팽르베 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 팽르베 방정식의 분류
4. 특이점
5. 팽르베 방정식의 퇴화
6. 해밀턴 역학계 표현
7. 대칭성 (백클룬트 변환)
8. 다른 분야와의 관계
참조

1. 개요

팽르베 방정식은 2차 비선형 상미분 방정식으로, 폴 팽르베의 정리에 따라 가동 특이점을 갖지 않는 방정식으로 분류된다. 팽르베 방정식은 선형 방정식, 타원 함수의 방정식, 구적 가능한 방정식과 함께 분류되며, 특수 함수 연구와 선형 미분 방정식의 등모노드롬 변형 연구에서 중요한 역할을 한다. 팽르베는 2차 미분 방정식을 50개의 표준 형식으로 분류했으며, 이 중 6개의 방정식은 새로운 특수 함수를 필요로 했다. 이 6개의 팽르베 방정식은 팽르베 I부터 VI까지 번호가 매겨지며, 각 방정식은 해밀턴 역학계로 표현될 수 있고, 백클룬트 변환과 같은 대칭성을 갖는다. 팽르베 방정식은 등모노드로미 불변성, 적분 가능한 편미분 방정식, 무작위 행렬 이론, 2차원 등각 장론 등 다양한 분야와 연관되어 연구된다.

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팽르베 방정식
개요
유형	미분 방정식
연구 분야	수학, 물리학
관련 개념	특이점, 해, 적분 가능성
역사적 맥락
주요 연구자	에밀 피카드 폴 팽르베 리하르트 푸크스 베르트랑 감비에
최초 연구	19세기 말 ~ 20세기 초
정의 및 특징
정의	2계 상미분 방정식
특징	팽르베 성질을 가짐 해가 초월 함수임
팽르베 성질	해의 특이점이 이동 특이점일 수 없음
팽르베 초월 함수
정의	팽르베 방정식의 해
유형	6가지 유형 (P₁ - P₆)
팽르베 방정식 유형
P₁	y'' = 6y² + z
P₂	y'' = 2y³ + zy + α
P₃	zy'' = y'² - yy' + z(ay² + b) + cy³ + d/y
P₄	yy'' = y'² + y(ay + b/y) + z(cy³ + d)
P₅	y'' = (1/2y + 1/(y-1))y'² - y' / z + (y(y-1))² (ay + b/(y-1)) + c y/z + d y(y+1) / (z-1)²
P₆	y'' = (1/2y + 1/(y-1) + 1/(y-z))y'² - (1/z + 1/(z-1) + 1/(y-z))y' + (y(y-1)(y-z))/(z²(z-1)²) (a + b z/y² + c (z-1)/(y-1)² + d z(z-1)/(y-z)²)
응용
물리학	양자장론, 통계역학
수학	특수 함수 이론, 미분 기하학
참고 문헌
참고 문헌	Émile Picard (1889) Paul Painlevé (1900, 1902) Richard Fuchs (1905) Bertrand Gambier (1910)

2. 역사

폴 팽르베는 특수 함수 연구와 선형 미분 방정식의 등모노드롬 변형 연구를 통해 팽르베 초월 함수를 발견했다. 앙리 푸앵카레와 라자루스 푸흐스는 팽르베 성질을 가진 모든 1차 방정식이 바이어슈트라스 타원 방정식 또는 리카티 방정식으로 변환될 수 있음을 보였다.^[1] 에밀 피카르는 1차보다 높은 차수에서는 가동 필수 특이점이 발생할 수 있다고 지적했다.

1900년경, 폴 팽르베는 가동 특이점이 없는 2차 미분 방정식을 연구하여 50개의 표준 형식으로 분류했다. 팽르베는 이 중 44개는 이전에 알려진 함수로 풀 수 있고, 6개만이 새로운 특수 함수를 필요로 함을 발견했다. 팽르베의 계산 오류는 그의 제자 베르트랑 갬비어와 리하르트 푸흐스에 의해 수정되었다. 리하르트 푸흐스는 팽르베 VI 방정식을 완전히 다른 고려 사항에서 발견했다.

팽르베 방정식이 매개변수의 일반적인 값에 대해 기약적인지 여부는 오랫동안 논란이 되었으나, 니시오카와 우메무라에 의해 최종적으로 증명되었다. 장 샤지는 팽르베의 연구를 고차 방정식으로 확장하려고 시도했다.

3. 팽르베 방정식의 분류

6개의 팽르베 방정식은 전통적으로 I부터 VI까지 번호가 매겨져 있으며, 각 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.^[1]

번호	방정식	발견자
I	$\frac{d^2y}{dt^2} = 6 y^2 + t$	폴 팽르베
II	$\frac{d^2y}{dt^2} = 2 y^3 + ty + \alpha$	폴 팽르베
III	$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-\frac{1}{t}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}(\alpha y^2 + \beta) + \gamma y^3 + \frac{\delta}{y}$	폴 팽르베
IV	$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\tfrac32y^3+4ty^2+2(t^2-\alpha)y+\frac{\beta}{y}$	베르트랑 갬비어
V		베르트랑 갬비어
VI	$\begin{align}$

각 방정식에서

\alpha

,

\beta

,

\gamma

,

\delta

는 복소수 상수이다. 팽르베 III형과 V형 방정식은 변수 변환을 통해 독립적인 매개변수의 수를 줄일 수 있다.

3. 1. 팽르베 I (Painlevé)

:

\frac{d^2y}{dt^2} = 6y^2 + t

3. 2. 팽르베 II (Painlevé)

:

\frac{d^2y}{dt^2} = 2y^3 + ty + \alpha

여기서

\alpha

는 복소수 상수이다.

3. 3. 팽르베 III (Painlevé)

:

\frac{d^2y}{dt^2} =\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-\frac{1}{t}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}(\alpha y^2 + \beta) + \gamma y^3 + \frac{\delta}{y}

여기서

\alpha

,

\beta

,

\gamma

,

\delta

는 복소수 상수이다. III형 방정식은

y

와

t

의 크기를 재조정하여 두 개의 매개변수를 선택할 수 있다.

3. 4. 팽르베 IV (Gambier)

; IV (감비어):

:

\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\tfrac32y^3+4ty^2+2(t^2-\alpha)y+\frac{\beta}{y}

3. 5. 팽르베 V (Gambier)

:

\begin{align}\frac{d^2y}{dt^2}&=\left(\frac{1}{2 y }+\frac{1}{ y -1}\right) \left( \frac{dy}{dt} \right)^2

\frac{1}{t} \frac{dy}{dt}\\

&\quad+\frac{( y -1)^2}{t^2}\left(\alpha y +\frac{\beta}{ y }\right) +\gamma\frac{ y }{t}+\delta\frac{ y ( y +1)}{ y -1}\\\end{align}

여기서

\alpha

,

\beta

,

\gamma

,

\delta

는 복소수 상수이다. V형은

y

와

t

의 크기를 재조정하여 하나의 매개변수를 선택할 수 있으므로, 이 유형은 실제로 3개의 독립적인 매개변수만 가지고 있다.

3. 6. 팽르베 VI (R. Fuchs)

:

\begin{align}\frac{d^2y}{dt^2} &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-t}\right)\left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{y-t}\right)\frac{dy}{dt} \\&\quad + \frac{y(y-1)(y-t)}{t^2(t-1)^2} \left\{\alpha+\beta\frac{t}{y^2}+\gamma\frac{t-1}{(y-1)^2}+\delta\frac{t(t-1)}{(y-t)^2}\right\}\end{align}

여기서

\alpha

,

\beta

,

\gamma

,

\delta

는 복소수 상수이다. III형과 V형 방정식은 변수 변환을 통해 독립적인 매개변수의 수를 줄일 수 있다.

4. 특이점

팽르베 방정식이 가질 수 있는 특이점은 다음과 같다.

움직이는 극
무한원점 ∞
점 0 (III, V, VI형)
점 1 (VI형)

팽르베 I형에서 특이점은 움직이는 2위의 극 또는 잉여 0의 점이 되며, 그 해는 복소 평면상에 그러한 극을 무한히 갖는다. *z*₀에 2위의 극을 갖는 함수는 *z*₀의 근방에서 수렴하는 로랑 전개

:

(z-z_0)^{-2}-\frac{z_0}{10}(z-z_0)^2-\frac{1}{6}(z-z_0)^3+h(z-z_0)^4+\frac{z_0^2}{300}(z-z_0)^6+\cdots

을 갖는다(*h*는 적당한 복소수). 극의 위치는 에 자세히 나와 있다. 반지름 *R*의 구에 포함되는 극의 수는 대략 *R*^5/2의 상수배 정도로 증가한다.

II형에서 모든 특이점은 (움직이는) 1위의 극이다.

5. 팽르베 방정식의 퇴화

처음 다섯 개의 팽르베 방정식은 팽르베 Ⅵ 방정식의 퇴화된 형태이다. 팽르베 방정식 간의 퇴화 관계는 가우스 초기하 함수의 퇴화 관계와 대응된다. 퇴화 관계 도식은 다음과 같다.

				베셀 III
			$\nearrow$		$\searrow$
가우스 Ⅵ	→	쿠머 Ⅴ				에어리 Ⅱ	→	I (없음)
			$\searrow$		$\nearrow$
				에르미트-웨버 Ⅳ

6. 해밀턴 역학계 표현

모든 팽르베 방정식은 해밀턴 역학계로 나타낼 수 있다.

예를 들어,

: $q=y,\quad p=y'+y^2+t/2$

라고 둔다면, 2차 팽르베 방정식

: $y'' =2y^3+ty+b-1/2$

은 다음과 같은 해밀턴 함수

: $\displaystyle H=p(p-2q^2-t)/2 -bq$

를 갖는 해밀턴 역학계

: $q'=\frac{\partial H}{\partial p} = p-q^2-t/2$

: $p'=-\frac{\partial H}{\partial q} = 2pq+b$

와 동치이다.

7. 대칭성 (백클룬트 변환)

팽르베 방정식은 모두 백클룬트 변환의 이산군을 가지며, 이를 사용하여 알려진 해로부터 새로운 해를 생성할 수 있다. 오카모토는 각 팽르베 방정식의 매개변수 공간이 반단순 리 대수의 카르탄 부분대수와 동일시될 수 있음을 발견했으며, 여기서 아핀 바일 군의 작용은 방정식의 백클룬트 변환으로 이어진다고 설명했다. 각 팽르베 방정식에 대응하는 리 대수는 다음과 같다.

팽르베 방정식	리 대수
$P_I$	0
$P_{II}$	$A_1$
$P_{III}$	$A_1\oplus A_1$
$P_{IV}$	$A_2$
$P_{V}$	$A_3$
$P_{VI}$	$D_4$

8. 다른 분야와의 관계

팽르베 방정식은 여러 분야와 깊은 관련을 맺고 있다.

등모노드로미 변형: 팽르베 방정식은 극점의 위치 변화에 따른 정칙 특이점을 가진 선형 시스템의 모노드로미 불변성과 관련이 있다. 특히, 팽르베 VI 방정식은 이러한 관계 때문에 리하르트 푸흐스에 의해 발견되었다.^[1]
편미분 방정식: 팽르베 방정식은 모두 적분 가능한 편미분 방정식의 축소 형태이다.^[1]
자기 쌍대 양-밀스 방정식: 팽르베 방정식은 모두 자기 쌍대 양-밀스 방정식의 축소 형태이다.
물리학: 팽르베 초월 함수는 무작위 행렬 이론에서 트레이시-위덤 분포, 2차원 이징 모형, 비대칭 단순 배제 과정 및 2차원 양자 중력에 대한 공식에 나타난다.
2차원 등각 장론: 팽르베 VI 방정식은 2차원 등각 장론에서 나타난다. 이는 $c=1$ 과 $c=\infty$ 모두에서 등각 블록의 조합에 의해 지켜지며, 여기서 $c$ 는 비라소로 대수의 중심 전하이다.

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