큐-아날로그

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1. 개요
2. q-이론의 역사
3. q-유사체
4. q-이론의 응용
5. q → 1 극한
참조

1. 개요

q-아날로그는 수학에서 고전적인 개념의 변형으로, 특히 q-이론에서 중요한 역할을 한다. q-아날로그는 정수의 q-유사체, q-계승, q-이항 계수, q-미분 등 다양한 형태로 나타나며, q → 1 극한에서 고전적인 개념으로 수렴한다. q-아날로그는 조합론, 유한체, 통계역학, 양자군, 특수함수론, 물리학 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 다체 문제의 정확한 해를 구하는 데 활용된다.

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큐-아날로그
q-아날로그
정의	일반화된 수학적 개념으로, q가 1에 접근할 때 원래의 형태가 되는 것
참고 문헌
서적	"Basic Hypergeometric Series, 2nd. ed. (Graduate Texts in Mathematics, No. 18). Cambridge University Press. 2004. "
다른 이름	-analog, -analogue}}

2. q-이론의 역사

q-이론의 기원은 18세기 레온하르트 오일러의 연구로 거슬러 올라간다. 오일러는 분할수에 대한 연구에서 q-급수의 초기 형태를 발견했다.^[1] 19세기에는 야코비가 타원함수 이론에서 q-급수를 도입하면서 q-이론이 발전하기 시작했다.^[1] 바이어슈트라스는 q-이항 계수를 도입하고, 에두아르트 하이네는 q-초기하급수를 연구하는 등 q-이론이 본격적으로 발전하기 시작했다.^[1]

20세기에는 프랭크 힐턴 잭슨이 q-미적분학을 체계화하고, 조지 앤드루스가 q-초기하급수와 조합론의 연관성을 밝히는 등 q-이론이 더욱 심도 있게 연구되었다.^[1] 현대에는 q-이론이 양자군, 매듭 이론, 비가환 기하학 등 다양한 분야와 연결되면서 더욱 활발하게 연구되고 있다.^[1]

3. q-유사체

q-이론의 핵심은 다양한 수학적 객체의 q-유사체를 정의하고 연구하는 것이다. 고전 ''q''-이론은 음이 아닌 정수의 ''q''-아날로그로 시작한다.^[2]

: $\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n$

위 식은 ''n''의 ''q''-아날로그, 즉 '''''q''-괄호''' 또는 '''''q''-수'''를 다음과 같이 정의하도록 제안한다.

: $[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.$

이 식은 여러 맥락에서 자연스럽게 나타난다. q-유사체는 q-수, q-계승, q-이항 계수, q-미분 등으로 확장된다.

3. 1. q-수

자연수 ''n''의 ''q''-유사체 [''n'']_''q''는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.

''q'' → 1일 때, [''n'']_''q''는 ''n''으로 수렴한다.

양자군 등 일부 문맥에서는 다음과 같이 정의되기도 한다.

:

[n]_{q} := \frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}

또는

:

[n]_{q} := \frac{q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}

3. 2. q-계승

q-계승 [n]_q!은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\begin{align}\, [n]_q! & =[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q \\[6pt]& =\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\[6pt]& =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).\end{align}

n!이 길이 n의 순열의 개수를 세는 반면, [n]_q!는 전위의 수를 추적하면서 순열을 센다. 즉, inv(w)가 순열 w의 전위의 수를 나타내고, S_n이 길이 n의 순열 집합을 나타낸다면, 다음과 같다.

:

\sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .

특히 q→1로 극한을 취하면 일반적인 계승을 얻을 수 있다.

q-계승은 q-포흐해머 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 정의할 수 있다.

:

[n]_q!=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.

q-계승은 q-수에 의해 다음과 같이 정의된다.

:

[n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}

(q; q)_n는 q-포흐하머 기호를 나타낸다.

이때 S_n을 n차의 대칭군, inv(σ)를 치환 σ의 전도수로 하면, 다음이 성립한다.

:

[n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}

이는 q→1의 극한에서, 통상의 계승 n!이 n개의 것을 나열하는 순열의 총수를 나타내는 것에 대응한다.

유한체 F_q 위의 일반 선형군 GL(n, q)의 위수는 다음과 같이 q-계승으로 표현된다.

:

\vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}

3. 3. q-이항 계수

q-계승에서, 가우스 이항 계수라고도 하는 '''''q''-이항 계수'''를 정의할 수 있다.

:

\binom{n}{k}_q=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.

q-이항 계수는 이항 계수의 q-유사이며 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\binom{n}{k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}

q가 소수의 거듭제곱일 때, q-이항 계수는 유한체 위의 n 차원 선형 공간 내의 k 차원 부분 공간의 수와 같다.^[3]

가우스 계수는 유한 벡터 공간의 부분 공간을 센다. q를 유한체의 원소의 개수라고 하자. (이 숫자 q는 소수의 거듭제곱, 이므로, 문자 q를 사용하는 것은 특히 적절하다.) 그러면 q 원소 체에 대한 n 차원 벡터 공간의 k 차원 부분 공간의 개수는 다음과 같다.

:

\binom nk_q .

q를 1에 접근시키면, 이항 계수를 얻는다.

:

\binom nk,

다시 말해, n 원소 집합의 k 원소 부분 집합의 개수를 얻는다.

따라서 유한 벡터 공간을 집합의 q 일반화로 간주할 수 있으며, 부분 공간을 집합의 부분 집합의 q 일반화로 간주할 수 있다.

더 일반적으로 q-다항 계수는 일 때

:

\binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \dotsm [k_m]_q!}

으로 정의된다.^[3]

이 때

:

\binom{n}{k_1, \dotsc, k_m}_q = \binom{n}{k_1}_q \binom{n - k_1}{k_2}_q \dotsm \binom{n - k_1 - \dotsb - k_{m - 1}}{k_m}_q

:

\binom{n}{k}_q = \binom{n - 1}{k}_q + q^{n - k}\binom{n - 1}{k - 1}_q

과 같은 잘 알려진 등식의 유사성이 성립한다.^[3]

3. 4. q-미분

함수

f(x)

의 q-미분은 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

d_q(f(x)) = f(qx) - f(x)

q-도함수는 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x}

3. 5. 기타 q-유사체

리만 제타 함수의 q-유사체^[6]

:

\zeta_q(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\{n\}_q^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{(n+x([n]_q))s}}{[n]_q^s}

큐-감마함수
큐-이항계수
자연로그의 밑의 q-유사체

:

e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}

큐-폴리감마 함수
에르되시-보와인 상수

:

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} = 1 - \frac{\psi_{\frac{1}{2}}(1)}{\ln 2}

(

\psi_{q}^{(n)} (z)

는 큐-폴리감마 함수)

:

E = 1.606695152415291763\cdots

q-지수

:

e_q(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.

q-지수는 q-푸리에 변환을 정의하는데 사용된다.

4. q-이론의 응용

큐-감마함수, 큐-이항계수 등이 큐-이론의 응용 사례이다.

가우스 계수는 유한 벡터 공간의 부분 공간을 센다. ''q''를 유한체의 원소의 개수라고 하면(이 숫자 ''q''는 소수의 거듭제곱), ''q'' 원소 체에 대한 ''n'' 차원 벡터 공간의 ''k'' 차원 부분 공간의 개수는 다음과 같다.

: $\binom nk_q .$

''q''를 1에 접근시키면, 이항 계수를 얻는다.

: $\binom nk,$

다시 말해, ''n'' 원소 집합의 ''k'' 원소 부분 집합의 개수를 얻는다.

따라서 유한 벡터 공간을 집합의 ''q'' 일반화로 간주할 수 있으며, 부분 공간을 집합의 부분 집합의 ''q'' 일반화로 간주할 수 있다. 또 다른 예로, 깃발의 개수는 $[n]_q !$ 이며, 깃발을 만드는 순서가 중요하며, 극한을 취한 후에는 $n!$ 을 얻는다. 이는 흥미로운 새로운 정리를 찾는 데 유용한 관점이었다. 예를 들어, 스페르너 정리^[3] 및 램지 이론의 ''q'' 아날로그가 있다.

''q'' = (''e''^2''i''/''n'')^''d''를 원시 ''n''차 단위근의 ''d''제곱이라고 하자. ''C''를 원소 ''c''에 의해 생성된 차수 ''n''의 순환군이라고 하자. ''X''를 ''n''개 원소 집합 {1, 2, ..., ''n''}의 ''k''개 원소 부분집합의 집합이라고 하자. 군 ''C''는 ''c''를 순환 순열 (1, 2, ..., ''n'')로 보내는 방식으로 ''X''에 표준적인 작용을 한다. 그러면 ''X''에서 ''c''^''d''의 고정점의 개수는 다음 값과 같다.

: $\binom nk_q .$

''q''-아날로그는 다체 문제의 정확한 해에서 자주 발견된다. 극한은 일반적으로 비선형 상호 작용이 없는 비교적 단순한 동역학에 해당하며, 는 피드백을 동반하는 복잡한 비선형 영역에 대한 통찰력을 제공한다.

원자 물리학의 예로는 외부 자기장의 페쉬바흐 공명을 통과하는 스윕 동안 초저온 페르미온 원자 가스에서 분자 응축을 생성하는 모델이 있다.^[4] 이 과정은 연산자의 SU(2) 대수의 ''q''-변형된 버전이 있는 모델로 설명되며, 그 해는 ''q''-변형된 지수 및 이항 분포로 설명된다.

또한 -계승 는 -수에 의해

: $[n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}$

로 정의된다. 단, 는 -포흐하머 기호를 나타낸다.

이때 을 차의 대칭군, 를 치환 의 전도수로 하여,

: $[n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}$

가 성립한다. 이는 $q\to 1$ 의 극한에서, 통상의 계승 $n!$ 이 $n$ 개의 것을 나열하는 순열의 총수를 나타내는 것에 대응한다.

또한 유한체 위의 일반 선형군 의 위수는

: $\vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}$

로 나타낼 수 있다.

5. q → 1 극한

q-유사체는 q → 1 극한에서 고전적인 객체로 수렴한다. 이는 원소가 하나인 체라는 개념과 관련이 있다. 조합론은 원소가 하나인 체 위의 선형대수로 해석될 수 있다.

고전 ''q''-이론은 음이 아닌 정수의 ''q''-아날로그로 시작한다.^[2] 다음 등식이 성립한다.

: $\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n$

위 등식은 ''n''의 ''q''-아날로그, 즉 '''''q''-괄호''' 또는 '''''q''-수'''를 다음과 같이 정의하도록 한다.

: $[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.$

가장 기본적인 q-수 는 자연수 의 -유사이며, 의 극한에서 이 되도록 다음과 같이 정의된다.

: $[n]_{q} := \frac{1-q^{n}}{1-q} = \sum_{k=0}^{n-1}q^{k}$

참조

_[1] 서적 q-Hypergeometric Functions and Applications Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood
_[2] 논문 A Method for q-calculus http://www.solnascha[...] 2011-07-27
_[3] 서적 Advances in Probability and Related Topics, Vol. 1 Dekker
_[4] 논문 Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution
_[5] 간행물 FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS http://www.mat.uc.pt[...] Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra
_[6] 웹사이트 Some inequalities for q-polygamma function and q-Riemann zeta functions http://ami.ektf.hu

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