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토드 특성류

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목차

1. 개요

토드 특성류는 복소수 벡터 다발의 특성류 중 하나로, 유리수 계수의 코호몰로지류이며, 천 특성류를 사용하여 정의된다. 1937년 존 아서 토드에 의해 처음 도입되었으며, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 중요한 역할을 한다. 이 특성류는 벡터 다발의 직합에 대해 곱셈적 성질을 가지며, 복소 사영 공간에서의 토드 특성류 및 대수 곡선과 같은 구체적인 예시를 통해 이해할 수 있다.

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토드 특성류
일반 정보
학문 분야대수기하학, 위상수학
정의벡터 다발의 특성류
발견자존 아서 토드
수학적 속성
연관 대상코호몰로지 환
성질가법적 함수
관련 개념지표 정리, 리만-로흐 정리
특징가역적 특성류
역할코호몰로지류의 곱셈 구조 결정
응용
활용 분야대수기하학, 위상수학, 미분기하학
관련 항목
관련 항목지표 이론, 그로텐디크-힐츠부르흐-리만-로흐 정리, 코노말 다발

2. 정의

토드 특성류는 파라콤팩트 공간 X 위의 복소수 벡터 다발 E에 대하여 정의되는 특성류의 일종이다. 분할 원리에 의해 E가 복소수 선다발들의 직합인 것처럼 간주하여, 각 선다발의 천 특성류에 대한 대칭 다항식으로 정의된다. 토드 특성류는 유리수 계수의 코호몰로지류이다.[3]

2. 1. 토드 특성류의 공식

분할 원리에 의하여, 복소수 벡터 다발 E의 특성류는 E가 복소수 선다발들의 직합 L_1\oplus \dotsb \oplus L_n인 것처럼 볼 때, 이들의 천 특성류 x_i = \operatorname c_1(L_i)에 대한 대칭 다항식으로 정의된다. 토드 특성류는 다음과 같은 형식적 멱급수로 주어진다.[3]

:\operatorname{Td}(E)=\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}=\prod_{i=1}^n\left(1+\frac12x_i+\frac1{12}x_i^2-\frac1{720}x_i^4+\dotsb\right) \in \operatorname H^\bullet(M;\mathbb Q)

여기서 x_i는 E를 복소수 선다발들의 직합으로 보았을 때 각 선다발의 천 특성류이다.

천 특성류 c_i를 사용하여 토드 특성류를 나타내면 다음과 같다.

:\operatorname{Td}(E)=1+\frac12\operatorname c_1(E)+\frac1{12}\left(\operatorname c_1(E)^2+\operatorname c_2(E)\right)+\frac1{24}\operatorname c_1(E)\operatorname c_2(E)+\frac1{720}\left(-\operatorname c_1(E)^4+4\operatorname c_1(E)^2\operatorname c_2(E)+\operatorname c_1(E)\operatorname c_3(E)+3\operatorname c_2(E)^2-\operatorname c_4(E)\right)+\dotsb

일반적으로 토드 특성류는 체른 근을 이용해 정의할 수 있다. E가 위상 공간 X 위의 복소수 벡터 다발일 때, 천 근(분할 원리)을 사용하여 선 다발의 휘트니 합의 경우로 정의를 한정할 수 있다.

Q(x) = \frac{x}{1 - e^{-x}}=1+\dfrac{x}{2}+\sum_{i=1}^\infty \frac{B_{2i}}{(2i)!}x^{2i} = 1 +\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{x^4}{720}+\cdots

는 Q(x)^{n+1}에서 x^n의 계수가 1인 형식적 멱급수이며, 여기서 B_i는 i번째 베르누이 수이다.

E가 \alpha_i를 체른 근으로 갖는다면, 토드 특성류는 다음과 같다.

:\operatorname{td}(E) = \prod Q(\alpha_i)

2. 2. 천 특성류를 이용한 표현

분할 원리에 따라, 복소수 벡터 다발 E의 토드 특성류는 E가 복소수 선다발들의 직합 L_1\oplus \dotsb \oplus L_n인 것처럼 간주할 때, 이들의 천 특성류 x_i = \operatorname c_1(L_i)에 대한 대칭 다항식으로 주어진다. 토드 특성류는 다음과 같이 천 특성류(c_i)의 형식적 멱급수로 표현할 수 있다.[3]

:\operatorname{Td}(E)=1+\frac12\operatorname c_1(E)+\frac1{12}\left(\operatorname c_1(E)^2+\operatorname c_2(E)\right)+\frac1{24}\operatorname c_1(E)\operatorname c_2(E)+\frac1{720}\left(-\operatorname c_1(E)^4+4\operatorname c_1(E)^2\operatorname c_2(E)+\operatorname c_1(E)\operatorname c_3(E)+3\operatorname c_2(E)^2-\operatorname c_4(E)\right)+\dotsb

3. 성질

토드 특성류는 벡터 다발의 직합에 대해 곱셈적 성질을 갖는다. 즉, 두 벡터 다발의 직합의 토드 특성류는 각 벡터 다발의 토드 특성류의 합곱과 같다.

:\operatorname{Td}(E\oplus F)=\operatorname{Td}(E)\smile\operatorname{Td}(F)

3. 1. 복소 사영 공간에서의 토드 특성류

토드 특성류는 곱셈적 성질을 가진다. 즉,

::\operatorname{td}(E\oplus F) = \operatorname{td}(E)\cdot \operatorname{td}(F).

이다.

초평면 구간의 기본류를 \xi \in H^2({\mathbb C} P^n)라고 하자. 곱셈적 성질과 {\mathbb C} P^n의 접다발에 대한 Euler exact sequence|오일러 완전열영어로부터[1]

:: 0 \to {\mathcal O} \to {\mathcal O}(1)^{n+1} \to T {\mathbb C} P^n \to 0,

다음 식을 얻는다.[4]

:: \operatorname{td}(T {\mathbb C}P^n) = \left( \dfrac{\xi}{1-e^{-\xi}} \right)^{n+1}.

4. 예시

임의의 대수 곡선 C에 대한 토드 특성류는 \operatorname{td}(C) = 1 + \frac{1}{2} c_1(T_C)이다.

4. 1. 평면 곡선의 예시

임의의 대수 곡선 C에 대해 토드 특성류는 단순히 \operatorname{td}(C) = 1 + \frac{1}{2} c_1(T_C)이다. C가 사영적이므로, 어떤 \mathbb{P}^n에 삽입 될 수 있으며, 다음의 정규열과 천 특성류의 성질을 사용하여 c_1(T_C)를 구할 수 있다.

:0 \to T_C \to T_\mathbb{P^n}|_C \to N_{C/\mathbb{P}^n} \to 0

예를 들어, \mathbb{P}^2에서 차수 d인 평면 곡선이 있는 경우, 전체 천 특성류는 다음과 같다.

:\begin{align}

c(T_C) &= \frac{c(T_{\mathbb{P}^2}|_C)}{c(N_{C/\mathbb{P}^2})} \\

&= \frac{1+3[H]}{1+d[H]} \\

&= (1+3[H])(1-d[H]) \\

&= 1 + (3-d)[H]

\end{align}

여기서 [H]는 C에 제한된 \mathbb{P}^2 내의 초평면 특성류이다.

5. 역사

존 아서 토드(John Arthur Todd)가 1937년 영국에서 도입하였다.[6] 이는 최초로 발견된 특성류의 하나이며, 천싱선이 천 특성류를 1946년 도입하기 오래 전에 발견되었다.

토드는 1937년, 천 특성류가 정의되기 전에 대수 기하학에서 이 개념의 특수한 경우를 소개하여 이 특성류의 이름을 따왔다. 관련된 기하학적 아이디어는 때때로 '''토드-에거 특성'''이라고 불린다. 고차원에서의 일반적인 정의는 프리드리히 히르체브루흐에 의해 이루어졌다.

6. 히르체브루흐-리만-로흐 정리

히르체브루흐-리만-로흐 정리는 매끄러운 콤팩트 복소다양체 ''M'' 위의 임의의 가환층 ''F''에 대해 다음이 성립한다는 정리이다.

:\chi(F)=\int_M \operatorname{ch}(F) \wedge \operatorname{td}(TM),

여기서 \chi(F)는 정칙 오일러 지표이며, 다음과 같이 정의된다.

:\chi(F):= \sum_{i=0}^{\text{dim}_{\mathbb{C}} M} (-1)^i \text{dim}_{\mathbb{C}} H^i(M,F),

\operatorname{ch}(F)는 Chern 지표이다. 이 정리는 토드 특성류가 특성류의 역수라는 개념을 구체적으로 보여준다. 더 자세한 내용은 히르체브루흐-리만-로흐 정리에서 확인할 수 있다.

6. 1. 응용

히르제브루흐-리만-로흐 정리는 콤팩트 복소다양체 X 위의 임의의 정칙 벡터 다발 E에 대해, 층 코호몰로지 내에 있는 E의 정칙 오일러 지표를 계산하기 위해 적용된다. 이 정리는 E의 천 특성과 X의 토드 특성(X의 접다발의 토드 특성)으로부터 오일러 수 χ(X, E)가 유도된다는 것을 보여준다. E의 천 지표를 ch(E)라 하고, X의 토드 특성을 td(X)라고 하면, 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)

여기서 td(X)는 X의 접다발의 토드 특성이다.

참조

[1] 문서 Intersection Theory Class 18 http://math.stanford[...]
[2] 웹사이트 可微分多様体 http://pantodon.shin[...] 2011年9月11日 2018-09-24
[3] 웹사이트 無限次元多様体の幾何学とトポロジー http://pantodon.shin[...] 2011年1月6日 2018-09-24
[4] 문서 Intersection Theory Class 18 http://math.stanford[...]
[5] 서적 지표이론 https://web.archive.[...] 경문사 2014-11-12
[6] 저널 The arithmetical theory of algebraic loci 1937


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