타원함수

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1. 개요
2. 정의
3. 주기 격자 및 기본 영역
4. 성질
- 4.1. 리우빌의 정리
- 4.2. 기타 성질
5. 분류
6. 예
7. 역사
참조

1. 개요

타원 함수는 복소 평면에서 정의되는 이중 주기 함수로, 두 개의 주기를 갖는 유리형 함수이다. 타원 함수는 주기 격자, 기본 영역, 리우빌의 정리 등과 같은 여러 가지 중요한 성질을 가지며, 바이어슈트라스 타원 함수, 야코비 타원 함수 등이 대표적이다. 타원 함수는 모듈러 함수 및 모듈러 형식 연구와 밀접한 관련이 있으며, 타원 적분과도 역사적인 관계를 갖는다. 타원 함수는 바이어슈트라스 타원 함수와 그 도함수의 유리 함수로 나타낼 수 있으며, 짝함수인 타원 함수는 바이어슈트라스 타원 함수에 대한 유리 함수로 표현된다. 타원 함수는 미적분학의 발전 이후 똬리 곡선의 호의 길이 계산 문제에서 시작되어, 오일러, 르장드르, 아벨, 야코비 등에 의해 연구되었다.

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타원함수

2. 정의

$\omega_1,\omega_2\in\mathbb C$ 가 0이 아닌 복소수이고, 그 비가 실수가 아니라고 하자.

$\omega_1,\omega_2\ne0$
$\omega_1/\omega_2\not\in\mathbb R$

그렇다면

:

\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2\colon m,n\in\mathbb Z\}

는 격자를 이루며,

:

\mathbb C/\Lambda\equiv\mathbb C/(z\sim z+\Lambda)

는 타원 곡선을 이룬다.

'''타원함수'''는 유리형 함수

f\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}

이다. 여기서

\hat{\mathbb C}

는 리만 구이다. 이 경우,

\omega_1,\omega_2

를

f

의 '''주기'''(period^영어)라고 한다.

유리형 함수

f

가 다음 조건을 만족하는 두 개의

\mathbb{R}

-선형 독립 복소수

\omega_1,\omega_2\in\mathbb{C}

가 존재하면 타원 함수라고 한다.

:

f(z + \omega_1) = f(z)

및

f(z + \omega_2) = f(z), \quad \forall z\in\mathbb{C}

.

따라서 타원 함수는 두 개의 주기를 가지므로 이중 주기 함수이다.

엄밀하게 말하면, 타원 함수는 가우스 평면 '''C''' 상에서 정의되는 유형 함수 ''f''로서, 비 ''a''/''b''가 실수가 아닌 두 개의 복소수 ''a'', ''b''가 존재하여, ''f''(''z'')가 정의되는 모든 ''z''에 관하여

:

f(z+a)=f(z+b)=f(z)

가 성립하는 것을 말한다. 여기서 더 나아가, 임의의 정수 ''m'', ''n''에 대하여

:

f(z+ma+nb)=f(z)

가 성립하는 것도 따른다.

"표준적"('canonical')인 타원 함수의 구성법은 야코비에 의한 것과 바이어슈트라스에 의한 것 두 종류가 알려져 있으며, 타원 함수론의 현대적인 책에서는 많은 부분이 바이어슈트라스 방식이다. 바이어슈트라스 타원 함수의 개념은 편리하며, 그것을 이용하여 임의의 타원 함수를 다룰 수 있지만, 그에 반해 실용상, 특히 실함수를 다루고 있어 허수가 필요 없거나 물리적으로 중요하지 않은 경우 등 복소수의 사용을 피해야 할 때에는 야코비의 타원 함수가 가장 자주 나타난다. 바이어슈트라스가 타원 함수에 관심을 갖게 된 것은, 가우스의 제자 크리스토프 구더만에게 사사받을 무렵이다.

야코비 타원 함수(그리고 이는 이중 주기 함수는 아니지만 보조적으로 사용되는 세타 함수)는 바이어슈트라스에 의한 것에 비해 복잡하지만, 역사적으로나 일반론적으로나 중요한 함수이다. 두 이론의 가장 큰 차이점은, 바이어슈트라스 타원 함수가 그 주기가 이루는 격자군의 격자점에 2위 또는 그 이상의 극을 갖는 데 반해, 야코비 타원 함수는 1위의 극만을 갖는다는 것이다. 바이어슈트라스 쪽이 더 간명하므로, 기술면에서도 이해하는 면에서도 이론을 전개하기 쉽다.

더 일반적으로, 타원 함수의 연구는 모듈러 함수와 모듈러 형식의 연구와 밀접한 관계에 있으며, 또한 그 관계는 모듈러성 정리에 의해 밝혀졌다. 그러한 관계에는 예를 들어 ''j''-불변량이나 아이젠슈타인 급수 또는 데데킨트 에타 함수 등이 포함된다.

3. 주기 격자 및 기본 영역

$\omega_1,\omega_2\in\mathbb C$ 가 0이 아닌 복소수이고, 그 비가 실수가 아니라고 할 때, $\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2\colon m,n\in\mathbb Z\}$ 는 격자를 이룬다. 이때, $\omega_1$과 $\omega_2$에 의해 생성되는 평행사변형 $\{\mu\omega_1+\nu\omega_2\mid 0\leq\mu,\nu\leq 1\}$ 는 $\Lambda$ 의 '''기본 영역'''이다.

아벨 군 $\Lambda:=\langle \omega_1,\omega_2\rangle_{\mathbb Z}:=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2:=\{m\omega_1+n\omega_2\mid m,n\in\mathbb Z\}$ 은 ''주기 격자''라고 불린다.

기하학적으로 복소 평면은 평행사변형으로 채워진다. 하나의 기본 영역에서 일어나는 모든 일은 다른 모든 영역에서도 반복된다. 타원 곡선이라고 불리는 몫군 $\mathbb{C}/\Lambda$ 는 마주보는 변이 식별되는 평행사변형으로 시각화할 수 있으며, 이는 위상수학적으로 토러스이다.^[1]

''a'' 및 ''b''가 기본 주기라면, 가우스 평면상의 임의의 점 ''z''에 대해 ''z'', ''z'' + ''a'', ''z'' + ''b'', ''z'' + ''a'' + ''b''를 꼭짓점으로 하는 평행 사변형은, 그 타원 함수의 '''기본 평행 사변형''' fundamental parallelogram^영어 또는 '''기본 영역''' fundamental region^영어이라고 불린다.

4. 성질

엄밀하게 말하면, 타원 함수는 가우스 평면 '''C''' 상에서 정의되는 유형 함수 ''f''로서, ''a''/''b''가 실수가 아닌 두 복소수 ''a'', ''b''가 존재하여 ''f''(''z'')가 정의되는 모든 ''z''에 대해 다음이 성립하는 함수이다.

: $f(z+a)=f(z+b)=f(z)$

여기서 더 나아가, 임의의 정수 ''m'', ''n''에 대하여 다음도 성립한다.

: $f(z+ma+nb)=f(z)$

타원 함수의 표준적인 구성법으로는 야코비와 바이어슈트라스의 두 가지 방식이 알려져 있다. 현대 타원 함수론에서는 바이어슈트라스 방식이 많이 쓰인다. 바이어슈트라스 타원 함수는 편리하여 임의의 타원 함수를 다룰 수 있지만, 실수 함수를 다루는 등 복소수를 피해야 할 때는 야코비 타원 함수가 자주 나타난다. 바이어슈트라스는 가우스의 제자 크리스토프 구더만에게 배우면서 타원 함수에 관심을 갖게 되었다.

야코비 타원 함수(보조적으로 사용되는 세타 함수는 이중 주기 함수가 아님)는 바이어슈트라스의 함수보다 복잡하지만 역사적으로나 일반론적으로 중요하다. 두 이론의 가장 큰 차이점은 바이어슈트라스 타원 함수가 주기가 이루는 격자군의 격자점에 2위 이상의 극을 갖는 반면, 야코비 타원 함수는 1위의 극만을 갖는다는 것이다. 바이어슈트라스 쪽이 더 간명하여 이론 전개가 쉽다.

타원 함수 연구는 모듈러 함수와 모듈러 형식 연구와 밀접하며, 모듈러성 정리를 통해 그 관계가 밝혀졌다. 이러한 관계에는 ''j''-불변량, 아이젠슈타인 급수, 데데킨트 에타 함수 등이 있다.

4. 1. 리우빌의 정리

리우빌의 정리(1847)로 알려진 다음 세 가지 정리가 있다.^[2]

정칙 타원 함수는 상수이다.^[2]

이는 리우빌의 정리의 원래 형태이며, 여기서 유도될 수 있다.^[3] 정칙 타원 함수는 기본 영역에서 모든 값을 가지며 기본 영역은 콤팩트하므로 유계이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 상수이다.

모든 타원 함수는 $\mathbb{C}/\Lambda$ 에서 유한 개의 극점을 가지며, 그 잔류의 합은 0이다.^[4]

이 정리는 기본 영역에서 정확히 1차 극점 또는 정확히 1차 영점을 갖는 0이 아닌 타원 함수는 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

상수가 아닌 타원 함수는 $\mathbb{C}/\Lambda$ 에서 모든 값을 중복도를 포함하여 동일한 횟수로 가진다.^[5]

타원 함수의 기본 영역에 포함된 극의 총 수는 유한하다. 타원 함수가 상수 함수가 아닌 한, 임의의 기본 영역에는 적어도 하나의 극이 포함되지만, 그것은 리우빌의 정리의 귀결이다.

기본 영역에 속하는 극의 차수의 합을, 그 타원 함수의 '''위수''' order|오더^영어라고 부른다. 또한, 기본 영역에 속하는 모든 극에서의 유수의 합계는 0과 같으며, 그것 때문에 특히 위수 1의 타원 함수가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.

4. 2. 기타 성질

일반적으로 복소 함수 ''f''의 '''주기'''란 임의의 ''z'' ∈ '''C'''에 대해 ''f''(''z'' + ω) = ''f''(''z'')를 만족하는 복소수 ω를 말한다. ''f''의 두 주기 ''a'', ''b''가 있고, ''f''의 임의의 주기 ω가 정수 ''m'', ''n''을 사용하여 ω = ''ma'' + ''nb''의 형태로 쓸 수 있을 때, ''a'' 및 ''b''를 ''f''의 '''기본 주기'''fundamental periods|^영어라고 한다. 임의의 타원 함수는 주기의 기본 쌍을 반드시 가지지만, 유일하게 정해지지는 않는다.

''a''와 ''b''를 타원 함수의 기본 주기로 격자를 그릴 때, ''ps'' − ''qr'' = 1을 만족하는 정수 ''p'', ''q'', ''r'', ''s''를 사용하여 ''a''′ = ''pa'' + ''qb'', ''b''′ = ''ra'' + ''sb''로 나타낸 주기 ''a''′ 및 ''b''′로도 완전히 동일한 격자를 얻을 수 있다. 다시 말해, ''a'', ''b''가 타원 함수의 기본 주기라면 ''a''′, ''b''′도 같은 타원 함수의 기본 주기가 된다. 계수에 관한 조건은 행렬

\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}

의 행렬식이 1이라는 것이며, 이는 이 행렬이 모듈러 변환군에 속한다는 것을 의미한다.

''a''와 ''b''가 기본 주기일 때, 가우스 평면상의 임의의 점 ''z''에 대해 ''z'', ''z'' + ''a'', ''z'' + ''b'', ''z'' + ''a'' + ''b''를 꼭짓점으로 하는 평행 사변형을 그 타원 함수의 '''기본 평행 사변형'''fundamental parallelogram|^영어 또는 '''기본 영역'''fundamental region|^영어이라고 한다. 기본 평행 사변형을 ''a'' 및 ''b''의 각각 정수배만큼 평행 이동하면 같은 평행 사변형의 복제가 얻어지지만, 타원 함수 ''f''는 주기성에 의해 원래 평행 사변형에서의 함수의 거동과 완전히 같은 거동을 보인다.

타원 함수의 기본 영역에 포함된 극의 총수는 유한하다(어떤 기본 영역에서도 같은 수만큼 포함된다). 타원 함수가 상수 함수가 아닌 한, 임의의 기본 영역에는 적어도 하나의 극이 포함되는데, 이는 리우빌의 정리의 결과이다.

기본 영역에 속하는 극 차수의 합을 그 타원 함수의 '''위수'''order|^영어라고 한다. 기본 영역에 속하는 모든 극에서의 유수의 합은 0이며, 이 때문에 위수 1의 타원 함수는 존재하지 않는다.

기본 영역에 속하는 영점의 총수는 중복도를 포함하면 타원 함수의 위수와 같다.

적당한 두 주기를 공유하는 타원 함수 전체는 체를 이룬다.

타원 함수의 도함수는 다시 타원 함수이며, 원래 타원 함수와 같은 주기를 갖는다.

바이어슈트라스 타원 함수 ℘는 타원 함수의 원형이며, 주어진 격자에 관한 타원 함수 전체가 이루는 체는 ℘ 및 그 도함수 ℘′에 의해 생성된다.

5. 분류

모든 타원함수는 바이어슈트라스 타원함수 $\wp(z)$ 로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 복소 타원 곡선 $L$ 위의 타원함수들의 체 $\mathcal E_L$ 을 생각하면 다음과 같은 동형이 존재한다.^[22]

: $\mathcal E_L\cong\mathbb C(\wp,\wp')/(\wp'^2-4\wp^3-g_2\wp-g_3)$

여기서 $\wp'(z)=d\wp(z)/dz$ 이다. 다시 말해, 모든 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수에 대한 유리 함수로 나타낼 수 있다.

복소 타원곡선 $L$ 위의, 짝함수인 타원 함수들의 체 $\mathcal E_L^+$ 는 다음과 같다.^[22]

: $\mathcal E_L^+\cong\mathbb C(\wp)$

엄밀하게 말하면, 타원 함수는 가우스 평면 '''C''' 상에서 정의되는 유형 함수 ''f''로서, ''a''/''b''가 실수가 아닌 두 개의 복소수 ''a'', ''b''가 존재하여, ''f''(''z'')가 정의되는 모든 ''z''에 관하여

: $f(z+a)=f(z+b)=f(z)$

가 성립하는 것을 말한다. 여기서 더 나아가, 임의의 정수 ''m'', ''n''에 대하여

: $f(z+ma+nb)=f(z)$

가 성립하는 것도 따른다.

"표준적"('canonical')인 타원 함수의 구성법은 야코비에 의한 것과 바이어슈트라스에 의한 것 두 종류가 알려져 있으며, 타원 함수론의 현대적인 책에서는 많은 부분이 바이어슈트라스 방식이다. 바이어슈트라스 타원 함수의 개념은 편리하며, 그것을 이용하여 임의의 타원 함수를 다룰 수 있지만, 그에 반해 실용상, 특히 실함수를 다루고 있어 허수가 필요 없거나 물리적으로 중요하지 않은 경우 등 복소수의 사용을 피해야 할 때에는 야코비의 타원 함수가 가장 자주 나타난다. 바이어슈트라스가 타원 함수에 관심을 갖게 된 것은, 가우스의 제자 크리스토프 구더만에게 사사받을 무렵이다.

야코비 타원 함수 (그리고 이는 이중 주기 함수는 아니지만 보조적으로 사용되는 세타 함수)는 바이어슈트라스에 의한 것에 비해 복잡하지만, 역사적으로나 일반론적으로나 중요한 함수이다. 두 이론의 가장 큰 차이점은, 바이어슈트라스 타원 함수가 그 주기가 이루는 격자군의 격자점에 2위 또는 그 이상의 극을 갖는 데 반해, 야코비 타원 함수는 1위의 극만을 갖는다는 것이다. 바이어슈트라스 쪽이 더 간명하므로, 기술면에서도 이해하는 면에서도 이론을 전개하기 쉽다.

더 일반적으로, 타원 함수의 연구는 모듈러 함수와 모듈러 형식의 연구와 밀접한 관계에 있으며, 또한 그 관계는 모듈러성 정리에 의해 밝혀졌다. 그러한 관계에는 예를 들어 ''j''-불변량이나 아이젠슈타인 급수 또는 데데킨트 에타 함수 등이 포함된다.

6. 예

대표적인 예로, 바이어슈트라스 타원함수 $\wp(z;\omega_1,\omega_2)$ 와 야코비 타원함수 $\operatorname{sn}(z)$ , $\operatorname{cn}(z)$ , $\operatorname{dn}(z)$ 가 있다.

가장 중요한 타원 함수 중 하나는

\wp

-함수이다. 이는 주어진 주기 격자

\Lambda

에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right).

이 함수는 모든 격자점에서 2차 극점을 갖도록 구성되며,

-\frac1{\lambda^2}

항은 급수가 수렴하도록 하기 위해 존재한다.

\wp

는 짝수 타원 함수로,

\wp(-z)=\wp(z)

이다.^[6] 그 도함수는 다음과 같다.

:

\wp'(z)=-2\sum_{\lambda\in\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}

이는 홀함수, 즉

\wp'(-z)=-\wp'(z)

이다.^[6]

주어진 주기 격자

\Lambda

에 대한 모든 타원 함수는

\wp

와

\wp'

에 대한 유리 함수로 표현될 수 있다는 점은 타원 함수 이론의 주요 결과 중 하나이다.^[7]

\wp

-함수는 다음의 미분 방정식을 만족한다.

:

\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3,

여기서

g_2

와

g_3

은

\Lambda

에 의존하는 상수이다. 더 정확하게는,

g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2)

이고

g_3(\omega_1,\omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2)

이며, 여기서

G_4

와

G_6

는 아이젠슈타인 급수이다.^[8]

타원 적분은 르장드르에 의해 연구되었고, 그의 연구는 닐스 헨리크 아벨과 야코비에 의해 계속 이어졌다.

아벨은 타원 적분 함수

\alpha(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-c^2t^2)(1+e^2t^2)}}

의 역함수

\varphi

를 취하여 타원 함수를 발견했다.

:

x=\varphi(\alpha)

또한 아벨은 다음 함수들을 정의했다.

:

f(\alpha)=\sqrt{1-c^2\varphi^2(\alpha)}

:

F(\alpha)=\sqrt{1+e^2\varphi^2(\alpha)}

.

복소 평면으로의 연장을 통해 이 함수들은 이중 주기 함수가 되었고, 아벨 타원 함수로 알려지게 되었다.

야코비 타원 함수도 마찬가지로 타원 적분의 역함수로 얻어진다. 야코비는 적분 함수

:

\xi(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}

를 고려하여 이를 역변환했다:

x=\operatorname{sn}(\xi)

.

\operatorname{sn}

은 'sinus amplitudinis'의 약자이며, 야코비가 새로 만든 함수의 이름이다. 그는 이어서 다음과 같이 정의되는 'cosinus amplitudinis'와 'delta amplitudinis' 함수를 도입했다.

:

\operatorname{cn}(\xi):=\sqrt{1-x^2}

:

\operatorname{dn}(\xi):=\sqrt{1-k^2x^2}

.

야코비는 1827년 이 단계를 거쳐 타원 적분의 일반적인 변환 공식을 증명할 수 있었다.

야코비와 바이어슈트라스에 의해 "표준적인" 타원 함수의 구성법 두 종류가 알려져 있다. 바이어슈트라스 타원 함수는 편리하며, 임의의 타원 함수를 다루는데 사용될 수 있다. 그러나 실용적인 면에서, 특히 실함수를 다루고 있어 허수가 필요 없거나 물리적으로 중요하지 않은 경우 등 복소수의 사용을 피해야 할 때에는 야코비의 타원 함수가 가장 자주 나타난다.

7. 역사

미적분학이 개발된 직후, 타원 함수 이론은 이탈리아 수학자 줄리오 디 파냐노와 스위스 수학자 레온하르트 오일러에 의해 시작되었다. 그들은 똬리 곡선의 호의 길이를 계산하려고 시도했을 때, 3차 및 4차 다항식의 제곱근을 포함하는 적분과 관련된 문제에 직면했다.^[13] 이러한 타원 적분이 초등 함수를 사용하여 해결될 수 없다는 것은 분명했다. 파냐노는 1750년에 출판한 타원 적분 간의 대수적 관계를 관찰했다.^[13] 오일러는 즉시 파냐노의 결과를 일반화했고 타원 적분에 대한 대수적 덧셈 정리를 제시했다.^[13]

랜던의 언급을 제외하고는,^[14] 그의 아이디어는 1786년 르장드르가 논문 "타원 호의 적분에 대한 회고록"을 발표할 때까지 추구되지 않았다.^[15] 르장드르는 이후 타원 적분을 연구했고 이를 "타원 함수"라고 불렀다. 그는 타원 적분을 세 가지 종류로 분류했는데, 이는 당시 다소 복잡했던 이론을 획기적으로 단순화한 것이었다. 르장드르의 다른 중요한 저작으로는 "타원 초월 함수에 대한 회고록"(1792),^[16] "적분 계산 연습"(1811-1817),^[17] "타원 함수론"(1825-1832)이 있다.^[18] 르장드르의 연구는 1826년까지 대부분 수학자들에게 거의 영향을 미치지 않았다.

그 후, 닐스 헨리크 아벨과 카를 구스타프 야코비가 연구를 재개하여 빠르게 새로운 결과를 발견했다. 처음에는 타원 적분 함수를 역함수로 만들었다. 1829년 야코비의 제안에 따라 이러한 역함수는 현재 "타원 함수"라고 불린다. 야코비의 가장 중요한 저작 중 하나는 1829년에 출판된 "타원 함수론의 새로운 기초"이다.^[19] 오일러가 발견한 덧셈 정리는 1829년 아벨에 의해 일반적인 형태로 제시되고 증명되었다. 당시 타원 함수 이론과 이중 주기 함수 이론은 서로 다른 이론으로 여겨졌으나, 1856년 브리오와 부케에 의해 통합되었다.^[20] 가우스는 30년 전에 타원 함수의 많은 속성을 발견했지만 이 주제에 대해 아무것도 출판하지 않았다.^[21]

참조

_[1] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[2] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[3] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century 2015
_[4] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[5] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[6] 서적 Elliptic functions Springer-Verlag 1985
_[7] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[8] 서적 Funktionentheorie 1 Springer 2006
_[9] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century 2015-10-14
_[10] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century 2015-10-14
_[11] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century 2015-10-14
_[12] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century 2015-10-14
_[13] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century https://www.worldcat[...] 2015
_[14] 간행물 An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom. The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1775
_[15] 간행물 Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse. https://books.google[...] Histoire de l’Académie royale des sciences Paris 1788
_[16] 서적 Mémoire sur les transcendantes elliptiques https://books.google[...] Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792
_[17] 서적 Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. https://books.google[...] Paris 1811-1817
_[18] 서적 Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. https://books.google[...] Huzard-Courcier, Paris 1825-1832
_[19] 서적 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. https://books.google[...] Königsberg 1829
_[20] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century https://www.worldcat[...] 2015
_[21] 서적 Real and the complex : a history of analysis in the 19th century https://www.worldcat[...] 2015
_[22] 서적 Introduction to elliptic curves and modular forms 1993

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