치올콥스키 로켓 방정식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 치올콥스키 로켓 방정식의 기원
- 2.2. 치올콥스키의 공헌
3. 유도 과정
4. 방정식의 구성 요소
5. 로켓 방정식의 활용 및 한계
- 5.1. 다단 로켓
- 5.2. 로켓 방정식의 한계
참조

1. 개요

치올콥스키 로켓 방정식은 로켓의 속도 변화를 계산하는 데 사용되는 중요한 방정식으로, 콘스탄틴 치올콥스키가 1903년에 독자적으로 유도하여 발표했다. 이 방정식은 로켓의 속도 변화(Δv), 유효 분사 속도, 초기 질량, 최종 질량 간의 관계를 나타낸다. 델타-v는 궤도 기동에 필요한 충격량의 척도로 사용되며, 질량비는 추진제 질량과 초기 질량의 비율을 나타낸다. 유효 분사 속도는 로켓 엔진의 성능을 나타내는 지표로, 비추력과 관련된다. 로켓 방정식은 로켓 비행의 핵심 원리를 간명하게 보여주지만, 공기역학적 힘이나 중력과 같은 다른 힘은 고려하지 않으며, 충격 기동을 가정한다. 다단 로켓의 경우 각 단에 로켓 방정식을 적용하여 속도 변화를 계산하며, 한국 우주 개발에도 적용될 수 있다.

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치올콥스키 로켓 방정식
개요
치올콥스키 로켓 방정식
종류	물리학, 항공우주공학
분야	로켓, 로켓 추진
명명 유래	콘스탄틴 치올콥스키
공식
공식	Δv = vₑ ln(m₀/m₁) = Isp * g₀ * ln(m₀/m₁)
변수 설명	Δv = 델타-v (로켓의 이론적인 최대 속도 변화량)
중요성
중요성	로켓 설계 및 성능 분석의 기본 방정식

2. 역사

치올콥스키 로켓 방정식은 러시아 과학자 콘스탄틴 치올콥스키의 이름을 따서 명명되었지만, 이 방정식은 치올콥스키가 처음으로 유도한 것은 아니었다.^[5]^[2]

이 방정식은 1810년 영국 수학자 윌리엄 무어에 의해 먼저 유도되었으며,^[3] 1813년에 별도의 책으로 출판되었다.^[4]

1912년 미국인 로버트 고다드와 1920년경 독일 엔지니어 헤르만 오버트도 이 방정식을 독자적으로 개발했다.

로켓 방정식의 유도 자체는 간단한 미적분학 문제이지만, 치올콥스키는 이 방정식을 로켓이 우주 비행에 필요한 속도를 얻을 수 있는지에 대한 질문에 처음으로 적용했다.

2. 1. 치올콥스키 로켓 방정식의 기원

치올콥스키 로켓 방정식은 1903년 러시아 과학자 콘스탄틴 치올콥스키가 자신의 저서에서 독자적으로 유도하여 발표하면서 그의 이름을 따 명명되었다.^[5]^[2]

이 방정식은 그보다 앞선 1810년 영국의 수학자 윌리엄 무어에 의해 처음 유도되었고,^[3] 1813년에 별도의 책으로 출판되었다.^[4]

1912년 미국의 로버트 고다드와 1920년경 독일의 엔지니어 헤르만 오베르트도 우주 비행 연구 과정에서 이 방정식을 독자적으로 개발했다.

로켓 방정식의 유도 자체는 간단한 미적분학 문제에 해당하지만, 치올콥스키는 로켓이 우주 비행에 필요한 속도를 얻을 수 있는지에 대한 질문에 이 방정식을 처음으로 적용했다는 점에서 중요한 업적으로 인정받고 있다.

2. 2. 치올콥스키의 공헌

콘스탄틴 치올콥스키는 이 방정식을 로켓이 우주 비행에 필요한 속도를 얻을 수 있는지에 대한 질문에 처음으로 적용한 것으로 인정받고 있다.^[5]^[2]

upright=2

로켓 추진의 원리를 이해하기 위해 콘스탄틴 치올콥스키는 유명한 "보트" 실험을 제안했다. 한 사람이 노 없이 해안에서 떨어진 보트 안에 있다. 그들은 이 해안에 도달하고 싶어한다. 그들은 보트에 일정량의 돌이 실려 있다는 것을 알아차리고, 돌을 반대 방향으로 빠르게, 반복적으로 던지면 된다는 생각을 한다. 실제로, 한 방향으로 던져진 돌의 운동량은 다른 방향으로의 보트의 운동량과 같다 (마찰/항력 무시).

3. 유도 과정

질량이 이고, 추진제의 분사 속도가 (위 그림에서는 )인 로켓을 생각한다. 미소 시간 동안 분사하는 추진제의 질량을 , 그 추진제의 분사에 의한 속도 증가를 라고 하면, 운동량 보존 법칙에 따라 다음 관계가 성립한다.^[2]

:

(m+\Delta m)v = m(v+\Delta v)+\Delta m(v-w)

이를 전개하여 정리하면 다음과 같다.

:

m\Delta v = w \Delta m

이 식을 미분 방정식으로 보고, 속도 증가의 합계(적분)를 구하기 위해 변형하면 다음과 같다.

:

\int \mathrm dv = -w\int\frac{1}{m}\mathrm dm

로켓의 초기 속도를 , 초기 질량을 , 시간 경과 후의 질량을 로 하여 위 식을 풀면,

:

v = w\ln\frac{m_0}{m_T}

이 되어, 시간 경과 후의 로켓 속도 를 도출할 수 있다. 여기서 를 '''질량비'''라고 부른다. 분사 속도와 질량비가 높을수록 최종 도달 속도도 높아진다. 즉, 도달 속도를 높이려면 분사 속도 또는 질량비를 높여야 한다.

비추력 (분사 속도를 중력 가속도로 나눈 값)를 도입하면, 중력 가속도 를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

v = I_\mathrm{sp} g \ln \frac{m_0}{m_T}

3. 1. 뉴턴 법칙과 운동량 보존 법칙

치올콥스키 방정식을 유도하는 과정은 질량이 변하는 계(variable-mass system)에 뉴턴 법칙을 적용하는 것과 비슷하다. 로켓 자체만 생각하는 대신 로켓과 방출된 연료(fuel)를 모두 포함하는 계를 고려하면 더 쉽게 결론에 도달할 수 있다. 이 계에는 중력 같은 외력이 전혀 작용하지 않는다는 전제가 필요하다. 따라서 뉴턴 제2법칙에 따라 계의 총 운동량은 변화하지 않는다. 즉, 초기 운동량과 최종 운동량을 같게 놓고 식을 풀면 치올콥스키 방정식을 얻을 수 있다.^[2]

뉴턴의 운동 제2법칙은 외부 힘(

\vec{F}_i

)을 전체 시스템(로켓 및 배기 포함)의 선형 운동량 변화와 관련시킨다.

\sum_i \vec{F}_i  = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{P}_{\Delta t} - \vec{P}_0}{\Delta t}

여기서

\vec{P}_0

는 시간

t = 0

에서의 로켓 운동량,

\vec{P}_{\Delta t}

는 시간

t = \Delta t

에서의 로켓 및 배기된 질량의 운동량이다.

관찰자에 따라 다음 변수들을 정의한다.

$\vec{V}$ : 시간 $t = 0$ 에서의 로켓 속도
$\vec{V} + \Delta \vec{V}$ : 시간 $t = \Delta t$ 에서의 로켓 속도
$\vec{V}_\text{e}$ : 시간 $\Delta t$ 동안 배기에 추가된 질량의 속도
$m$ : 시간 $t = 0$ 에서의 로켓 질량
$\left( m - \Delta m \right)$ : 시간 $t = \Delta t$ 에서의 로켓 질량

관찰자 프레임에서 배기 속도

\vec{V}_\text{e}

는 로켓 프레임에서 배기 속도

v_\text{e}

와 다음과 같이 관련된다.

\vec {v}_\text{e} = \vec{V}_\text{e} - \vec{V}

따라서

\vec{P}_{\Delta t} - \vec{P}_0 = m\Delta \vec{V} + \vec{v}_\text{e} \Delta m - \Delta m \Delta \vec{V}

만약

\vec{V}

와

\vec{v}_\text{e}

가 반대이고,

\vec{F}_\text{i}

가

\vec{V}

와 같은 방향을 가지며,

\Delta m \Delta \vec{V}

가 무시할 수 있고(

dm \, d\vec{v} \to 0

),

dm = -\Delta m

을 사용하면

\sum_i F_i = m \frac{dV}{dt} + v_\text{e} \frac{dm}{dt}

외부 힘이 없다면

\sum_i F_i = 0

(운동량 보존)이고,

-m\frac{dV}{dt} = v_\text{e}\frac{dm}{dt}

v_\text{e}

가 상수라고 가정하면(치올콥스키 가설^[2]), 위의 방정식을 적분하여 치올콥스키 로켓 방정식을 얻을 수 있다.

질량이

m

이고, 추진제의 분사 속도가

w

(위 그림에서는

V_e

)인 로켓을 생각한다. 미소 시간

\Delta t

동안 분사하는 추진제의 질량을

\Delta m

, 그 추진제의 분사에 의한 속도 증가를

\Delta v

라고 하면, 운동량 보존 법칙에 따라 다음 관계가 성립한다.

:

m\Delta v = w \Delta m

이것을 미분 방정식으로 보고, 속도 증가의 합계(적분)를 구하기 위해 식을 변형하면,

:

\int \mathrm dv = -w\int\frac{1}{m}\mathrm dm

이것을 로켓의 초기 속도를

0

, 초기 질량을

m_0

, 시간

T

경과 후의 질량을

m_T

로 하여 풀면,

:

v = w\ln\frac{m_0}{m_T}

가 되어, 시간

T

경과 후의 로켓의 속도

v

를 도출할 수 있다.

3. 2. 운동량 보존 법칙 적용

계의 초기 운동량은

m \vec{v}

이다.^[2]

계의 현재 운동량을 계산하기 위해 단계적으로 고려하면 다음과 같다.^[2]

1) 로켓의 질량은

dt

시간 동안

m + dm

이 된다 (질량이 감소하므로

dm < 0

). 같은 시간 동안 로켓의 속도는

\vec{v} + d\vec{v}

가 된다. 따라서 로켓의 현재 운동량은

(m + dm)(\vec{v} + d\vec{v})

이다.^[2]

2) 방금 방출된 연료의 질량은

-dm

이다 (

dm < 0

이므로). 연료의 속도를

\vec{v}_{fuel}

이라 하면, 연료의 현재 운동량은

-dm \vec{v}_{fuel}

이다.^[2]

3) 이 둘을 더하면

(m + dm)(\vec{v} + d\vec{v}) - dm \vec{v}_{fuel}

가 된다. 이것이 계의 현재 운동량이다.^[2]

위 정보를 종합하면, 계의 초기 운동량과 현재 운동량은 같으므로

m\vec{v} = (m + dm)(\vec{v} + d\vec{v}) - dm \vec{v}_{fuel}

이다.^[2]

질량이

m

이고, 추진제의 분사 속도가

w

(위 그림에서는

V_e

)인 로켓을 생각한다. 미소한 시간

\Delta t

동안 분사하는 추진제의 질량을

\Delta m

, 그 추진제의 분사에 의한 속도 증가를

\Delta v

라고 하면, 다음과 같이 운동량 보존 법칙이 성립한다.^[2]

:

(m+\Delta m)v = m(v+\Delta v)+\Delta m(v-w)

이것을 전개하여 정리하면, 다음 식과 같은 관계가 성립한다.^[2]

:

m\Delta v = w \Delta m

3. 3. 미분방정식 도출 및 풀이

로켓과 연료를 포함한 계의 운동 상태는 로켓의 질량과 가속도, 그리고 연료의 로켓에 대한 상대 속력으로 표현할 수 있다. 이 공식을 이용하여 미분방정식을 세우고 풀 수 있다.

:

ma = -u \frac{dm}{dt}

의 양변에

dt

를 곱하고 양변을

m

으로 나누면

a \ dt = -u \ \frac{dm}{m}

이 된다. (여기서

u

는 상수라고 가정한다.)

양변을 적분하면

\int_{t_i}^{t_f} a \ dt = \int_{m_i}^{m_f} -u \ \frac{dm}{m}

이 된다. 좌변은

\Delta v = v_f \ - \ v_i

가 되고, 우변은

-u \ \Big[\ln \ |m| \Big]_{m_i}^{m_f} = -u \ (\ln \ m_f \ - \ \ln \ m_i) = -u \ \ln \frac{m_f}{m_i}= u \ \ln \frac{m_i}{m_f}

가 된다.

최종 속력에 대해 정리하면

v_f = v_i + u \ln \frac{m_i}{m_f}

이라는 식이 나온다. 여기서

m_i

는 초기 질량,

m_f

는 최종 질량,

u

는 연료의 로켓에 대한 상대 속도,

v_i

는 초기 속도,

v_f

는 최종 속도이다.

이 방정식은 질량에 대한 힘(추력)의 형태인 가속도의 기본 적분으로부터 유도될 수도 있다.

3. 4. 상대론적 효과

특수 상대성 이론을 고려하면, 상대론적 로켓에 대해 다음과 같은 방정식이 유도된다.^[7] 여기서

\Delta v

는 로켓이 모든 반응 질량을 소모하고 최종적으로 정지 질량

m_1

이 되었을 때의 최종 속도를 나타내며, 로켓이 정지 상태에서 시작한 관성 좌표계(처음 연료를 포함한 정지 질량이

m_0

일 때)에서 측정된다.

c

는 진공에서의 광속을 나타낸다.

:

\frac{m_0}{m_1} = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_\text{e}}}

\frac{m_0}{m_1}

을

R

로 쓰면, 이 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{\Delta v}{c} = \frac{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} - 1}{R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} + 1}

항등식

R^{\frac{2v_\text{e}}{c}} = \exp \left[ \frac{2v_\text{e}}{c} \ln R \right]

(여기서 "exp"는 지수 함수를 나타낸다; 자연 로그와 로그 항등식의 "거듭제곱" 항등식 참고)와

\tanh x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}

( 쌍곡선 함수 참고)를 사용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\Delta v = c \tanh\left(\frac {v_\text{e}}{c} \ln \frac{m_0}{m_1} \right)

4. 방정식의 구성 요소

질량이 이고, 추진제 분사 속도가 (위 그림에서는 )인 로켓을 가정한다. 미소 시간 동안 분사되는 추진제 질량을 , 이로 인한 로켓의 속도 증가를 라고 하면, 운동량 보존 법칙에 따라 다음 식이 성립한다.

: $(m+\Delta m)v = m(v+\Delta v)+\Delta m(v-w)$

이를 전개하고 정리하면 다음과 같다.

: $m\Delta v = w \Delta m$

이 식을 미분 방정식으로 보고, 속도 증가의 합(적분)을 구하기 위해 변형하면 다음과 같다.

: $\int \mathrm dv = -w\int\frac{1}{m}\mathrm dm$

초기 속도를 , 초기 질량을 , 시간 경과 후 질량을 로 하여 적분하면,

: $v = w\ln\frac{m_0}{m_T}$

따라서 시간 경과 후 로켓의 속도 를 얻을 수 있다.

위 식에서 를 '''질량비'''라고 한다. 이 식에서 볼 수 있듯이, 분사 속도와 질량비가 높을수록 최종 도달 속도도 높아진다.

로켓 성능을 나타내는 비추력 를 도입하면, 중력 가속도 를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $v = I_\mathrm{sp} g \ln \frac{m_0}{m_T}$

4. 1. 델타-v (Δv)

델타-''v'' (Δ''v'')는 우주선 비행 역학에서 사용되는 용어로, 행성이나 달에서 발사, 착륙, 우주 공간에서의 궤도 기동 등 기동에 필요한 충격량의 척도이다. 속도의 변화를 나타내며, '델타-비'로 발음한다. 델타-v는 스칼라 값으로, 속도의 단위를 갖지만, 차량의 물리적 속도 변화와는 반드시 일치하지 않는다.

델타-''v''는 로켓 엔진과 같은 반작용 엔진에 의해 생성되며, 질량당 추력 및 연소 시간에 비례한다. 로켓 방정식을 통해 주어진 기동에 필요한 추진제의 질량을 결정하는 데 사용된다.

여러 기동의 경우, 델타-''v''는 선형적으로 합산된다. 예를 들어, 행성 간 임무의 경우 델타-''v''는 종종 발사 날짜에 따른 필요한 임무 델타-''v''를 표시하는 포크찹 플롯에 표시된다.

로켓 궤도 역학에서 델타-v는 궤도 이동의 난이도를 나타내는 양이다. 큰 델타-v를 얻기 위해서는 초기 질량(

m_i

)이 크거나, 최종 질량(

m_f

)이 작거나, 분사 속도(

v

)가 매우 높아야 한다. 또는 이 세 조건이 적절히 조합되어야 한다.

공학적으로는 거대한 로켓을 만들고 (초기 질량을 키움) 다단계 로켓을 만들어 (최종 질량을 줄임) 분사 속도를 높게 할 수 있다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예이다.

4. 2. 질량비 (m_i / m_f)

Mass ratio|질량비^영어는 로켓의 초기 질량(추진제 포함)과 최종 질량(추진제 제외)의 비율이다. 로켓 방정식에서 가 질량비이다. 식에서 알 수 있듯이, 분사 속도와 질량비가 높을수록 최종 도달 속도도 높아진다. 반대로, 도달 속도를 높이기 위해서는 분사 속도 또는 질량비를 높여야 한다.

항공우주 공학에서 추진제 질량비는 목적지에 도달하지 않는 차량 질량의 일부로, 일반적으로 차량의 성능을 측정하는 데 사용된다. 즉, 추진제 질량비는 추진제 질량과 차량의 초기 질량 간의 비율이다. 우주선의 경우 목적지는 일반적으로 궤도이고, 항공기의 경우 착륙 지점이다. 질량비가 높을수록 설계 시 무게가 덜 나간다. 또 다른 관련 측정값은 초기 중량에서 탑재체의 비율인 탑재 하중 비율이다.

LE-7A 엔진(액체 산소·액체 수소를 추진제로 사용하며, 비추력 440s)을 사용하는 60ton의 SSTO를 위성 궤도에 도달시키기 위해 제1 우주 속도 7.9km/s까지 가속하려는 경우, 추진제를 포함한 발사 시 총 질량은 375ton가 되며, 자중을 빼면 최소 315ton의 추진제가 필요하다는 것을 알 수 있다(이 자중에는 엄청난 양의 추진제를 넣어두는 연료 탱크와 엔진, 궤도로 운반하는 탑재하중 및 기타 구조물의 질량이 포함). 질량비는 6.25이다.

LE-7A 엔진(비추력 440s)을 사용한 로켓을 생각한다. 발사 시 질량 100ton, 탑재 하중을 포함한 구조 질량 20ton(질량비 5)의 1단 로켓의 속도 증가는 약 6.9km/s의 속도를 얻는다.

제1단, 제2단 모두 발사 시 질량 50ton, 탑재 하중을 포함한 구조 질량 10ton(각 단의 질량비 5는 위의 1단 로켓과 같다)로, 로켓 전체의 발사 시 질량이 100ton인 2단 로켓의 속도 증가는 약 9.1km/s로, 1단 로켓과 같은 질량비의 로켓이면서도 1단 로켓보다 훨씬 큰 속도를 얻는다. 이 장점 때문에, 2018년 현재 모든 위성 발사체는 다단 로켓이다.

4. 3. 유효 분사 속도 (v_e 또는 u)

유효 배기 속도는 종종 비추력으로 지정되며, 관계는 다음과 같다.^[1]

:

v_\text{e} = g_0 I_\text{sp},

여기서,

$I_\text{sp}$ 는 초(s) 단위의 비추력이고,
$v_\text{e}$ 는 m/s 단위로 측정된 비추력으로, m/s 단위로 측정된 유효 배기 속도와 같다 (또는 g가 ft/s²일 경우 ft/s).
$g_0$ 는 표준 중력으로, 9.80665m/s² (영국 단위계에서는 32.174ft/s²)이다.

5. 로켓 방정식의 활용 및 한계

로켓 방정식은 로켓 비행 물리학의 핵심 원리를 간결하게 보여주는 중요한 방정식이다. 이 방정식은 유효 배기 속도가 일정할 때 로켓과 유사한 반작용 추진체에 적용되며, 유효 배기 속도가 변할 때도 사용할 수 있다. 그러나 로켓 방정식은 로켓 엔진의 반작용력만 고려하고, 공기역학이나 중력과 같은 다른 힘은 고려하지 않는다.^[8] 따라서 대기가 있는 행성에서 발사하거나 착륙할 때는 이러한 힘의 영향을 추가로 고려해야 한다.

"로켓 방정식의 횡포"는 로켓이 운반할 수 있는 탑재량에 한계가 있음을 보여준다. 추진제 양이 많아질수록 전체 무게가 증가하고, 이는 연료 소비량 증가로 이어지기 때문이다.^[8]

로켓 방정식은 특정 궤도로 변경하는 데 필요한 추진제 양을 결정하거나, 특정 추진제 연소 결과로 새로운 궤도를 찾는 궤도 기동에 사용될 수 있다. 궤도 기동에 적용할 때는 충격 기동을 가정하는데, 이는 추진제가 짧은 시간 동안 방출되고 델타-V가 즉시 적용된다는 의미이다. 이 가정은 짧은 시간 동안의 연소에는 비교적 정확하지만, 연소 시간이 길어질수록 중력의 영향으로 인해 결과가 덜 정확해진다. 전기 추진과 같이 추력이 낮고 지속 시간이 긴 추진의 경우, 더 복잡한 분석을 통해 궤도 운동을 예측한다.

로켓 방정식은 비로켓 시스템에는 적용되지 않는다. 예를 들어 공기 제동, 총 발사, 우주 엘리베이터, 발사 루프, 테더 추진 또는 광자 돛과 같은 시스템에는 적용할 수 없다.
예시:배기 속도를 4500m/s로 가정하고, $\Delta v$ 를 9700m/s로 가정하면 (중력과 공기 역학적 항력을 극복하기 위한 $\Delta v$ 포함), 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

단일 단계 궤도 로켓: 초기 총 질량의 88.4%가 추진제여야 한다. 나머지 11.6%는 엔진, 탱크 및 탑재량에 사용된다.
2단계 궤도 로켓: 첫 번째 단계가 5000m/s의 $\Delta v$ 를 제공한다고 가정하면, 초기 총 질량의 67.1%가 첫 번째 단계의 추진제여야 한다. 첫 번째 단계를 분리하고 남은 질량 중 8%가 첫 번째 단계의 탱크와 엔진이라고 가정하면, 24.9%가 남는다. 두 번째 단계는 4700m/s의 $\Delta v$ 를 제공해야 하므로, 남은 질량의 64.8%가 추진제여야 하며, 이는 원래 총 질량의 16.2%이다. 나머지 8.7%는 두 번째 단계의 탱크와 엔진, 탑재량, 그리고 우주 왕복선의 경우 궤도선에 사용된다. 따라서 원래 발사 질량의 16.7%가 모든 엔진, 탱크 및 탑재량에 사용 가능하다.

LE-7A 엔진(액체 산소·액체 수소를 추진제로 사용하며, 비추력 )을 사용하는 의 SSTO를 위성 궤도에 도달시키기 위해 제1 우주 속도 까지 가속하는 경우, 추진제를 포함한 발사 시 총 질량은 가 되며, 자중을 빼면 최소 의 추진제가 필요하다.

5. 1. 다단 로켓

다단 로켓은 순차적으로 추력을 가하는 로켓 단 분리에 대해 각 단에 치올콥스키 로켓 방정식을 적용할 수 있다. 각 단의 초기 질량은 이전 단을 버린 후 로켓의 총 질량이고, 최종 질량은 해당 단을 버리기 직전 로켓의 총 질량이다. 각 단의 비추력은 다를 수 있다.

예를 들어, 로켓 질량의 80%가 1단 연료, 10%가 1단의 건조 질량, 10%가 나머지 로켓이라면,

:

\Delta v \ = v_\text{e} \ln { 100 \over 100 - 80 } = v_\text{e} \ln 5 = 1.61 v_\text{e}.

각 단에 대해 동일한

v_\text{e}

를 가진 세 개의 유사하고 더 작은 단을 사용하면,

:

\Delta v \ = 3 v_\text{e} \ln 5 \ = 4.83 v_\text{e}

가 되고, 탑재량은 초기 질량의 0.1%(10% × 10% × 10%)가 된다.

유사한 SSTO 로켓 역시 탑재량 0.1%, 연료 탱크와 엔진 질량 11.1%, 연료 질량 88.8%를 가질 수 있다. 이것은 다음을 제공한다.

:

\Delta v \ = v_\text{e} \ln(100/11.2) \ = 2.19 v_\text{e}.

이전 단이 버려지기 전에 새로운 단의 모터가 점화되고, 동시에 작동하는 모터가 다른 비추력을 가지는 경우(고체 로켓 부스터와 액체 연료 단의 경우처럼) 상황은 더 복잡해진다.

LE-7A 엔진(비추력 )을 사용한 로켓을 예로 들면, 발사 시 질량 , 탑재 하중을 포함한 구조 질량 (질량비 5)인 1단 로켓의 속도 증가는,

:

\Delta V = I_\mathrm{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T} = 6.94 ~ \mathrm{km~s^{-1}}

가 되어, 약 의 속도를 얻는다.

1단과 2단 모두 발사 시 질량 , 탑재 하중을 포함한 구조 질량 (각 단의 질량비는 1단 로켓과 동일한 5)이고, 로켓 전체 발사 시 질량이 인 2단 로켓을 생각하면, 치올콥스키 공식 유도와 같은 방법으로 2단 로켓의 속도 증가는,

:

\Delta V = I_\mathrm{sp1}\,g\,\ln\frac{m_{01}}{m_{T1}} + I_\mathrm{sp2}\,g\,\ln\frac{m_{02}}{m_{T2}} = 9.14 ~ \mathrm{km~s^{-1}}

가 되어, 약 로, 1단 로켓과 같은 질량비를 가짐에도 훨씬 큰 속도를 얻는다. 이러한 장점 때문에 2018년 현재 모든 위성 발사체는 다단 로켓이다.

5. 2. 로켓 방정식의 한계

로켓 방정식은 중력이나 공기 저항과 같은 외부 힘을 고려하지 않는다.^[8] 따라서 실제 로켓 발사에서는 이러한 힘들의 영향을 추가로 고려해야 한다. 예를 들어, 대기가 있는 행성에서 로켓을 발사하거나 착륙시킬 때 필요한 추진제의 양을 계산할 때는 이러한 힘들의 영향을 델타-V 요구량에 포함시켜야 한다.

"로켓 방정식의 횡포"란 추진제의 양이 증가할수록 로켓 전체의 무게도 증가하여 연료 소비량이 늘어나기 때문에, 로켓이 운반할 수 있는 탑재량에 한계가 있다는 것을 의미한다.^[8]

로켓 방정식을 궤도 기동에 적용할 때는 추진제가 짧은 시간 동안 방출되고 델타-V가 즉시 적용된다는 충격 기동 가정을 사용한다. 이 가정은 중간 궤도 수정이나 궤도 진입과 같이 짧은 시간 동안 연소하는 경우에는 비교적 정확하지만, 연소 시간이 길어질수록 중력의 영향으로 인해 정확도가 떨어진다. 전기 추진과 같이 추력이 낮고 지속 시간이 긴 경우에는 보다 복잡한 분석을 통해 궤도 운동을 예측한다.

참조

_[1] 서적 Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами http://epizodsspace.[...] 1903
_[2] 웹사이트 Reactive Flying Machines http://epizodsspace.[...]
_[3] 간행물 On the Motion of Rockets both in Nonresisting and Resisting Mediums https://www.biodiver[...] 1810
_[4] 서적 A Treatise on the Motion of Rockets: to which is added, an Essay on Naval Gunnery, in theory and practice, etc https://books.google[...] G. & S. Robinson 1813
_[5] 서적 Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами http://epizodsspace.[...] 1903
_[6] 간행물 A discrete, energetic approach to rocket propulsion 2019-11
_[7] 문서 A Transparent Derivation of the Relativistic Rocket Equation https://web.archive.[...]
_[8] 웹사이트 The Tyranny of the Rocket Equation http://www.nasa.gov/[...] 2016-04-18

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