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포텐셜 유동

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1. 개요

포텐셜 유동은 와도 벡터가 0인 비회전 유동을 의미하며, 속도 포텐셜의 기울기로 속도장을 표현할 수 있다. 이 유동은 순환이 0이며, 단일 연결 공간에서 스토크스 정리를 만족한다. 비압축성 유동에서는 라플라스 방정식을 만족하며, 복소 해석을 통해 2차원 유동을 분석할 수 있다. 압축성 유동의 경우 정상 유동과 비정상 유동에 대한 지배 방정식을 유도할 수 있으며, 근사 평행 유동 및 음파 해석에 적용된다. 포텐셜 유동은 단순 유동의 중첩을 통해 복잡한 유동을 모델링하는 데 유용하며, 항공기 설계 등 다양한 분야에 활용된다. 그러나 점성 내부 유동과 같은 현실적인 유동의 모든 특성을 반영하지는 못하며, 달랑베르의 역설과 같은 한계를 가진다.

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포텐셜 유동
개요
정의속도장이 스칼라 함수의 기울기로 표현되는 유동
스칼라 함수포텐셜 함수
특징비회전 유동
수학적 표현
속도장v = ∇φ
φ포텐셜 함수
기울기 연산자
비압축성 조건 (연속 방정식)∇⋅v = 0
라플라스 방정식∇²φ = 0
적용
예시날개 주위의 유동
선박 주위의 유동
가정비점성 유동
비압축성 유동
정상 유동
한계
점성 효과 무시실제 유동과 차이 발생 가능
박리 현상 예측 불가높은 받음각에서 실제 유동과 차이 발생

2. 설명 및 특징

포텐셜 유동은 와도 벡터장이 0인 유동으로, 속도 포텐셜이라는 스칼라 함수의 기울기로 표현된다.[3] 즉, 속도장 \mathbf v(\mathbf x,t)와 와도장 \boldsymbol\omega(\mathbf x,t)에 대해 다음이 성립한다.

:\boldsymbol\omega \equiv \nabla\times\mathbf v=0

: \mathbf{v} = \nabla \varphi.

여기서 \varphi(\mathbf x,t)는 속도 포텐셜을 나타낸다. 속도 포텐셜은 고유하게 정의되지 않으며, 임의의 함수 f(t)를 추가해도 물리량 \mathbf v에는 영향을 주지 않는다.

단일 연결 공간에서 포텐셜 유동의 순환 \Gamma는 0이다. 스토크스 정리에 의해 다음이 성립한다.

:\Gamma \equiv \oint_C \mathbf v\cdot d\mathbf l = \int \boldsymbol\omega\cdot d\mathbf f=0

그러나 다중 연결 공간이나 집중 와류가 있는 경우(예: 비회전 와류) 순환은 0이 아닐 수 있다.[3] 예를 들어, 무한히 긴 고체 원통을 N번 도는 윤곽선 주위의 순환은 다음과 같다.

:\Gamma = N \kappa

여기서 \kappa는 주기 상수이다.

포텐셜 유동은 단순 기본 유동을 더하고 결과를 관찰하여 구성된다.

2. 1. 비압축성 유동

비압축성 유동의 경우, 예를 들어 액체 또는 낮은 마하 수기체의 경우(하지만 소리 파동의 경우는 아님) 속도는 0의 발산을 갖는다.[3]

:\nabla \cdot \mathbf{v} =0 \,,

여기에 \mathbf v=\nabla\varphi를 대입하면 \varphi라플라스 방정식을 만족한다는 것을 보여준다.[3]

:\nabla^2 \varphi = 0 \,,

여기서 \nabla^2라플라스 연산자이다(때로는 \Delta로도 표기). 라플라스 방정식의 해는 조화 함수이므로 모든 조화 함수는 포텐셜 유동 해를 나타낸다. 비압축성 유동의 경우 속도장은 회전이 없고 유동의 발산이 0이라는 가정과 같은 운동학으로부터 완전히 결정된다. 역학은, 예를 들어 베르누이의 원리를 사용하여 날개 주위의 유동과 같이, 압력장을 계산하는 데 관심이 있을 경우에만 운동량 방정식과 관련하여 적용해야 한다.

일반적인 오해와 달리, 비압축성 유동에서 포텐셜 유동은 오일러 방정식뿐만 아니라 완전한 나비에-스토크스 방정식을 실제로 만족한다. 왜냐하면 점성항

:\mu\nabla^2\mathbf v = \mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf v)-\mu\nabla\times\boldsymbol\omega=0

은 항등적으로 0이기 때문이다. 포텐셜 유동이 필요한 경계 조건을, 특히 고체 경계면 근처에서, 만족시킬 수 없다는 점이 필요한 유동장을 나타내는 데 부적합하게 만든다. 포텐셜 유동이 필요한 조건을 만족하면 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 해가 된다.

2차원에서, 조화 함수 \varphi와 켤레 조화 함수 \psi(유선 함수)의 도움으로, 비압축성 포텐셜 유동은 복소 해석을 사용하여 분석되는 매우 간단한 시스템으로 축소된다.

2. 2. 압축성 유동

포텐셜 유동 이론은 비회전성 압축성 유동을 모델링하는 데에도 사용될 수 있다.

2. 2. 1. 정상 유동

정상 유동에서 연속 방정식과 운동량 방정식을 결합하여 속도 포텐셜에 대한 지배 방정식을 유도할 수 있다. 오일러 방정식을 이용하면, 정상 유동에 대한 연속 방정식과 운동량 방정식은 다음과 같다.[4][5]

:\rho \nabla\cdot\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla \rho = 0, \quad (\mathbf v \cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{\rho}\nabla p = -\frac{c^2}{\rho}\nabla \rho

여기서 마지막 방정식은 유체 입자에 대한 엔트로피가 일정하고 음속의 제곱이 c^2=(\partial p/\partial\rho)_s라는 사실에서 비롯된다. 두 지배 방정식에서 \nabla\rho를 제거하고, \mathbf v=\nabla\varphi를 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:(c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz}-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx})=0

여기서 c=c(v)는 속도 크기 v^2=(\nabla\phi)^2의 함수로 표현된다.

이 방정식은 유동이 아음속이든 초음속이든 관계없이 모든 비점성 잠재 유동에 유효하다. 예를 들어 프란틀-마이어 유동과 같은 경우에도 적용 가능하다. 그러나 초음속 유동과 천음속 유동에서는 충격파가 발생하여 유동에 엔트로피와 와도를 도입하여 유동이 회전하게 될 수 있다.

그럼에도 불구하고, 충격파가 존재하더라도 잠재 유동이 우세한 두 가지 경우가 있는데, 이는 다음과 같이 표현되는 운동량 방정식에서 확인할 수 있다.

:\nabla (h+v^2/2) - \mathbf v\times\boldsymbol\omega = T \nabla s

여기서 h는 비엔탈피, \boldsymbol\omega와도장, T는 온도, s는 비엔트로피이다.

1) 충격파의 세기가 일정하면 충격파 전체의 엔트로피 불연속성도 일정하므로, 와도 생성이 0이다. 2차원 쐐기 또는 3차원 원뿔의 뾰족한 선두 가장자리의 충격파(테일러-맥콜 유동)는 일정한 세기를 갖는다.

2) 약한 충격파의 경우, 충격파 전체의 엔트로피 점프는 충격파 강도 측면에서 3차 항이므로 \nabla s를 무시할 수 있다. 가는 물체에서 충격파는 물체와 거의 평행하게 놓이며 약하다.

유동이 가는 물체 주변 유동에서와 같이 작고 편향이 있는 지배적인 단방향성을 가질 때, 전체 방정식을 더욱 단순화할 수 있다. U\mathbf{e}_x를 주류로 하고 이 속도장에서의 작은 편향을 고려하여 속도 잠재력을 \varphi = x U + \phi로 쓸 수 있으며, 여기서 \phi는 균일한 유동으로부터의 작은 편차를 특징짓고 전체 방정식의 선형화된 버전을 만족한다. 이는 다음과 같다.

:(1-M^2) \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} =0

여기서 M=U/c_\infty는 균일한 유동에 해당하는 상수 마하 수이다.

2. 2. 2. 비정상 유동

비정상 유동에 대한 연속 방정식과 (포텐셜 유동) 운동량 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \nabla\cdot\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla \rho = 0, \quad \frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+ (\mathbf v \cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{\rho}\nabla p =-\frac{c^2}{\rho}\nabla \rho=-\nabla h.

(포텐셜 유동) 운동량 방정식의 첫 번째 적분은 다음과 같다.

:\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \frac{v^2}{2} + h = f(t), \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial h}{\partial t} = -\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - \frac{1}{2}\frac{\partial v^2}{\partial t} + \frac{df}{dt}

여기서 f(t)는 임의의 함수이다. 일반성을 잃지 않고 \varphi가 고유하게 정의되지 않으므로 f(t)=0으로 설정할 수 있다. 이러한 방정식을 결합하면 다음을 얻는다.

:\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} + \frac{1}{2} \frac{\partial v^2}{\partial t}=c^2\nabla\cdot\mathbf v - \mathbf v\cdot (\mathbf v \cdot \nabla)\mathbf v.

여기에 \mathbf v=\nabla\varphi를 대입하면 다음이 된다.

:\varphi_{tt} + \frac{1}{2} (\varphi_x^2+ \varphi_y^2+ \varphi_z^2)_t= (c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz}-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx}).

'''근사 평행 유동:''' 이전과 마찬가지로, 근사 평행 유동의 경우 (재조정된 시간 \tau=c_\infty t를 도입한 후) 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} + M \frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}= (1-M^2) \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}

상수 마하 수 M이 1에 가깝지 않은 경우. |M-1|이 작을 때(천음속 유동), 다음의 비선형 방정식을 갖는다.

:\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau} = -2\alpha_*\frac{\partial\phi}{\partial x} \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}.

'''음파:''' 음파에서 속도 크기 v (또는 마하 수)는 매우 작지만 비정상 항은 이제 방정식의 다른 주요 항과 비슷하다. 따라서 모든 2차 및 고차 항을 무시하고 동일한 근사에서 c가 상수임을 (예를 들어, 폴리트로픽 가스에서 c^2=(\gamma-1)h_0임을) 감안하면, 다음을 얻는다.

:\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \varphi,

이는 속도 포텐셜 에 대한 선형 파동 방정식이다. 다시, 속도 벡터 의 진동 부분은 속도 포텐셜에 로 관련되며, 이전과 마찬가지로 는 라플라스 연산자이고, 는 균질 매체에서의 평균 음속이다. 또한 압력밀도 의 진동 부분 각각이 이 근사에서 파동 방정식을 개별적으로 만족한다는 점에 유의해야 한다.

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'''음파:''' 음파에서 속도 크기 v (또는 마하 수)는 매우 작지만 비정상 항은 이제 방정식의 다른 주요 항과 비슷하다. 따라서 모든 2차 및 고차 항을 무시하고 동일한 근사에서 c가 상수(예: 폴리트로픽 가스에서 c^2=(\gamma-1)h_0)임을 고려하면, 다음을 얻는다.

:\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \varphi,

이는 속도 포텐셜 \varphi에 대한 선형 파동 방정식이다. 다시, 속도 벡터 \mathbf{v}의 진동 부분은 속도 포텐셜에 \mathbf{v} = \nabla\varphi로 관련되며, 이전과 마찬가지로 \Delta라플라스 연산자이고, c균질 매체에서의 평균 음속이다. 또한 압력 p밀도 \rho의 진동 부분 각각이 이 근사에서 파동 방정식을 개별적으로 만족한다는 점에 유의해야 한다.

3. 적용 가능성과 한계

포텐셜 유동은 실제 세계에서 마주치는 유동의 모든 특성을 포함하지 않는다. 포텐셜 유동 이론은 점성 내부 유동에는 적용될 수 없지만, 가까이 간격을 둔 판 사이의 유동은 예외이다.[1] 리처드 파인만은 포텐셜 유동이 비현실적이라고 여겨, 가정을 따르는 유체는 "건조한 물"뿐이라고 생각했다(존 폰 노이만의 말을 인용).[9] 비압축성 포텐셜 유동은 또한 달랑베르의 역설과 같이 유효하지 않은 예측을 할 수 있다.[10] 예를 들어 무한한 유체 속을 움직이는 물체에 작용하는 항력이 0이라고 예측한다. 보다 정확히 말하면, 포텐셜 유동은 경계층을 포함하는 유동의 거동을 설명할 수 없다.[1]

그럼에도 불구하고 포텐셜 유동을 이해하는 것은 유체 역학의 많은 분야에서 중요하다. 특히 자유 와류 및 점원과 같은 간단한 포텐셜 유동( 기본 유동이라고 함)은 즉시 분석적인 해를 가진다. 이러한 해는 중첩의 원리를 통해 다양한 경계 조건을 만족하는 더 복잡한 유동을 생성하기 위해 중첩될 수 있다. 이러한 유동은 유체 역학 전반에 걸쳐 실제 유동과 밀접하게 일치한다. 또한 관찰된 유동과 해당 포텐셜 유동 사이의 (종종 약간의) 편차를 고려할 때 많은 가치 있는 통찰력이 발생한다. 포텐셜 유동은 항공기 설계와 같은 분야에서 많은 응용 분야를 찾는다. 예를 들어, 전산 유체 역학에서 한 가지 기술은 경계층 밖의 포텐셜 유동 해를 경계층 안의 경계층 방정식의 해와 결합하는 것이다. 경계층 효과가 없다는 것은 유동장에 변화 없이 모든 유선이 고체 경계로 대체될 수 있음을 의미하며, 이는 많은 공기역학적 설계 접근 방식에 사용되는 기술이다.

4. 2차원 비압축성 유동 해석

2차원 비회전 유동은 복소 평면의 변환을 이용한 등각 사상을 활용하면 분석하기 쉽다. 3차원에서는 복소수를 사용하여 비회전 유동을 해석할 수 없다.[11]

물리적 영역 $(x, y)$를 변환된 영역 $(\varphi, \psi)$로 매핑하는 정칙 함수 (또는 해석 함수) 또는 유리형 함수 $f$를 사용한다. 여기서 $x$, $y$, $\varphi$, $\psi$는 모두 실수 값을 가지며, 복소수 $z = x + iy$와 $w = \varphi + i\psi$를 정의하면 편리하다.[11]

매핑 $f$는 $f(x + iy) = \varphi + i\psi$ 또는 $f(z) = w$로 표현할 수 있다.[11] $f$는 정칙 함수 또는 유리형 함수이므로 코시-리만 방정식을 만족해야 한다.[11]

:

\frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y} \,, \quad

\frac{\partial\varphi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \,.



$(x, y)$ 방향의 속도 성분 $(u, v)$는 $f$를 $z$에 대해 미분하여 얻을 수 있다.[11]

:

\frac{df}{dz} = u - iv



따라서 속도장 $\mathbf{v} = (u, v)$는 다음과 같이 주어진다.[11]

:

u = \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y} \,, \quad

v = \frac{\partial\varphi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \,.



$\varphi$와 $\psi$는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.[11]

:

\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} = 0 \,, \quad

\Delta\psi = \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 0 \,.



$\varphi$는 속도 포텐셜, $\psi$는 유선 함수라고 한다.[11] 일정한 $\psi$의 선은 유선, 일정한 $\varphi$의 선은 등전위선(등전위면 참조)이다. 유선과 등전위선은 서로 직교한다.[11]

:

\nabla \varphi \cdot \nabla \psi =

\frac{\partial\varphi}{\partial x} \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial y} \frac{\partial\psi}{\partial y} =

\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial y} =

0 \,.



따라서 흐름은 일정한 $\psi$의 선을 따라 발생하고 일정한 $\varphi$의 선에 수직으로 발생한다.[11]

4. 1. 2차원 비압축성 유동의 예

기본 함수를 사용하는 2차원 비압축성 유동의 예시로 거듭제곱 법칙, 선원 및 싱크, 선 와류가 있다.

'''거듭제곱 법칙'''

거듭제곱 법칙 등각 사상은 w=Az^n 형태로 표현된다.[12] 를 극좌표 z=re^{i\theta}로 나타내면 다음과 같다.[12]

:\varphi=Ar^n\cos n\theta \qquad \text{and} \qquad \psi=Ar^n\sin n\theta \,.

여기서 \varphi는 등포텐셜선을, \psi는 유선을 나타낸다.

몇 가지 흥미로운 거듭제곱 값과 그에 따른 흐름은 다음과 같다.[12]

거듭제곱 () 값흐름의 종류
무한 반판 주위의 흐름
직각 코너 주위의 흐름
균일한 흐름
코너를 통과하는 흐름 또는 정체점 근처의 흐름
소스 이중극에 의한 흐름



상수 는 스케일 매개변수로, 절댓값 \abs{A}는 스케일을, 편각 \arg(A)는 회전을 결정한다.

'''선원 및 싱크'''

강도 Q의 선원 또는 싱크(Source or Sink) ( Q>0는 소스, Q<0는 싱크)는 다음 포텐셜로 주어진다.

:w = \frac{Q}{2\pi} \ln z

여기서 Q는 소스 또는 싱크를 둘러싼 표면을 가로지르는 단위 길이당 체적 유량이다. 극좌표계에서의 속도장은 다음과 같다.

:u_r = \frac{Q}{2\pi r},\quad u_\theta=0

이는 순수하게 방사형 흐름을 나타낸다.

'''선 와류'''

강도 \Gamma의 선 와류(Line vortex)는 다음과 같이 주어진다.

:w=\frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z

여기서 \Gamma는 와류를 둘러싸는 임의의 단순 폐곡선 주변의 순환이다. 극좌표계에서의 속도장은 다음과 같다.

:u_r = 0,\quad u_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}

이는 순수한 방위각 흐름을 나타낸다.

5. 3차원 비압축성 유동 해석

3차원 유동의 경우, 복소 포텐셜을 구할 수 없다.

5. 1. 점원 및 싱크

소스/싱크(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%8A%A4_(%EC%9C%A0%EB%8F%99)) (source/sink영어)의 속도 포텐셜은 구면 좌표계에서 다음과 같이 주어진다. 강도 \(Q\) (Q>0는 소스, Q<0는 싱크)는 소스 또는 싱크를 둘러싸는 닫힌 표면을 가로지르는 부피 유량이다.

:\phi = -\frac{Q}{4\pi r}

구면 좌표계에서의 속도장은 다음과 같다.

:u_r = \frac{Q}{4\pi r^2}, \quad u_\theta=0, \quad u_\phi = 0.

참조

[1] 서적
[2] 서적 Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. http://www.kirbyrese[...] Cambridge University Press
[3] 서적
[4] 서적 Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6) Elsevier
[5] 서적 Modern compressible flow McGraw-Hill
[6] 간행물 On shock waves
[7] 논문 A fundamental derivative in gasdynamics
[8] 서적
[9] 서적 The Feynman Lectures on Physics Addison-Wesley
[10] 서적
[11] 서적
[12] 서적
[13] 서적 Applied Functions of a Complex Variable Wiley-Interscience



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