파의 전파

1. 개요

파의 전파는 파동이 공간을 통해 이동하는 현상에 대한 설명이다. 평면파의 전파와 반사는 지진학의 기본 개념으로, 압력파(P파)와 전단파(S파)의 반사 및 전파를 다룬다. SV파는 P파와 SV파로 반사되며, P파 입사 시에도 P파와 SV파로 반사되지만 반사가 일어나지 않는 특수한 경우도 존재한다. 파의 속력은 위상속도와 군속도로 정의되며, 위상속도는 파동의 일정한 위상이 이동하는 속도, 군속도는 좁은 주파수 범위 내의 파동이 이동하는 속도를 의미한다. 위상속도와 파수는 분산 관계를 가지며, 분산 관계에 따라 비분산파와 분산파로 나뉜다. 한국의 지진 연구에서는 P파와 SV파의 반사 특성을 분석하여 지각 구조를 파악하고 지진 발생 메커니즘을 연구하며, 한국 해역의 수심과 해류 조건은 파도의 분산 특성에 영향을 미친다.

2. 반공간에서 평면파의 전파와 반사

압력파(P파)와 전단파(S파 혹은 SH파 등)와 같은 평면파의 전파와 반사는 고전적인 지진학 분야에서 처음 특성화된 현상으로, 현대에는 지진을 일으키는 단층 투영에 있어 가장 기본적인 개념으로 여겨진다. 이 문제에 대해서는 분석적인 해결법이 존재하며 잘 알려져 있다. 변위장의 헬름홀츠 분해를 구한 후, 이를 파동 방정식에 대입하여 주파수 영역에서의 해를 구할 수 있다. 여기서 평면파의 고유모드를 구할 수 있다.

2.1. SV파 전파

반공간에서 SV파의 전파를 해석하면 평면 SV파가 특수한 경우를 제외하고 P파와 SV파로 다시 반사되는 형태이다. 반사된 SV파의 각도는 입사파의 각도와 동일하지만 반사된 P파의 각도는 SV파의 각도보다 더 크다. 동일한 파동 주파수의 경우 SV파의 파장은 P파의 파장보다 작다.

2.2. P파 전파

P파가 입사될 경우 SV파와 비슷하게 P파와 SV파로 각각 반사된다. 하지만 반사가 이루어지지 않는 특수한 경우가 존재한다.

3. 파의 속력

파가 전파될 때 그 속도는 다양하게 정의될 수 있으며, 파의 위상, 에너지, 정보 등을 고려하면 여러 가지 속도가 나올 수 있다. 대표적인 파의 속력에는 위상속도, 군속도 등이 있다.

군속도는 좁은 주파수 범위 내의 확률파동이 이동하는 속도를 의미한다. 거의 모든 경우 파동은 주로 매질을 통한 에너지의 움직임으로 나타나는데, 대부분 군속도는 에너지가 이 매질을 통해 이동하는 속도를 의미한다.

각진동수(ω)와 파수(k)는 독립적으로 선택할 수 없으며, 이 둘은 분산 관계로 연관되어 있다.

3.1. 위상속도

파가 전파될 때 그 속도는 다양한 방법으로 정의할 수 있으며, 파의 위상과 에너지, 정보 등을 고려할 때 다양한 속도가 나올 수 있다. 대표적인 파의 속력인 위상속도는 아래와 같다.

:$$v\_\{\backslash rm\; p\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\}\{k\},$$

여기서,
* v_p는 위상속도이다. (m/s)
* ω는 각진동수이다. (rad/s)
* k는 파수이다. (rad/m)

위상속도는 파동에서 일정한 위상 내의 한 지점이 이산적인 주파수에 대해 이동하는 속도를 의미한다. 각진동수 ω는 파수 k와 독립적으로 선택할 수 없으며, 아래의 분산 관계로 연관되어 있다.

:$$\backslash omega\; =\; \backslash Omega(k).$$

Ω(k) = ck에서 c가 상수인 특수한 경우, 모든 주파수에서 동일한 위상속도 c로 이동하기 때문에 이를 비분산파라고 한다. 대표적으로 진공에서 전파되는 전자기파가 비분산파이다. 하지만 각진동수와 파수가 이와 다른 분산 관계일 경우 이를 분산파라고 한다. 분산파는 파동이 전파되는 매질과 파동의 종류에 따라 전파 속도가 달라지는 파로 음파나 파도 등이 이에 속한다.

3.2. 군속도

좁은 주파수 범위 내의 확률파동이 이동하는 속도를 군속도라고 하며, 군속도는 아래와 같이 분산 관계식의 그레디언트로 정의된다.

$$v\_\{\backslash rm\; g\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\{\backslash partial\; k\}$$

거의 모든 경우 파동은 주로 매질을 통한 에너지의 움직임으로 나타난다. 대부분 군속도는 에너지가 이 매질을 통해 이동하는 속도를 의미한다.

3.3. 분산 관계

각진동수(ω)는 파수(k)와 독립적으로 선택할 수 없으며, 이 둘은 분산 관계($$\backslash omega\; =\; \backslash Omega(k).$$)로 연관되어 있다. 분산 관계는 파동의 각진동수와 파수 사이의 관계를 나타낸다. 특수한 경우를 제외하면, 파동은 매질과 종류에 따라 전파 속도가 달라지는 분산파이다.

3.3.1. 비분산파

(c는 상수)인 경우, 모든 주파수에서 동일한 위상속도 c로 이동한다. 진공에서 전파되는 전자기파가 대표적이다.

3.3.2. 분산파

각진동수와 파수가 비선형적인 분산 관계를 가질 때, 파동이 전파되는 매질과 파동의 종류에 따라 전파 속도가 달라진다. 음파나 파도 등이 분산파에 속한다. 한국 해역의 다양한 수심과 해류 조건은 파도의 분산 특성에 큰 영향을 미치며, 이는 해양 환경 예측 및 방재에 중요한 고려 사항이다.