확률파동

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 양자역학에서의 중요성
4. 기본 성질
5. 자유 전파자 (Free propagator)
6. 확산과의 관계 (Analytic continuation to diffusion)
참조

1. 개요

확률파동은 여러 파동의 중첩으로 특정 공간에만 파동이 남는 상태를 의미한다. 19세기 중반부터 연구가 시작되었으며, 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 발표한 후 파동 묶음 개념을 도입했다. 양자역학에서 파동 묶음은 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 원자 및 아원자 시스템의 특성을 설명하는 데 중요한 역할을 하며, 불확정성 원리에 따라 위치와 운동량의 불확정성을 최소화하는 상태를 나타낸다. 파동 묶음은 분산, 가우스 파동 묶음, 에어리 파동 묶음 등 다양한 형태를 가지며, 자유 전파자, 확산과의 관계 등 여러 가지 특성을 갖는다.

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확률파동
개요
종류	파동 묶음
설명	공간의 작은 영역에 국한된 파동
특징	다양한 파장과 진폭을 가진 무한히 많은 수의 정현파의 중첩으로 나타낼 수 있음
관련 개념	불확정성 원리
물리적 특성
군속도	파동 묶음의 전체적인 모양이 전파되는 속도
분산	파동 묶음이 시간 경과에 따라 퍼지는 현상
원인	파동의 속도가 파장에 따라 달라지기 때문
관계	드브로이 관계
활용
양자역학	입자의 파동성을 나타내는 데 사용

2. 역사적 배경

변조, 반송파, 위상 속도, 군 속도 등 파동 묶음과 관련된 개념은 1800년대 중반부터 연구되기 시작했다. 1839년 윌리엄 로언 해밀턴이 파동의 위상 속도와 구별되는 군 속도 개념을 처음 제안했고,^[3] 1877년 레일리 경이 저서 "소리 이론"에서 이를 처음으로 전체적으로 다루었다.^[3]

에르빈 슈뢰딩거는 파동 방정식을 발표한 직후 파동 묶음 개념을 도입했다.^[4] 그는 양자 조화 진동자에 대한 파동 방정식을 풀고 중첩의 원리를 도입하여 콤팩트한 상태가 지속될 수 있음을 보였다. 그러나 이듬해 베르너 하이젠베르크가 불확정성 원리에 대한 논문을 발표하면서, 슈뢰딩거의 결과가 쿨롱 전위가 아닌 양자 조화 진동자에만 적용된다는 것을 밝혔다.^[4]

1927년, 찰스 갈턴 다윈은 자유 공간에서 구속되지 않은 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 연구했다.^[5] 그는 초기 가우스 파동 묶음을 가정하여 파동 묶음이 시간이 지남에 따라 퍼지는 현상을 발견했다.

같은 해 후반, 파울 에렌페스트는 폭 $\Delta x$ 와 질량 $m$ 을 가진 물질파 묶음이 2배로 퍼지는 시간 $T$ 가 $T\approx \Delta x \sqrt{m/\hbar}$ 임을 보였다. $\hbar$ 가 매우 작기 때문에, 넓이와 질량이 큰 거시적 물체의 파동 묶음은 우주적 시간 규모에서만 두 배로 증가한다.^[4]

3. 양자역학에서의 중요성

양자역학은 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 원자 및 아원자 시스템의 특성을 설명한다. 이 방정식의 다양한 해에서 형성된 파동 묶음은 양자역학의 고전적인 극한과 양자 산란의 많은 공식화에 사용된다.^[4] 파동 묶음은 위치 국소화와 운동량 확산 사이의 절충을 가지며, 이는 하이젠베르크 불확정성 원리의 특징이다.

위치 불확실성( $\Delta x$ )과 운동량 불확실성( $\Delta p_x$ )의 곱을 최소화하는 최적의 절충 상태가 존재한다.^[6] 이러한 묶음은 정지 상태를 유지하며, 위치와 운동량의 평균값은 고전적인 입자와 일치한다. 그러나 파동 묶음은 모든 방향으로 퍼져나가 빠르게 분산된다.

파동 묶음은 양자 산란 접근법에서 중요한 역할을 한다.^[7] 단색(단일 운동량) 소스는 산란 모델에서 수렴 문제를 일으키지만, 파동 묶음은 이러한 문제를 해결한다.^[8] 산란 대상의 크기가 파동 묶음보다 훨씬 작으면, 파동 묶음의 중심은 고전적인 궤적을 따른다. 그렇지 않은 경우에는 파동 묶음이 왜곡되고 산란된다.

자유 입자의 고유 상태인 평면파로부터 만들어지는 가우스 파동 묶음을 통해, 양자론에서 분산이 있음을 알 수 있다. 1차원에서 자유 입자의 상태를 고려하면, 가우스 파동 묶음은 다음과 같이 표현된다.

: $\psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt[4]{a^2\pi}}\exp\left[-\frac{x^2}{2a}+ikx\right]$

시간이 지남에 따라 이 파동 묶음은 퍼져나가며, 그 폭은 다음과 같이 변화한다.

: $|\psi(x,t)|^2=\frac{1}{a\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{1+(\hbar t/ma^2)^2}}\exp\left[-\frac{[x-(\hbar k/m)t]^2}{a^2[1+(\hbar t/ma^2)^2]}\right]$

이는 군속도 $v = \frac{\hbar k}{m}$ 로 이동하며, 시간이 지남에 따라 공간에 넓게 퍼짐을 나타낸다.

양자론에서 위치( $x$ )와 운동량( $p$ )은 비가환이므로 불확정성 원리 $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ 가 성립한다. 파동 묶음 상태는 이 불확정성 원리가 허용하는 한에서 $\Delta x$ 와 $\Delta p$ 가 모두 작은 상태를 나타낸다. 고전적인 스케일에서는 이 불확정성이 측정 오차에 묻혀 보이지 않으므로, 측정 대상은 고전적인 입자처럼 보인다.^[22]

양자론에서 가우스 파동 묶음은 '최소 불확정 상태'라고도 불린다.^[23]^[24] $t=0$ 에서 원점을 중심으로 한 3차원 가우스 파동 묶음은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\psi(\mathbf{r},0)=e^{-\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}/2a}$

여기서 $a$ 는 파동 묶음 폭의 제곱을 나타내는 양의 실수이다. 이 파동 묶음의 푸리에 변환 역시 가우스 함수가 되며, 불확정성 관계에서 등호가 성립한다. 즉,

: $\Delta x\cdot\Delta p_x=\frac{\hbar}{2}$

이다.

4. 기본 성질

고전 역학에서 3차원 파동 방정식은 다음과 같다.

: $\frac{\partial^2 u(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u(\mathbf{x},t)$

여기서 $c$ 는 파동의 전파 속도이다. 이 파동 방정식은 평면파 해

: $u(\mathbf{x}, t) = e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega_{\mathbf{k}}t)}$

를 가지며, 분산 관계는 다음과 같다.

: $\omega_\mathbf{k}^2=|\mathbf{k}|^2 c^2$

: $|\mathbf{k}|^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2$

즉, 이 경우에는 분산이 없다.

간단하게 1차원을 고려하면, 일반 해는 다음과 같다.

: $u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega_k t)}+Be^{-i(kx+\omega_k t)}$

: $\omega_k=ck$

우변의 첫 번째 항은 $x - ct$ 에 대한 함수이며, $x$ 에 대한 함수를 $ct$ 만큼 양의 방향으로 이동시킨 것이다. 따라서 파동이 양의 $x$ 방향으로 속도 $c$ 로 전파하는 상태를 나타낸다. 두 번째 항은 $x + ct$ 의 함수이므로, 파동이 음의 $x$ 방향으로 전파하는 상태를 나타낸다.

마찬가지로 파동 묶음도 $\omega(k) = kc$ 일 때는 $u(x, t) = F(x - ct)$ 이므로 오른쪽 방향으로 이동하고, $\omega(k) = -kc$ 일 때는 $u(x, t) = F(x + ct)$ 이므로 왼쪽 방향으로 이동한다.

예를 들어, 시간 $t = 0$ 에서 가우스형 파동 묶음

: $\psi(x,0)=e^{-x^2 +ik_0x}$

이 주어졌다고 하자. 중첩 계수는 역 푸리에 변환에 의해

: $A(k)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{(k-k_0)^2}{4}}$

로 얻어진다. 이 가우스 파동 묶음의 시간 변화는 분산 관계 $\omega = ck$ 를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}\psi(x,t)&=e^{-(x-ct)^2 +ik_0(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^2}\left[\cos\left(2\pi\frac{x-ct}{\lambda}\right)+i\sin\left(2\pi\frac{x-ct}{\lambda}\right)\right]\end{align}$

이 식에서 허수부는 여현파에 수직 편광하는 정현파를 나타낸다.

4. 1. 분산 (Dispersion)

분산은 파동 묶음이 전파되면서 형태가 변하는 현상이다. 각진동수(ω)와 각파수 벡터(k) 사이의 관계를 나타내는 분산 관계가 비선형일 때 분산이 발생한다. 분산이 없는 경우 파동 묶음은 형태를 유지하며 전파된다. 반면에 분산이 있는 경우 파동 묶음은 시간이 지남에 따라 퍼지고 진폭이 감소한다.^[3]

고전 물리학에서 파동 방정식의 해는 분산이 없는 전파의 예시이다. 파동 방정식은 다음과 같다.

:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \, \nabla^2 u,

여기서 c는 파동의 전파 속도이다. 이 방정식의 평면파 해는 다음과 같으며,

:

u(\mathbf{x},t) = e^{i{(\mathbf{k\cdot x}}-\omega(\mathbf{k}) t)},

각진동수 ω와 각파수 벡터 k 사이의 분산 관계는 다음과 같이 선형이다.

:

\omega(\mathbf{k}) =\pm |\mathbf{k}| c = \pm \frac{2\pi c}{\lambda},

자유 슈뢰딩거 방정식은 분산의 대표적인 예시이다.^[9]

:

i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^2 \psi,

이 방정식의 평면파 해는 다음과 같다.

:

\psi (\mathbf{r},t) = A e^{i{[\mathbf{k\cdot r}}-\omega(\mathbf{k}) t]},

여기서 분산 관계는 다음과 같이 비선형이다.

:

\omega (\mathbf{k}) = \frac{\hbar \mathbf{k}^2}{2m}=\frac{\hbar}{2m}(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2),

처음에 가우스 상태의 위치 공간 확률 밀도가 자유 공간에서 최소 불확실성이고 일정한 운동량을 가지고 1차원으로 움직이는 경우.

1차원 자유 슈뢰딩거 방정식에서 초기 조건이 가우스 함수 형태인 파동 묶음은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\psi(x,0)= \sqrt[4]{2/\pi} \exp\left({-x^2 + ik_0 x}\right),

이 파동 묶음의 시간 변화는 다음과 같다.

:

\begin{align}\psi(x,t) &= \frac{ \sqrt[4]{2/\pi}}{\sqrt{1 + 2it}} e^{-\frac{1}{4}k_0^2} ~ e^{-\frac{1}{1 + 2it}\left(x - \frac{ik_0}{2}\right)^2}\\&= \frac{ \sqrt[4]{2/\pi}}{\sqrt{1 + 2it}} e^{-\frac{1}{1 + 4t^2}(x - k_0t)^2}~ e^{i \frac{1}{1 + 4t^2}\left((k_0 + 2tx)x - \frac{1}{2}tk_0^2\right)} ~.\end{align}

이 파동 묶음의 확률 밀도는 다음과 같이 시간에 따라 퍼지는 것을 확인할 수 있다.

:

|\psi(x,t)|^2 = \frac{ \sqrt{2/\pi}}{\sqrt{1+4t^2}}~e^{-\frac{2(x-k_0t)^2}{1+4t^2}}~.

이는 파동 묶음이 일정한 군속도 k₀로 이동하면서 비국소화되고, 너비가 √(1 + 4t²) → 2t로 증가하여 결국 무한한 공간 영역으로 확산됨을 의미한다.

4. 2. 가우스 파동 묶음 (Gaussian wave packet)

가우스 파동 묶음은 가우스 함수 형태를 가지는 파동 묶음으로, 물리학에서 가장 널리 사용된다. 양자역학에서 가우스 파동 묶음은 시간이 지남에 따라 퍼지는 경향을 보이며, 이는 분산 현상의 결과이다.^[20]

가우스 파동 묶음은 위치와 운동량의 불확정성이 최소화되는 최소 불확정성 상태를 나타낸다.^[23]^[24] 즉, 위치 불확정성

\Delta x

와 운동량 불확정성

\Delta p_x

의 곱이 최소값인

\frac{\hbar}{2}

이 된다.^[6]

:

\Delta x\cdot\Delta p_x=\frac{\hbar}{2}

예를 들어, 원점을 중심으로 한 3차원 가우스 파동 묶음은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\psi(\mathbf{r},0)=e^{-\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}/2a}

여기서

a

는 양의 실수이며, 파동 묶음의 폭의 제곱이다.

:

a=\frac{2\langle\mathbf r\cdot\mathbf r\rangle}{3\langle 1\rangle} =2(\Delta x)^2

이때 푸리에 변환도 파수 벡터

\mathbf{k}

에 대한 가우스 함수가 된다.

:

\psi(\mathbf{k},0)=(2\pi a)^{3/2}e^{- a\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}/2}

이 가우스 파동 묶음의 폭은

a

의 역수이며, 다음과 같다.

:

\frac{1}{a}=\frac{2\langle\mathbf k\cdot\mathbf k\rangle}{3\langle 1\rangle} =2\left(\frac{\Delta p_x}{\hbar}\right)^2

2차원 가우스 파동 묶음은 x, y 방향으로 독립적으로 전파되는 1차원 가우스 파동 묶음의 곱으로 표현될 수 있다.

:

\psi(x,y,t)=\psi(x,t) \psi(y,t)

4. 3. 에어리 파동 묶음 (Airy wave train)

에어리 함수를 기반으로 하는 파동 함수는 모양을 유지하면서 자유 공간에서 가속하며 봉투 분산 없이 자유롭게 전파된다.^[14] 이러한 파동 묶음을 에어리 파동 묶음이라고 한다. 에어리 파동 묶음은 1차원 자유 공간에서 분산 없이 전파되는 유일한 파동이다.^[15]

에어리 파동 묶음의 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

\psi = \operatorname{Ai}\left[\frac{B}{\hbar^{2/3}}\left(x-\frac{B^3t^2}{4m^2}\right)\right]e^{(iB^3t/2m\hbar)[x-(B^3t^2/6m^2)]},

여기서 ''ħ''는 플랑크 상수, ''m''은 질량, ''B''는 임의의 상수, ''x''는 위치, ''t''는 시간이다.

단순화를 위해 ''ħ'' = 1, ''m'' = 1/2로 무차원화하면, 파동 함수는 다음과 같이 간단하게 표현된다.

\psi = \operatorname{Ai}[B(x-B^3t^2)] \, e^{iB^3t (x-\tfrac{2}{3}B^3t^2)} \, .

위상 공간에서 에어리 파동 묶음. 모양은 동일한 축을 갖지만 에어리 함수에 따라 진동하는 일련의 포물선이다. 시간 진화는 $x$ -방향을 따라 전단된다. 각 포물선은 이 전단 하에서 모양을 유지하고 정점은 다른 포물선을 따라 이동을 수행한다. 따라서 에어리 파동 묶음은 분산되지 않으며 파동 묶음의 군 운동은 일정한 가속을 받는다.

위상 공간 양자 역학에서 에어리 파동 묶음의 순수 상태 위그너 준확률 분포는 시간이 지나도 모양이 변하지 않지만, 가속 포물선에서 오른쪽으로 가속되는 특성을 보인다.

5. 자유 전파자 (Free propagator)

에르빈 슈뢰딩거가 제시한 가우스 파동 묶음 해의 좁은 폭 극한은 자유 전파자 커널이다. 양자 역학에서는 K의 시간 푸리에 변환에 그린 함수라는 이름을 사용하는 것이 일반적이다.^[17]

1차원에서 질량 ''m''과 ħ를 1로 설정하고, ε가 무한소량일 때, 적분이 1이 되도록 재조정된 가우스 초기 조건은 다음과 같다.

: $\psi_0(x) = {1\over \sqrt{2\pi \varepsilon} } e^{-{x^2\over 2\varepsilon}} \,$

이는 델타 함수 δ(''x'')가 되므로, 시간 진화는 다음과 같이 표현된다.

: $K_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (i t + \varepsilon)}} e^{ - x^2 \over 2(it+\varepsilon) }\,$

이것이 전파자를 나타낸다.

매우 좁은 초기 파동 묶음은 즉시 무한히 넓어지지만, ''x''의 큰 값에서 더 빠르게 진동하는 위상을 가진다. 이는 국소화된 입자의 운동량 불확정성을 반영한다. 델타 함수의 제곱이 발산하므로 파동 함수의 노름은 무한하다.

ε는 적분 K가 잘 정의되도록 하기 위한 무한소량이다. ε → 0 극한에서, K는 순수하게 진동하며, K의 적분은 절대적으로 수렴하지 않는다. 따라서 최종 상태를 계산한 후에만 ε → 0 극한을 취해야 한다.

전파자는 기원점(''x''=0)에서 시작하여 시간 ''t''에 점 ''x''에 도달하는 진폭이다. 병진 불변성에 의해, 점 ''y''에서 시작하여 점 ''x''에 도달하는 진폭은 동일한 함수이지만, 다음과 같이 변환된다.

: $K_t(x,y) = K_t(x-y) = {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{i(x-y)^2 \over 2t} \, .$

''t''가 작을 때, 전파자는 델타 함수로 간다.

: $\lim_{t \to 0} K_t(x-y) = \delta(x-y) ~,$

이는 분포의 의미에서만 해당된다. 즉, 임의의 미분 가능한 시험 함수를 곱한 적분은 0에서 시험 함수의 값을 제공한다.

K에 대한 모든 공간에 걸친 적분은 모든 시점에서 1과 같다.

: $\int K_t(x) dx = 1 \, ,$

이 적분은 균일한 파동 함수와 ''K''의 내적이다. 하지만 지수 내 위상 인자는 원점을 제외한 모든 곳에서 0이 아닌 공간 미분을 가지므로, 시간이 작을 때는 한 점을 제외하고 빠르게 위상 소거가 발생한다. 이는 ε → 0 극한을 마지막에 취할 때 엄밀하게 참이다.

전파자 커널은 (미래) 시간에 대한 델타 함수의 진화이며, 작은 시간에서는 초기 델타 함수로 간다. 초기 파동 함수가 위치 y에서 무한히 좁은 스파이크인 경우,

: $\psi_0(x) = \delta(x - y) \, ,$

진동하는 파동은 다음과 같다.

: $\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi i t}} e^{ i (x-y) ^2 /2t} \, .$

모든 함수는 그러한 좁은 스파이크의 가중 합으로 작성될 수 있으므로,

: $\psi_0(x) = \int \psi_0(y) \delta(x-y) dy \, ,$

''모든 함수'' ψ₀의 시간 진화는 이 전파자 커널 K에 의해 결정된다.

: $\psi_t(x) = \int \psi_0(y) {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{i (x-y)^2 / 2t} dy \, .$

이것은 기본 해를 표현하는 형식적인 방법이다. 시간 t에 점 x에서 입자를 찾을 진폭은 y에서 시작했을 진폭에 y에서 x로 이동한 진폭을 곱한 값이며, ''모든 가능한 시작점을 합한 것''이다. 즉, 커널 K와 임의의 초기 조건 ψ₀의 컨볼루션이다.

: $\psi_t = K * \psi_0 \, .$

시간 t+t' 후에 x에서 z로 이동하는 진폭은 두 단계로 간주할 수 있으므로, 전파자는 합성 항등식을 따른다.

: $\int K(x-y;t)K(y-z;t')dy = K(x-z;t+t')~ ,$

이는 시간 t+t'에 x에서 z로 이동하는 진폭은 시간 t에 x에서 y로 이동하는 진폭에 시간 t'에 y에서 z로 이동하는 진폭을 곱한 값의 합이며, ''모든 가능한 중간 상태 y''에 대해 합산된다. 이는 임의의 양자 시스템의 속성이며, 시간을 여러 세그먼트로 세분함으로써 시간 진화를 경로 적분으로 표현할 수 있다.^[17]

6. 확산과의 관계 (Analytic continuation to diffusion)

양자역학에서 파동 묶음의 확산은 확산 방정식에서 확률 밀도의 확산과 관련이 있다. 무작위 보행하는 입자의 경우, 확률 밀도 함수는 다음 확산 방정식을 만족한다.^[17]

: ${\partial \over \partial t} \rho = {1\over 2} {\partial^2 \over \partial x^2 } \rho ,$

이 방정식의 해는 시간 변화 가우스 함수이다.

: $\rho_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi t}} e^{-x^2 \over 2t},$

이것은 열 커널의 한 형태이다.

시간 변화 가우시안은 확산 방정식의 전파 커널이며, 컨볼루션 항등식을 따른다.

: $K_{t+t'} = K_{t}*K_{t'} \, ,$

이는 확산을 경로 적분으로 표현할 수 있게 한다.

전파자는 연산자 H의 지수이다.

: $K_t(x) = e^{-tH} \, ,$

이것은 무한소 확산 연산자이다.

: $H= -{\nabla^2\over 2} \, .$

$z$ 가 순수 허수 축에 접근하는 이 표현의 한계는 슈뢰딩거 전파자이다.

: $K_t^{\rm Schr} = K_{it+\varepsilon} = e^{-(it+\varepsilon)H} \, ,$

이는 가우시안의 시간 변화를 보여준다.

따라서, 복소 확산 커널 ''K''인 가우시안의 양자 진화,

: $\psi_0(x) = K_a(x) = K_a * \delta(x) \,$

는 시간 변화된 상태로 이어진다.

: $\psi_t = K_{it} * K_a = K_{a+it} \, .$

이것은 복소 가우시안 해의 확산 형태를 보여준다.

: $\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (a+it)} } e^{- {x^2\over 2(a+it)} } \, .$

참조

_[1] 서적 Quantum Physics: An Introduction https://books.google[...] CRC Press
_[2] 웹사이트 Lecture 11: Wavepackets and dispersion https://scholar.harv[...] 2023-06-22
_[3] 서적 Wave Propagation and Group Velocity Academic Press Inc.
_[4] 서적 Compendium of Quantum Physics Springer Berlin Heidelberg 2009
_[5] 논문 Free motion in the wave mechanics
_[6] 서적 Quantum mechanics McGraw-Hill 1995
_[7] 서적 Scattering theory of waves and particles Springer 1982
_[8] 서적 Quantum mechanics: the theoretical minimum; [what you need to know to start doing physics] Basic Books 2014
_[9] 서적 Quantum Theory for Mathematicians Springer
_[10] 서적 Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics Dover Publications
_[11] 서적 Quantum Mechanics Addison Wesley, Prentice Hall
_[12] 논문 Free motion in the wave mechanics
_[13] 웹사이트 Oscillations and Waves https://farside.ph.u[...]
_[14] 간행물 Nonspreading wave packets
_[15] 간행물 Uniqueness of the Airy packet in quantum mechanics https://pubs.aip.org[...] 1996-08-01
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_[17] 서적 Quantum Mechanics and Path Integrals https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[18] 문서 北野
_[19] 문서 Manners
_[20] 문서 Greiner
_[21] 웹사이트 Oscillations and Waves http://farside.ph.ut[...]
_[22] 문서 清水
_[23] 문서 Pauli
_[24] 문서 Abers

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