베르 공간

1. 개요

베르 공간은 빈약 집합과 비빈약 집합 개념을 기반으로 정의되며, 특정 조건을 만족하는 위상 공간을 의미한다. 베르 공간은 조밀한 열린 집합의 가산 교집합이 조밀하거나, 내부가 없는 닫힌 집합의 가산 합집합이 내부를 갖지 않는 등의 특징을 가진다. 베르 공간은 완비 거리화 가능 공간이나 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 같은 공간을 포함하며, 베르 범주 정리는 이러한 공간들이 베르 공간임을 보장한다. 또한, 쇼케 게임과 강한 쇼케 게임을 통해 베르 공간을 정의할 수 있으며, 베르 공간은 위상 공간론 및 함수 해석학에서 중요한 성질을 나타낸다.

2. 정의

--

미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(William Fogg Osgood^영어, 1864~1943)이 1896년 8월에 실수선 위의 베르 범주 정리를 최초로 발표하였다. 이후 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 독자적으로 도입하였다.

위상 공간 $X$가 다음 조건 중 하나라도 만족하면 베르 공간이라고 한다.

# 조밀 집합인 열린 집합들의 가산 교집합은 조밀하다.
# 비어있는 내부를 가진 닫힌 집합들의 가산 합집합은 비어있는 내부를 갖는다.
# 모든 빈약 집합은 비어있는 내부를 갖는다.
# 모든 비어있지 않은 열린 집합은 비빈약 집합이다.
# 모든 비빈약 집합은 조밀하다.
# 닫힌 집합들의 가산 합집합이 내부점을 가질 때, 적어도 하나의 닫힌 집합은 내부점을 갖는다.

이러한 정의 간의 동치는 아래 표와 같이 $X$의 여집합의 관련 속성을 기반으로 한다.

임의의 위상 공간에서 내점을 갖지 않는 닫힌 집합은 조밀한 열린 집합의 경계를 이루며, 유한 집합, 평면 내의 매끄러운 곡선, 유클리드 공간 내의 진정한 아핀 부분 공간 등이 이에 해당한다. 위상 공간이 베르 공간이라는 것은 "충분히 크다"는 것을 의미한다.

베르의 원래 정의에서는 범주의 개념이 다음과 같이 정의되었다.

위상 공간 X의 부분 집합에 대해,

* X에서 소 또는 어디에도 조밀하지 않음(nowhere dense) 하다는 것은, 그 폐포의 내부가 공임을 말한다.
* X에서 제1 범주(first category) 또는 야위어 있음(meagre) 하다는 것은, 가산 개의 소 집합의 합으로 표현될 수 있음을 말한다.
* X에서 제2 범주(second category) 또는 야위어 있지 않음(nonmeagre) 하다는 것은, X에서 제1 범주가 아님을 말한다.

이러한 정의로 베르 공간을 정의하면 다음과 같다. "위상 공간 X가 베르 공간이 된다는 것은, 임의의 비어 있지 않은 열린 집합이 X에서 제2 범주일 때이다." 이 정의는 앞서 언급한 현대적 정의와 동치이다.

X의 부분 집합 A가 잔류적(residual, comeagre)이라는 것은, 그 여집합 X ∖ A가 야위어 있음을 말한다. 위상 공간 X가 베르 공간이기 위한 필요충분조건은, X의 임의의 잔류적 부분 공간이 조밀해지는 것이다.

2.1. 쇼케 게임

위상 공간 $X$가 주어졌을 때, 다음과 같이 두 사람 갑(甲)과 을(乙)이 하는 게임을 생각할 수 있다.
# 갑과 을은 번갈아 가며, 갑이 먼저 시작한다.
# 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 $U\backslash subseteq\; X$를 고르는 것이다.
# 각 선수가 고른 집합들을 $(U\_0,\; U\_1,\; U\_2,\; \backslash dots)$라고 하자. 갑은 $U\_0,\; U\_2,\; U\_4,\; \backslash dots$를 고르고, 을은 $U\_1,\; U\_3,\; U\_5,\; \backslash dots$를 고른다.
# 각 선수는 이전에 놓인 모든 수를 알고 있으며, $U\_0\backslash supseteq\; U\_1\backslash supseteq\; U\_2\backslash supseteq\backslash cdots$이어야 한다.
# 만약 $U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots=\backslash varnothing$라면 갑이 이기고, 그렇지 않으면 을이 이긴다.
이를 쇼케 게임(Choquet game^영어) $\backslash operatorname\{Choq\}(X)$이라고 한다.

2.2. 베르 공간과 쇼케 공간

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 베르 공간이라고 한다.

* ㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다.
* ㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.
* ㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.
* ㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.
* ㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임 $\backslash operatorname\{Choq\}(X)$에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.

위상 공간 $X$가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, $X$를 쇼케 공간(Choquet space^영어)이라고 한다. 위상 공간 $X$가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, $X$를 강한 쇼케 공간(strong Choquet space^영어)이라고 한다. 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

다음은 쇼케 게임과 강한 쇼케 게임에 대한 설명이다.

* 쇼케 게임(Choquet game^영어) $\backslash operatorname\{Choq\}(X)$:
1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 $U\backslash subseteq\; X$를 고르는 것이다. 수들을 $(U\_0,U\_1,U\_2,\backslash dots)$라고 하자. (갑은 $U\_0,U\_2,U\_4,\backslash dots$를 두고, 을은 $U\_1,U\_3,U\_5,\backslash dots$를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 $U\_0\backslash supseteq\; U\_1\backslash supseteq\; U\_2\backslash supseteq\backslash cdots$이어야 한다.
3. 만약 $U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots=\backslash varnothing$라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

* 강한 쇼케 게임(strong Choquet game^영어) $\backslash operatorname\{StrChoq\}(X)$:
1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합과 그 속의 점의 순서쌍 $(U,x)$를 고르는 것이다. 수들을 $((U\_0,x\_0),(U\_1,x\_1),(U\_2,x\_2),(U\_3,x\_3),\backslash dots)$라고 하자. (갑은 $(U\_0,x\_0),(U\_2,x\_2),(U\_4,x\_4),\backslash dots$를 두고, 을은 $(U\_1,x\_1),(U\_3,x\_3),(U\_5,x\_5),\backslash dots$를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 $U\_0\backslash supseteq\; U\_1\backslash supseteq\; U\_2\backslash supseteq\backslash cdots$이며 $x\_0=x\_1\backslash land\; x\_2=x\_3\backslash land\backslash cdots$이어야 한다.
3. 만약 $U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots=\backslash varnothing$라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

3. 베르 범주 정리

베르 범주 정리는 위상 공간이 베르 공간이 되기 위한 충분 조건을 제시하는 두 가지 중요한 정리이다. 이 정리들은 위상 공간론 및 함수 해석학에서 중요한 도구로 사용된다.

* (BCT1) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.
* (BCT2) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.

BCT1에 따르면 다음이 베르 공간이다.

* 실수의 공간 $\backslash R$.
* 무리수의 공간은 위상 동형적으로 집합론의 베르 공간 $\backslash omega^\{\backslash omega\}$이다.
* 모든 폴란드 공간.

BCT2에 따르면 다음이 베르 공간이다.

* 모든 콤팩트 하우스도르프 공간 (예: 칸토어 집합)
* 모든 다양체 (심지어 파라콤팩트하지 않아 거리화 가능하지 않은 경우도 포함. 예: 긴 직선)

하지만 베르 범주 정리의 조건을 만족하지 않고도 베르 공간인 공간이 많이 있다.

모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.)

3.1. 제1 베르 범주 정리

베르 범주 정리(Baire範疇定理, Baire category theorem^영어)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.

* (제1 베르 범주 정리) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.
* (제2 베르 범주 정리) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.

완비 거리 공간 $(X,d)$ 속의 조밀 열린집합들의 열 $(U\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty$ 및 임의의 점 $x\_0\backslash in\; X$ 및 양의 실수 $r\_0\backslash in\backslash mathbb\; R^+$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족하는 $x\backslash in\; X$가 존재함을 보이면 충분하다.
:$x\backslash in\; B(x\_0,r\_0)\backslash cap\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{i=0\}^\backslash infty\; U\_i\backslash ne\backslash varnothing$

이제, $U\_i$는 모두 조밀 열린집합이므로 다음 조건을 만족하는 점렬 $(x\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash subseteq\; X$ 및 양의 실수열 $(r\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^+$을 고를 수 있다.
*$\backslash operatorname\{cl\}(B(x\_\{i+1\},r\_\{i+1\}))\backslash subset\; U\_i\backslash cap\; B(x\_i,r\_i)$
*$r\_\{i+1\}\backslash le\; 1/(i+1)$

그렇다면, $(x\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty$는 코시 열이므로 극한 $\backslash textstyle\backslash lim\_\{i\backslash to\backslash infty\}x\_i=x\backslash in\; X$를 가지며, 정의에 따라 다음이 성립한다.
:$x\backslash in\; B(x\_0,r\_0)\backslash cap\; U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots$

제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다.

사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음 관계가 성립한다.

3.2. 제2 베르 범주 정리

국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$의 조밀 열린집합들의 열 $(U\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty$ 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 $\backslash varnothing\backslash ne\; V\_0\backslash subseteq\; X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V\_0\backslash cap\; U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots$가 공집합이 아님을 보이면 된다.

이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 $(V\_i)\_\{i=0\}^\backslash infty$을 고를 수 있다.
* $\backslash operatorname\{cl\}V\_\{i+1\}\backslash subseteq\; V\_i\backslash cap\; U\_i$
* $\backslash operatorname\{cl\}V\_\{i+1\}$는 콤팩트 집합이다.
* $V\_\{i+1\}$는 공집합이 아니다.
이제 칸토어 교점 정리에 의하여
:$\backslash bigcap\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash operatorname\{cl\}V\_i\backslash subseteq\; \backslash textstyle\; V\_0\backslash cap\; U\_0\backslash cap\; U\_1\backslash cap\backslash cdots$
는 공집합이 아니다.

4. 성질

* 베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다.
* 모든 공집합이 아닌 베르 공간은 넌미어 공간이다. 조밀 열린 집합의 가산 교집합 측면에서, 베르 공간인 것은 이러한 교집합이 조밀하다는 것과 동등하며, 넌미어 공간인 것은 이러한 교집합이 공집합이 아니라는 더 약한 조건과 동등하다.
* 베르 공간의 모든 조밀한 G_δ 집합은 베르 공간이다.
* 베르 공간의 모든 코미어 집합은 베르 공간이다.
* 베르 공간의 부분 집합이 코미어인 것은 그 부분 집합이 조밀한 G_δ 집합을 포함하는 것과 동치이다.
* 공간이 베르인 조밀한 부분 공간을 포함한다면, 그 공간도 베르 공간이다.
* 각 점이 베르 공간인 이웃을 갖는다는 의미에서 국소적으로 베르인 공간은 베르 공간이다.
* 베르 공간의 모든 위상적 합은 베르 공간이다.
* 완비 거리 공간의 임의의 곱은 베르 공간이다.
* 모든 국소 콤팩트 소버 공간은 베르 공간이다.
* 모든 유한 위상 공간은 베르 공간이다 (유한 공간은 유한 개의 열린 집합만 가지며 두 열린 조밀 집합의 교집합은 열린 조밀 집합이기 때문이다.).
* 위상 벡터 공간이 베르 공간인 것은 그 공간이 넌미어 공간인 것과 동치이며, 이는 모든 닫힌 평형 흡수 부분 집합이 공집합이 아닌 내부를 갖는 것과 동치이다.
* $f\_n\; :\; X\; \backslash to\; Y$를 점별 극한 $f\; :\; X\; \backslash to\; Y$을 갖는 연속 함수열이라고 하자. 만약 $X$가 베르 공간이라면, $f$가 연속이 아닌 점들은 $X$에서 미어 집합이고 $f$가 연속인 점들의 집합은 $X$에서 조밀하다. 이의 특별한 경우는 균등 유계 원리이다.
* 임의의 공집합이 아닌 베르 공간 X는 자기 자신에 대해 제2류이다. 또한, X의 조밀 열린 집합으로 구성된 임의의 가산족의 교집합은 공집합이 아니다. 그러나 이 두 가지 주장의 역은 어느 쪽도 성립하지 않는다. 왜냐하면, 유리수 전체의 집합 Q와 단위 폐구간 [0, 1]의 위상적 직합을 생각하면 알 수 있다.

4.1. 함의 관계

완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서 “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음 관계가 성립한다.

4.2. 연산에 대한 닫힘

베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다. 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다.

베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다.

$X$가 베르 공간, $Y$가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 $f\_i\backslash colon\; X\backslash to\; Y$($i\backslash in\backslash mathbb\; N$)이 어떤 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$로 점별 수렴한다면, $f$가 연속 함수인 점들의 집합은 $X$의 조밀 집합이다.

5. 예

공집합은 자명하게 베르 공간이다. 무리수 집합은 베르 공간이다. 모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다. 모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.

* 실수 집합에 일반적인 위상을 부여한 공간은 베르 공간이다.
* 유리수 집합은 베르 공간이 아니다.
* 무리수 집합은 베르 공간이다.
* $X=[0,1]\backslash cup([2,3]\backslash cap\backslash Q)$와 $X=\backslash \{1\backslash \}\backslash cup([2,3]\backslash cap\backslash Q)$는 베르 공간이 아니다.

다음은 베르 범주 정리가 적용되지 않는 베르 공간의 예이다.
* 소르겐프레이 선.
* 소르겐프레이 평면.
* 니에미츠키 평면.
* $\backslash R^2$의 부분 공간으로 열린 윗 반평면과 축의 유리수로 구성된 공간은 베르 공간이다.

대수적 다양체는 자리스키 위상을 가지는 베르 공간이다. 유클리드 공간 내의 진정한 아핀 부분 공간 등이 이에 해당한다. 위상 공간이 베르 공간이라는 것은 무시할 수 있는 집합의 가산 개의 합집합이 아니라는 것을 의미한다.
* 실수 전체에 일반적인 위상을 고려한 것은 베르 공간이다.
* 칸토어 집합은 베르 공간이다.
* R에서 제2류이고 르베그 측도가 0인 예는, $$
\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty} \left(r_{n}-{1 \over 2^{n+m} }, r_{n}+{1 \over 2^{n+m}}\right)
로 주어진다. 단, $\backslash \{r\_n\backslash \}\_\{n=1\}^\backslash infty$는 유리수를 모두 열거하는 수열로 한다.
* 유리수 전체에 R에서 오는 일반적인 위상을 넣은 공간은 베르 공간이 아니다.

5.1. 연속 함수 공간

연속 함수의 집합 $\backslash mathcal\; C([0,\; 1],\backslash mathbb\; R)$ 위에 거리 함수 $\backslash textstyle\; d(f,\; g)=\backslash sup\_\{x\backslash in[0,1]\}\backslash \{|f(x)\; -\; g(x)|\backslash \}$를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다.

5.2. 유리수에서만 연속인 함수의 부재

실수선 $\backslash mathbb\; R$는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 베르 공간이다.

$A\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$가 조밀 집합이고, 함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $A$에서 연속 함수라면, $f$가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.

5.3. 극대 원소 집합

연속 dcpo $(X,\backslash le)$ 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 $\backslash max\; X$는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.

6. 역사

1896년 8월, 미국의 수학자 William Fogg Osgood^영어(1864~1943)이 실수선 위의 베르 범주 정리를 최초로 발표하였다.

1899년에는 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 독자적으로 도입하였다.

1958년에는 귀스타브 쇼케(Gustave Choquet^프랑스어, 1915~2006)가 쇼케 게임을 도입하였다.