쉴로브 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 정리
4. 쉴로브 부분군의 성질
5. 무한군에 대한 쉴로브 정리
6. 예시
- 6.1. 이면체군
- 6.2. 일반선형군
7. 응용
8. 역사
참조

1. 개요

쉴로브 정리는 유한군의 부분군에 대한 정리로, 소수 p에 대한 쉴로 p-부분군의 존재와 성질을 설명한다. 쉴로 p-부분군은 위수가 p의 거듭제곱인 극대 부분군을 의미하며, 쉴로 정리는 세 가지 정리를 포함한다. 첫 번째 정리는 주어진 소수 p와 유한군 G의 위수에 따라 p-부분군이 존재함을, 두 번째 정리는 쉴로 p-부분군들이 서로 켤레 관계에 있음을, 세 번째 정리는 쉴로 p-부분군의 개수에 대한 정보를 제공한다. 쉴로 정리는 군론에서 중요한 도구로, 유한군의 구조를 분석하고, 단순군이 아님을 증명하는 데 활용된다.

2. 정의

소수 $p$ 가 주어졌을 때, ''p''-군은 모든 원소의 위수가 $p$ 의 거듭제곱인 군이다. '''쉴로브 ''p''-부분군'''(Sylow ''p''-subgroup^영어)은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 군 $G$ 의 ''p''-부분군 $H$ 가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 ''p''-부분군이라고 한다.

임의의 ''p''-부분군 $K\subseteq G$ 에 대하여, 만약 $H\subseteq K$ 라면, $K=G$ 또는 $K=H$ 이다.

쉴로브 ''p''-부분군의 집합을

\operatorname{Syl}(p;G)

로 표기한다.^[4]

유한군

G

와 소수

p

가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수

n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}

와 양의 정수

m\in\mathbb Z^+

에 대하여

:

|G|=p^nm

이며

p

와

m

이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의

k\in\{0,\dots,n\}

에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다. 이 정리들은 루드비히 쉴로가 1872년에 제안 및 증명하였다.^[4]

제1 쉴로브 정리에 따르면, 크기가

p^k

인

G

의 부분군이 존재한다.

제2 쉴로브 정리에 따르면, 임의의 쉴로브 ''p''-부분군

H\subseteq G

및 ''p''-부분군

K\subseteq G

에 대하여,

K\subseteq gHg^{-1}

인

g\in G

가 존재한다. 특히,

G

의 모든 쉴로브 ''p''-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 크기는

p^n

이다.

제3 쉴로브 정리에 따르면, 크기가

p^k

인

G

의 부분군의 총수가

n(p^k;G)

이며 (특히

n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|

),

H

가

G

의 임의의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 할때, 다음이 모두 성립한다.

* $n(p^k;G)\equiv 1\pmod p$
* $n(p^n;G)\mid m$
* $n(p^n;G)=|G:\operatorname N_G(H)|$ . (여기서 $\operatorname N_G(-)$ 는 정규화 부분군이다.)

제1 쉴로브 정리의 약한 버전은 오귀스탱 루이 코시가 1845년에 증명한 코시의 정리가 있으며, 이에 따르면 유한군

G

와

G

의 위수를 나누는 소수

p

가 주어지면,

G

에는 위수

p

의 원소(따라서 위수

p

의 부분군)가 존재한다.^[5]

3. 정리

오귀스탱 루이 코시에 의해 처음 증명되었으며, 코시 정리로 알려져 있는 내용은 다음과 같다.

:유한군 ''G''와 ''G''의 차수를 나누는 소수 ''p''가 주어지면, ''G''에는 차수가 ''p''인 원소(따라서 이 원소에 의해 생성된 순환 부분군)가 존재한다.

1872년 루드비히 쉴로에 의해 처음 제안되고 증명되었으며, ''수학 연보''에 게재되었다.

의 차수의 소인수 에 대해, 중복도가 인 경우, 차수가 '' $p^n$ ''인 실로 -부분군이 존재한다.}}

정리 1의 다음 약한 버전은 오귀스탱 루이 코시에 의해 처음 증명되었으며, 코시 정리로 알려져 있다.

와 의 차수를 나누는 소수 가 주어지면, ''''에는 차수가 인 원소(따라서 이 원소에 의해 생성된 순환 부분군)가 존재한다.}}

와 소수 가 주어지면, 의 모든 실로 -부분군은 서로 켤레이다. 즉, 와 가 의 실로 -부분군이면, $g \in G$ 이고 $g^{-1}Hg = K$ 인 원소가 존재한다.}}

의 차수에 대해 중복도가 인 소인수 가 주어지면, 의 차수는 $p^nm$ 으로 쓸 수 있으며, 여기서 $n > 0$ 이고 는 을 나누지 않는다. $n_p$ 를 의 실로 -부분군의 수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$n_p$ 는 을 나누며, 이는 에서 실로 -부분군의 지수이다.
$n_p \equiv 1 \pmod{p}$
$n_p = |G:N_G(P)|$ 이며, 여기서 는 의 임의의 실로 -부분군이고 $N_G$ 는 정규화군을 나타낸다.

}}

쉴로브 정리에 따르면 소수 *p*에 대해 모든 쉴로 *p*-부분군은 같은 위수 *p*ⁿ을 갖는다. 반대로 부분군의 위수가 *p*ⁿ이면, 이는 쉴로 *p*-부분군이며, 따라서 다른 모든 쉴로 *p*-부분군과 동형이다. 극대성의 조건에 의해, *H*가 *G*의 임의의 *p*-부분군이면, *H*는 위수 *p*ⁿ의 쉴로 *p*-부분군의 부분군이다.

정리 3에 따른 매우 중요한 결과로, *n*_*p* = 1이라는 조건은 " *G*의 쉴로 *p*-부분군은 정규 부분군이다"라는 조건과 동치라는 것이다. (4차 대칭군 *S*₄와 같이 정규 부분군은 갖지만 정규 쉴로 부분군을 갖지 않는 군도 존재한다.)

3. 1. 제1 쉴로브 정리

오귀스탱 루이 코시에 의해 처음 증명되었으며, 코시 정리로 알려져 있는 내용은 다음과 같다.

:유한군 ''G''와 ''G''의 차수를 나누는 소수 ''p''가 주어지면, ''G''에는 차수가 ''p''인 원소(따라서 이 원소에 의해 생성된 순환 부분군)가 존재한다.

3. 1. 1. 따름정리 (코시 정리)

유한군 $G$와 $G$의 차수를 나누는 소수 $p$가 주어지면, $G$에는 차수가 $p$인 원소(따라서 이 원소에 의해 생성된 순환 부분군)가 존재한다.

3. 2. 제2 쉴로브 정리

임의의 쉴로 ''p''-부분군

H\subseteq G

및 ''p''-부분군

K\subseteq G

에 대하여,

K\subseteq gHg^{-1}

인

g\in G

가 존재한다. 특히,

G

의 모든 쉴로 ''p''-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로 ''p''-부분군의 크기는

p^n

이다.

크기가

|H|=p^n

인 쉴로 ''p''-부분군

H\subseteq G

를 취하고, 임의의 ''p''-부분군

K\subseteq G

에 대하여,

K\subseteq gHg^{-1}

인

g\in G

가 존재함을 증명하면 된다. 왼쪽 잉여류 집합

G/H

위에서

K

는 다음과 같이 작용한다.

:

K\times G/H\to G/H

:

(k,gH)\mapsto kgH\qquad(k\in K,\;g\in G)

G/H

의 크기는

p

와 서로소이므로, 궤도의 크기가

p

와 서로소인 원소

gH\in G/H

가 존재하며, 이에 대한 안정자군은

K

전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

:

K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_Hg^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}

다른 증명 방법으로는, 이중 잉여류들의 집합

K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}

는

G

의 분할을 이루므로 다음이 성립한다.

:

|G|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac

즉,

:

\frac

=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac

이다.

\frac

는

p

와 서로소이므로,

\frac

가

p

와 서로소가 되는

g\in G

가 존재한다. 즉, 이

g

에 대하여

:

\frac

=1

이다. 따라서,

:

K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}

이 성립한다.

3. 3. 제3 쉴로브 정리

G

의 크기가

p^k

인 부분군의 총수를

n(p^k;G)

로 표기하며, 특히

n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|

이다.

H

를

G

의 임의의 쉴로 ''p''-부분군이라고 하면, 다음이 성립한다.

$n_p$ 는 $m$ 을 나누며, 이는 $G$ 에서 쉴로 ''p''-부분군의 지수이다.
$n_p \equiv 1 \pmod{p}$
$n_p = |G:N_G(P)|$ 이며, 여기서 $P$ 는 $G$ 의 임의의 쉴로 ''p''-부분군이고 $N_G$ 는 정규화군을 나타낸다.

헬무트 빌란트(Helmut Wielandt^de)의 증명은 다음과 같다. 편의상

n>0

이라고 가정하고, 집합

\mathcal S=\{S\subseteq G\colon|S|=p^n\}

를 정의한다.

G

는

\mathcal S

에 왼쪽 곱셈을 통해 작용하며, 이 작용의 궤도들의 대표원을

\{S_1,\dots,S_k\}\subset\mathcal S

라고 하면, 류의 방정식은 다음과 같다.

:

|\mathcal S|=\sum_{i=1}^k\frac

|\mathcal S|=\binom{p^nm}{p^n}=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}

은

p

와 서로소이므로, 궤도의 크기

\frac

가

p

와 서로소인

i\in\{1,\dots,k\}

가 존재한다.

S_i

의 안정자군을

H=G_{S_i}

라고 하면,

H

는

G

의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여

|H|

는

p^n

을 약수로 갖는다. 또한,

H

에서

S

로 가는 단사 함수가 존재하므로

|H|=p^n

이다.

임의의 쉴로브 ''p''-부분군

H\subseteq G

에 대해,

|H|=p^n

임을 보이는 것으로 충분하다.

H

의 정규화 부분군

\operatorname N_G(H)

를 생각하면,

H

는

\operatorname N_G(H)

의 정규 부분군이므로, 몫군

\operatorname N_G(H)/H

를 취할 수 있다. 귀류법을 사용하여

p

가

\frac

의 소인수라고 가정하면, 코시 정리에 의해 모순이 발생한다.

p

가

\frac

의 소인수가 아님을 증명하기 위해, 왼쪽 잉여류의 집합

G/\operatorname N_G(H)

위에서

H

의 작용을 고려한다. 이 작용에 대한 류의 방정식을 통해

\operatorname N_G(H)

가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보일 수 있다.

이 두 가지 사실로부터

|H|=p^n

을 얻는다.

쉴로 ''p''-부분군의 집합

\operatorname{Syl}(p;G)

위의 켤레 작용을 생각하면, 제2 쉴로브 정리에 의해 이는 추이적 작용이며, 임의의

H\in\operatorname{Syl}(p;G)

에 대하여 그 안정자군은 정규화 부분군

\operatorname N_G(H)

이다. 따라서

n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|=\frac

이며, 이는

\frac

=m의 약수이다.

H\in\operatorname{Syl}(p;G)

에 제한된 켤레 작용을 생각하면, 류의 방정식에 의해 합동식

n(p^n;G)\equiv|\{K\in\operatorname{Syl}(p;G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|\pmod p

가 성립한다.

H

가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면, 합동식

n(p^n;G)\equiv 1\pmod p

가 성립한다.

집합

\mathcal T=\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\}

를 생각하면,

\mathcal T

는 정확히

\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p;G),\;g\in G\}

와 같으며,

|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}\frac

=n(p^n;G)m이다.

\mathcal S\setminus\mathcal T

의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이며,

|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac

\equiv 0\pmod{pm}가 성립한다. 또한,

|\mathcal S| \equiv m\pmod{pm}

가 성립한다. 이들로부터

n(p^n;G)m\equiv m\pmod{pm}

을 얻으며,

n(p^n;G)\equiv 1\pmod p

가 성립한다.

정리 3에 따른 결과로, *n*_*p* = 1이라는 조건은 " *G*의 쉴로 *p*-부분군은 정규 부분군이다"라는 조건과 동치이다.

4. 쉴로브 부분군의 성질

유한군 $G$ 와 소수 $p$ 가 주어졌다고 하자. 쉴로브 정리는 소수 $p$ 에 대해 모든 쉴로 $p$ -부분군은 같은 차수 $p^n$ 를 갖는다는 것을 의미한다. 반대로, 부분군의 차수가 $p^n$ 이면, 그 부분군은 쉴로 $p$ -부분군이며, 따라서 다른 모든 쉴로 $p$ -부분군과 켤레 관계에 있다. 최대성 조건에 의해, $H$ 가 $G$ 의 임의의 $p$ -부분군이면, $H$ 는 차수가 $p^n$ 인 $p$ -부분군의 부분군이다.

정리 2의 중요한 결과는 $n_p = 1$ 조건이 $G$ 의 쉴로 $p$ -부분군이 정규 부분군이라는 조건과 동치라는 것이다(정리 3은 종종 $n_p = 1$ 임을 보여줄 수 있다). 그러나 $S_4$ 와 같이 진정한 비자명 정규 부분군은 있지만 정규 쉴로 부분군은 없는 군도 있다. 소수 거듭제곱 차수를 갖는 군은 진정한 쉴로 $p$ -부분군을 갖지 않는다.

세 번째 정리의 세 번째 항목은 $n_p$ 가 $|G|$ 를 나눈다는 즉각적인 결과를 갖는다.

4. 1. 연산에 대한 닫힘

H

가

G

의 쉴로브 ''p''-부분군이며,

N

이

G

의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

$H\cap N$ 은 $N$ 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
$HN/N$ 은 $G/N$ 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.

K

가

N

의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하면,

K\subseteq gHg^{-1}

인

g\in G

가 존재한다. 따라서

K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}

이며,

|H\cap N|\ge|K|

이다.

H\cap N

은

N

의 ''p''-부분군이므로,

|H\cap N|=|K|

이며,

H\cap N

은

N

의 쉴로브 ''p''-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

|HN/N|=\frac

으로부터 유도된다.

4. 2. 충분 조건

만약

H

가

G

의 ''p''-부분군이며,

H=\operatorname N_G(H)

라면,

H

는

G

의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 쉴로브 정리는 소수

p

에 대해 모든 쉴로

p

-부분군은 같은 차수

p^n

를 갖는다는 것을 의미한다. 반대로, 부분군의 차수가

p^n

이면, 그 부분군은 쉴로

p

-부분군이며, 따라서 다른 모든 쉴로

p

-부분군과 켤레 관계에 있다.

4. 3. 교집합

만약

\operatorname O(p;G)

가

G

의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면,

\operatorname O(p;G)

는

G

의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다.^[6]

\operatorname O(p;G)

는

H

의 정규핵과 같으므로,

G

의 정규 부분군이다. 또한,

\operatorname O(p;G)

는

G

의 모든 정규 ''p''-부분군을 포함하며, 자기 동형 사상에 대하여 불변하는 성질을 가지므로, 특성 부분군이 된다.

만약

H

가

G

의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면,

n(p^n;G)=1

이며,^[6]

H=\operatorname O(p;G)

는

G

의 유일한 쉴로브 ''p''-부분군이다.^[6]

4. 4. 프라티니 논증

만약 ''N''이 ''G''의 정규 부분군이며, ''H''가 ''N''의 쉴로브 ''p''-부분군이라면, ''G'' = ''N''operatorname ''N''_''G''(''H'')이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 ''H''가 ''G''의 쉴로브 ''p''-부분군, ''K''가 ''G''의 부분군이며, operatorname ''N''_''G''(''H'')⊆ ''K''라면, operatorname ''N''_''G''(''K'') = ''K''이다. 특히, operatorname ''N''_''G''(operatorname ''N''_''G''(''H'')) = operatorname ''N''_''G''(''H'')가 성립한다.

5. 무한군에 대한 쉴로브 정리

무한군에 대한 쉴로브 정리와 유사한 정리가 있다. 무한군에서 쉴로브 ''p''-부분군은 그룹 내의 모든 ''p''-부분군 중에서 포함 관계에 대해 극대인 ''p''-부분군(즉, 모든 원소가 ''p''-거듭제곱의 차수를 가짐)으로 정의된다. Cl(''K'')를 부분군 ''K'' ⊂ ''G''의 켤레 집합으로 나타낸다.

만약 ''K''가 ''G''의 쉴로브 ''p''-부분군이고, ''n_p'' = |Cl(''K'')|가 유한하다면, 모든 쉴로브 ''p''-부분군은 ''K''와 켤레이며, ''n_p'' ≡ 1 (mod ''p'')이다. 초른의 보조정리에 의해, 그러한 부분군은 반드시 존재한다.

6. 예시

''n''-각형의 이산면체군 ''D''_2''n''은 쉴로 부분군과 쉴로 정리의 간단한 예시를 제공한다. ''n''이 홀수일 경우, 2 = 2¹은 차수를 나누는 2의 가장 높은 거듭제곱이므로, 차수가 2인 부분군은 쉴로 부분군이다. 이들은 반사에 의해 생성된 군이며, 반사의 수는 ''n''개이고, 회전에 따라 모두 켤레이며; 기하학적으로 대칭축은 정점과 변을 통과한다.

''D''₆에서 모든 반사는 켤레이며, 반사는 쉴로 2-부분군에 해당한다.

반대로, ''n''이 짝수일 경우, 4가 군의 차수를 나누며, 차수가 2인 부분군은 더 이상 쉴로 부분군이 아니며, 실제로 두 개의 켤레류로 나뉜다. 기하학적으로 두 정점을 통과하는지 또는 두 면을 통과하는지에 따라 구분된다.

''D''₁₂에서 반사는 더 이상 쉴로 2-부분군에 해당하지 않으며, 두 개의 켤레류로 나뉜다.

''GL''₂(''F''_''q'')의 쉴로 p-부분군은 ''p''와 ''q''가 3 이상인 소수이고 ''p'' ≡ 1 (mod ''q'')일 때, 모두 아벨 군이다. ''GL''₂(''F''_''q'')의 차수는 (''q''² − 1)(''q''² − ''q'') = (''q'')(''q'' + 1)(''q'' − 1)²이다. ''q'' = ''p''^''n''''m'' + 1이므로 ''GL''₂(''F''_''q'') = ''p''^2''n'' ''m''′이다. 따라서 쉴로 ''p''-부분군의 차수는 ''p''^2''n''이다.

이러한 부분군 ''P'' 중 하나는 대각 행렬의 집합

\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}

이다. 여기서 ''x''는 ''F''_''q''의 원시 근이다. ''F''_''q''의 차수가 ''q'' − 1이므로, 그 원시 근은 차수가 ''q'' − 1이며, 이는 ''x''^{(''q'' − 1)/''p''^''n''} 또는 ''x''^''m'' 및 모든 거듭제곱이 ''p''의 거듭제곱인 차수를 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 ''P''는 모든 원소가 ''p''의 거듭제곱 차수를 갖는 부분군이다. ''a''와 ''b'' 모두에 대해 ''pⁿ''개의 선택이 있으며, ''P'' 의 차수가 ''p''^2''n''이 된다. 이는 ''P''가 쉴로 ''p''-부분군임을 의미하며, 모든 대각 행렬이 교환되기 때문에 아벨 군이고, 쉴로 정리에 의해 모든 쉴로 ''p''-부분군이 서로 켤레라고 명시되어 있으므로, ''GL''₂(''F''_''q'')의 쉴로 ''p''-부분군은 모두 아벨 군이다.

6. 1. 이면체군

''n''-각형의 이산면체군 ''D''_2''n''은 쉴로 부분군과 쉴로 정리의 간단한 예시를 제공한다. ''n''이 홀수일 경우, 2 = 2¹은 차수를 나누는 2의 가장 높은 거듭제곱이므로, 차수가 2인 부분군은 쉴로 부분군이다. 이들은 반사에 의해 생성된 군이며, 반사의 수는 ''n''개이고, 회전에 따라 모두 켤레이며; 기하학적으로 대칭축은 정점과 변을 통과한다.

반대로, ''n''이 짝수일 경우, 4가 군의 차수를 나누며, 차수가 2인 부분군은 더 이상 쉴로 부분군이 아니며, 실제로 두 개의 켤레류로 나뉜다. 기하학적으로 두 정점을 통과하는지 또는 두 면을 통과하는지에 따라 구분된다.

6. 2. 일반선형군

''GL''₂(''F''_''q'')의 쉴로 p-부분군은 ''p''와 ''q''가 3 이상인 소수이고 ''p'' ≡ 1 (mod ''q'')일 때, 모두 아벨 군이다. ''GL''₂(''F''_''q'')의 차수는 (''q''² − 1)(''q''² − ''q'') = (''q'')(''q'' + 1)(''q'' − 1)²이다. ''q'' = ''p''^''n''''m'' + 1이므로 ''GL''₂(''F''_''q'') = ''p''^2''n'' ''m''′이다. 따라서 쉴로 ''p''-부분군의 차수는 ''p''^2''n''이다.

이러한 부분군 ''P'' 중 하나는 대각 행렬의 집합

\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}

이다. 여기서 ''x''는 ''F''_''q''의 원시 근이다. ''F''_''q''의 차수가 ''q'' − 1이므로, 그 원시 근은 차수가 ''q'' − 1이며, 이는 ''x''^{(''q'' − 1)/''p''^''n''} 또는 ''x''^''m'' 및 모든 거듭제곱이 ''p''의 거듭제곱인 차수를 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 ''P''는 모든 원소가 ''p''의 거듭제곱 차수를 갖는 부분군이다. ''a''와 ''b'' 모두에 대해 ''pⁿ''개의 선택이 있으며, 이로 인해 ''P'' = ''p''^2''n''이 된다. 이는 ''P''가 쉴로 ''p''-부분군임을 의미하며, 모든 대각 행렬이 교환되기 때문에 아벨 군이고, 쉴로 정리에 의해 모든 쉴로 ''p''-부분군이 서로 켤레라고 명시되어 있으므로, ''GL''₂(''F''_''q'')의 쉴로 ''p''-부분군은 모두 아벨 군이다.

= 로 구성된 유한체

\mathbb{F}_q

위의 일반 선형군을 = GL(, )라고 할때, 위수 || = ^{( − 1)/2}인 실로 -부분군 가 존재한다. 예를 들어 = 3일 때,

:

U = \left \{ \begin{pmatrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mathrel{}\Bigg|\mathrel{} x, y, z \in \mathbb{F}_q \right \}

는 GL(3, )의 실로 -부분군이며, 위수가 ³이다. 일반적인 에 대해서도 마찬가지로, 주대각 성분이 1인 상삼각 행렬로 구성된 군은 GL(, )의 실로 -부분군이다.

7. 응용

실로우의 정리는 다양한 응용 사례를 갖는다. $p$ 와 $q$ 가 소수이며, $p 라고 할 때, p\nmid q-1 일 경우 크기가 pq 인 군은 순환군 과 동형이고, p\mid q-1 일 경우 크기가 pq 이며 아벨 군 이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다. 크기가 p^mq^n (m,n\in\{1,2\})인 군은 단순군 이 아닌데, 이는 번사이드 정리 의 특수한 경우다.$

쉴로브 정리는 유한군의 p-부분군의 존재를 보장하여 소수 거듭제곱 차수의 군을 자세히 연구할 수 있게 한다. 대부분의 예시는 쉴로브 정리를 사용하여 특정 차수의 군이 단순군이 아님을 증명한다. 작은 차수의 군의 경우, 쉴로브 정리의 합동 조건은 정규 부분군의 존재를 강제하기에 충분하다. 예를 들어 차수가 30인 군, 차수가 20인 군, 차수가 $p^2q$ 인 군 (p와 q는 서로 다른 소수) 등이 있다.

어떤 소수가 아닌 수 $n$ 은 차수가 $n$ 인 모든 군이 순환군이 되도록 하는 성질을 갖는데, 쉴로브 정리를 통해 $n$ = 15가 그러한 수임을 보일 수 있다. 차수가 15 = 3 · 5인 군 $G$ 에서 쉴로브 3-부분군의 개수 $n_3$ 은 5를 나누고 $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ 이므로 1이다. 따라서 차수가 3인 정규 부분군이 유일하게 존재한다. 마찬가지로 $n_5$ 는 3을 나누고 $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ 이므로 차수가 5인 정규 부분군도 유일하게 존재한다. 3과 5는 상호 소수이므로 두 부분군의 교집합은 자명하고, $G$ 는 차수가 3과 5인 군의 내부 직접곱이 되어 차수가 15인 순환군이다.

번사이드 정리에 따르면, 그룹의 차수가 하나 또는 두 개의 소수 거듭제곱의 곱이면 가해군이며, 따라서 그룹은 단순하지 않거나, 소수 차수를 가지며 사이클릭군이다.

윌슨의 정리의 일부인 $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ (모든 소수 $p$ 에 대해)는 실로우의 제3정리에 의해 쉽게 증명할 수 있다.

프라티니 논증은 정규 부분군의 쉴로 부분군이 유한군의 인수를 제공함을 보여준다. '''번사이드 융합 정리'''는 유한군 $G$ 가 쉴로 $p$ -부분군 $P$ 를 가지고, $P$ 에 의해 정규화된 두 부분집합 $A$ 와 $B$ 가 있을 때, $A$ 와 $B$ 가 $G$ -켤레인 것은 $N_G(P)$ -켤레인 것과 필요충분조건이라고 말한다.

쉴로 정리의 덜 자명한 응용으로는 초점 부분군 정리가 있다.

8. 역사

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 쉴로브 정리를 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

참조

_[1] 논문 Théorèmes sur les groupes de substitutions http://resolver.sub.[...] 1872
_[2] 웹사이트 Classification of groups of order 60 http://www.math.toro[...] 2021-05-08
_[3] 서적 A First Course In Abstract Algebra Pearson Education 2004
_[4] 문서 1872
_[5] 문서 Fraleigh, Victor J. Katz. A First Course In Abstract Algebra. p. 322. ISBN 9788178089973
_[6] 저널 The Intersection of Sylow Subgroups 1975-12

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com