큐-아날로그

1. 개요

q-아날로그는 수학에서 고전적인 개념의 변형으로, 특히 q-이론에서 중요한 역할을 한다. q-아날로그는 정수의 q-유사체, q-계승, q-이항 계수, q-미분 등 다양한 형태로 나타나며, q → 1 극한에서 고전적인 개념으로 수렴한다. q-아날로그는 조합론, 유한체, 통계역학, 양자군, 특수함수론, 물리학 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 다체 문제의 정확한 해를 구하는 데 활용된다.

2. q-이론의 역사

q-이론의 기원은 18세기 레온하르트 오일러의 연구로 거슬러 올라간다. 오일러는 분할수에 대한 연구에서 q-급수의 초기 형태를 발견했다. 19세기에는 야코비가 타원함수 이론에서 q-급수를 도입하면서 q-이론이 발전하기 시작했다. 바이어슈트라스는 q-이항 계수를 도입하고, 에두아르트 하이네는 q-초기하급수를 연구하는 등 q-이론이 본격적으로 발전하기 시작했다.

20세기에는 프랭크 힐턴 잭슨이 q-미적분학을 체계화하고, 조지 앤드루스가 q-초기하급수와 조합론의 연관성을 밝히는 등 q-이론이 더욱 심도 있게 연구되었다. 현대에는 q-이론이 양자군, 매듭 이론, 비가환 기하학 등 다양한 분야와 연결되면서 더욱 활발하게 연구되고 있다.

3. q-유사체

q-이론의 핵심은 다양한 수학적 객체의 q-유사체를 정의하고 연구하는 것이다. 고전 q-이론은 음이 아닌 정수의 q-아날로그로 시작한다.

:$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}=n$

위 식은 n의 q-아날로그, 즉 q-괄호 또는 q-수를 다음과 같이 정의하도록 제안한다.

:$[n]\_q=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}\; =\; 1\; +\; q\; +\; q^2\; +\; \backslash ldots\; +\; q^\{n\; -\; 1\}.$

이 식은 여러 맥락에서 자연스럽게 나타난다. q-유사체는 q-수, q-계승, q-이항 계수, q-미분 등으로 확장된다.

3.1. q-수

자연수 n의 q-유사체 [n]_q는 다음과 같이 정의된다.

:$[n]\_q=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}\; =\; 1\; +\; q\; +\; q^2\; +\; \backslash ldots\; +\; q^\{n\; -\; 1\}.$

q → 1일 때, [n]_q는 n으로 수렴한다.

양자군 등 일부 문맥에서는 다음과 같이 정의되기도 한다.

:$$
[n]_{q} := \frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}


또는

:$$
[n]_{q} := \frac{q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}

3.2. q-계승

q-계승 [n]_q!은 다음과 같이 정의된다.

:$$
\begin{align}
\, [n]_q! & =[1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\[6pt]
& =\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\[6pt]
& =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).
\end{align}


n!이 길이 n의 순열의 개수를 세는 반면, [n]_q!는 전위의 수를 추적하면서 순열을 센다. 즉, inv(w)가 순열 w의 전위의 수를 나타내고, S_n이 길이 n의 순열 집합을 나타낸다면, 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{w\; \backslash in\; S\_n\}\; q^\{\backslash text\{inv\}(w)\}\; =\; [n]\_q\; !\; .$

특히 q→1로 극한을 취하면 일반적인 계승을 얻을 수 있다.

q-계승은 q-포흐해머 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 정의할 수 있다.

:$[n]\_q!=\backslash frac\{(q;q)\_n\}\{(1-q)^n\}.$

q-계승은 q-수에 의해 다음과 같이 정의된다.

:$$
[n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}


(q; q)_n는 q-포흐하머 기호를 나타낸다.

이때 S_n을 n차의 대칭군, inv(σ)를 치환 σ의 전도수로 하면, 다음이 성립한다.

:$$
[n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}


이는 q→1의 극한에서, 통상의 계승 n!이 n개의 것을 나열하는 순열의 총수를 나타내는 것에 대응한다.

유한체 F_q 위의 일반 선형군 GL(n, q)의 위수는 다음과 같이 q-계승으로 표현된다.

:$$
\vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}

3.3. q-이항 계수

q-계승에서, 가우스 이항 계수라고도 하는 q-이항 계수를 정의할 수 있다.

:$$
\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.


q-이항 계수는 이항 계수의 q-유사이며 다음과 같이 정의된다.

:$$
\binom{n}{k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}


q가 소수의 거듭제곱일 때, q-이항 계수는 유한체 위의 n 차원 선형 공간 내의 k 차원 부분 공간의 수와 같다.

가우스 계수는 유한 벡터 공간의 부분 공간을 센다. q를 유한체의 원소의 개수라고 하자. (이 숫자 q는 소수의 거듭제곱, 이므로, 문자 q를 사용하는 것은 특히 적절하다.) 그러면 q 원소 체에 대한 n 차원 벡터 공간의 k 차원 부분 공간의 개수는 다음과 같다.

:$$
\binom nk_q .


q를 1에 접근시키면, 이항 계수를 얻는다.

:$$
\binom nk,


다시 말해, n 원소 집합의 k 원소 부분 집합의 개수를 얻는다.

따라서 유한 벡터 공간을 집합의 q 일반화로 간주할 수 있으며, 부분 공간을 집합의 부분 집합의 q 일반화로 간주할 수 있다.

더 일반적으로 q-다항 계수는 일 때
:$$
\binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \dotsm [k_m]_q!}

으로 정의된다.

이 때
:$$
\binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \binom{n}{k_1}_q \binom{n - k_1}{k_2}_q \dotsm \binom{n - k_1 - \dotsb - k_{m - 1}}{k_m}_q


:$$
\binom{n}{k}_q = \binom{n - 1}{k}_q + q^{n - k}\binom{n - 1}{k - 1}_q

과 같은 잘 알려진 등식의 유사성이 성립한다.

3.4. q-미분

함수 $f(x)$의 q-미분은 다음과 같이 정의된다.

:$$
d_q(f(x)) = f(qx) - f(x)


q-도함수는 다음과 같이 정의된다.

:$$
D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x}

3.5. 기타 q-유사체

* 리만 제타 함수의 q-유사체
:$\backslash zeta\_q(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash \{n\backslash \}\_q^s\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{q^\{(n+x([n]\_q))s\}\}\{[n]\_q^s\}$
* 큐-감마함수
* 큐-이항계수
* 자연로그의 밑의 q-유사체
:$e\_q^x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{[n]\_q!\}$
* 큐-폴리감마 함수
* 에르되시-보와인 상수
:$E=\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{2^n-1\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash psi\_\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}(1)\}\{\backslash ln\; 2\}$ ($\backslash psi\_\{q\}^\{(n)\}\; (z)$는 큐-폴리감마 함수)
:$E\; =\; 1.606695152415291763\backslash cdots$
* q-지수
:$e\_q(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{[n]\_q!\}.$
q-지수는 q-푸리에 변환을 정의하는데 사용된다.

4. q-이론의 응용

큐-감마함수, 큐-이항계수 등이 큐-이론의 응용 사례이다.

가우스 계수는 유한 벡터 공간의 부분 공간을 센다. q를 유한체의 원소의 개수라고 하면(이 숫자 q는 소수의 거듭제곱), q 원소 체에 대한 n 차원 벡터 공간의 k 차원 부분 공간의 개수는 다음과 같다.

:$$
\binom nk_q .


q를 1에 접근시키면, 이항 계수를 얻는다.

:$$
\binom nk,


다시 말해, n 원소 집합의 k 원소 부분 집합의 개수를 얻는다.

따라서 유한 벡터 공간을 집합의 q 일반화로 간주할 수 있으며, 부분 공간을 집합의 부분 집합의 q 일반화로 간주할 수 있다. 또 다른 예로, 깃발의 개수는 $[n]\_q\; !$이며, 깃발을 만드는 순서가 중요하며, 극한을 취한 후에는 $n!$을 얻는다. 이는 흥미로운 새로운 정리를 찾는 데 유용한 관점이었다. 예를 들어, 스페르너 정리 및 램지 이론의 q 아날로그가 있다.

q = (e^2i/n)^d를 원시 n차 단위근의 d제곱이라고 하자. C를 원소 c에 의해 생성된 차수 n의 순환군이라고 하자. X를 n개 원소 집합 {1, 2, ..., n}의 k개 원소 부분집합의 집합이라고 하자. 군 C는 c를 순환 순열 (1, 2, ..., n)로 보내는 방식으로 X에 표준적인 작용을 한다. 그러면 X에서 c^d의 고정점의 개수는 다음 값과 같다.

:$$
\binom nk_q .


q-아날로그는 다체 문제의 정확한 해에서 자주 발견된다. 극한은 일반적으로 비선형 상호 작용이 없는 비교적 단순한 동역학에 해당하며, 는 피드백을 동반하는 복잡한 비선형 영역에 대한 통찰력을 제공한다.

원자 물리학의 예로는 외부 자기장의 페쉬바흐 공명을 통과하는 스윕 동안 초저온 페르미온 원자 가스에서 분자 응축을 생성하는 모델이 있다. 이 과정은 연산자의 SU(2) 대수의 q-변형된 버전이 있는 모델로 설명되며, 그 해는 q-변형된 지수 및 이항 분포로 설명된다.

또한 -계승 는 -수에 의해
:$$
[n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}

로 정의된다. 단, 는 -포흐하머 기호를 나타낸다.

이때 을 차의 대칭군, 를 치환 의 전도수로 하여,
:$$
[n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}

가 성립한다. 이는 $q\backslash to\; 1$의 극한에서, 통상의 계승 $n!$이 $n$개의 것을 나열하는 순열의 총수를 나타내는 것에 대응한다.

또한 유한체 위의 일반 선형군 의 위수는
:$$
\vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}

로 나타낼 수 있다.

5. q → 1 극한

q-유사체는 q → 1 극한에서 고전적인 객체로 수렴한다. 이는 원소가 하나인 체라는 개념과 관련이 있다. 조합론은 원소가 하나인 체 위의 선형대수로 해석될 수 있다.

고전 q-이론은 음이 아닌 정수의 q-아날로그로 시작한다. 다음 등식이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{q\backslash rightarrow\; 1\}\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}=n$

위 등식은 n의 q-아날로그, 즉 q-괄호 또는 q-수를 다음과 같이 정의하도록 한다.

:$[n]\_q=\backslash frac\{1-q^n\}\{1-q\}\; =\; 1\; +\; q\; +\; q^2\; +\; \backslash ldots\; +\; q^\{n\; -\; 1\}.$

가장 기본적인 q-수 는 자연수 의 -유사이며, 의 극한에서 이 되도록 다음과 같이 정의된다.

:$$
[n]_{q} := \frac{1-q^{n}}{1-q} = \sum_{k=0}^{n-1}q^{k}