코르테버흐-더프리스 방정식

3. 성질

코르테버흐-더프리스 방정식은 시간에 따라 변하지 않는 무한히 많은 운동 상수를 갖는다.^:733 이들은 다음과 같이 명시적으로 표현될 수 있다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; P\_\{2n-1\}(\backslash phi,\backslash ,\; \backslash partial\_x\; \backslash phi,\backslash ,\; \backslash partial\_x^2\; \backslash phi,\backslash ,\; \backslash ldots)\backslash ,\; \backslash text\{d\}x\backslash ,$

여기서 다항식 $P\_n$은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

:$$

\begin{align}

P_1&=\phi,

\\

P_n &= -\frac{dP_{n-1}}{dx} + \sum_{i=1}^{n-2}\, P_i\, P_{n-1-i}

\quad \text{ for } n \ge 2.

\end{align}



처음 몇 개의 운동 상수는 다음과 같다.

• 질량 $\backslash int\; \backslash phi\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x,$
• 운동량 $\backslash int\; \backslash phi^2\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x,$
• 에너지 $\backslash int\; \backslash left[\; 2\; \backslash phi^3\; -\; \backslash left(\; \backslash partial\_x\; \backslash phi\; \backslash right)^2\; \backslash right]\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x$.

3. 1. 대칭

3. 2. 럭스 쌍

3. 3. 운동 상수

4. 해

충분히 빠르게 감소하는 모든 매끄러운 해는 결국 오른쪽으로 이동하는 유한한 솔리톤 중첩과 왼쪽으로 이동하는 감소하는 분산 부분으로 분리될 수 있음이 밝혀졌다. 이는 자부스키와 크루스칼에 의해 처음 관찰되었으며, 진동하는 리만-힐베르트 문제에 대한 비선형 최급강하법 분석을 사용하여 엄밀하게 증명될 수 있다.

KdV 방정식의 해로, 다음이 존재한다.
솔리톤 해코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 솔리톤은 고립파(solitary wave)의 일종으로, 서로 상호작용하면서도 형태와 속도를 유지하는 특이한 성질을 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는 다음과 같다.

:$u(t,x)\; =\; u(x-ct)\backslash qquad(c\backslash in\backslash mathbb\; R)$

여기서 $c$는 솔리톤의 속도이다. 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

:$\backslash lim\_\{\backslash xi\backslash to+\backslash infty\}u(\backslash xi)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash xi\backslash to\; -\backslash infty\}u(\backslash xi)\; =\; 0$

이다.

이러한 가설 풀이를 통해 솔리톤 해는 다음과 같이 표현된다.

:$u(x,t)=-\backslash frac12c\backslash left(\backslash cosh\backslash left(\backslash frac12\backslash sqrt\; c(x-ct-x\_0)\backslash right)\backslash right)^\{-2\}$

여기서 $x\_0$는 초기 조건 $t=0$에서 솔리톤의 위치이다.

위 식은 속도 $c$로 오른쪽으로 이동하는 솔리톤을 설명한다.

1-솔리톤 해는 다음 형태로 주어진다.

:$u(x,t)=2\backslash kappa^2\backslash operatorname\{sech\}^\{2\}\backslash kappa(x-ct+\backslash delta)=2\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash log\{(1+e^\{2\backslash kappa(x-ct+\backslash delta)\})\}\backslash quad(c=4\backslash kappa^2)$

여기서, sech는 쌍곡선 시컨트 함수를 나타낸다. 이 해는 하나의 피크를 가진 고립파가 형태를 유지한 채 속도 $c$로 전파되는 상황에 대응한다. 또한 진폭은 속도 $c$에 비례하며, 파동의 높이(진폭)가 높을수록 빠르게 전파되는 성질을 갖는다.
N-솔리톤 해KdV 방정식은 여러 개의 솔리톤이 상호작용하는 N-솔리톤 해를 갖는다. N-솔리톤 해는 감소하는 양의 매개변수 집합 $\backslash chi\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash chi\_N\; >\; 0$과 0이 아닌 매개변수 집합 $\backslash beta\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash beta\_N$에 의존하며, 다음과 같은 형식으로 주어진다.

:$$\backslash phi(x,t)\; =\; -2\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; \backslash mathrm\{log\}[\backslash mathrm\{det\}\; A(x,t)]$$

여기서 행렬 $A(x,t)$의 성분은 다음과 같다.

:$A\_\{nm\}(x,t)\; =\; \backslash delta\_\{nm\}\; +\; \backslash frac\{\backslash beta\_n\; e^\{8\backslash chi\_n^3t\}e^\{-(\backslash chi\_n\; +\; \backslash chi\_m)x\}\}\{\backslash chi\_n\; +\; \backslash chi\_m\}.$

이 해는 역산란법을 사용하여 유도되었다.

개의 고립파를 나타내는 솔리톤 해는 다음과 같은 형태로 주어진다.

:$u(x,t)=2\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash log\{\backslash det\{A(x,t)\}\}$

여기서, ''A''(''x'', ''t'')}}는 차의 정방 행렬이며, 그 행 열 성분 는

:$A\_\{ij\}(x,t)=\backslash delta\_\{ij\}+\backslash frac\{1\}\{k\_i+k\_j\}e^\{-\backslash \{\backslash kappa\_i(x-c\_it+\backslash delta\_i)+\backslash kappa\_j(x-c\_jt+\backslash delta\_j)\backslash \}\}$

:$c\_i=4\backslash kappa\_i^\{\backslash ,2\}\backslash quad(i,j=1,2,\backslash cdots\; ,N)$

로 주어진다. 단, 는 크로네커 델타를 나타낸다.
주기해 (크노이달 파)KdV 방정식은 야코비 타원 함수 cn (크노이달 함수)로 표시되는 주기해를 갖는다. 이 주기해는 크노이달 파(cnoidal wave)라고 불린다. 크노이달 파 해는 다음과 같이 표현된다.

:$u(x,t)=u\_0+2\backslash kappa^2k^2\backslash operatorname\{cn\}^\{2\}\backslash kappa(x-ct+\backslash delta)$

여기서,

:$c=6u\_0-(1-2k^2)\backslash kappa^2$

이다.

4. 1. 솔리톤 해

4. 2. N-솔리톤 해

4. 3. 주기해 (크노이달 파)

5. 역사적 배경

코르테버흐-더프리스 방정식(KdV 방정식)은 1877년 조제프 부시네스크(Joseph Boussinesq)에 의해 처음 발견되었다.^[5][6] 1895년 디데릭 코르테버흐(Diederik Korteweg)와 귀스타브 더프리스(Gustav de Vries)는 얕은 물에서의 파동 현상을 설명하기 위해 이 방정식을 유도하고 연구하였다.^[7][8]

KdV 방정식의 역사는 1834년 존 스콧 러셀이 에든버러 근처의 운하에서 고립파를 관찰하면서 시작되었다.^[2] 그는 바지선이 운하를 따라 이동하다 멈췄을 때 발생한 고립파를 목격하고, 이를 "이동파(Wave of Translation)"라고 명명했다. 그는 실험용 수조를 통해 고립파의 특징을 연구하여 다음과 같은 결과를 얻었다.^[2]

• 천해파의 전파에서 고립파(영구형 장파)가 존재한다.
• 일정 수심의 수로에서 고립파의 속도는 }}로 주어진다. (: 중력 가속도, : 정지 상태 수면에서 측정한 파도 높이, : 정지 유체 깊이)

6. 응용

KdV 방정식은 페르미-파스타-울람-칭구 문제의 연속체 극한에서 끈을 지배하는 방정식일 뿐만 아니라 다음과 같은 많은 물리적 환경에서 장파, 일차원 파동의 진화를 근사적으로 설명한다.

• 약한 비선형 복원력을 가진 얕은 물결
• 밀도 성층화된 해양의 긴 내부파
• 플라스마의 이온 음파
• 음향 파동은 결정 격자에 존재한다.

6. 1. 한국 해양학에서의 응용 (추가)

7. 변형

코르테베흐-더프리스 방정식(KdV)은 다양한 변형된 형태가 존재하며, 각각 다른 물리적 상황을 모델링하는 데 사용된다. 여러 변형 방정식이 연구되어 왔으며, 그 중 일부는 다음과 같다.

이 외에도 KdV (원통형), KdV (변형된), KdV (일반화), KdV (수정된 수정), KdV (전이), KdV (변수 계수), 비 균질 KdV 등의 다양한 변형이 존재한다.

참조

_[1] 문서 法則の事典 "#Reference-Kotobank[...]
_[2] 문서 Weisstein "#Reference-Mathworl[...]
_[3] 서적 Solitons Cambridge University Press
_[4] 서적 KdV & KAM Springer-Verlag 2003
_[5] 저널 Essai sur la théorie des eaux courantes http://gallica.bnf.f[...]
_[6] 저널 On the origin of the Korteweg–de Vries equation
_[7] 저널 On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves
_[8] 저널 The Korteweg–De Vries equation: A historical essay https://archive.org/[...]