초특별군
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1. 개요
초특별군은 유한군 G가 소수 p에 대해 특정 조건을 만족하는 군으로, G의 모든 비자명 부분군은 p-군이며, 모든 비자명 정규 부분군은 G의 중심을 포함한다. 초특별군은 p1+2n 꼴의 크기를 가지며, 이 크기에 대해 동형 아래 정확히 2개 존재한다. 초특별군의 교환자 부분군과 프라티니 부분군은 중심과 같다. 크기가 8인 2-초특별군은 정이면체군 Dih(4)와 사원수군 Q8이 있으며, p ≥ 3일 때 크기 p3인 두 p-초특별군이 존재한다. 모든 p-초특별군은 크기 p3의 초특별군의 중심곱으로 표현된다. 초특별군의 기약 복소수 표현은 1차원 표현 p개와 p2n 차원 표현 p-1개로 구성된다.
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초특별군 |
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2. 정의
유한군 가 어떤 소수 에 대하여 다음 세 조건을 만족시키면 '''초특별군'''이라고 한다.
- 는 p-군이다. 즉, 의 위수는 의 거듭제곱 형태( 형태)이다. (유한군의 위수가 소수 의 거듭제곱일 경우, 해당 군을 -군이라고 부른다.)
- 의 중심 는 크기가 인 순환군이다. 즉, 이다.
- 몫군 는 기본 아벨 p-군이다. 즉, 를 만족하는 양의 정수 이 존재한다. (이때 이므로, 는 아벨 군이 될 수 없다.)
다르게 표현하면, p-군 의 중심 가 위수 의 순환군이고 몫군 가 자명하지 않은 기본 아벨 p-군일 경우, 를 '''초특별군'''이라고 부른다.
위수가 인 초특별군은 종종 으로 표기하기도 한다. 예를 들어, 는 위수가 인 초특별군을 나타낸다.
3. 성질
모든 ''p''-초특별군의 크기는 (''n''은 양의 정수) 꼴이다. 반대로, 임의의 꼴의 수에 대해, 이 크기를 갖는 초특별군은 군의 동형 아래 정확히 2개가 존재한다.
초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다.
두 개의 초특별 ''p''-군의 중심곱은 초특별군이며, 모든 초특별군은 차수가 인 초특별군의 중심곱으로 표현될 수 있다. 이는 초특별군의 분류를 차수가 인 초특별군의 분류 문제로 축소시킨다. 분류는 종종 ''p''가 홀수인 소수일 때와 ''p'' = 2인 경우로 나누어 제시되지만, 통일된 방식으로 표현하는 것도 가능하다.
4. 연산
두 군 와 및 군의 동형 사상
:
가 주어졌다고 하자. 여기서 는 군 의 중심을 나타낸다. 그렇다면, 와 의 에 대한 '''중심곱'''(central product|중심곱영어)은 다음과 같이 정의된다.
:
이 정의는 일반적으로 동형 사상 에 따라 달라지지만, 만약 와 가 둘 다 초특별군일 경우에는 군의 동형 아래에서 유일하게 결정된다. 또한, 두 초특별군의 중심곱 역시 초특별군이다.
초특별군의 중심곱 연산은 군의 동형 아래에서 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 초특별군 에 대하여 다음이 성립한다.
: (교환 법칙)
: (결합 법칙)
여기서 기호는 군이 서로 동형임을 의미한다. (그러나 이 동형 관계가 반드시 표준적일 필요는 없다.)
5. 분류
임의의 소수 에 대하여, 모든 -초특별군은 크기가 인 초특별군들의 중심곱으로 표현될 수 있다. 이는 초특별군의 분류를 차수가 인 초특별군의 분류로 축소시킨다.
모든 초특별 -군은 어떤 양의 정수 에 대해 차수가 이며, 반대로 그러한 각 수에 대해 동형사상까지 정확히 두 개의 초특별군이 존재한다. 분류는 종종 가 홀수이고 인 두 경우로 나누어 제시되지만, 균일한 표현도 가능하다. 자세한 분류는 하위 섹션에서 다룬다.
5. 1. 짝수 p
p=2일 때, 크기가 8인 2-초특별군은 다음 두 가지가 있다.이 두 군은 중심곱 연산(⋆)에 대해 다음 관계를 만족시킨다.
:Q8 ⋆ Q8 ≅ Dih(4) ⋆ Dih(4) (여기서 ≅는 동형을 의미한다)
따라서, 임의의 양의 정수 n에 대하여, 크기가 21+2n인 2-초특별군은 다음 두 종류로 분류된다.
- 짝수 개의 Q8을 포함하는 중심곱으로 표현되는 군
- 홀수 개의 Q8을 포함하는 중심곱으로 표현되는 군
5. 2. 홀수 p
인 소수 에 대하여, 크기가 인 -초특별군은 다음 두 가지 종류가 있다.\begin{pmatrix}
1&a&b\\
0&1&c\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\colon a,b,c\in \mathbb F_p
\right\} \le \operatorname{GL}(3;\mathbb F_p)
: 이는 유한체 의 원소를 성분으로 가지는 3x3 상부 삼각 행렬로 구성된 군이다. 이 군의 모든 비자명 원소는 위수 를 가지므로, 군의 지수는 이다.
: 이는 위수 인 순환군 과 위수 인 순환군 의 반직접곱이다. 여기서 는 에 자명하지 않게 작용한다. 이 군은 위수 인 원소를 가지므로, 군의 지수는 이다.
이 두 군의 중심곱은 다음 관계를 만족시킨다.
:
따라서, 임의의 양의 정수 에 대하여, 크기가 인 -초특별군은 다음 두 가지 종류로 나뉜다. 이는 중심곱을 구성하는 의 개수가 짝수인지 홀수인지에 따라 결정된다.
- 크기 인 초특별군 개의 중심곱으로, 모두 타입이거나 타입이 짝수 개 포함된 경우. 이 초특별군은 모든 원소의 위수가 최대 이며, 군의 지수는 이다.
- 크기 인 초특별군 개의 중심곱으로, 타입이 홀수 개 포함된 경우. 이 초특별군은 위수 인 원소를 가지며, 군의 지수는 이다.
결론적으로, 크기가 인 두 종류의 -초특별군은 군의 지수, 즉 군 내 원소의 최대 위수가 인지 인지에 따라 구별할 수 있다.
5. 3. 모든 p
임의의 소수 에 대하여, 모든 -초특별군은 크기 의 초특별군들의 중심곱으로 표현된다. 즉, -초특별군의 분류는 크기 의 초특별군들의 분류로 귀결된다.차수가 인 초특별군에는 두 종류가 있으며, 홀수 에 대해서는 다음과 같이 주어진다.
- 대각선에 1이 있고, 유한체의 원소를 요소로 갖는 3x3 삼각 행렬의 군. 이 군은 홀수 에 대해 지수 를 갖는다 (하지만 인 경우 지수 4를 갖는다).
- 차수 인 순환군과 이 군에 비자명하게 작용하는 차수 인 순환군의 반직접곱. 이 군은 지수 를 갖는다.
이 양의 정수라면, 차수 인 초특별군은 두 종류가 있으며, 홀수 에 대해서는 다음과 같이 주어진다.
- 지수가 모두 인 차수 인 개의 초특별군의 중심곱. 이 초특별군 역시 지수 를 갖는다.
- 차수 인 개의 초특별군의 중심곱, 적어도 하나는 지수 . 이 초특별군은 지수 를 갖는다.
차수 인 두 초특별군은, 하나는 모든 원소의 차수가 최대 이고 다른 하나는 차수 인 원소를 갖는다는 사실로 가장 쉽게 구별된다.
차수가 인 초특별군의 균일한 표현은 다음과 같이 제공될 수 있다. 두 그룹을 정의한다.
와 는 차수가 이고 중심의 차수가 이며 에 의해 생성되는 비동형 초특별군이다. 차수가 인 두 개의 비동형 초특별군은 개의 사본 또는 개의 사본과 1개의 사본의 중심 곱이다.
6. 지표 이론
만약 G가 차수 p1+2n인 초특별군이라면, 그 기약 복소수 표현은 다음과 같다.
7. 예시
유한 단순군에서 대합의 중심화 부분군은 정규 특수 부분군을 포함하는 경우가 상당히 흔하다. 예를 들어, 몬스터군에서 2B형 대합의 중심화 부분군은 21+24.Co1의 구조를 가지며, 이는 21+24 차수의 정규 특수 부분군을 가지고 몫은 콘웨이 군 중 하나임을 의미한다.
8. 일반화
중심군, 도출 부분군, 그리고 프라티니 부분군이 모두 같은 군을 '''특수군'''이라고 부른다. 도출 부분군이 차수 ''p''인 무한 특수군은 엑스트라특수군이라고도 불린다. 가산 무한 엑스트라특수군의 분류는 유한 경우와 매우 유사하지만, 더 큰 기수의 경우 군의 기본적인 속성조차도 집합론의 미묘한 문제에 의존하며, 그중 일부는 관련 연구에서 나타난다. 중심이 순환군이고 도출 부분군이 차수 ''p''이며 켤레류가 많아도 가산 무한인 멱영군은 분류 연구가 이루어져 있다. 도출 부분군이 차수 ''p''인 유한군 역시 분류 연구가 이루어져 있다.
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