톰 스펙트럼

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1. 개요

톰 스펙트럼은 분류 공간과 연관 벡터 다발을 사용하여 정의되는 위상수학적 스펙트럼이다. 실수, 복소수, 사원수를 사용하여 톰 스펙트럼을 정의할 수 있으며, 각각 MO, MU, MUSp로 표기된다. 르네 톰의 이름을 따서 명명되었다.

톰 스펙트럼

기본 정보

영어	Thom spectrum

유형	스펙트럼
분야	호모토피 이론
명명자	르네 톰

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1. 개요
2. 정의
3. 역사

2. 정의

톰 스펙트럼은 스펙트럼의 한 종류로, 직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군 등과 같은 분류 공간과 그에 따른 연관 벡터 다발의 톰 공간을 통해 정의된다. 톰 스펙트럼은 실수, 복소수, 사원수 등 다양한 수 체계를 바탕으로 정의할 수 있다.

2.1. 실수 톰 스펙트럼

분류 공간
: $\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)$
위의 연관 벡터 다발
: $\mathbb R^n \hookrightarrow (\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)$
의 톰 공간을 다음과 같이 표기한다.
: $\operatorname{MO}(n) = \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)$

리 군의 포함 관계
: $\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname O(n+1)$
로부터 유도되는 분류 공간의 포함 관계
: $g_n\colon \operatorname{BO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BO}(n+1)$
로부터, 벡터 다발의 당김 올다발
: $g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n)\twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)$
을 정의할 수 있다. 이 경우,
: $g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n) = \operatorname{EO}(n) \oplus_{\operatorname{BO}(n)} (\operatorname{BO}(n) \times\mathbb R)$
은 자명한 1차원 벡터 다발을 직합으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 축소 현수를 이룬다.
: $\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n)\right)= \Sigma \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n) = \Sigma\operatorname{MO}(n)$
즉, 이는 사상
: $\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)$
을 정의한다. 이 사상들은 스펙트럼
: $\operatorname{MO}$
을 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼(Thom spectrum^영어)이라고 한다.

2.2. 복소수 톰 스펙트럼

유니터리 군의 분류 공간과 연관 벡터 다발의 톰 공간을 이용하여 복소수 톰 스펙트럼을 정의할 수 있다. 스펙트럼 $\operatorname{MU}$ 는 실수와 직교군 대신 복소수와 유니터리 군을 사용하여 정의한다. 구체적으로, 포함 관계
: $g_n\colon\operatorname{BU}(n) \hookrightarrow\operatorname{BU}(n+1)$
에 의하여,
: $g_n^* (\operatorname{EU}(n+1)\times_{\operatorname U(n+1)}\mathbb C^n) = \operatorname{EU}(n) \oplus (\operatorname{BU}(n) \times\mathbb C)$
이므로,
: $\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EU}(n+1)\times_{\operatorname U(n+1)}\mathbb C^n)\right)= \Sigma^2 \operatorname{Th}(\operatorname{EU}(n)\times_{\operatorname U(n)}\mathbb C^n) = \Sigma^2\operatorname{MU}(n)$
이다. 그러나 복소평면은 (실수선과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다.

2.3. 사원수 톰 스펙트럼

사원수와 콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$ 을 사용하여 스펙트럼 $\operatorname{MUSp}$ 를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계
: $g_n\colon\operatorname{BUSp}(2n) \hookrightarrow\operatorname{BUSp}(2n+2)$
에 의하여,
: $g_n^* (\operatorname{EUSp}(2n+2)\times_{\operatorname{USp}(2n+2)}\mathbb H^n) = \operatorname{EUSp}(2n) \oplus (\operatorname{BUSp}(2n) \times\mathbb H)$
이므로,
: $\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EUSp}(2n+2)\times_{\operatorname{USp}(2n+2)}\mathbb H^n)\right)= \Sigma^4 \operatorname{Th}(\operatorname{EUSp}(2n)\times_{\operatorname{USp}(2n)}\mathbb H^n) = \Sigma^4\operatorname{MUSp}(4n)$
이다. 사원수 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다.

3. 역사

프랑스의 수학자 르네 톰의 이름을 따서 명명되었다.