쉴로브 정리

3.3. 제3 쉴로브 정리

$G$의 크기가 $p^k$인 부분군의 총수를 $n(p^k;G)$로 표기하며, 특히 $n(p^n;G)=|\{\backslash operatorname\{Syl\}(p;G)\}|$이다. $H$를 $G$의 임의의 쉴로 p-부분군이라고 하면, 다음이 성립한다.

* $n\_p$는 $m$을 나누며, 이는 $G$에서 쉴로 p-부분군의 지수이다.
* $n\_p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{p\}$
* $n\_p\; =\; |G:N\_G(P)|$이며, 여기서 $P$는 $G$의 임의의 쉴로 p-부분군이고 $N\_G$는 정규화군을 나타낸다.

헬무트 빌란트(Helmut Wielandt^독일어)의 증명은 다음과 같다. 편의상 $n>0$이라고 가정하고, 집합 $\backslash mathcal\; S=\backslash \{S\backslash subseteq\; G\backslash colon|S|=p^n\backslash \}$를 정의한다. $G$는 $\backslash mathcal\; S$에 왼쪽 곱셈을 통해 작용하며, 이 작용의 궤도들의 대표원을 $\backslash \{S\_1,\backslash dots,S\_k\backslash \}\backslash subset\backslash mathcal\; S$라고 하면, 류의 방정식은 다음과 같다.

:$|\backslash mathcal\; S|=\backslash sum\_\{i=1\}^k\backslash frac$

4. 쉴로브 부분군의 성질

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌다고 하자. 쉴로브 정리는 소수 $p$에 대해 모든 쉴로 $p$-부분군은 같은 차수 $p^n$를 갖는다는 것을 의미한다. 반대로, 부분군의 차수가 $p^n$이면, 그 부분군은 쉴로 $p$-부분군이며, 따라서 다른 모든 쉴로 $p$-부분군과 켤레 관계에 있다. 최대성 조건에 의해, $H$가 $G$의 임의의 $p$-부분군이면, $H$는 차수가 $p^n$인 $p$-부분군의 부분군이다.

정리 2의 중요한 결과는 $n\_p\; =\; 1$ 조건이 $G$의 쉴로 $p$-부분군이 정규 부분군이라는 조건과 동치라는 것이다(정리 3은 종종 $n\_p\; =\; 1$임을 보여줄 수 있다). 그러나 $S\_4$와 같이 진정한 비자명 정규 부분군은 있지만 정규 쉴로 부분군은 없는 군도 있다. 소수 거듭제곱 차수를 갖는 군은 진정한 쉴로 $p$-부분군을 갖지 않는다.

세 번째 정리의 세 번째 항목은 $n\_p$가 $|G|$를 나눈다는 즉각적인 결과를 갖는다.

4.1. 연산에 대한 닫힘

$H$가 $G$의 쉴로브 p-부분군이며, $N$이 $G$의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

* $H\backslash cap\; N$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다.
* $HN/N$은 $G/N$의 쉴로브 p-부분군이다.

$K$가 $N$의 쉴로브 p-부분군이라고 하면, $K\backslash subseteq\; gHg^\{-1\}$인 $g\backslash in\; G$가 존재한다. 따라서 $K\backslash subseteq\; gHg^\{-1\}\backslash cap\; N=g(H\backslash cap\; N)g^\{-1\}$이며, $|H\backslash cap\; N|\backslash ge|K|$이다. $H\backslash cap\; N$은 $N$의 p-부분군이므로, $|H\backslash cap\; N|=|K|$이며, $H\backslash cap\; N$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와 $|HN/N|=\backslash frac$

4.2. 충분 조건

만약 $H$가 $G$의 p-부분군이며, $H=\backslash operatorname\; N\_G(H)$라면, $H$는 $G$의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 쉴로브 정리는 소수 $p$에 대해 모든 쉴로 $p$-부분군은 같은 차수 $p^n$를 갖는다는 것을 의미한다. 반대로, 부분군의 차수가 $p^n$이면, 그 부분군은 쉴로 $p$-부분군이며, 따라서 다른 모든 쉴로 $p$-부분군과 켤레 관계에 있다.

4.3. 교집합

만약 $\backslash operatorname\; O(p;G)$가 $G$의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, $\backslash operatorname\; O(p;G)$는 $G$의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. $\backslash operatorname\; O(p;G)$는 $H$의 정규핵과 같으므로, $G$의 정규 부분군이다. 또한, $\backslash operatorname\; O(p;G)$는 $G$의 모든 정규 p-부분군을 포함하며, 자기 동형 사상에 대하여 불변하는 성질을 가지므로, 특성 부분군이 된다.

만약 $H$가 $G$의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, $n(p^n;G)=1$이며, $H=\backslash operatorname\; O(p;G)$는 $G$의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

4.4. 프라티니 논증

만약 N이 G의 정규 부분군이며, H가 N의 쉴로브 p-부분군이라면, G = Noperatorname N_G(H)이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 H가 G의 쉴로브 p-부분군, K가 G의 부분군이며, operatorname N_G(H)⊆ K라면, operatorname N_G(K) = K이다. 특히, operatorname N_G(operatorname N_G(H)) = operatorname N_G(H)가 성립한다.

5. 무한군에 대한 쉴로브 정리

무한군에 대한 쉴로브 정리와 유사한 정리가 있다. 무한군에서 쉴로브 p-부분군은 그룹 내의 모든 p-부분군 중에서 포함 관계에 대해 극대인 p-부분군(즉, 모든 원소가 p-거듭제곱의 차수를 가짐)으로 정의된다. Cl(K)를 부분군 K ⊂ G의 켤레 집합으로 나타낸다.

만약 K가 G의 쉴로브 p-부분군이고, n_p = |Cl(K)|가 유한하다면, 모든 쉴로브 p-부분군은 K와 켤레이며, n_p ≡ 1 (mod p)이다. 초른의 보조정리에 의해, 그러한 부분군은 반드시 존재한다.

6. 예시

n-각형의 이산면체군 D_2n은 쉴로 부분군과 쉴로 정리의 간단한 예시를 제공한다. n이 홀수일 경우, 2 = 2¹은 차수를 나누는 2의 가장 높은 거듭제곱이므로, 차수가 2인 부분군은 쉴로 부분군이다. 이들은 반사에 의해 생성된 군이며, 반사의 수는 n개이고, 회전에 따라 모두 켤레이며; 기하학적으로 대칭축은 정점과 변을 통과한다.

6.1. 이면체군

n-각형의 이산면체군 D_2n은 쉴로 부분군과 쉴로 정리의 간단한 예시를 제공한다. n이 홀수일 경우, 2 = 2¹은 차수를 나누는 2의 가장 높은 거듭제곱이므로, 차수가 2인 부분군은 쉴로 부분군이다. 이들은 반사에 의해 생성된 군이며, 반사의 수는 n개이고, 회전에 따라 모두 켤레이며; 기하학적으로 대칭축은 정점과 변을 통과한다.

기하학적으로 두 정점을 통과하는지 또는 두 면을 통과하는지에 따라 구분된다.

6.2. 일반선형군

GL₂(F_q)의 쉴로 p-부분군은 p와 q가 3 이상인 소수이고 p ≡ 1 (mod q)일 때, 모두 아벨 군이다. GL₂(F_q)의 차수는 (q² − 1)(q² − q) = (q)(q + 1)(q − 1)²이다. q = pⁿm + 1이므로 GL₂(F_q) = p²ⁿ m′이다. 따라서 쉴로 p-부분군의 차수는 p²ⁿ이다.

이러한 부분군 P 중 하나는 대각 행렬의 집합 이다. 여기서 x는 F_q의 원시 근이다. F_q의 차수가 q − 1이므로, 그 원시 근은 차수가 q − 1이며, 이는 x^{(q − 1)/pn} 또는 x^m 및 모든 거듭제곱이 p의 거듭제곱인 차수를 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 P는 모든 원소가 p의 거듭제곱 차수를 갖는 부분군이다. a와 b 모두에 대해 pⁿ개의 선택이 있으며, 이로 인해 P = p²ⁿ이 된다. 이는 P가 쉴로 p-부분군임을 의미하며, 모든 대각 행렬이 교환되기 때문에 아벨 군이고, 쉴로 정리에 의해 모든 쉴로 p-부분군이 서로 켤레라고 명시되어 있으므로, GL₂(F_q)의 쉴로 p-부분군은 모두 아벨 군이다.

= 로 구성된 유한체 $\backslash mathbb\{F\}\_q$ 위의 일반 선형군을 = GL(, )라고 할때, 위수 || = ^{( − 1)/2}인 실로 -부분군 가 존재한다. 예를 들어 = 3일 때,
:$$
U = \left \{ \begin{pmatrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mathrel{}\Bigg|\mathrel{} x, y, z \in \mathbb{F}_q \right \}

는 GL(3, )의 실로 -부분군이며, 위수가 ³이다. 일반적인 에 대해서도 마찬가지로, 주대각 성분이 1인 상삼각 행렬로 구성된 군은 GL(, )의 실로 -부분군이다.

7. 응용

실로우의 정리는 다양한 응용 사례를 갖는다. $p$와 $q$가 소수이며,

쉴로브 정리는 유한군의 p-부분군의 존재를 보장하여 소수 거듭제곱 차수의 군을 자세히 연구할 수 있게 한다. 대부분의 예시는 쉴로브 정리를 사용하여 특정 차수의 군이 단순군이 아님을 증명한다. 작은 차수의 군의 경우, 쉴로브 정리의 합동 조건은 정규 부분군의 존재를 강제하기에 충분하다. 예를 들어 차수가 30인 군, 차수가 20인 군, 차수가 $p^2q$인 군 (p와 q는 서로 다른 소수) 등이 있다.

어떤 소수가 아닌 수 $n$은 차수가 $n$인 모든 군이 순환군이 되도록 하는 성질을 갖는데, 쉴로브 정리를 통해 $n$ = 15가 그러한 수임을 보일 수 있다. 차수가 15 = 3 · 5인 군 $G$에서 쉴로브 3-부분군의 개수 $n\_3$은 5를 나누고 $n\_3\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 3$이므로 1이다. 따라서 차수가 3인 정규 부분군이 유일하게 존재한다. 마찬가지로 $n\_5$는 3을 나누고 $n\_5\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 5$이므로 차수가 5인 정규 부분군도 유일하게 존재한다. 3과 5는 상호 소수이므로 두 부분군의 교집합은 자명하고, $G$는 차수가 3과 5인 군의 내부 직접곱이 되어 차수가 15인 순환군이다.

번사이드 정리에 따르면, 그룹의 차수가 하나 또는 두 개의 소수 거듭제곱의 곱이면 가해군이며, 따라서 그룹은 단순하지 않거나, 소수 차수를 가지며 사이클릭군이다.

윌슨의 정리의 일부인 $(p-1)!\; \backslash equiv\; -1\; \backslash pmod\; p$ (모든 소수 $p$에 대해)는 실로우의 제3정리에 의해 쉽게 증명할 수 있다.

프라티니 논증은 정규 부분군의 쉴로 부분군이 유한군의 인수를 제공함을 보여준다. 번사이드 융합 정리는 유한군 $G$가 쉴로 $p$-부분군 $P$를 가지고, $P$에 의해 정규화된 두 부분집합 $A$와 $B$가 있을 때, $A$와 $B$가 $G$-켤레인 것은 $N\_G(P)$-켤레인 것과 필요충분조건이라고 말한다.

쉴로 정리의 덜 자명한 응용으로는 초점 부분군 정리가 있다.

8. 역사

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 쉴로브 정리를 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.