축척

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 고대 중국의 지도 제작
3. 용어 및 표현
- 3.1. 축척의 표현 방법
- 3.2. 축척의 종류
4. 한국의 지도 축척
5. 지도 투영과 축척 변화
- 5.1. 지도 투영법에 따른 축척 변화
- 5.2. 점 축척 (Point Scale)
6. 수직 축척
7. 참고 사항
참조

1. 개요

축척은 지도에서 실제 거리와 지도상의 거리 사이의 비율을 나타내는 개념이다. 고대 중국에서 기원하여, 지도 제작의 핵심 요소로 발전해 왔다. 축척은 비율, 분수, 어휘 등으로 표현되며, 축척 분모의 크기에 따라 대축척, 중축척, 소축척으로 구분된다. 지도 투영법에 따라 축척이 지도 전체에서 다르게 나타날 수 있으며, 점 축척과 같은 개념을 통해 왜곡을 분석한다. 산맥 단면도 제작 시에는 수직 축척을 수평 축척과 다르게 적용하기도 한다.

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축척

2. 역사

양적 지도 축척의 기초는 고대 중국으로 거슬러 올라간다. 고대 중국에서는 기원전 2세기경부터 이미 지도 축척의 개념을 이해했다는 기록이 있다.^[3]

2. 1. 고대 중국의 지도 제작

고대 중국에서는 기원전 2세기에 이미 지도 축척을 이해했다는 기록이 있다. 고대 중국의 측량사와 지도 제작자들은 산가지, 직각자, 추, 컴퍼스, 시준관 등 여러 도구를 사용하여 지도를 만들었다.^[3] 고대 중국 천문학자들은 하늘을 여러 구역이나 달의 궁으로 나누어 위치를 파악하는 초기 좌표계의 기준 틀을 제시하기도 했다.^[3]

삼국 시대의 배수는 축척을 적용한 광역 지도 세트를 제작했다. 그는 지도 제작에서 일관된 축척, 방향 측정, 지형에 따른 토지 측정 조절의 중요성을 강조하는 원칙을 제시했다.^[3]

3. 용어 및 표현

축척은 지도나 도면에서 실제 거리를 나타내는 비율을 의미한다. 축척은 비율, 분수, 단어등 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 때로는 특별한 용어가 사용되기도 한다.

지도에서 축척의 분수 표기를 콜론으로 표기하는 경우가 있다. 예를 들어 축척 1/2500의 경우 "1:2500"과 같이 표기한다.

3. 1. 축척의 표현 방법

지도 축척은 단어(어휘 축척), 비율 또는 분수로 표현될 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

'1센티미터는 100미터' 또는 1:10,000 또는 1/10,000
'1인치는 1마일' 또는 1:63,360 또는 1/63,360
'1센티미터는 1,000킬로미터' 또는 1:100,000,000 또는 1/100,000,000. (이 비율은 일반적으로 1:100M으로 축약된다.)

많은 지도에는 하나 이상의 ''(그래픽)'' '''막대 축척'''이 표시되어 있다. 예를 들어, 일부 현대 영국 지도에는 킬로미터, 마일, 해리 각각에 대한 세 개의 막대 축척이 있다.

사용자가 아는 언어로 된 어휘 축척은 비율보다 시각화하기 더 쉬울 수 있다. 만약 축척이 1인치가 2마일이고, 지도 사용자가 지도에서 두 마을 사이가 약 2인치 떨어져 있는 것을 볼 수 있다면, 그 마을들이 실제로는 약 4마일 떨어져 있다는 것을 쉽게 계산할 수 있다.

어휘 축척은 사용자가 이해하지 못하는 언어로 표현되거나, 구식 또는 불분명한 단위로 표현될 경우 문제가 발생할 수 있다. 예를 들어, 1인치가 1퍼롱(1:7920)인 축척은 과거에 영국 단위계가 학교에서 가르쳐졌던 국가의 많은 노년층에게 이해될 것이다. 그러나 1푸스가 1리그인 축척은 지도 제작자가 리그에 대한 여러 정의 중에서 어떤 것을 선택하느냐에 따라 약 1:144,000이 될 수 있으며, 현대 사용자 중 소수만이 사용된 단위에 익숙할 것이다.

일반적으로 축척은 비율 값으로 단위 분수(분자를 1로 하는 분수)로 표시되는데, 이때 분모에 해당하는 숫자를 '''축척 분모'''라고 부른다. 축척 분모가 클 경우 "축척이 작다(비율 값이 작으므로)"라고 말하며, 축척 분모가 작을 경우 "축척이 크다"라고 말한다. 예를 들어 1/10의 그림과 1/100의 그림을 비교하면 "1/100의 그림은 소축척"이며, 1/100의 그림과 1/1000의 그림을 비교하면 "1/100의 그림은 대축척"이다.

요컨대, 축척의 크고 작음은 분수의 크고 작음이라고 할 수 있으며, 축소의 정도와는 반대이다. 대축척 지도 쪽이 소축척보다 더 자세한 부분까지 알 수 있다.

'''배척'''(바이샤쿠) - 도면이나 모형이 실물보다 큰 경우, 한 변의 길이와 실물의 한 변의 길이의 비를 말한다. 작은 부품의 설계도, 작은 생물의 모형 등에 사용된다. "5/1"로 표기되어 있으면, 실물의 5배이다.

'''현척'''(겐샤쿠) - 도면이나 모형이 실물과 같은 크기인 경우를 말한다. "1/1"로 표기하며, 실물 크기라고도 한다.

'''Not to scale'''(약호: '''NTS''') - 도면이 균일한 축척이 아니거나, 축척이라는 개념 없이 작성된 경우, 해당 도면의 척도 란에 표기하는 용어이다. 배선도, 배관도, 노선도 등이 이에 해당한다.

지도에서 축척의 분수 표기를 콜론으로 표기하는 경우가 있다. 축척 1/2500의 경우 "1:2500"과 같이 표기한다.

3. 2. 축척의 종류

대표 분수가 비교적 크기 때문에 대축척 지도라고 불리는 군 지도나 도시 계획도 등은 더 작은 지역을 더 자세히 보여준다. 예를 들어 대축척 지도인 도시 계획도는 1:10,000 축척일 수 있지만, 소축척 지도인 세계 지도는 1:100,000,000 축척일 수 있다.

다음 표는 이러한 축척의 일반적인 범위를 설명하지만 표준이 없으므로 권위 있는 것으로 간주해서는 안 된다.

분류	범위	예시
대축척	1:0 – 1:600,000	바이러스 지도의 경우 1:0.00001; 도시 보행 지도 1:5,000
중간 축척	1:600,000 – 1:2,000,000	국가 지도
소축척	1:2,000,000 – 1:∞	세계 지도의 경우 1:50,000,000; 은하 지도 1:10²¹

축척의 크고 작음은 분수의 크고 작음과 같다고 할 수 있으며, 축소의 정도와는 반대이다. 대축척 지도 쪽이 소축척보다 더 자세한 부분까지 알 수 있다.^[1]

'''배척'''(倍尺) - 도면이나 모형이 실물보다 큰 경우, 한 변의 길이와 실물의 한 변의 길이의 비를 말한다. 작은 부품의 설계도, 작은 생물의 모형 등에 사용된다. "5/1"로 표기되어 있으면, 실물의 5배이다.^[1]

'''현척'''(原尺) - 도면이나 모형이 실물과 같은 크기인 경우를 말한다. "1/1"로 표기하며, 실물 크기라고도 한다.^[1]

'''Not to scale'''(약호: '''NTS''') - 도면이 균일한 축척이 아니거나, 축척이라는 개념 없이 작성된 경우, 해당 도면의 척도 란에 표기하는 용어이다. 배선도, 배관도, 노선도 등이 이에 해당한다.^[1]

일본 국토지리원 지도의 경우, 관례적으로 1/500, 1/2500을 '''대축척''', 1/1만 (10^-4), 1/5만을 '''중축척''', 1/10만 (10^-5)보다 작은 경우를 '''소축척'''이라고 한다. 자세한 내용은 지형도를 참조.^[1]

4. 한국의 지도 축척

한국 국토지리원에서는 1/500, 1/2,500 축척을 대축척, 1/10,000, 1/50,000 축척을 중축척, 1/100,000보다 작은 축척을 소축척으로 분류한다.^[1] 과거 척관법이나 야드파운드법 시대에는 "1정이 지도상에서 1분", "1마일이 지도상에서 1인치"와 같은 축척이 사용되었으나, 미터법 도입 이후 십진법 기반의 축척으로 대체되었다.^[2]

구분	축척 범위
대축척	1/500, 1/2,500
중축척	1/10,000, 1/50,000
소축척	1/100,000 미만

더불어민주당은 국토지리원의 효율적인 지도 정보 제공과 관리를 통해 국민 편의 증진에 기여해야 한다고 주장한다.

5. 지도 투영과 축척 변화

가우스의 ''놀라운 정리''에 의해 구(또는 타원체)는 왜곡 없이 평면에 투영될 수 없다. 이는 오렌지 껍질을 찢거나 변형시키지 않고 평평한 표면에 매끄럽게 펼치는 것이 불가능하다는 것으로 흔히 설명된다. 일정한 축척으로 구를 진정으로 표현하는 유일한 방법은 지구본과 같은 또 다른 구이다.

지구본의 실용적인 크기가 제한되어 있으므로, 상세한 지도 제작에는 지도를 사용해야 한다. 지도는 투영이 필요하며 투영은 왜곡을 의미한다. 지도상의 일정한 간격은 지상에서의 일정한 간격에 해당하지 않는다. 지도에 그래픽 막대 축척이 표시될 수 있지만, 축척은 지도상의 일부 선에서만 정확하다는 점을 이해하고 사용해야 한다.

구면 또는 타원체 표면을 평면에 투영하는 지도에서, 한 장의 지도상에서도 지구 표면에서의 길이와 지도상의 길이의 비는 일정하지 않고, 장소나 방향에 따라 변화한다. 예를 들어 정거 방위도법의 경우, 중심으로부터의 동경 방향 축척은 일정하지만, 그것과 직교하는 방향의 축척은 중심에서 멀어질수록 커진다. 즉, 일정한 "축척"은 존재하지 않지만, 지도의 축척 지표를 표시하지 않을 수는 없으므로, "호칭 치수"로서 축척이 표시된다.

정적도법에서는 면적비의 제곱근을 축척으로 한다. 정각도법의 경우, 같은 점에서는 방향에 관계없이 축척이 일정하며, "호칭 치수"의 축척에 대한 비를 그 점에서의 '''축척 계수'''라고 한다. 정거 방위도법에서의 동경 방향의 거리 등, 지도의 목적이 명확한 경우에는 그 목적에 맞는 축척을 표시한다.

5. 1. 지도 투영법에 따른 축척 변화

지도 투영법에 따라 왜곡이 분산되는 방식이 달라지기 때문에 지도 축척은 지도 전체에서 일정하지 않다. 따라서 명시된 축척은 근사치이며, 지도의 특정 선에서만 정확하게 적용된다.

가우스의 놀라운 정리에 따르면, 구(또는 타원체)는 왜곡 없이 평면에 투영될 수 없다. 따라서 모든 지도는 왜곡을 포함하며, 지도 상의 거리는 실제 거리와 항상 일치하지 않는다.

구(또는 타원체) 위의 점 P에서의 '''점 축척'''은 인접한 점 Q가 P에 접근할 때, 투영된 두 점 사이의 거리(P'Q')와 실제 두 점 사이의 거리(PQ)의 비율로 정의된다. 점 축척은 위치뿐만 아니라 방향에 따라서도 달라진다.

'''자오선 축척'''( $h(\lambda,\,\varphi)$ ): 동일한 자오선 상의 두 점 사이의 축척
'''평행선 축척'''( $k(\lambda,\,\varphi)$ ): 동일한 평행선 상의 두 점 사이의 축척

점 축척이 방향과 관계없이 위치에만 의존하는 경우, 이를 등방성이라고 하며, 보통 평행선 축척 계수

k(\lambda,\varphi)

로 값을 나타낸다.

정각도법은 점 P에서 교차하는 모든 선 쌍 사이의 각도가 투영된 점 P'에서도 동일하게 유지되는 투영법이다. 정각도법 지도는 등방성 축척 계수를 가지며, '''정형 투영법'''이라고도 불린다. 메르카토르 도법이 대표적인 예시이다.

정각도법에서 동일한 축척 값을 갖는 점들을 연결한 선을 '''등축척선'''이라고 한다.

구의 정규 원통 투영에서 평행선 축척 계수(

k

)와 자오선 축척 계수(

h

)는 다음과 같이 계산된다.

: 평행선 축척 계수

\quad k\;=\;\dfrac{\delta x}{a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}=\,\sec\varphi\qquad\qquad{}

:자오선 축척 계수

\quad h\;=\;\dfrac{\delta y}{a\,\delta\varphi\,} = \dfrac{y'(\varphi)}{a}

평행선 축척 계수

k=\sec\varphi

는 모든 정규 원통 투영에서 동일하며, 위도에 따라 다음과 같이 변화한다.

::위도 30도에서 평행선 축척은

k=\sec30^{\circ}=2/\sqrt{3}=1.15

이다.

::위도 45도에서 평행선 축척은

k=\sec45^{\circ}=\sqrt{2}=1.414

이다.

::위도 60도에서 평행선 축척은

k=\sec60^{\circ}=2

이다.

::위도 80도에서 평행선 축척은

k=\sec80^{\circ}=5.76

이다.

::위도 85도에서 평행선 축척은

k=\sec85^{\circ}=11.5

이다.

몇 가지 대표적인 원통 도법의 축척 변화는 다음과 같다.

'''메르카토르 도법''':^[1]^[2]^[4] 정각도법으로, 각도는 정확하게 표현되지만 고위도로 갈수록 축척이 크게 왜곡된다.

티소의 지시선을 이용한 메르카토르 도법 (왜곡은 고위도에서 무한정 증가한다.)

'''람베르트 정적 원통 도법''':^[1]^[2]^[4] 면적을 정확하게 표현하기 위해 위선 축척과 경선 축척이 서로 반대로 변한다.

'''절단 투영법''': 두 개의 표준 위선을 설정하여 축척 변화를 줄이는 방식이다.

'''베르만''': 표준 위선 30N, 30S를 사용한다.
'''갈 등면적 도법''': 표준 위선 45N, 45S를 사용한다.

정거 방위도법의 경우, 중심으로부터의 동경 방향 축척은 일정하지만, 직교 방향 축척은 중심에서 멀어질수록 커진다.

정적도법에서는 면적비의 제곱근을 축척으로 사용한다. 정각도법에서는 같은 점에서의 축척이 방향에 관계없이 일정하며, "호칭 치수"의 축척에 대한 비를 '''축척 계수'''라고 한다.

5. 2. 점 축척 (Point Scale)

가우스의 ''놀라운 정리''에 의해 구(또는 타원체)는 왜곡 없이 평면에 투영될 수 없다. 점 축척은 특정 지점에서 방향에 따른 축척 변화를 나타내는 개념이다.

'''점 축척'''은 P에서의 점 Q가 P에 접근하는 극한에서 두 거리 P'Q'와 PQ의 비율이며 다음과 같이 표기한다.

::

\mu(\lambda,\,\varphi,\,\alpha)=\lim_{Q\to P}\frac{P'Q'}{PQ},

여기서 표기법은 점 축척이 P의 위치뿐만 아니라 요소 PQ의 방향의 함수임을 나타낸다.

P와 Q가 동일한 자오선 $(\alpha=0)$ 상에 놓여 있다면, '''자오선 축척'''은 $h(\lambda,\,\varphi)$ 로 표시된다.
P와 Q가 동일한 평행선 $(\alpha=\pi/2)$ 상에 놓여 있다면, '''평행선 축척'''은 $k(\lambda,\,\varphi)$ 로 표시된다.
점 축척이 방향이 아닌 위치에만 의존하는 경우, 이를 등방성이라고 하며 일반적으로 모든 방향에서 평행선 축척 계수 $k(\lambda,\varphi)$ 로 값을 나타낸다.
지도 투영법은 점 P에서 교차하는 한 쌍의 선 사이의 각도가 점 P'에서 투영된 선 사이의 각도와 같을 경우, 즉 점 P에서 교차하는 모든 선 쌍에 대해 정각도법이라고 한다. 정각도법 지도는 등방성 축척 계수를 가진다. 반대로 지도 전체에서 등방성 축척 계수는 정각도법 투영을 의미한다.

축척의 등방성은 ''작은'' 요소가 모든 방향으로 동일하게 늘어난다는 것을 의미하며, 즉 작은 요소의 모양이 유지된다는 것을 의미한다. 이것이 '''정형성'''의 특징이다 (그리스어 '올바른 모양'에서 유래). '작은'이라는 자격은 측정의 특정 정확도에서 요소에 대한 축척 계수의 변화를 감지할 수 없다는 것을 의미한다. 정각도법 투영은 등방성 축척 계수를 가지므로 '''정형 투영법'''이라고도 한다. 예를 들어, 메르카토르 도법은 각도를 보존하도록 구성되었고 축척 계수가 위도만의 함수이므로 등방성이기 때문에 정각도법이다. 메르카토르는 작은 지역의 모양을 실제로 보존한다.

등방성 축척을 가진 정각도법 투영에서, 동일한 축척 값을 갖는 점들을 연결하여 '''등축척선'''을 형성할 수 있다. 이러한 선들은 최종 사용자용 지도에 표시되지 않지만 많은 표준 텍스트에 등장한다.^[1]

티소는 왜곡이 너무 크지 않는 한 원이 투영법에서 타원이 된다는 것을 증명했다. 일반적으로 타원의 치수, 모양 및 방향은 투영법에 따라 변경된다. 이러한 왜곡 타원을 지도 투영법에 중첩하면 점 척도가 지도에서 어떻게 변하는지 알 수 있다. 왜곡 타원은 티소 지시선으로 알려져 있다.

6. 수직 축척

산맥의 단면도나 입체 지도 모형(디오라마) 등을 제작하는 경우, 수평 방향의 축척에 비해 수직 방향의 축척을 크게 하여 높이를 강조하는 경우가 있다. 예를 들어 시즈오카현의 입체 지도 모형을 수평 축척 1/10만으로 만들면, 폭은 약 1.5m가 되지만, 수직 축척도 1/10만으로 하면 후지산조차 3.7cm 높이밖에 되지 않는다. 따라서, 수직 축척을 1/1만으로 하여, 후지산 모형의 높이를 37.7cm~37.8cm로 하는 등의 방법이 사용된다.

7. 참고 사항

지도 축척은 지도 사용 목적에 따라 다르게 선택해야 한다. 지도 투영법에 따라 축척 변화가 발생하므로, 지도 사용 시 주의해야 한다.^[1]^[2]^[4] 예를 들어 정거 방위도법의 경우, 중심으로부터의 동경 방향 축척은 일정하지만, 그것과 직교하는 방향의 축척은 중심에서 멀어질수록 커진다. 즉, 일정한 "축척"은 존재하지 않지만, 지도의 축척 지표를 표시해야 하므로, 소위 "호칭 치수"로서 축척을 표시한다.

정적도법의 경우에는 면적비의 제곱근을 축척으로 한다. 정각도법의 경우, 같은 점이라면 방향에 관계없이 축척이 일정하며, "호칭 치수"의 축척에 대한 비를 그 점에서의 '''축척 계수'''라고 부르기도 한다. 정거 방위도법에서의 동경 방향 거리 등, 지도의 목적이 명확한 경우에는 그 목적에 맞는 축척을 표시한다. 그러나 축척 자체가 큰 의미가 없는 경우도 많다.

참조

_[1] 서적 Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 https://pubs.er.usgs[...] United States Government Printing Office, Washington, D.C.
_[2] 서적 Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections
_[3] 서적 Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures Springer
_[4] 간행물 The Mercator Projections
_[5] 웹사이트 Examples of Tissot's indicatrix. http://www.progonos.[...]
_[6] 웹사이트 Further examples of Tissot's indicatrix http://commons.wikim[...]

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