펜로즈–호킹 특이점 정리

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1. 개요
2. 특이점의 정의 및 유형
3. 특이점 정리
4. 특이점의 해석과 의의
- 4.1. 특이점과 관련된 문제점
- 4.2. 일반 상대성이론의 한계와 새로운 이론의 필요성
5. 특이점과 관련된 논쟁 및 연구 동향
참조

1. 개요

펜로즈-호킹 특이점 정리는 일반 상대성 이론에서 특이점의 발생이 불가피함을 증명하는 정리이다. 1960년대 스티븐 호킹과 로저 펜로즈에 의해 증명되었으며, 물질의 에너지 조건, 시공간의 대역적 구조, 중력의 세기가 특정 조건을 만족하면 특이점이 발생한다는 것을 보여준다. 이 정리는 블랙홀 내부와 빅뱅 특이점의 존재를 예측하며, 일반 상대성 이론의 한계를 드러낸다. 특이점에서는 물리 법칙이 붕괴되므로, 양자 중력 이론과 같은 새로운 이론을 통해 이 문제를 해결하려는 연구가 진행 중이다.

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펜로즈–호킹 특이점 정리
개요
유형	특이점의 존재를 증명하는 정리
관련 분야	일반 상대성이론
주요 기여자	로저 펜로즈, 스티븐 호킹
내용
주요 내용	'일반 상대성이론 하에서 특정 조건이 만족되면 시공간에 특이점이 반드시 존재한다.'
조건	에너지 조건 인과 조건 일반 상대성이론
적용 대상	블랙홀, 우주론
중요성
의의	블랙홀의 존재 가능성을 뒷받침하고, 초기 우주의 특이점 문제를 제기함.
영향	양자 중력 연구의 동기를 부여하고, 블랙홀 열역학의 발전에 기여함.
참고
노벨 물리학상	로저 펜로즈는 이 정리의 공로로 2020년 노벨 물리학상을 수상함.

2. 특이점의 정의 및 유형

일반 상대성이론에서 특이점은 시공간 곡률이 무한대가 되거나, 시공간이 다양체로서의 성질을 잃는 지점을 의미한다. 특이점은 크게 공간꼴, 시간꼴, 널 특이점으로 분류되며, 이들은 측지 불완전성을 가진다. 즉, 일부 빛이나 입자 경로는 특정 고유 시간이나 아핀 매개변수(아핀 매개변수는 고유 시간의 널 유사체) 이상으로 확장될 수 없다.

아인슈타인 장방정식의 해에서 나타나는 특이점은 크게 세 가지 유형으로 나뉜다.

또한, 특이점은 조석력의 크기에 따라 강한 특이점과 약한 특이점으로 구분될 수 있다.

2. 1. 공간꼴 특이점

특정 영역 내 모든 사건의 미래 또는 과거에 위치하는 특이점이다. 대폭발(빅뱅) 특이점과 회전하지 않고 전하를 띠지 않는 슈바르츠실트 블랙홀 내부의 특이점이 대표적인 예시이다.^[11] 공간꼴 특이점은 슈바르츠실트 계량으로 설명되는 비대전, 비회전 블랙홀의 한 특징이다.

2. 2. 시간꼴 특이점

관측자가 피할 수 있는 특이점으로, 모든 사건의 미래에 반드시 존재하지는 않는다. 아인슈타인 방정식의 알려진 해에서는 덜 흔하게 나타난다. 관측자는 시간형 특이점을 돌아갈 수 있다. 전하 (라이스너-노르드스트룀) 또는 회전 (커) 블랙홀의 정확한 해에서 발생한다. 특정 고유 시간 또는 아핀 매개변수(아핀 매개변수는 고유 시간의 널 유사물)를 넘어 일부 광선 경로 또는 일부 입자 경로를 연장할 수 없는 측지선 불완전성의 속성을 가지고 있다.^[2]

2. 3. 널 특이점

이러한 특이점은 빛꼴 표면 또는 널 표면에서 발생한다. 예로는 전하 (라이스너-노르드스트룀) 또는 회전 (커) 블랙홀의 코시 지평선과 같은 특정 유형의 블랙홀 내부에서 찾을 수 있다.^[2]

2. 4. 강한 특이점과 약한 특이점

특이점은 조석력의 크기에 따라 강한 특이점과 약한 특이점으로 나눌 수 있다.

강한 특이점: 조석력이 무한대가 되는 특이점이다. 강한 특이점에서는 모든 물체가 특이점에 가까워질수록 무한한 조석력 때문에 파괴된다. 슈바르츠실트 블랙홀 중심의 특이점은 강한 특이점의 한 예이다.^[11]
약한 특이점: 조석력이 반드시 무한대가 되지는 않는 특이점이다. 약한 특이점에 떨어지는 관측자는 특이점에 도달하기 전에는 찢어지지 않을 수 있지만, 그곳에서는 여전히 물리 법칙이 붕괴될 것이다. 대전되었거나 회전하는 블랙홀 내부의 코시 지평선은 약한 특이점의 한 예가 될 수 있다.^[11]

3. 특이점 정리

일반 상대성이론에서 특이점은 곡률이 무한대가 되거나 시공간이 다양체가 아닌 지점으로, 천체나 광선이 유한한 시간 내에 도달할 수 있는 곳이다. 특이점은 슈바르츠실트 계량, 라이스너-노르드스트룀 계량, 커 계량, 커-뉴먼 계량 등 모든 블랙홀 시공간과 우주 상수가 없는 모든 우주론적 해에서 발견된다.

빅뱅 특이점에서 무엇이 나오는지, 또는 블랙홀 특이점에 떨어지는 관측자에게 무슨 일이 일어날지 예측할 수 없으므로, 물리 법칙의 수정이 필요하다. 과거에는 특이점이 특정 상황에서만 형성된다고 생각했다. 예를 들어, 별이 붕괴하여 블랙홀을 형성할 때 각운동량을 가진 별이 회전하면 원심력이 중력에 부분적으로 작용하여 특이점 형성을 막을 수 있다고 여겼다. 그러나 특이점 정리는 사건의 지평선이 형성되면 특이점이 항상 형성됨을 증명한다.

붕괴하는 별의 예에서, 모든 물질과 에너지는 일반 상대성이론에서 중력의 원천이므로, 추가적인 각운동량은 별을 더 강하게 수축시킨다. 사건의 지평선 바깥 부분은 결국 커 블랙홀로 정착하고(무모 정리 참조), 안쪽 부분은 반드시 특이점을 갖는다. 이 증명은 지평선 바로 안쪽에서 광선을 따라가면 특이점을 찾을 수 있음을 보여준다. 그러나 어떤 유형의 특이점이 발생하는지는 알려주지 않는다.

일반 상대성이론의 "철학적" 특징은 특이점 정리를 통해 드러난다. 일반 상대성이론은 특이점 발생을 예측하므로, 특이점에 도달하는 물질에 대한 설명 없이는 불완전하다. 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템과 같은 통일장 이론으로 확장하면 특이점이 발생하지 않을 수 있다.

역사적으로 다양체의 곡률과 위상 사이에는 깊은 연관성이 있다. 보네-마이어스 정리는 리치 곡률이 특정 양의 상수보다 큰 리만 다양체는 콤팩트해야 한다고 명시한다. 양의 리치 곡률 조건은 모든 측지선에 대해 확장될 때 측지선으로 휘어지는 인접한 평행 측지선이 존재하며, 유한한 길이에서 교차한다는 것이다.

두 평행 측지선이 교차하면(공액점 참조) 연장선은 더 이상 최단 경로가 아니다. 한 경로를 따라 교차점까지 간 다음 다른 경로를 따라가면, 동일한 길이의 비측지 경로로 끝점을 연결하기 때문이다. 측지선이 최단 경로가 되려면 인접 측지선과 교차하지 않아야 한다.

작은 구에서 평행 측지선을 보내면, 리치 곡률이 양의 상수로 제한된 다양체의 경우 모두 이웃과 충돌하여 최단 경로가 되는 측지선이 없다. 즉, 어느 정도 확장 후에는 모든 점에 도달한다. 연결된 다양체의 모든 점이 작은 구에서 유한한 측지 거리에 있다면, 다양체는 콤팩트해야 한다.

로저 펜로즈는 상대성 이론에서 유사하게 주장했다. 광선의 경로인 영 측지선을 따라가면 영역의 미래 점이 생성된다. 점이 미래 경계에 있으면 빛의 속도로만 갈 수 있으므로, 영 측지선은 미래 경계 전체를 포함한다.^[14] 영 측지선이 교차하면 미래 경계가 아닌 내부에 있다. 따라서 모든 영 측지선이 충돌하면 미래 경계는 없다.

상대성 이론에서 측지선 충돌 특성을 결정하는 리치 곡률은 에너지 텐서에 의해 결정되며, 광선에 대한 투영은 에너지-운동량 텐서의 영 투영과 같고 항상 음이 아니다. 평행한 영 측지선의 합동 부피가 감소하면 유한한 시간에 0이 된다. 부피가 0이 되면 붕괴가 발생하여 모든 측지선은 이웃과 교차한다.

펜로즈는 발산(및 입사) 광선이 수렴하는 구가 있을 때마다, 모든 영 측지선이 수렴하므로 미래 경계가 유한한 확장 후에 끝난다고 결론지었다.^[5] 블랙홀 해의 지평선 내부 구의 발산 광선은 모두 수렴하므로, 미래 경계는 콤팩트하거나 아무 데서도 오지 않는다. 미래는 유한한 확장 후에 끝나거나, 원래 구로 추적 불가능한 광선에 의해 생성되는 경계를 갖는다.

특이점 정리는 무한 곡률 대신 측지선 불완전성 개념을 사용한다. 측지선 불완전성은 관찰자 경로인 측지선이 유한한 시간 동안만 확장될 수 있다는 개념이다. 측지선 끝에서 관찰자는 특이점에 도달하거나 일반 상대성이론이 붕괴하는 현상을 만난다.

3. 1. 펜로즈-호킹 특이점 정리

펜로즈-호킹 특이점 정리는 갇힌 널 표면과 음수가 아닌 에너지 밀도 조건 하에서 유한한 길이로 확장될 수 없는 측지선이 존재함을 증명한다.

여러 버전이 있으며, 아래는 그중 한가지인 널 버전이다.

: 가정

# 널 에너지 조건이 성립한다.

# 비콤팩트 연결 코시 곡면이 있다.

# 닫힌 갇힌 널 곡면

\mathcal{T}

가 있다.

: 그러면, 널 측지선 불완전성이 있거나, 닫힌 시간꼴 곡선이 있다.

:: ''증명 개요'': 반증법으로 증명한다.

\mathcal{T}

의 미래의 경계,

\dot{J}(\mathcal{T})

는

\mathcal{T}

에서 시작하여 이에 수직인 접선 벡터를 갖는 널 측지선 세그먼트에 의해 생성된다. 갇힌 널 곡면이므로 널 Raychaudhuri 방정식에 의해,

\mathcal{T}

에서 발산하는 두 개의 널 광선족은 모두 커스틱(caustic)을 만날 것이다. (커스틱 자체는 문제가 되지 않는다. 예를 들어, 시공간적으로 분리된 두 점의 미래의 경계는 두 개의 미래 광원뿔의 합집합이며, 교차점의 내부 부분은 제거된다. 커스틱은 광원뿔이 교차하는 곳에서 발생하지만, 특이점은 거기에 없다.)

\dot{J}(\mathcal{T})

를 생성하는 널 측지선은 종료되어야 한다. 즉, 커스틱에서 또는 그 전에 미래 종점에 도달해야 한다. 그렇지 않으면 커스틱에서 바뀌는 두 개의 널 측지선 세그먼트를 가져와 약간 변형하여 경계의 한 점에서

\mathcal{T}

의 한 점을 연결하는 시간꼴 곡선을 얻을 수 있으며, 이는 모순이다. 그러나

\mathcal{T}

는 콤팩트하므로 측지선 생성기의 연속적인 아핀 매개변수를 고려하면 팽창 매개변수의 절대값에 대한 하한이 존재한다. 따라서, 아핀 매개변수에서 균일한 경계가 경과하기 전에 모든 생성기에 대해 커스틱이 발생할 것임을 안다. 결과적으로

\dot{J}(\mathcal{T})

는 콤팩트해야 한다. 닫힌 시간꼴 곡선이 있거나, 시간꼴 곡선에 의한 합동을 구성할 수 있으며, 각각의 시간꼴 곡선은 비콤팩트 코시 곡면과 정확히 한 번 교차해야 한다.

\dot{J}(\mathcal{T})

를 통과하는 모든 그러한 시간꼴 곡선을 고려하고 코시 곡면에서 그들의 이미지를 살펴보자. 연속적인 맵이므로 이미지는 콤팩트해야 한다. 시간꼴 합동이므로 시간꼴 곡선은 교차할 수 없으며, 따라서 맵은 주입이다. 코시 곡면이 비콤팩트하면 이미지는 경계를 갖는다. 우리는 시공간이 하나의 연결된 조각으로 나온다고 가정한다. 그러나

\dot{J}(\mathcal{T})

는 경계의 경계가 비어 있기 때문에 콤팩트하고 경계가 없다. 연속적인 주입 맵은 경계를 만들 수 없으며, 이것이 우리의 모순이다.

:: ''허점'': 닫힌 시간꼴 곡선이 존재하면 시간꼴 곡선은 "부분" 코시 곡면과 교차할 필요가 없다. 코시 곡면이 콤팩트, 즉 공간이 콤팩트하면 경계의 널 측지선 생성기는 다른 공간에서 교차할 수 있기 때문에 어디에서나 교차할 수 있다.

약한 또는 강한 에너지 조건을 포함하는 정리의 다른 버전도 존재한다.^[14]

간단히 설명하면, "광의 포획면(trapped null surface^영어)이 존재하고 에너지 밀도가 음이 아닌 경우, 유한하고 연장 불가능한 측지선이 존재한다"는 진술이다. 후반부는 시공간 다양체에서의 "특이점"의 수학적 정의이다. 거의 일반적인 상황에서 성립하므로, 일반 상대성 이론 하에서는 특이점의 존재는 피할 수 없다고 이해하면 된다. 단, 특이점 정리는 특이점의 존재에 대해 언급할 뿐, 특이점의 형상이나 위치를 특정하는 것은 아니다.

물리 법칙의 관점에서 특이점의 존재는 인과율을 파괴하는 원인이 되므로 피하고 싶은 것이다. 블랙홀 등의 특이점은 사건의 지평선으로 덮여서 문제가 되지 않지만, 사건의 지평선으로 덮이지 않는 "벌거벗은 특이점"이 출현하면 물리적으로 골치 아프다. 로저 펜로즈는 이러한 입장에서 우주 검열 가설(cosmic censorship conjecture^영어)을 제창했다. 자연계에는 벌거벗은 특이점은 존재하지 않을 것이다, 라는 예상이다. 그러나 이 가설의 진위 여부는 명확하지 않으며, 특수한 상황의 수치 시뮬레이션에서는 벌거벗은 특이점이 출현한다는 보고도 있다.

3. 2. 특이점 정리의 가정

일반적으로 특이점 정리는 다음 세 가지 요소를 기반으로 한다.^[15]^[6]

요소	설명
물질에 대한 에너지 조건
시공간의 대역적 구조에 대한 조건
중력의 강도	중력이 (어딘가에서) 어떤 지역을 가두기에 충분히 강해야 한다.

각 요소마다 다양한 가능성이 존재하며, 각각 다른 특이점 정리를 유도한다.

3. 3. 특이점 정리의 증명에 사용되는 도구

레이차우두리 방정식은 측지선의 합동(족)의 발산

\theta

를 설명하는 핵심 도구이다. 합동의 발산은 합동 부피의 행렬식 로그의 미분으로 정의된다. 레이차우두리 방정식은 다음과 같다.

:

\dot{\theta} = - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - \frac{1}{3}\theta^2 - {E[\vec{X}]^a}_a

여기서

\sigma_{ab}

는 합동의 전단 텐서이고,

{E[\vec{X}]^a}_{a} = R_{mn} \, X^m \, X^n

은 레이차우두리 스칼라(자세한 내용은 합동 문서 참조)이다.

아인슈타인 방정식이 성립하고 다음 조건 중 하나가 만족되면,

{E[\vec{X}]^a}_a

는 음수가 아니다.^[15]

널 에너지 조건이 성립하고 측지선 합동이 널(null)인 경우.
강한 에너지 조건이 성립하고 측지선 합동이 시간꼴(timelike)인 경우.

이 조건들이 유지되면, 아핀 매개변수의 유한한 값에서 발산은 무한대가 된다. 즉, 적절한 에너지 조건이 성립하면 한 점에서 출발하는 모든 측지선은 유한한 시간 안에 다시 수렴하게 되는데, 이를 '''집속 정리'''라고도 한다.

집속 정리는 특이점 정리 증명에 다음과 같이 사용된다.

# 전역 쌍곡 시공간에서 시간꼴 또는 널 곡선으로 연결 가능한 두 점

p

와

q

가 있다고 가정한다. 그러면

p

와

q

를 연결하는 최대 길이의 측지선

\gamma

가 존재한다.

# 만약

p

에서 출발하는 다른 측지선이 공액점에서

\gamma

와 교차하면,

\gamma

는 더 긴 곡선으로 변형될 수 있다.

# 집속 정리에 따르면,

p

에서 시작하는 모든 측지선은 유한한 아핀 매개변수 값에서 공액점을 갖는다. 특히 최대 길이의 측지선도 마찬가지이다. 그러나 이는 모순이므로, 시공간이 측지선적으로 불완전하다는 결론을 내릴 수 있다.

4. 특이점의 해석과 의의

일반 상대성 이론에서 특이점은 곡률이 무한대가 되거나 시공간이 다양체가 되는 것을 멈추는, 천체나 광선이 유한한 시간 내에 도달할 수 있는 지점을 의미한다. 특이점은 모든 블랙홀 시공간(슈바르츠실트 계량, 라이스너-노르트스트룀 계량, 커 계량 및 커-뉴먼 계량)과 우주 상수가 없는 모든 우주론적 해에서 발견될 수 있다.

특이점은 물리 법칙의 수정을 필요로 한다. 과거 빅뱅 특이점에서 무엇이 나왔는지, 또는 미래에 블랙홀 특이점으로 떨어지는 관측자에게 어떤 일이 일어날지 예측할 수 없기 때문이다. 펜로즈 이전에는 특이점이 인위적인 상황에서만 형성된다고 생각했다. 예를 들어 별이 붕괴하여 블랙홀을 형성할 때, 별이 회전하여 각운동량을 가지면 원심력이 중력에 부분적으로 반작용하여 특이점 형성을 막을 수 있다고 생각했다. 그러나 특이점 정리는 사건의 지평선이 형성되면 항상 특이점이 형성됨을 증명한다.^[1]

붕괴하는 별의 예에서, 모든 물질과 에너지는 일반 상대성이론에서 중력의 원천이므로, 추가적인 각운동량은 별을 수축시키면서 더 강하게 끌어당길 뿐이다. 사건의 지평선 바깥 부분은 결국 커 블랙홀에 정착하게 된다(무모 정리 참조). 사건의 지평선 안쪽 부분은 반드시 어딘가에 특이점을 갖는다.^[1]

일반 상대성이론은 특이점의 필연적인 발생을 예측하기 때문에, 특이점에 도달한 물질에 어떤 일이 일어나는지에 대한 설명 없이는 불완전하다. 일반 상대성이론은 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템과 같은 통일장 이론으로 확장될 수 있으며, 이 이론에서는 특이점이 발생하지 않는다.^[2]

1960년대, 호킹과 펜로즈에 의해 증명된 특이점 정리에는 몇 가지 버전이 있다. 간단히 설명하면, "광의 포획면(trapped null surface^영어)이 존재하고 에너지 밀도가 음이 아닌 경우, 유한하고 연장 불가능한 측지선이 존재한다"는 진술이다. 후반부는 시공간 다양체에서의 "특이점"의 수학적 정의이다. 거의 일반적인 상황에서 성립하므로, 일반 상대성 이론 하에서는 특이점의 존재는 피할 수 없다고 이해하면 된다. 단, 특이점 정리는 특이점의 존재에 대해 언급할 뿐, 특이점의 형상이나 위치를 특정하는 것은 아니다.

상대성 이론이 나타내는 특이점은 고전론의 범위 내에서이며, 양자역학적 효과를 무시할 수 없게 되는 영역에서는 상대성 이론은 붕괴될 것이라고 생각된다. 따라서, 양자 효과를 포함한 특이점의 고찰은 펜로즈와 호킹의 특이점의 범위를 벗어난다. 상대론과 양자론을 융합하는 이론은 양자 중력 이론이라고 불리며, 이 이론이 특이점을 해소하거나 설명할 것으로 생각된다. 양자 중력 이론은 현재 많은 이론 물리학자들이 구축 중이다.

4. 1. 특이점과 관련된 문제점

특이점에서는 물리 법칙이 붕괴되므로, 특이점 "이전" 또는 "이후"를 예측할 수 없다. 따라서 물리 법칙의 관점에서 특이점의 존재는 인과율을 파괴하는 원인이 되므로 피하고 싶은 것이다.

블랙홀 등의 특이점은 사건의 지평선으로 덮여서 문제가 되지 않지만, 사건의 지평선으로 덮이지 않는 "벌거벗은 특이점"이 출현하면 물리적으로 골치 아프다. 펜로즈는 이러한 입장에서 우주 검열 가설을 제창했다. 자연계에는 벌거벗은 특이점이 존재하지 않을 것이라는 예상이다. 그러나 이 가설의 진위 여부는 명확하지 않으며, 특수한 상황의 수치 시뮬레이션에서는 벌거벗은 특이점이 출현한다는 보고도 있다.

4. 2. 일반 상대성이론의 한계와 새로운 이론의 필요성

일반 상대성이론은 특이점의 발생을 예측하지만, 특이점에서 어떤 일이 일어나는지는 설명하지 못한다. 일반 상대성이론에 따르면 특이점에서는 곡률이 무한대가 되거나 시공간이 다양체의 성질을 잃게 된다. 과거 빅뱅 특이점에서 무엇이 나왔는지, 미래에 블랙홀 특이점으로 떨어지는 관측자에게 어떤 일이 일어날지 예측하는 것은 불가능하며, 이는 물리 법칙의 수정이 필요함을 의미한다.^[1]

특이점 정리는 사건의 지평선이 형성되면 특이점이 반드시 형성됨을 증명하지만, 특이점의 종류(공간꼴, 시간꼴, 널, 오비폴드, 불연속성 등)는 알려주지 않는다.^[1] 일반 상대성이론은 특이점의 필연적인 발생을 예측하므로, 특이점에 도달한 물질에 대한 설명 없이는 불완전하다. 따라서, 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템과 같은 통일장 이론이나 양자 중력 이론과 같이 특이점 문제를 해결할 수 있는 새로운 이론이 필요하다.^[2]

5. 특이점과 관련된 논쟁 및 연구 동향

(고전적) 일반 상대성이론이 실제 대전 또는 회전하는 블랙홀 내부의 시공간 특이점들을 예측하는지, 아니면 이것이 고대칭 해들의 인공물이며 섭동들이 추가되면 널 또는 시간꼴 특이점으로 변하는지 여부는 여전히 미지의 문제이다.^[11]

상대성 이론이 나타내는 특이점은 고전론의 범위 내에서이며, 양자역학적 효과를 무시할 수 없게 되는 영역에서는 상대성 이론은 붕괴될 것이라고 생각된다. 따라서, 양자 효과를 포함한 특이점의 고찰은 펜로즈와 호킹의 특이점의 범위를 벗어난다. 상대론과 양자론을 융합하는 이론은 양자 중력 이론이라고 불리며, 이 이론이 특이점을 해소하거나 설명할 것으로 생각된다. 양자 중력 이론은 현재 많은 이론 물리학자들이 구축 중이다.

참조

_[1] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 2020 https://www.nobelpri[...] 2020-10-06
_[2] 웹사이트 Properties of expanding universes https://cudl.lib.cam[...] 2017-10-24
_[3] 논문 A new type of isotropic cosmological models without singularity 1980
_[4] 논문 Inflationary spacetimes are not past-complete 2003-04-15
_[5] 서적 The Large Scale Structure of Space Time Cambridge University Press 1994
_[6] 서적 The Nature of Space and Time Princeton University Press 1996
_[7] 웹사이트 Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective http://relativity.li[...]
_[8] 논문 Defocusing of Null Rays in Infinite Derivative Gravity
_[9] 논문 Newtonian Potential and Geodesic Completeness in Infinite Derivative Gravity
_[10] 웹인용 The Nobel Prize in Physics 2020 https://www.nobelpri[...] 2020-10-06
_[11] 웹인용 Properties of expanding universes https://cudl.lib.cam[...] 2017-10-24
_[12] 논문 A new type of isotropic cosmological models without singularity 1980
_[13] 논문 Inflationary spacetimes are not past-complete 2003-04-15
_[14] 서적 The Large Scale Structure of Space Time Cambridge University Press 1994
_[15] 서적 The Nature of Space and Time https://archive.org/[...] Princeton University Press 1996
_[16] 웹인용 Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective http://relativity.li[...]
_[17] 논문 Defocusing of Null Rays in Infinite Derivative Gravity
_[18] 논문 Newtonian Potential and Geodesic Completeness in Infinite Derivative Gravity

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