이토 확률 과정

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1. 개요

이토 확률 과정은 확률 공간 위의 위너 확률 과정을 기반으로 정의되는 확률 과정의 한 종류이다. 이토 확률 과정은 적분 가능 확률 과정, 순응 확률 과정, 그리고 위너 확률 과정과 독립인 확률 변수를 사용하여 표현되며, 이토 적분을 포함하는 형태로 나타난다. 이토 확률 과정은 실수 값, 다양체 위에서도 정의될 수 있으며, 이토 보조 정리, 무한소 생성원, 마르코프 성질, 그리고 뒨킨 공식과 같은 중요한 성질을 갖는다. 또한, 조화 측도와 그린 측도와 같은 관련 측도를 통해 확률 과정의 특성을 분석하는 데 활용된다.

2. 정의

확률 공간 위의 위너 확률 과정(브라운 운동) $(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간 $(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)$ 이 $W$ 의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

$W$ 에 대한 '''이토 확률 과정'''은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정 $(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 이다.

: $X_t = X_0 + \int_0^t Y_s \,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s$

여기서

$(Z_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
$(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 는 $(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)$ 에 대한 순응 확률 과정이다.
$X_0\in\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)$ 는 $W$ 와 독립인 확률 변수이다.
$\textstyle\int\mathrm dW$ 는 이토 적분이다.

흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항

X_0

을 생략하고

:

\mathrm dX_t = Y_t\,\mathrm dt + Z_t\,\mathrm dW_t

와 같이 표기된다.

2. 1. 실수 값 이토 확률 과정

확률 공간

\Omega

위의 위너 확률 과정

(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}

이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간

(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)

이

W

의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

W

에 대한 '''이토 확률 과정'''은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}

이다.

:

X_t = X_0 + \int_0^t Y_s \,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s

여기서

$(Z_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
$(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$ 는 $(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)$ 에 대한 순응 확률 과정이다.
$X_0\in\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)$ 는 $W$ 와 독립인 확률 변수이다.
$\textstyle\int\mathrm dW$ 는 이토 적분이다.

일반적으로 이토 확률 과정의 분해는 상수항

X_0

을 생략하고 확률 미분 방정식 형태로 표기한다.

:

\mathrm dX_t = Y_t\,\mathrm dt + Z_t\,\mathrm dW_t

2. 2. 다양체 위의 이토 확률 과정

매끄러운 다양체 위의 이토 과정은 확률 공간, 위너 확률 과정, 매끄러운 다양체를 통해 정의할 수 있다. 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현되는 확률 과정

(X(t)\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}

이다.

:

X^\mu(t) = X^\mu(0) + \int_0^t Y^i(s)e^\mu_i \,\mathrm ds + \int_0^t Z^j_i(t)e^\mu_j\,\mathrm dW^i_s

여기서

$(Z_t\colon\Omega\to\mathbb R^{m\times n})_{t\in[0,\infty)}$ 는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
$(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}$ 는 $(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)$ 에 대한 순응 확률 과정이다.
$X(0)\colon\Omega\to M$ 은 $W$ 와 독립인, $M$ 값의 확률 변수이다.
$e^\mu_1,\dotsc,e^\mu_n$ 은 $M$ 위의 $n$ 개의 벡터장이다. 즉, $e \in \Gamma(\mathrm TM \times \mathbb R^n)$ 이다.

매끄러운 다양체의 접다발의 지표는

\mu,\nu,\dotsc

로, 유클리드 공간의 지표는

i,j,\dotsc

로 표기하였다.

3. 성질

3. 1. 이토 보조 정리 (이토-되블린 정리)

이토 적분에서 변수 변환은 일반적으로 추가 항을 가지며, 이는 통상적인 연쇄 법칙이 성립하지 않음을 의미한다. 위너 확률 과정의 자기 상관성에 의한 추가 항이 발생하며, 이를 '''이토 보조 정리'''(영어: Itō’s lemma) 또는 '''이토-되블린 정리'''(Itō–Döblin theorem^영어)라고 한다.

다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $\Omega$
$\Omega$ 위의 위너 확률 과정 $(W_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[0,\infty)}$
$W$ 에 대한 이토 확률 과정 $X_t = X_0 + \textstyle\int_0^t Y_s\,\mathrm ds + \int_0^t Z_s\,\mathrm dW_s$
함수 $f\colon \mathbb R^+\times\mathbb R \to \mathbb R$ , $(t,x)\mapsto f(t,x)$ . 이 함수는 첫째 변수에 대해 $\mathcal C^1$ (연속 미분 가능) 함수이며, 둘째 변수에 대하여 $\mathcal C^2$ (2차 연속 미분 가능) 함수이다.

이토 보조 정리에 따르면,

:

X'_t = f(t,X_t)

는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 그 분해는 다음과 같다.

:

f(t,X_t) = f(0,X_0) +\int_0^t\left(\frac{\partial f}{\partial t}(s,X_s)+\frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Y_s+\frac12 \int_0^t Z^2_s \frac{\partial^2f}{\partial^2x}(s,X(s))\right)\,\mathrm ds+\int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)Z_s\,\mathrm dW_s

미분 표기법으로 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.

:

\mathrm df(X_t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t,X_t)\,\mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial x}(t,X_t)\,\mathrm dX_t + \frac12 Z_t^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,X_t)\,\mathrm dt

여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄 법칙에 등장하지 않는 것이다.

특히, 만약

X_t = W_t

이며,

f(t,x)

가

t

에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 간략화 된다.

:

\mathrm df(W_t) = f'(W_t)\,\mathrm dW_t + \frac12 f''(W_t)\,\mathrm dt

일반적으로 이토 확산 과정 ''X''는 마팅게일이 아니다. 그러나, 콤팩트 지지 집합을 갖는 모든 ''f'' ∈ ''C''²('''R'''^''n''; '''R''')에 대해, 다음과 같이 정의된 과정 ''M'' : [0, +∞) × Ω → '''R'''은

:

M_{t} = f(X_{t}) - \int_{0}^{t} A f(X_{s}) \, \mathrm{d} s,

여기서 ''A''는 ''X''의 생성자이고, ''X''에 의한 (Ω, Σ)의 자연 여과 ''F''_∗에 대한 마팅게일이다. 증명은 충분히 매끄러운 함수 ''f''에 대한 생성자의 작용과 이토의 보조 정리 (확률적 연쇄 법칙)의 일반적인 표현으로부터 다음을 얻는 것으로 가능하다.

:

f(X_{t}) = f(x) + \int_{0}^{t} A f(X_{s}) \, \mathrm{d} s + \int_{0}^{t} \nabla f(X_{s})^{\top} \sigma(X_{s}) \, \mathrm{d} B_{s}.

이토 적분은 ''B''에 의한 (Ω, Σ)의 자연 여과 Σ_∗에 대한 마팅게일이므로, ''t'' > ''s''에 대해,

:

\mathbf{E}^{x} \big[ M_{t} \big| \Sigma_{s} \big] = M_{s}.

따라서,

:

\mathbf{E}^{x}[M_t | F_s] = \mathbf{E}^{x} \left[ \mathbf{E}^{x} \big[ M_{t} \big| \Sigma_{s} \big] \big| F_{s} \right] = \mathbf{E}^{x} \big[ M_{s} \big| F_{s} \big] = M_{s},

''M_s''는 ''F_s''-측정 가능하기 때문이다.

3. 2. 무한소 생성원

이토 확률 과정의 확률 분포 함수는 포커-플랑크 방정식이라는 편미분 방정식을 따른다. 무한소 생성원은 확률 과정의 시간 변화를 나타내는 2차 미분 연산자이다.

유클리드 공간 위의 이토 과정

:

\mathrm dX^i(t) = Y^i(t)\,\mathrm dt + Z^i_j(t)\,\mathrm dW^j_t

의, 시간

t\in[0,\infty)

에서의 무한소 생성원은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족

(D(t))_{t\in[0,\infty)}

이다.

:

D(t)f(x) = \lim_{h\to0}\frac{\mathbb E(f(X_{t+h})|X_t = x) - f(x)}h

이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.

:

(D(t)f)^i(x) = Y^j(t) \partial_j f^i + \frac12 Z^l_jZ^l_k(t)\partial_j \partial_kf^i(t)

이 경우,

:

D(t)p(x,t) = \partial_tp(x,t)

와 같은 편미분 방정식을 포커-플랑크 방정식이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수

:

\Pr(X_t\in S) = \int_S p(x,t)\,\mathrm dx

는 이 편미분 방정식을 따른다.

3. 3. 연속성

이토 확산 과정 ''X''는 표본 연속 과정이다. 즉, 거의 모든 노이즈의 실현 ''B_t''(ω)에 대해, ''X_t''(ω)는 시간 매개변수 ''t''의 연속 함수이다. 더 정확하게는, ''X''의 "연속 버전", 즉 다음을 만족하는 연속 과정 ''Y''가 존재한다.

:

\mathbf{P} [ X_t = Y_t] = 1 \mbox{ 모든 } t에 대해.

이는 확률 미분 방정식의 강한 해에 대한 표준 존재 및 유일성 이론으로부터 따른다.

''X''는 (표본) 연속일 뿐만 아니라, 더 강력한 요구사항인 펠러 연속 과정을 만족한다.

점 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에 대해, '''P'''^''x''는 초기 데이터 ''X''₀ = ''x''가 주어졌을 때의 ''X''의 분포를 나타내고, '''E'''^''x''는 '''P'''^''x''에 대한 기댓값을 나타낸다.

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''이 보렐 시그마 대수-가측 함수이며 유계 함수이고, 고정된 ''t'' ≥ 0에 대해 다음처럼 정의한다.

:

u(x) = \mathbf{E}^{x}[ f(X_t) ].

만약 ''f''가 유계 함수이고 연속 함수이면, ''u''는 연속이다.

3. 3. 1. 표본 연속성

이토 확산 과정 ''X''는 표본 연속 과정이다. 즉, 거의 모든 노이즈의 실현 ''B_t''(ω)에 대해, ''X_t''(ω)는 시간 매개변수 ''t''의 연속 함수이다. 더 정확하게는, ''X''의 "연속 버전", 즉 다음을 만족하는 연속 과정 ''Y''가 존재한다.

:

\mathbf{P} [ X_t = Y_t] = 1 \mbox{ 모든 } t에 대해.

이는 확률 미분 방정식의 강한 해에 대한 표준 존재 및 유일성 이론으로부터 따른다.

3. 3. 2. 펠러 연속성

''X''는 (표본) 연속일 뿐만 아니라, 더 강력한 요구사항인 펠러 연속 과정을 만족한다.

점 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에 대해, '''P'''^''x''는 초기 데이터 ''X''₀ = ''x''가 주어졌을 때의 ''X''의 분포를 나타내고, '''E'''^''x''는 '''P'''^''x''에 대한 기댓값을 나타낸다.

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''이 보렐 시그마 대수-가측 함수이며 유계 함수이고, 고정된 ''t'' ≥ 0에 대해 다음처럼 정의한다.

:

u(x) = \mathbf{E}^{x}[ f(X_t) ].

만약 ''f''가 유계 함수이고 연속 함수이면, ''u''는 연속이다.

3. 4. 마르코프 성질

이토 확산 ''X''는 중요한 마르코프 성질을 갖는다. 즉, 어떤 시간 ''t''까지 일어난 일을 기준으로 할 때, ''X''의 미래 행동은 시간 0에서 위치 ''X_t''에서 프로세스가 시작된 것과 같다.

Σ_∗는 브라운 운동 ''B''에 의해 생성된 (Ω, Σ)의 자연 여과를 나타낸다고 하자.

''X''가 Σ_∗에 적응된다는 것을 쉽게 보일 수 있다(즉, 각 ''X_t''는 Σ_''t''-가측이다). 따라서 ''X''에 의해 생성된 (Ω, Σ)의 자연 여과 ''F''_∗ = ''F''_∗^''X''는 각 ''t'' ≥ 0에 대해 ''F_t'' ⊆ Σ_''t''를 갖는다.

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''을 유계이며 보렐 가측 함수라고 하자. 그러면 모든 ''t''와 ''h'' ≥ 0에 대해, 조건부 기대는 σ-대수 Σ_''t''에 대해 조건부로 하고 ''X_t''에서 "다시 시작된" 프로세스의 기대값은 '''마코프 성질'''을 만족한다.

사실, ''X''는 여과 ''F''_∗에 대해서도 마르코프 프로세스이다.

멈춤 시간을 기준으로 마르코프 성질을 일반화한 것이다. 여기서 ''t''는 멈춤 시간이라고 알려진 적절한 확률적 시간 τ: Ω → [0, +∞]로 대체된다. 예를 들어, 시간 ''t'' = 1에서 과정을 "재시작"하는 대신, ''X''가 처음 '''R'''^''n''의 지정된 점 ''p''에 도달할 때마다 "재시작"할 수 있다.

이전과 마찬가지로, ''f'': '''R'''^''n'' → '''R'''은 유계이고 보렐 가측 함수이다. Σ_∗에 대한 멈춤 시간 τ가 있고 τ < +∞ 거의 확실히라면, 모든 ''h'' ≥ 0에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathbf{E}^{x} \big[ f(X_{\tau+h}) \big| \Sigma_{\tau} \big] = \mathbf{E}^{X_{\tau}} \big[ f(X_{h}) \big].

3. 4. 1. 마르코프 성질

이토 확산 ''X''는 중요한 마르코프 성질을 갖는다. 즉, 어떤 시간 ''t''까지 일어난 일을 기준으로 할 때, ''X''의 미래 행동은 시간 0에서 위치 ''X_t''에서 프로세스가 시작된 것과 같다.

Σ_∗는 브라운 운동 ''B''에 의해 생성된 (Ω, Σ)의 자연 여과를 나타낸다고 하자.

''X''가 Σ_∗에 적응된다는 것을 쉽게 보일 수 있다(즉, 각 ''X_t''는 Σ_''t''-가측이다). 따라서 ''X''에 의해 생성된 (Ω, Σ)의 자연 여과 ''F''_∗ = ''F''_∗^''X''는 각 ''t'' ≥ 0에 대해 ''F_t'' ⊆ Σ_''t''를 갖는다.

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''을 유계이며 보렐 가측 함수라고 하자. 그러면 모든 ''t''와 ''h'' ≥ 0에 대해, 조건부 기대는 σ-대수 Σ_''t''에 대해 조건부로 하고 ''X_t''에서 "다시 시작된" 프로세스의 기대값은 '''마코프 성질'''을 만족한다.

사실, ''X''는 여과 ''F''_∗에 대해서도 마코프 프로세스이다.

3. 4. 2. 강한 마르코프 성질

멈춤 시간을 기준으로 마르코프 성질을 일반화한 것이다. 여기서 ''t''는 멈춤 시간이라고 알려진 적절한 확률적 시간 τ: Ω → [0, +∞]로 대체된다. 예를 들어, 시간 ''t'' = 1에서 과정을 "재시작"하는 대신, ''X''가 처음 '''R'''^''n''의 지정된 점 ''p''에 도달할 때마다 "재시작"할 수 있다.

이전과 마찬가지로, ''f'': '''R'''^''n'' → '''R'''은 유계이고 보렐 가측 함수이다. Σ_∗에 대한 멈춤 시간 τ가 있고 τ < +∞ 거의 확실히라면, 모든 ''h'' ≥ 0에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathbf{E}^{x} \big[ f(X_{\tau+h}) \big| \Sigma_{\tau} \big] = \mathbf{E}^{X_{\tau}} \big[ f(X_{h}) \big].

3. 5. 생성자

유클리드 공간 위의 이토 과정

:

\mathrm dX^i(t) = Y^i(t)\,\mathrm dt + Z^i_j(t)\,\mathrm dW^j_t

의, 시간

t\in[0,\infty)

에서의 '''무한소 생성원'''은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족

(D(t))_{t\in[0,\infty)}

이다.

:

D(t)f(x) = \lim_{h\to0}\frac{\mathbb E(f(X_{t+h})|X_t = x) - f(x)}h

이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.

:

(D(t)f)^i(x) = Y^j(t) \partial_j f^i + \frac12 Z^l_jZ^l_k(t)\partial_j \partial_kf^i(t)

이 경우,

:

D(t)p(x,t) = \partial_tp(x,t)

와 같은 편미분 방정식을 '''포커르-플랑크 방정식'''이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수

:

\Pr(X_t\in S) = \int_S p(x,t)\,\mathrm dx

는 이 편미분 방정식을 따른다.

3. 5. 1. 정의

이토 확산 과정에는 '생성자'라고 알려진 2차 편미분 연산자가 연관되어 있다. 이 생성자는 여러 응용 분야에서 매우 유용하며, 과정 ''X''에 대한 많은 정보를 담고 있다. 형식적으로, 이토 확산 과정 ''X''의 '''무한소 생성자'''는 연산자 ''A''이며, 적절한 함수 ''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''에 대해 다음과 같이 작용한다.

:

A f (x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{\mathbf{E}^{x} [f(X_{t})] - f(x)}{t}.

이 극한이 점 ''x''에서 존재하는 모든 함수 ''f''의 집합은 ''D_A''(''x'')로 표기되며, ''D_A''는 모든 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에 대해 극한이 존재하는 모든 ''f''의 집합을 나타낸다. 컴팩트하게 지원되는 ''C''² (2번 미분 가능하며 연속적인 2차 도함수를 갖는) 함수 ''f''는 ''D_A''에 속하며, 다음이 성립한다.

:

Af(x) = \sum_{i} b_{i} (x) \frac{\partial f}{\partial x_i} (x) + \tfrac{1}{2} \sum_{i, j} \left( \sigma (x) \sigma (x)^{\top} \right)_{i, j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_i \, \partial x_{j}} (x),

또는 기울기와 내적 및 프로베니우스 내적을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

A f (x) = b(x) \cdot \nabla_{x} f(x) + \tfrac1{2} \left( \sigma(x) \sigma(x)^{\top} \right ) : \nabla_{x} \nabla_{x} f(x).

3. 5. 2. 예시

표준 브라운 운동의 생성자는 라플라스 연산자의 1/2배이다.

3. 5. 3. 콜모고로프 및 포커-플랑크 방정식

이토 과정의 무한소 생성원

(D(t))_{t\in[0,\infty)}

은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.

:

D(t)f(x) = \lim_{h\to0}\frac{\mathbb E(f(X_{t+h})|X_t = x) - f(x)}h

이는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

(D(t)f)^i(x) = Y^j(t) \partial_j f^i + \frac12 Z^l_jZ^l_k(t)\partial_j \partial_kf^i(t)

이 생성자는 콜모고로프 후방 방정식과 포커-플랑크 방정식 (콜모고로프 전방 방정식) 공식화에 사용된다.

콜모고로프 후방 방정식은 임의의 매끄러운 통계량 ''X''의 기대값이 시간에 따라 어떻게 변화하는지 알려준다. 시간 ''t''와 초기 위치 ''x''가 독립 변수인 편미분 방정식을 풀어야 한다. ''f'' ∈ ''C''²('''R'''^''n''; '''R''')가 컴팩트 지지 집합을 갖고, ''u'' : [0, +∞) × '''R'''^''n'' → '''R'''가 다음과 같이 정의된다면,

:

u(t, x) = \mathbf{E}^{x} [ f(X_t)],

''u''(''t'', ''x'')는 ''t''에 대해 미분 가능하고, 모든 ''t''에 대해 ''u''(''t'', ·) ∈ ''D_A''이며, 다음의 콜모고로프 후방 방정식을 만족한다.

:

\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t}(t, x) = A u (t, x), & t > 0, x \in \mathbf{R}^{n}; \\ u(0, x) = f(x), & x \in \mathbf{R}^{n}. \end{cases}

포커-플랑크 방정식(콜모고로프 전방 방정식)은 후방 방정식의 수반 연산자이며, ''X_t''의 확률 밀도 함수가 시간 ''t''에 따라 어떻게 변화하는지 알려준다. ρ(''t'', ·)를 '''R'''^''n'' 위의 르베그 측도에 대한 ''X_t''의 밀도라고 하면, 임의의 보렐 가측 집합 ''S'' ⊆ '''R'''^''n''에 대해 다음과 같다.

:

\mathbf{P} \left [ X_t \in S \right ] = \int_{S} \rho(t, x) \, \mathrm{d} x.

''A''^∗는 ''A''의 에르미트 수반 연산자 (''L''² 내적)를 나타낸다. 초기 위치 ''X''₀가 규정된 밀도 ρ₀를 갖는 경우, ρ(''t'', ''x'')는 ''t''에 대해 미분 가능하고, 모든 ''t''에 대해 ρ(''t'', ·) ∈ ''D_A''_*이며, ρ는 다음의 포커-플랑크 방정식을 만족한다.

:

\begin{cases} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}(t, x) = A^{*} \rho (t, x), & t > 0, x \in \mathbf{R}^{n}; \\ \rho(0, x) = \rho_{0} (x), & x \in \mathbf{R}^{n}. \end{cases}

이토 과정의 확률 분포 함수는 다음의 편미분 방정식을 따른다.

:

\Pr(X_t\in S) = \int_S p(x,t)\,\mathrm dx

:

D(t)p(x,t) = \partial_tp(x,t)

3. 5. 4. 파인만-카츠 공식

파인만-카츠 공식은 콜모고로프 역방향 방정식의 유용한 일반화이다. 여기서, ''f''는 ''C''²('''R'''^''n''; '''R''')에 속하며, 컴팩트 지지(compact support)를 가지며, ''q'' : '''R'''^''n'' → '''R'''는 연속 함수이며 아래로 유계(bounded below)라고 가정한다. 다음과 같이 함수 ''v'' : [0, +∞) × '''R'''^''n'' → '''R'''를 정의한다.

:

v(t, x) = \mathbf{E}^{x} \left[ \exp \left( - \int_{0}^{t} q(X_{s}) \, \mathrm{d} s \right) f(X_{t}) \right].

'''파인만-카츠 공식'''은 ''v''가 다음의 편미분 방정식을 만족한다고 말한다.

:

\begin{cases} \dfrac{\partial v}{\partial t}(t, x) = A v (t, x) - q(x) v(t, x), & t > 0, x \in \mathbf{R}^{n}; \\ v(0, x) = f(x), & x \in \mathbf{R}^{n}. \end{cases}

게다가, 만약 ''w'' : [0, +∞) × '''R'''^''n'' → '''R'''가 시간에 대해 ''C''¹이고, 공간에 대해 ''C''²이며, 모든 컴팩트 ''K''에 대해 ''K'' × '''R'''^''n''에서 유계이고, 위의 편미분 방정식을 만족한다면, ''w''는 위에서 정의된 ''v''와 같아야 한다.

콜모고로프 역방향 방정식은 모든 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에 대해 ''q''(''x'') = 0인 파인만-카츠 공식의 특수한 경우이다.

3. 6. 특성 연산자

3. 6. 1. 정의

이토 확산 과정 ''X''의 특성 연산자는 생성자와 밀접하게 관련된 편미분 연산자이지만, 다소 더 일반적이다. 이는 예를 들어 디리클레 문제의 해와 같은 특정 문제에 더 적합하다.

특성 연산자

\mathcal{A}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal{A} f (x) = \lim_{U \downarrow x} \frac{\mathbf{E}^{x} \left [ f(X_{\tau_{U}}) \right ] - f(x)}{\mathbf{E}^{x} [\tau_{U}]},

여기서 집합 ''U''는

:

U_{k + 1} \subseteq U_{k} \mbox{ and } \bigcap_{k = 1}^{\infty} U_{k} = \{ x \},

의 의미에서 점 ''x''로 감소하는 열린 집합 ''U_k''의 수열을 형성하며,

:

\tau_{U} = \inf \{ t \geq 0 \ : \ X_{t} \not \in U \}

는 ''X''에 대한 ''U''로부터의 첫 번째 이탈 시간이다.

D_{\mathcal{A}}

는 모든 ''x'' ∈ '''R'''^''n''과 모든 수열 {''U_k''}에 대해 이 극한이 존재하는 모든 ''f''의 집합을 나타낸다. 만약 모든 ''x''를 포함하는 열린 집합 ''U''에 대해 '''E'''^''x''[τ_''U''] = +∞라면,

:

\mathcal{A} f (x) = 0.

3. 6. 2. 생성자와의 관계

특성 연산자와 무한소 생성자는 매우 밀접하게 관련되어 있으며, 광범위한 함수에 대해 일치하기까지 한다. 다음을 보일 수 있다.

:

D_{A} \subseteq D_{\mathcal{A}}

그리고

:

A f = \mathcal{A} f \mbox{ for all } f \in D_{A}.

특히, 생성자와 특성 연산자는 모든 ''C''² 함수 ''f''에 대해 일치하며, 이 경우

:

\mathcal{A} f(x) = \sum_i b_i (x) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) + \tfrac1{2} \sum_{i, j} \left( \sigma (x) \sigma (x)^{\top} \right)_{i, j} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \, \partial x_{j}} (x).

3. 6. 3. 응용: 리만 다양체 위의 브라운 운동

브라운 운동의 특성 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자의 1/2배이다. 여기서는 2차원 구면에서의 라플라스-벨트라미 연산자이다.

'''R'''^''n'' 위의 브라운 운동의 생성자(따라서 특성 연산자)는 1/2Δ로 계산되었으며, 여기서 Δ는 라플라스 연산자를 나타낸다. 특성 연산자는 ''m''차원 리만 다양체(''M'', ''g'')에서 브라운 운동을 정의하는 데 유용하다. ''M'' 위의 '''브라운 운동'''은 국소 좌표 ''x_i'', 1 ≤ ''i'' ≤ ''m''에서 특성 연산자

\mathcal{A}

가 1/2Δ_LB로 주어지는 ''M'' 위의 확산 과정으로 정의되며, 여기서 Δ_LB는 국소 좌표로 주어진 라플라스-벨트라미 연산자이다.

:

\Delta_{\mathrm{LB}} = \frac1{\sqrt{\det(g)}} \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left( \sqrt{\det(g)} \sum_{j = 1}^{m} g^{ij} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \right),

여기서 [''g^ij''] = [''g_ij'']⁻¹는 정사각 행렬의 역행렬의 의미이다.

3. 7. 레졸벤트 연산자

일반적으로, 이토 확산 '''X'''의 생성자 ''A''는 유계 작용소가 아니다. 그러나 항등 작용소 '''I'''의 양의 배수를 ''A''에서 빼면, 결과 작용소는 가역적이다. 이 작용소의 역은 레졸벤트 작용소를 사용하여 ''X'' 자체로 표현할 수 있다.

α > 0에 대해, '''레졸벤트 작용소''' ''R''_α는 유계이고 연속적인 함수 ''g'' : '''R'''^''n'' → '''R'''에 작용하며 다음과 같이 정의된다.

:

R_{\alpha} g (x) = \mathbf{E}^{x} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{- \alpha t} g(X_{t}) \, \mathrm{d} t \right].

확산 ''X''의 펠러 연속성을 사용하여 ''R''_α''g'' 자체가 유계이고 연속적인 함수임을 보일 수 있다. 또한, ''R''_α와 α'''I''' − ''A''는 서로 역 작용소이다.

만약 ''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''가 컴팩트 지지체를 갖는 ''C''² 함수라면, 모든 α > 0에 대해,

::

R_{\alpha} (\alpha \mathbf{I} - A) f = f;

만약 ''g'' : '''R'''^''n'' → '''R'''가 유계이고 연속적이면, ''R''_α''g''는 ''D_A''에 속하며, 모든 α > 0에 대해,

::

(\alpha \mathbf{I} - A) R_{\alpha} g = g.

3. 8. 불변 측도

이따금 이토 확률 과정 ''X''에 대한 불변 측도를 찾아야 할 필요가 있다. 즉, ''X''의 "흐름"에 따라 변하지 않는 '''R'''^''n'' 위의 측도이다. 즉, ''X''₀가 그러한 불변 측도 μ_∞에 따라 분포되어 있다면, 모든 ''t'' ≥ 0에 대해 ''X_t''도 μ_∞에 따라 분포된다. 포커-플랑크 방정식은 적어도 확률 밀도 함수 ρ_∞를 가진 경우, 이러한 측도를 찾는 방법을 제공한다. 만약 ''X''₀가 실제로 밀도 ρ_∞를 갖는 불변 측도 μ_∞에 따라 분포된다면, ''X_t''의 밀도 ρ(''t'', ·)는 ''t''에 따라 변하지 않으므로 ρ(''t'', ·) = ρ_∞가 되며, 따라서 ρ_∞는 (시간 독립) 편미분 방정식을 풀어야 한다.

:

A^{*} \rho_{\infty} (x) = 0, \quad x \in \mathbf{R}^{n}.

이것은 확률적 분석과 편미분 방정식 연구 사이의 연결 중 하나를 보여준다. 반대로, Λ''f'' = 0 형태의 주어진 2계 선형 편미분 방정식은 직접 풀기가 어려울 수 있지만, 만약 Λ = ''A''^∗가 어떤 이토 확률 과정 ''X''에 대한 것이고, ''X''에 대한 불변 측도를 계산하기 쉽다면, 그 측도의 밀도는 편미분 방정식의 해를 제공한다.

3. 8. 1. 기울기 흐름에 대한 불변 측도

확률적 경사 흐름에 대한 불변 측도는 깁스 분포로 주어진다.

과정 ''X''가 다음과 같은 형태의 확률적 [경사 흐름/구배 흐름]일 때 불변 측도는 비교적 쉽게 계산할 수 있다.

:

\mathrm{d} X_{t} = - \nabla \Psi (X_{t}) \, \mathrm{d} t + \sqrt{2 \beta^{-1}} \, \mathrm{d} B_{t},

여기서 β > 0은 역온도 역할을 하며, Ψ : '''R'''^''n'' → '''R'''은 적절한 매끄러움과 성장 조건을 만족하는 스칼라 [포텐셜/위치 에너지]이다. 이 경우, [Fokker–Planck 방정식]은 고유한 정상 해 ρ_∞ (즉, ''X''는 밀도 ρ_∞를 가진 고유한 불변 측도 μ_∞를 갖는다)를 가지며, 이는 다음 깁스 분포에 의해 주어진다.

:

\rho_{\infty} (x) = Z^{-1} \exp ( - \beta \Psi (x) ),

여기서 분배 함수 ''Z''는 다음과 같다.

:

Z = \int_{\mathbf{R}^{n}} \exp ( - \beta \Psi (x) ) \, \mathrm{d} x.

게다가, 밀도 ρ_∞는 변분 원리를 만족한다. 즉, 모든 확률 밀도 ρ에 대해 '''R'''^''n''에서 다음 열역학적 자유 에너지 [범함수/함수] ''F''를 최소화한다.

:

F[\rho] = E[\rho] + \frac1{\beta} S[\rho],

여기서

:

E[\rho] = \int_{\mathbf{R}^{n}} \Psi(x) \rho(x) \, \mathrm{d} x

는 에너지 [범함수/함수] 역할을 하며,

:

S[\rho] = \int_{\mathbf{R}^{n}} \rho(x) \log \rho(x) \, \mathrm{d} x

는 [깁스-볼츠만 엔트로피] [범함수/함수]의 음수이다. [분배 함수] ''Z''와 깁스 측도 μ_∞가 정의되기에 [포텐셜/위치 에너지] Ψ가 충분히 잘 정의되지 않더라도, 초기 조건이 ''F''[ρ(0, ·)] < +∞를 만족한다면, 자유 에너지 ''F''[ρ(''t'', ·)]는 각 시간 ''t'' ≥ 0에 대해 여전히 의미가 있다. 실제로 자유 에너지 [범함수/함수] ''F''는 [Fokker–Planck 방정식]에 대한 랴푸노프 함수이다. 즉, ''F''[ρ(''t'', ·)]는 ''t''가 증가함에 따라 감소해야 한다. 따라서, ''F''는 ''X''-역학에 대한 ''H''-함수이다.

3. 8. 2. 예시

오르네스타인-울렌벡 과정 ''X''는 다음과 같은 확률 미분 방정식을 만족한다.

:

\mathrm{d} X_{t} = -  \kappa ( X_{t} - m) \, \mathrm{d} t + \sqrt{2 \beta^{-1}} \, \mathrm{d} B_{t},

여기서 ''m'' ∈ '''R'''^''n'' 및 β, κ > 0는 주어진 상수이다. 이 경우, 포텐셜 Ψ는 다음과 같이 주어진다.

:

\Psi(x) = \tfrac{1}{2} \kappa |x - m|^2,

따라서 ''X''에 대한 불변 측도는 다음과 같이 주어진 밀도 ρ_∞를 갖는 가우스 측도이다.

:

\rho_{\infty} (x) = \left( \frac{\beta \kappa}{2 \pi} \right)^{\frac{n}{2}} \exp \left( - \frac{\beta \kappa | x - m |^{2}}{2} \right)

.

큰 ''t''에 대해 ''X_t''는 평균이 ''m''이고 분산이 (βκ)⁻¹인 정규 분포에 가깝다. κ의 큰 값은 포텐셜 우물 Ψ가 "매우 가파른 측면"을 갖는다는 것을 의미하므로, ''X_t''는 Ψ의 최소값인 ''m''에서 멀리 이동할 가능성이 적다. β의 큰 값은 시스템이 노이즈가 거의 없는 상당히 "차가운" 상태임을 의미하므로, ''X_t''는 ''m''에서 멀리 이동할 가능성이 적다.

3. 9. 마팅게일 성질

일반적으로 이토 확산 과정 ''X''는 마팅게일이 아니다. 그러나, 컴팩트 지지 집합을 갖는 모든 ''f'' ∈ ''C''²('''R'''^''n''; '''R''')에 대해, 다음과 같이 정의된 과정 ''M'' : [0, +∞) × Ω → '''R'''은

:

M_{t} = f(X_{t}) - \int_{0}^{t} A f(X_{s}) \, \mathrm{d} s,

여기서 ''A''는 ''X''의 생성자이고, ''X''에 의한 (Ω, Σ)의 자연 여과 ''F''_∗에 대한 마팅게일이다. 증명은 이토의 보조 정리를 통해 가능하다. 충분히 매끄러운 함수 ''f''에 대한 생성자의 작용과 확률적 연쇄 법칙의 일반적인 표현으로부터 다음을 얻을 수 있다.

:

f(X_{t}) = f(x) + \int_{0}^{t} A f(X_{s}) \, \mathrm{d} s + \int_{0}^{t} \nabla f(X_{s})^{\top} \sigma(X_{s}) \, \mathrm{d} B_{s}.

이토 적분은 ''B''에 의한 (Ω, Σ)의 자연 여과 Σ_∗에 대한 마팅게일이므로, ''t'' > ''s''에 대해,

:

\mathbf{E}^{x} \big[ M_{t} \big| \Sigma_{s} \big] = M_{s}.

따라서, 요구되는 바와 같이,

:

\mathbf{E}^{x}[M_t | F_s] = \mathbf{E}^{x} \left[ \mathbf{E}^{x} \big[ M_{t} \big| \Sigma_{s} \big] \big| F_{s} \right] = \mathbf{E}^{x} \big[ M_{s} \big| F_{s} \big] = M_{s},

''M_s''는 ''F_s''-측정 가능하기 때문이다.

3. 10. 뒨킨 공식

예브게니 뒨킨의 이름을 딴 뒨킨 공식은 생성자 ''A''를 가진 이토 확산 ''X''의 적절하게 매끄러운 통계량의 정지 시점에 대한 기댓값을 제공한다. 정확히 말하면, τ가 '''E'''^''x''[τ] < +∞인 정지 시점이고, ''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''가 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 ''C''² 함수라면,

:

\mathbf{E}^{x} [f(X_{\tau})] = f(x) + \mathbf{E}^{x} \left[ \int_{0}^{\tau} A f (X_{s}) \, \mathrm{d} s \right]

이다.

뒨킨 공식은 정지 시점의 많은 유용한 통계량을 계산하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 0에서 시작하는 실수선 위의 표준 브라운 운동은 기댓값이

:

\mathbf{E}^{0} [\tau_{R}] = R^{2}

인 임의의 시간 τ_''R''에 구간 (−''R'', +''R'')을 벗어난다. 뒨킨 공식은 비교적 일반적인 정지 시점에 ''X''의 동작에 대한 정보를 제공한다.

4. 관련 측도

4. 1. 조화 측도

많은 경우에 이토 확산 ''X''가 처음으로 가측 집합 ''H'' ⊆ '''R'''^''n''을 떠나는 시점을 아는 것으로 충분하며, 이는 다음의 최초 이탈 시간을 연구하는 것과 같다.

:

\tau_{H} (\omega) = \inf \{ t \geq 0 | X_{t} \not \in H \}.

그러나 때로는 ''X''가 집합을 떠나는 지점의 분포를 알아야 할 필요가 있다. 예를 들어, 0에서 시작하는 실수선 상의 정규 브라운 운동 ''B''는 구간 (−1, 1)에서 확률 1/2로 −1에서, 확률 1/2로 1에서 이탈하므로, ''B''_{τ_{(−1, 1)}}는 집합 {−1, 1}에서 균등하게 분포된다.

일반적으로, ''G''가 '''R'''^''n'' 내에 조밀하게 매립되어 있으면, ''G''의 경계 ∂''G''에서 ''X''의 '''조화 척도'''(또는 '''충돌 분포''')는 다음과 같이 정의된 측도 μ_''G''^''x''이다.

:

\mu_{G}^{x} (F) = \mathbf{P}^{x} \left [ X_{\tau_{G}} \in F \right ]

여기서 ''x'' ∈ ''G''이고 ''F'' ⊆ ∂''G''이다.

브라운 운동의 앞선 예로 돌아가서, 만약 ''B''가 '''R'''^''n''에서 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에서 시작하는 브라운 운동이고 ''D'' ⊂ '''R'''^''n''이 ''x''를 중심으로 하는 열린 공이라면, ∂''D''에서 ''B''의 조화 척도는 ''x''에 대한 ''D''의 모든 회전에 대해 불변이며, ∂''D''의 정규화된 표면 척도와 일치한다.

조화 척도는 다음과 같은 평균값 성질을 만족한다. 만약 ''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''이 임의의 유계, 보렐 가측 함수이고 φ가 다음과 같이 주어지면,

:

\varphi (x) = \mathbf{E}^{x} \left [ f(X_{\tau_{H}}) \right],

모든 보렐 집합 ''G'' ⊂⊂ ''H''와 모든 ''x'' ∈ ''G''에 대해,

:

\varphi (x) = \int_{\partial G} \varphi (y) \, \mathrm{d} \mu_{G}^{x} (y).

평균값 성질은 확률 과정을 사용한 편미분 방정식의 해법에 매우 유용하다.

4. 2. 그린 측도와 그린 공식

그린 척도는 이토 확산 ''X''가 영역 ''D''를 벗어나기 전에 특정 보렐 집합 ''H''에 머무는 시간의 기댓값이다. ''x''에서의 ''D''에 대한 ''X''의 그린 척도는 ''G''(''x'', ·)로 표기하며, 보렐 집합 ''H'' ⊆ '''R'''^''n''에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

G(x, H) = \mathbf{E}^{x} \left[ \int_{0}^{\tau_{D}} \chi_{H} (X_{s}) \, \mathrm{d} s \right]

또는 유계 연속 함수 ''f'' : ''D'' → '''R'''에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

\int_{D} f(y) \, G(x, \mathrm{d} y) = \mathbf{E}^{x} \left[ \int_{0}^{\tau_{D}} f(X_{s}) \, \mathrm{d} s \right]

''X''가 브라운 운동일 때,

:

G(x, H) = \int_{H} G(x, y) \, \mathrm{d} y

이며, 여기서 ''G''(''x'', ''y'')는 영역 ''D''에서 연산자 Δ에 대한 그린 함수이다.

'''E'''^''x''[τ_''D''] < +∞ for 모든 ''x'' ∈ ''D''에 대해 성립한다고 가정하면, '''그린 공식'''은 콤팩트 지지(compact support)를 갖는 모든 ''f'' ∈ ''C''²('''R'''^''n''; '''R''')에 대해 성립한다.

:

f(x) = \mathbf{E}^{x} \left[ f \left( X_{\tau_{D}} \right) \right] - \int_{D} A f (y) \, G(x, \mathrm{d} y)

특히, ''f''의 지지가 ''D''에 콤팩트하게 매립되어 있다면,

:

f(x) = - \int_{D} A f (y) \, G(x, \mathrm{d} y)

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