산가지

3. 산가지 사용법

산가지는 막대 개수로 숫자를 나타내고, 수직으로 놓인 막대는 5를 나타낸다. 혼란을 피하기 위해 세로와 가로 형태를 번갈아 사용한다. 일반적으로 일의 자리, 백의 자리, 만의 자리 등에는 세로 막대 숫자를 사용하고, 십의 자리, 천의 자리, 십만의 자리 등에는 가로 막대 숫자를 사용한다. 『손자산경(孫子算經)』에는 "일은 세로, 십은 가로"라고 기록되어 있다.^[11]

빨간 막대는 양수를, 검은 막대는 음수를 나타낸다.^[12] 고대 중국에서는 음수와 영(빈 공간으로 표시)을 명확히 이해했지만, 영을 나타내는 기호는 없었다. 주로 1세기경에 편찬된 『구장산술(九章算術)』에는 "(뺄셈을 할 때) 같은 부호의 수는 빼고, 다른 부호의 수는 더하며, 영에서 양수를 빼면 음수가 되고, 영에서 음수를 빼면 양수가 된다"라고 명시되어 있다.^[13][14] 나중에는 바둑돌이 영을 나타내는 데 사용되기도 했다.

세로와 가로 산가지 형태의 번갈아 사용은 필사본에 기록된 산가지를 정확하게 이해하는 데 매우 중요하다. 예를 들어, 『리청산진(李程算經)』에서 81은

예:

3. 1. 수 표현

양수 표현

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
세로 방식
가로 방식

음수 표현

	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
세로 방식
가로 방식

예시:

3. 2. 음수와 0

3. 3. 자릿값

가현(賈憲)은 이와 같은 중국식 자릿수 순서를 자릿값 표시자로 사용하여 七一八百二十四를 자릿값 십진수로 만들고, 자릿값에 따라 산가지를 배열했다.

일본에서는 산가지를 격자무늬 천 조각인 계산판에 놓고 사용했으며, 격자에 의존하여 세로 형태만 사용했다.^[15] 18세기 일본 수학 책에는 "千百十一分厘毛"(천, 백, 십, 일, 십분의 일, 백분의 일, 천분의 일)와 같은 자릿수 기호가 있는 계산판 그림이 있다.^[15]

산가지는 홀수 자릿수(일, 백, 만 등)는 세로로, 짝수 자릿수(십, 천 등)는 가로로 표현하여 자릿수를 구분했다. 손자산경(孫子算經)에는 "일은 세로, 십은 가로, 백은 서고, 천은 넘어진다"라는 구절이 있다.^[26]

산가지는 붉은색(양수)과 검은색(음수) 두 가지 색으로 구분되었으며, 0은 산가지를 놓지 않고 비워두거나 바둑돌을 놓아 표시했다. 구장산술(九章算術)에는 0과 양수, 음수의 계산법이 설명되어 있다.^[27][28] 산가지를 사용하면 유리수의 사칙연산과 고차 방정식의 해를 구할 수 있었고,^[29] 유클리드 호제법을 이용한 분수의 약분도 가능했다.^[30]

3. 4. 분수

4. 산가지 계산

산가지를 이용한 수학적 계산 방법을 산가지(籌算)라고 한다. 산가지 계산은 파이(π) 값을 구하거나, 제곱근, 세제곱근, 또는 고차근을 구하고, 연립일차방정식을 푸는 등 광범위한 계산에 사용할 수 있다.^[17]

쓰여진 0이 도입되기 전에는 공백을 사용하여 단위가 없음을 나타냈고, 계산된 값을 기록할 때 다음 자릿수의 숫자를 90° 회전시켜 모호성을 줄였다.^[17] 예를 들어 107(𝍠 𝍧)과 17(𝍩𝍧)은 회전을 통해 구분할 수 있었지만, 여러 개의 0이 있는 경우에는 모호해질 수 있었다. 예를 들어 1007(𝍩 𝍧)과 10007(𝍠 𝍧) 등이다.^[17] 쓰여진 0이 사용되기 시작하면서 산가지 숫자는 독립적으로 사용되었고, 주판으로 대체된 후에도 실제로 산가지의 사용은 계속되었다.^[17] 수평형 산가지 숫자의 한 변형인 소주 수는 전 세계 일부 지역의 차이나타운에서 여전히 회계 및 한약 처방에 사용되고 있다.^[17]

4. 1. 사칙연산

4. 2. 제곱근과 세제곱근

4. 3. 연립방정식

5. 산가지 숫자

산가지(算木)는 산가지의 모양을 이용한 위치적 기수법이다. 양수는 그대로 쓰고 음수는 마지막 자릿수에 사선을 그어 표기한다. 가로 방향으로 쓰는 6~9의 세로 막대는 글자 높이를 맞추기 위해 짧게 그린다.

0은 원(〇)으로 표기한다. 많은 역사가들은 이것이 718년에 (Gautama Siddha)에 의해 인도 아라비아 숫자에서 유래되었다고 생각하지만, 중국 텍스트의 공백 채우기 기호인 "□"에서 유래되었다고 생각하는 사람들도 있고, 유교 철학의 "무(無)"를 상징하는 기호와 비슷하기 때문에 인도가 중국에서 가져왔다고 생각하는 사람들도 있다.^[16]

13세기, 남송의 수학자들은 획수를 줄이기 위해 4, 5, 9의 자릿수를 변경했다.^[16] 새로운 가로 형태는 결국 수주 숫자로 변형되었지만, 일본에서는 기존 형태를 계속 사용했다.

양수 (전통적)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
세로
가로

음수 (전통적)

	0	−1	−2	−3	−4	−5	−6	−7	−8	−9
세로
가로

양수 (남송)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
세로
가로

예시:

5. 1. 남송 시대의 산가지 숫자

예시:

6. 유니코드

유니코드 5.0에는 보조 다국어 평면(SMP)의 U+1D360부터 U+1D37F까지 자체 블록에 산가지가 포함되어 있다.^[18][19] 가로 숫자 1~9의 코드 포인트는 U+1D360부터 U+1D368이고, 세로 숫자 1~9의 코드 포인트는 U+1D369부터 U+1D371이다. 전자를 '단위 자릿수', 후자를 '십 자릿수'라고 하는데, 이는 일반적인 규칙과 반대이다.^[32] 유니코드 표준에서는 유니코드 문자의 방향이 송나라 관례를 따른다고 명시하고 있는데, 이는 숫자를 세로선으로, 십을 가로선으로 표현했던 한나라 관례와 다르다.^[20] 0은 U+3007(〇, 숫자 영), 음수 부호는 U+20E5(결합 역슬래시 오버레이)로 표현해야 한다.^[33][21] 최근에 문자 집합에 추가되었고 SMP에 포함되어 있으므로 글꼴 지원이 제한적일 수 있다.

7. 현대적 의의

참조

_[1] 논문 The Conceptual Origins of our Numeral System and the Symbolic Form of Algebra https://www.jstor.or[...] 1986
_[2] 웹사이트 中国独特的计算工具 http://mkd.lyge.cn/z[...] 2007-11-21
_[3] 웹사이트 Ancient China Math http://www.tutorvist[...] 2011-01-26
_[4] 논문 The Siling (four cardinal animals) in Han Pictorial Art - vol 1 https://eprints.soas[...] 2006-03
_[5] 웹사이트 BabelStone Blog : The Lost Game of Liubo Part 4 : Game Boards and Equipment https://www.babelsto[...] 2020-08-05
_[6] 서적 Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol 1
_[7] 서적 Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China https://books.google[...] World Scientific 2004
_[8] 문서 夫未戰而廟算勝者，得算多也
_[9] 문서 善數者不用籌策
_[10] 웹사이트 How were Western written calculations introduced into China? — An analysis of the Tongwen suanzhi (Arithmetic Guidance in the Common Language, 1613) https://www.research[...] 2020-08-05
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_[20] 서적 The Unicode Standard, Version 15.0 – Electronic edition https://www.unicode.[...] Unicode, Inc.
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_[25] 웹사이트 第1章 江戸時代初期 : 江戸の数学 https://www.ndl.go.j[...] 국립국회도서관
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_[27] 서적 「算木」を超えた男 東洋書店
_[28] 웹사이트 九章算術 http://zh.wikisource[...]
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_[30] 논문 『九章算術』に関する研究 : 方田章を中心として https://hdl.handle.n[...] 秋田大学教育文化学部 2000-03
_[31] 서적 中国数学史 科学出版社
_[32] 서적 The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition https://www.unicode.[...] Unicode, Inc.
_[33] 서적 The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition https://www.unicode.[...] Unicode, Inc.
_[34] 서적 正しい家紋帖 金園社