨이 군 중 하나임을 의미한다.

8. 일반화

중심군, 도출 부분군, 그리고 프라티니 부분군이 모두 같은 군을 '''특수군'''이라고 부른다. 도출 부분군이 차수 ''p''인 무한 특수군은 엑스트라특수군이라고도 불린다. 가산 무한 엑스트라특수군의 분류는 유한 경우와 매우 유사하지만, 더 큰 기수의 경우 군의 기본적인 속성조차도 집합론의 미묘한 문제에 의존하며, 그중 일부는 관련 연구에서 나타난다. 중심이 순환군이고 도출 부분군이 차수 ''p''이며 켤레류가 많아도 가산 무한인 멱영군은 분류 연구가 이루어져 있다. 도출 부분군이 차수 ''p''인 유한군 역시 분류 연구가 이루어져 있다.