파인먼-카츠 공식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 리만 다양체의 경우
3. 증명
4. 공식 (파인만-카츠 공식)
5. 확률 과정과 포텐셜
6. 역사
7. 응용
- 7.1. 금융
- 7.2. 양자 역학
참조

1. 개요

파인만-카츠 공식은 편미분 방정식을 조건부 기대값으로 표현하는 방법으로, 확률 과정과 포텐셜의 개념을 활용한다. 이 공식은 블랙-숄즈 방정식의 해를 구하거나, 옵션 가격을 계산하는 데 사용되며, 양자 역학, 특히 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데에도 활용된다. 리처드 파인만과 마레크 카츠의 이름을 따서 명명되었으며, 금융 분야, 특히 옵션 가격 결정에 널리 응용된다.

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파인먼-카츠 공식
개요
분야	수학, 확률론, 금융수학
유형	공식
관련 항목	확률론 확률 과정 파생 금융 상품 열 방정식
설명
내용	파인먼-카츠 공식은 특정 편미분 방정식의 해를 확률 과정의 기댓값으로 표현하는 공식이다. 다시 말해, 열 방정식과 같은 편미분 방정식을 풀기 위해 몬테카를로 방법을 제공한다.
역사	리처드 파인만과 마크 카츠의 이름을 따서 명명되었다. 카츠는 1949년에 열 방정식의 해를 브라운 운동의 기대값으로 표현하는 것을 증명했다. 파인만은 경로 적분과 양자역학 사이의 연관성을 발견했다.
공식
기본 형태	다음과 같은 형태의 편미분 방정식을 고려한다.
조건	u(x, T) = f(x) ut(x, t) + μ(x, t) ux(x, t) + (1/2) σ^2(x, t) uxx(x, t) - V(x, t) u(x, t) + h(x, t) = 0
해	u(x, t) = E[∫(t→T) h(X(s), s) exp(-∫(t→s) V(X(τ), τ) dτ) ds + f(X(T)) exp(-∫(t→T) V(X(τ), τ) dτ)]
변수 설명	E는 기댓값 연산자이다. X는 다음과 같은 확률 미분 방정식을 따른다. dX = μ(X, t) dt + σ(X, t) dW W는 표준 브라운 운동 (위너 프로세스)이다.

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $\Omega$
유클리드 공간 $\mathbb R^n$ . 그 벡터 지표를 $(-)^i$ 로 나타낸다 ( $i\in\{1,2,\dotsc,n\}$ ).
$\Omega$ 위의 위너 확률 과정 $W^j\colon\Omega\times[0,T] \to \mathbb R^n$
$W$ 에 대한 이토 확률 과정 $\mathrm dX^i(t) = \mu^i(X(t),t)\,\mathrm dt + \sigma^i{}_j(X(t),t)\,\mathrm dW^j(t)$
보렐 가측 함수 $f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$
보렐 가측 함수 $h\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R$
보렐 가측 함수 $V\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R$ . 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

:

G \colon \Omega\times[0,T] \to \mathbb R

:

G(t) = f(X(T))\exp\left(-\int_t^TV(X(s),s)\,\mathrm ds\right) + \int_t^T\mathrm ds\,h(X(s),s)\exp\left(

\int_t^s\mathrm dr\,V(X(r),r)

\right)

특히,

:

G(T) = f(X(T))

이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

:

g(x,t) = \mathbb E\left[G(t)|X(t) = x\right]

이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

:

g(x,T) = \mathbb E[f(X(T))|X(T) = x] = f(x)

이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

:

\left(\frac\partial{\partial t}+\sum_j\mu^j(x,t)\frac\partial{\partial x^j} + \frac12\sum_{i,j,k}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_k(x,t)\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0

아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

:

\left(\frac\partial{\partial t}+\mu^j(x,t)\partial_j + \frac12\delta^{kl}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_l(x,t)\partial_i\partial_j-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0

만약

h = V = 0

인 경우

G

는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

:

G_t = f(X(T))

:

g(x,t) = \mathbb E\left[f(X(T))|X(t) = x\right]

다음 편미분 방정식을 고려해 보자.

\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + \mu(x,t) \frac{\partial}{\partial x}u(x,t) + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) -V(x,t) u(x,t) + f(x,t) = 0,

모든

x \in \mathbb{R}

과

t \in [0, T]

에 대해 정의되며, 다음과 같은 종단 조건을 따른다.

u(x,T)=\psi(x),

여기서

\mu,\sigma,\psi,V,f

는 알려진 함수이고,

T

는 매개변수이며,

u:\mathbb{R} \times [0,T] \to \mathbb{R}

는 미지수이다. 그러면 파인만-카츠 공식은

u(x,t)

를 조건부 기대값으로 표현한다.

:

u(x,t) = E^Q\left[e^{-\int_t^T V(X_\tau,\tau)\, \mathrm{d}\tau}\psi(X_T) + \int_t^T e^{-\int_t^\tau V(X_s,s)\, \mathrm{d}s}f(X_\tau,\tau)\,\mathrm{d}\tau  \,\Bigg|\, X_t=x \right]

여기서

X

는 다음을 만족하는 이토 과정이다.

\mathrm{d}X_t = \mu(X_t,t)\,\mathrm{d}t + \sigma(X_t,t)\,\mathrm{d} W^Q_t,

그리고

W_t^{Q}

는

Q

하에서의 비너 과정 (또는 브라운 운동)이다.

2. 1. 리만 다양체의 경우

리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다.^[27]

다음이 주어졌다고 하자.

$n$ 차원 연결 리만 다양체 $(M,g)$ . 그 벡터 지표를 $(-)^i$ 로 나타낸다 ( $i\in\{1,2,\dotsc,n\}$ ).
점 $x_0 \in M$ (초기 조건).
양의 실수 $T > 0$ (최종 시각).

그렇다면, 초기 조건이

x_0

인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간

:

\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0 \}

을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

:

\operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) =\left\{f\in\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)\colon\int_0^T g_{f(t)}(\dot f(t), \dot f(t)) \,\mathrm dt < \infty\right\}

을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉,

\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M)

위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도

\mathrm dW_{x_0}

가 존재한다.

또한, 임의의

x_T \in M

(최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

:

\mathcal C_{x_0,x_T}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0, f(T) = x_T \}

를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

:

\operatorname W^{1,2}_{x_0,x_T}([0,T],M,g) = \operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) \cap \operatorname C^0{x_0,x_T}([0,T],M)

을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는

\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M)

위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

$V \in \operatorname L^\infty(M;\mathbb R)$ (퍼텐셜 함수).
$\psi_0 \in \operatorname L^2(M;\mathbb R)$ (초기 조건).

그렇다면, 실수 힐베르트 공간

:

\mathcal H = \operatorname L^2(M;\mathbb R)

위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자

:

H = \nabla + V = -g^{ij}\nabla_i \nabla_j + V

를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자

\nabla

는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로,

\mathcal H

전체로 유일한 프리드릭스 확장(Friedrichs extension^영어)을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

:

\partial_t \psi(t,x) = - H \psi(t,x)

:

\psi(0,x) = \psi_0(x)

을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

:

\psi(t,x) = \exp(-tH) \psi_0(x)

를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

:

|\psi\rangle(t) = \exp(-tH) |\psi_0\rangle

:

\langle x|\psi\rangle(t) = \langle x|\exp(-tH)|\psi_0\rangle

이다.

'''파인먼-카츠 공식'''에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

:

\psi(T,x_0) = \int_{\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)} \psi_0(x_0) \exp\left(

\int_0^T V(f(t))\,\mathrm dt

\right)\,\mathrm dW_{x_0}(f)

3. 증명

다음과 같은 확률 과정 $G(t)$ 를 정의한다.

: $G(t) = f(X(T))\exp\left(-\int_t^TV(X(s),s)\,\mathrm ds\right) + \int_t^T\mathrm ds\,h(X(s),s)\exp\left($

\int_t^s\mathrm dr\,V(X(r),r)

\right)

여기서

f

,

h

,

V

는 보렐 가측 함수이며,

X(t)

는 이토 확률 과정이다.

G(t)

의 조건부 기댓값

g(x,t) = \mathbb E\left[G(t)|X(t) = x\right]

는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

:

\left(\frac\partial{\partial t}+\mu^j(x,t)\partial_j + \frac12\delta^{kl}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_l(x,t)\partial_i\partial_j-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0

이 방정식은 파인만-카츠 공식의 핵심적인 부분이다.

h = V = 0

이고

n=1

인 경우를 생각하면,

g(X(t),t)

는 마팅게일이 된다. 이토 확률 과정

X(u)

에 대한 확률 미분 방정식의 해를

X(t)

라고 하고,

g(X(t), t)

가 마팅게일이라는 성질을 이용하면,

\mathrm dg(X(t),t)

에서 시간

t

에 대한 변화율을 나타내는 항인

\mathrm dt

는 0이 되어야 한다. 이를 통해 다음 편미분 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac\partial{\partial t}g(x,t)+\mu\frac\partial{\partial x}g(x,t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(x,t)=0

이 방정식은

h = V = 0

인 경우의 파인만-카츠 공식이다.

해가 존재한다면 위 형태를 가져야 한다는 것을 보이는 증명은 다음과 같다.

u(x,t)

를 위 편미분방정식의 해라고 하고, 이토 과정에 대한 곱 규칙을 활용하여, 다음 식을 정의한다.

:

Y(s) = \exp\left(-\int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau\right)u(X_s,s) +\int_t^s \exp\left(-\int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau\right)f(X_r,r) \, dr

위 식에 이토 과정에 대한 곱 규칙을 적용하면,

dY_s

를 구할 수 있다. 이 때, 첫 번째 항은 괄호 안에 위 편미분 방정식을 포함하고 있으므로 0이 된다.

최종적으로 다음 식을 얻는다.

:

u(x,t) = E \left [\exp\left(-\int_t^T V(X_\tau,\tau)\, d\tau\right) \psi(X_T) + \int_t^T \exp\left(-\int_t^s V(X_\tau,\tau)\,d\tau\right) f(X_s,s)\,ds \,\Bigg|\, X_t=x \right ]

일반적인 경우의 증명은 이토 공식과 확률 적분의 국소 마팅게일성을 적용하여 얻을 수 있다.^[3]

4. 공식 (파인만-카츠 공식)

다음 편미분 방정식을 고려해 보자.

: $\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + \mu(x,t) \frac{\partial}{\partial x}u(x,t) + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) -V(x,t) u(x,t) + f(x,t) = 0,$

모든 $x \in \mathbb{R}$ 과 $t \in [0, T]$ 에 대해 정의되며, 다음과 같은 종단 조건을 따른다.

: $u(x,T)=\psi(x),$

여기서 $\mu,\sigma,\psi,V,f$ 는 알려진 함수이고, $T$ 는 매개변수이며, $u:\mathbb{R} \times [0,T] \to \mathbb{R}$ 는 미지수이다.

그러면 파인만-카츠 공식은 $u(x,t)$ 를 조건부 기대값으로 표현하며, 이는 확률 측도 $Q$ 하에서 다음과 같다.

: $u(x,t) = E^Q\left[e^{-\int_t^T V(X_\tau,\tau)\, \mathrm{d}\tau}\psi(X_T) + \int_t^T e^{-\int_t^\tau V(X_s,s)\, \mathrm{d}s}f(X_\tau,\tau)\,\mathrm{d}\tau \,\Bigg|\, X_t=x \right]$

여기서 $X$ 는 다음을 만족하는 이토 과정이다.

: $\mathrm{d}X_t = \mu(X_t,t)\,\mathrm{d}t + \sigma(X_t,t)\,\mathrm{d} W^Q_t,$

그리고 $W_t^{Q}$ 는 $Q$ 하에서의 비너 과정 (또는 브라운 운동)이다.

콜모고로프 역방향 방정식의 코시 문제는 다음과 같다.

: $\begin{align}\;-\frac{\partial v}{\partial t} + k(t,x) v= \frac{1}{2}\nabla^2 v + g(t,x),\quad t\in[0,T],\quad x\in\mathbb{R}^d,\quad v(T,x) = f(x),\end{align}\;$

이 방정식의 해 $\;v(t,x)\;$ 는 다음과 같이 주어진다.

: $\;v(t,x)=E^x\left[f(W_{T-t}) \exp\left(-\int^{T-t}_0 k(W_s) ds\right)+\int^{T-t}_0 g(t+\theta, W_\theta)\exp\left(-\int^\theta_0 k(W_s) ds\right)d\theta\right],\quad t\in[0,T],\quad x\in\mathbb{R}^d,\;$

$\;v(t,x)\;$ 는 유일하다.^[24]

단, $\;E^x\;$ 는 초기 시각 $\;t=0\;$ 에서

$\;\mathbf{x}\;$ 에서 출발하는 브라운 운동에 관한 기댓값을 나타낸다.^[25]

5. 확률 과정과 포텐셜

확률 과정의 관점에서 보면, 포텐셜은 시각 $t$ 에서 $k(\mathbf{x},t)dt$ 의 비율로 운동하는 입자를 확률적으로 소멸시키는 작용(killing^영어)으로 해석할 수 있다. 포텐셜이 국소적으로 음수가 되는 경우에는, 음의 최솟값만큼 올리는 방식으로 해석할 수 있다.^[1]

6. 역사

리처드 파인먼과 마레크 카츠(Marek Kac|마레크 카츠^pl, Mark Kac|마크 카츠^영어, 1914〜1984)의 이름을 땄다.^[28]

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 1949년에 이 공식의 엄밀한 증명을 출판하였다.^[28]

파인만이 경로 적분을 이용한 양자화를 발견한 것이 이 공식 연구의 발단이다.^[9] 카츠는 슈뢰딩거 방정식이 아닌 확산 방정식^[10]을 고찰함으로써, 확률 과정으로 수학적으로 엄밀한 정식화를 수행했다.^[11] 파인만-카츠 공식은 확산 방정식에 대한 공식이라는 점에 주의해야 한다. 실시간에서의 슈뢰딩거 방정식에 대한 해까지 포함하여 파인만-카츠 공식이라고 부르기도 하지만, 확산 방정식에 대해서만 이렇게 부르는 것이 엄밀하게는 옳다. 실시간에서의 슈뢰딩거 방정식에 대해서는, 측도론을 기초로 하여 해의 공식을 구성할 수 없다.^[12]^[13] 실시간에서의 경로 적분을 허시간 이론에서 파인만-카츠 공식을 적용한 후 시간 매개변수에 관한 해석적 접속을 통해 도출하려는 방법론은, 일반적으로 적용 가능한 수학적 엄밀성을 가진 접근 방식인지 여부는 알려져 있지 않다. 현재로서는 시간을 무한히 분할하고, 분점마다 적분하고, 그 후에 극한값을 취함으로써 경로 적분이 정의된다고 생각하는 것이 일반적으로 적용 가능한 접근 방식이다.

7. 응용

파인만-카츠 공식은 여러 분야에 응용된다.

양자 화학에서 확산 몬테카를로 방법을 사용하여 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 사용된다.^[8]

7. 1. 금융

수량적 금융에서 파인만-카츠 공식은 블랙-숄즈 방정식의 해를 효율적으로 계산하여 주식에 대한 옵션 가격과 무이표 채권 가격을 아핀 만기 구조 모형에서 계산하는 데 사용된다.^[7]

예를 들어, 기하 브라운 운동을 하는 주가

S_t

를 고려해 보자.

:

dS_t = (r_t dt + \sigma_t dW_t) S_t

여기서

r_t

는 무위험 이자율이고,

\sigma_t

는 변동성이다. 이토의 보조정리에 의해,

:

d\ln S_t = \left(r_t - \tfrac 1 2 \sigma_t^2\right)dt + \sigma_t \, dW_t.

이제 행사가

K

이고, 시간

T

에 만료되는

S_t

에 대한 유럽형 콜 옵션을 생각해 보자. 만료 시, 그 가치는

(X_T - K)^+.

이다. 그러면 시간

t

와 주가

x

에서 옵션의 위험 중립 가격은 다음과 같다.

:

u(x, t) = E\left[e^{-\int_t^T r_s ds} (S_T - K)^+ | \ln S_t = \ln x \right].

파인만-카츠 공식에 대입하면 블랙-숄즈 방정식을 얻는다.

:

\begin{cases}\partial_t u + Au - r_t u = 0 \\u(x, T) = (x-K)^+\end{cases}

여기서

:

A = (r_t -\sigma_t^2/2)\partial_{\ln x} + \frac 12 \sigma_t^2 \partial_{\ln x}^2 = r_t x\partial_x + \frac 1 2 \sigma_t^2 x^2 \partial_{x}^2.

더 일반적으로, 만기 시점에 페이오프

g(S_T)

를 가지는 옵션을 생각해 보자. 동일한 계산은 그 가격

u(x,t)

가 다음을 만족한다는 것을 보여준다.

:

\begin{cases}\partial_t u + Au - r_t u = 0 \\u(x, T) = g(x).\end{cases}

미국형 옵션과 같은 일부 다른 옵션은 고정된 만료일이 없다. 일부 옵션은 과거 주가에 의해 결정된 만료 시 가치를 갖는다. 예를 들어, '''평균 옵션'''은 만료 시 기초 자산 가격이 아니라, 미리 결정된 기간 동안의 평균 기초 자산 가격에 의해 페이오프가 결정된다. 이러한 경우 파인만-카츠 공식은 직접적으로 적용되지 않는다.

7. 2. 양자 역학

양자 화학에서 확산 몬테카를로 방법을 사용하여 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 사용된다.^[8]

참조

_[1] 서적 Enigmas of Chance: An Autobiography https://books.google[...] University of California Press
_[2] 서적 Quantum Physics: A Functional Integral Point of View https://doi.org/10.1[...] Springer 2021-04-13
_[3] 서적 Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications Springer-Verlag 2003
_[4] 웹사이트 PDE for Finance http://www.math.nyu.[...]
_[5] 서적 Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications Springer-Verlag
_[6] 논문 On Distributions of Certain Wiener Functionals
_[7] 서적 Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction https://books.google[...] John Wiley & Sons 2013-06-06
_[8] 논문 Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman–Kac formula. I. Formalism https://aip.scitatio[...] 1988-01-15
_[9] 문서 Rev.Mod.Phys.
_[10] 문서 フォッカー・プランク方程式
_[11] 문서 Transactions of the American Mathematical Society
_[12] 문서 経路積分
_[13] 서적 超準解析と物理学日本評論社
_[14] 서적 ファインマン経路積分の数学的方法シュプリンガー・ジャパン
_[15] 문서 위너측도
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서 J.Math.Phys.
_[19] 서적
_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 문서
_[23] 문서
_[24] 서적 Brownian Motion Springer Verlag
_[25] 문서
_[26] 문서
_[27] 논문 Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula
_[28] 논문 On distributions of certain Wiener functionals

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