콤팩트-열린집합 위상

1. 개요

콤팩트-열린집합 위상은 두 위상 공간 X와 Y 사이의 연속 함수들의 집합 C(X, Y)에 정의되는 위상으로, X의 콤팩트 집합과 Y의 열린 집합을 부분 기저로 사용한다. 이 위상은 콤팩트 생성 공간의 범주에서 정의가 수정되기도 하며, X가 국소 콤팩트일 경우 오른쪽 수반을 통해 고유하게 정의될 수 있다. 콤팩트-열린집합 위상은 다양한 성질을 가지며, 특히 X가 이산 공간일 때 곱 위상과 일치하고, Y의 위상적 성질을 상속한다. 또한, 콤팩트 수렴, 균등 수렴, 국소 균등 수렴 개념과 관련이 있으며, 함수 합성의 연속성을 보장한다. 이 위상은 아스콜리-아르첼라 정리의 확장과 루프 공간, 호모토피 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 프레셰 미분 가능 함수에도 적용된다.

2. 정의

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수들의 집합 C(X, Y)에 대해, 콤팩트-열린집합 위상은 다음과 같이 정의된다. X의 콤팩트 집합 K와 Y의 열린집합 U에 대하여, V(K, U) = {f ∈ C(X, Y) | f(K) ⊂ U} 형태의 집합들을 부분 기저로 갖는 위상이다. 즉, $V(K,\; U)\; =\; C(K,\; U)\; \backslash times\_\{C(K,\; Y)\}\; C(X,\; Y)$이다. 이 때, {V(K,U)}를 부분 기저로 가지는 위상 중 가장 엉성한 위상을 C(X,Y) 위의 콤팩트-열린집합 위상으로 정의한다.

콤팩트 생성 공간의 범주에서 작업할 때는, 이 정의를 수정하여 콤팩트 집합인 하우스도르프 공간의 이미지인 K에 대한 준기저로 제한하는 것이 일반적이다. 물론, X가 콤팩트 생성이고 하우스도르프이면, 이 정의는 이전 정의와 일치한다.

만약 X가 국소 콤팩트이면, 위상 공간 범주에서 $X\; \backslash times\; -$는 항상 오른쪽 수반 $Hom(X,\; -)$을 갖는다. 이 수반은 콤팩트-열린 위상과 일치하며, 이를 고유하게 정의하는 데 사용될 수 있다.

3. 성질

* $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$가 한 점만을 포함하는 유일한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 집합으로서 $C(\backslash \{\backslash bullet\backslash \},X)\backslash cong\; X$이며, 이 공간 위의 콤팩트-열린집합 위상은 $X$ 고유의 위상과 일치한다.
* $X$가 이산 공간이면, $C(X,\; Y)$는 $Y$의 |X|개 곱공간과 같고, 콤팩트-열린 위상은 곱 위상과 일치한다.
* $Y$가 콜모고로프 공간(T₀ 공간)/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이라면, $C(X,Y)$도 마찬가지로 콜모고로프 공간/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이다.
* $Y$가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, $Y$가 거리 공간이면, 수열 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 콤팩트-열린 위상에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 수렴하는 것은 모든 $X$의 콤팩트 부분 집합 $K$에 대해 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 $K$에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.
* $X$가 콤팩트이고 $(Y,d)$가 거리 공간이라면, $C(X,Y)$ 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다. 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.
:$d(f,g)=\backslash sup\_\{x\backslash in\; X\}d(f(x),g(x))$
* 정의역 $X$가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 $(f,x)\; \backslash mapsto\; f(x)$가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.
* 공역이 거리 공간일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상이 정하는 수렴 개념은 콤팩트 수렴으로 특징지어진다.
* $X$가 국소 콤팩트이면 국소 균등 수렴 개념과 일치한다.
* $X$가 콤팩트이면 균등 수렴과 일치한다.
* $X,\; Z$를 위상 공간, $Y$를 국소 콤팩트 위상 공간으로 할 때, 사상 $C(X,Y)\; \backslash times\; C(Y,Z)\; \backslash to\; C(X,Z),\backslash ;(f,g)\backslash mapsto\; g\backslash circ\; f$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다.
* $X,\; Y$를 위상 공간으로 할 때, $Y$가 하우스도르프(resp. 정칙) 공간이면 $C(X,\; Y)$는 하우스도르프(resp. 정칙)이다.
* $X$를 콤팩트 하우스도르프 공간으로 하고, $X$에서 자기 자신으로의 동상사상 전체의 집합을 $H(X)$라고 하면, 사상 $H(X)\; \backslash to\; H(X),\backslash ;f\backslash mapsto\; f^\{-1\}$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다. 사상의 합성도 앞서 언급한 바와 같이 연속이므로, $H(X)$는 함수 합성에 관해 위상군을 이룬다.
Y가 거리 공간(또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, Y가 거리 공간이면, 함수열 {fₙ}이 콤팩트-열린 위상에서 f로 수렴하는 것은 모든 X의 콤팩트 부분 집합 K에 대해 {fₙ}이 K에서 f로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다. X가 콤팩트 공간이고 Y가 균등 공간이면, 콤팩트-열린 위상은 균등 수렴 위상과 같다.

X가 국소 콤팩트이면, 콤팩트-열린 위상에서의 수렴은 국소 균등 수렴과 일치한다. 즉, 임의의 x ∈ X에 대해 x의 어떤 열린 근방 V가 존재하고, (fₙ|_V)_n∈ℕ는 f|_V에 균등 수렴한다.

X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고 Y가 제2 가산 공간이면, C(X, Y)도 제2 가산 공간이다. X, Y, Z가 위상 공간이고 Y가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간(혹은 사전 정칙 공간)이면, 함수 합성 C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z)는 연속이다. X가 국소 콤팩트 하우스도르프(혹은 사전 정칙) 공간이면, 평가 사상 e: C(X, Y) × X → Y, e(f, x) = f(x)는 연속이다.

만약 Y가 콜모고로프 공간/T₁ 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이면, C(X,Y)도 마찬가지로 해당 공간이다. 만약 X가 콤팩트 공간이고 (Y,d)가 거리 공간이라면, C(X,Y) 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같으며, 거리 함수 d(f,g)=sup_x∈Xd(f(x),g(x))로부터 주어진다.

Y가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, Y가 거리 공간이면, 수열 {f_n}이 콤팩트-열린 위상에서 f로 수렴하는 것은 모든 X의 콤팩트 부분 집합 K에 대해 {f_n}이 K에서 f로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.

X가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 (f,x) ↦ f(x)가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.

X가 콤팩트 공간이고 (Y, d)가 거리 공간이면, C(X, Y) 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다. 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.

: $d(f,g)=\backslash sup\_\{x\backslash in\; X\}d(f(x),g(x))$

즉, X가 콤팩트이고 Y가 거리 공간이면, C(X, Y)는 거리화 가능하며, 거리는 e(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) : x in X}로 주어진다. 더 일반적으로, X가 준콤팩트이고, Y가 거리 공간이면, 콤팩트-열린 위상은 여기에 연결된 구성에 의해 거리화 가능하다.

3.1. 기본 성질

* $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$가 한 점만을 포함하는 유일한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 집합으로서 $C(\backslash \{\backslash bullet\backslash \},X)\backslash cong\; X$이며, 이 공간 위의 콤팩트-열린집합 위상은 $X$ 고유의 위상과 일치한다.
* $X$가 이산 공간이면, $C(X,\; Y)$는 $Y$의 |X|개 곱공간과 같고, 콤팩트-열린 위상은 곱 위상과 일치한다.
* $Y$가 콜모고로프 공간(T₀ 공간)/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이라면, $C(X,Y)$도 마찬가지로 콜모고로프 공간/T1 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이다.
* $Y$가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, $Y$가 거리 공간이면, 수열 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 콤팩트-열린 위상에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 수렴하는 것은 모든 $X$의 콤팩트 부분 집합 $K$에 대해 $\backslash \{\backslash thinsp\; f\_n\; \backslash thinsp\backslash \}$이 $K$에서 $\backslash thinsp\; f\; \backslash thinsp$로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.
* $X$가 콤팩트이고 $(Y,d)$가 거리 공간이라면, $C(X,Y)$ 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다. 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.
:$d(f,g)=\backslash sup\_\{x\backslash in\; X\}d(f(x),g(x))$
* 정의역 $X$가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 $(f,x)\; \backslash mapsto\; f(x)$가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.
* 공역이 거리 공간일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상이 정하는 수렴 개념은 콤팩트 수렴으로 특징지어진다.
* $X$가 국소 콤팩트이면 국소 균등 수렴 개념과 일치한다.
* $X$가 콤팩트이면 균등 수렴과 일치한다.
* $X,\; Z$를 위상 공간, $Y$를 국소 콤팩트 위상 공간으로 할 때, 사상 $C(X,Y)\; \backslash times\; C(Y,Z)\; \backslash to\; C(X,Z),\backslash ;(f,g)\backslash mapsto\; g\backslash circ\; f$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다.
* $X,\; Y$를 위상 공간으로 할 때, $Y$가 하우스도르프(resp. 정칙) 공간이면 $C(X,\; Y)$는 하우스도르프(resp. 정칙)이다.
* $X$를 콤팩트 하우스도르프 공간으로 하고, $X$에서 자기 자신으로의 동상사상 전체의 집합을 $H(X)$라고 하면, 사상 $H(X)\; \backslash to\; H(X),\backslash ;f\backslash mapsto\; f^\{-1\}$는 콤팩트-열린 위상에 관해 연속이다. 사상의 합성도 앞서 언급한 바와 같이 연속이므로, $H(X)$는 함수 합성에 관해 위상군을 이룬다.

3.2. 수렴성

Y가 거리 공간(또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, Y가 거리 공간이면, 함수열 {fₙ}이 콤팩트-열린 위상에서 f로 수렴하는 것은 모든 X의 콤팩트 부분 집합 K에 대해 {fₙ}이 K에서 f로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다. X가 콤팩트 공간이고 Y가 균등 공간이면, 콤팩트-열린 위상은 균등 수렴 위상과 같다.

X가 국소 콤팩트이면, 콤팩트-열린 위상에서의 수렴은 국소 균등 수렴과 일치한다. 즉, 임의의 x ∈ X에 대해 x의 어떤 열린 근방 V가 존재하고, (fₙ|_V)_n∈ℕ는 f|_V에 균등 수렴한다.

3.3. 함수 공간의 성질

X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고 Y가 제2 가산 공간이면, C(X, Y)도 제2 가산 공간이다. X, Y, Z가 위상 공간이고 Y가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간(혹은 사전 정칙 공간)이면, 함수 합성 C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z)는 연속이다. X가 국소 콤팩트 하우스도르프(혹은 사전 정칙) 공간이면, 평가 사상 e: C(X, Y) × X → Y, e(f, x) = f(x)는 연속이다.

만약 Y가 콜모고로프 공간/T₁ 공간/하우스도르프 공간/정규 공간/티호노프 공간이면, C(X,Y)도 마찬가지로 해당 공간이다. 만약 X가 콤팩트 공간이고 (Y,d)가 거리 공간이라면, C(X,Y) 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같으며, 거리 함수 d(f,g)=sup_x∈Xd(f(x),g(x))로부터 주어진다.

Y가 거리 공간 (또는 더 일반적으로, 균등 공간)이면, 콤팩트-열린 위상은 콤팩트 수렴 위상과 같다. 즉, Y가 거리 공간이면, 수열 {f_n}이 콤팩트-열린 위상에서 f로 수렴하는 것은 모든 X의 콤팩트 부분 집합 K에 대해 {f_n}이 K에서 f로 균등하게 수렴하는 것과 동치이다.

X가 국소 콤팩트일 경우, 콤팩트-열린 집합 위상은 (f,x) ↦ f(x)가 연속이 되는 가장 약한 위상으로 특징지어진다.

3.4. 거리화 가능성

X가 콤팩트 공간이고 (Y, d)가 거리 공간이면, C(X, Y) 위의 콤팩트-열린집합 위상은 균등 수렴 위상과 같다. 이 위상은 다음과 같은 거리 함수로부터 주어진다.

: $d(f,g)=\backslash sup\_\{x\backslash in\; X\}d(f(x),g(x))$

즉, X가 콤팩트이고 Y가 거리 공간이면, C(X, Y)는 거리화 가능하며, 거리는 e(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) : x in X}로 주어진다. 더 일반적으로, X가 준콤팩트이고, Y가 거리 공간이면, 콤팩트-열린 위상은 여기에 연결된 구성에 의해 거리화 가능하다.

4. 아스콜리-아르첼라 정리의 확장

아스콜리-아르첼라 정리를 일반화하여 다음을 보일 수 있다.

X가 콤팩트 하우스도르프 공간이고, Y가 거리 공간일 때, C(X, Y)의 부분 집합 H가 콤팩트-열린집합 위상에 대해 콤팩트일 필요충분 조건은 H가 다음 세 조건을 모두 만족하는 것이다.

* H는 C(X, Y)의 닫힌 집합이다.
* (동등 연속성) 임의의 x ∈ X와 임의의 ε > 0에 대해, 어떤 δ > 0가 존재하여 모든 f ∈ H와 모든 y ∈ Y에 대해 d(x, y) < δ이면 d(f(x), f(y)) < ε이다.
* (점별 상대 콤팩트성) 임의의 x ∈ X에 대해 {f(x) | f∈H}는 Y에서 상대 콤팩트이다.

5. 응용

콤팩트-열린집합 위상은 루프 공간, 경로 공간 등의 위상을 정의하는 데 사용된다. 예를 들어, $x\_0$에서의 $X$의 루프 공간은 $\backslash Omega(X,x\_0)\; =\; \backslash \{\; f:\; I\; \backslash to\; X\; :\; f(0)\; =\; f(1)\; =\; x\_0\; \backslash \}$와 같이 정의할 수 있다. 또한, 공간 $C(\backslash Sigma\; X,\; Y)\; \backslash cong\; C(X,\; \backslash Omega\; Y)$ 사이에 호모토피 동치가 존재한다.

이러한 위상 공간 $C(X,Y)$는 호모토피 이론에서 호모토피 사상 집합의 위상 공간 모델을 구성하는 데 유용하게 사용된다. $\backslash pi(X,Y)\; =\; \backslash \{[f]:\; X\; \backslash to\; Y\; |\; f\; \backslash text\{\; is\; a\; homotopy\; class\}\; \backslash \}$는 $C(X,Y)$의 경로 성분 집합과 동형 사상이 존재하므로, $\backslash pi(X,Y)\; \backslash to\; C(I,\; C(X,\; Y))/\backslash sim$ (여기서 $\backslash sim$는 호모토피 동치)와 같이 나타낼 수 있다.

6. 프레셰 미분 가능 함수

X와 Y를 같은 체 위에 정의된 바나흐 공간이라고 하고, C^m(U, Y)를 열린 부분 집합 U ⊆ X에서 Y로의 모든 m-연속 프레셰 미분 가능 함수들의 집합이라고 하자. 콤팩트-열린 위상은 세미노름에 의해 유도된 시작 위상이다.

:$p\_\{K\}(f)\; =\; \backslash sup\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left\backslash |\; D^j\; f(x)\; \backslash right\backslash |\; \backslash \; :\; \backslash \; x\; \backslash in\; K,\; 0\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; m\; \backslash right\backslash \}$

여기서 D⁰f(x) = f(x)이며, 각 콤팩트 부분 집합 K ⊆ U에 대해 정의된다.