푸비니-슈투디 계량

1. 개요

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간에 정의되는 리만 계량으로, 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다. 이 계량은 동차 좌표 또는 국소 아핀 좌표를 사용하여 표현할 수 있으며, 특히 양자역학에서 뷰레스 계량으로도 알려져 있다. 푸비니-슈투디 계량은 4와 같은 정칙 단면 곡률을 가지며, 아인슈타인 계량으로서 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 장 방정식의 해로 사용될 수 있다. 푸비니-슈투디 계량은 귀도 푸비니와 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디에 의해 독립적으로 발견되었다.

2. 정의

푸비니-슈투디 계량은 $n$차원 복소 사영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^n$ 위에 정의되는 특별한 리만 계량이다. 이 계량은 몫 공간 구성을 통해 자연스럽게 유도되며, 동차 좌표와 아핀 좌표를 사용하여 표현할 수 있다.

정의

푸비니-슈투디 계량은 다음과 같이 여러 방법으로 정의할 수 있다.

* Cⁿ⁺¹ 상의 표준 에르미트 계량은 표준 기저에서 다음과 같이 주어진다.

:$ds^2\; =\; d\backslash mathbf\{Z\}\; \backslash otimes\; d\backslash overline\{\backslash mathbf\{Z\}\}\; =\; dZ\_0\; \backslash otimes\; d\backslash overline\{Z\_0\}\; +\; \backslash cdots\; +\; dZ\_n\; \backslash otimes\; d\backslash overline\{Z\_n\}$

이는 R²ⁿ⁺² 상의 표준 유클리드 계량으로 실현된다.

* CPⁿ은 Cⁿ⁺¹ 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로, 각 점에 복소수를 곱하는 것(스케일링)을 동일시하는 Cⁿ⁺¹\{0}의 몫 공간으로 정의된다. 이는 곱셈군 C^* = C\{0}의 대각적인 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

:$\backslash mathbf\{CP\}^n\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; =\; [Z\_0,Z\_1,\backslash ldots,Z\_n]\; \backslash in\; \{\backslash mathbf\; C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash ,\; \backslash right\backslash \}\; /\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; \backslash sim\; c\backslash mathbf\{Z\},\; c\; \backslash in\; \backslash mathbf\{C\}^*\; \backslash \}.$

* 0이 아닌 복소 스칼라 z = R e^iθ에 의한 곱은 원점을 중심으로 반시계 방향으로 각도 $\backslash theta$만큼 회전하고 modulus R만큼 늘리는(지연) 합성으로 생각할 수 있다. 따라서 몫 Cⁿ⁺¹ → CPⁿ은 다음 두 단계로 분해된다.

:$\backslash mathbf\{C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\; \backslash stackrel\{(a)\}\backslash longrightarrow\; S^\{2n+1\}\; \backslash stackrel\{(b)\}\backslash longrightarrow\; \backslash mathbf\{CP\}^n$

(a) 단계의 몫은 방정식 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1로 정의되는 실수 초구면 S²ⁿ⁺¹이다. (b) 단계의 몫은 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹로 실현되며, 여기서 S¹은 회전군을 나타낸다.

* 푸비니-슈투디 계량은 몫 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹ 위에 유도된 계량이며, 여기서 $S^\{2n+1\}$은 표준 유클리드 계량을 단위 초구면에 제한하여 얻어지는 "둥근 계량"을 갖는다.

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜과의 관계를 통해 정의될 수도 있으며, 동차 좌표계나 아핀 좌표계를 사용하여 표현할 수 있다.

2.1. 동차 좌표를 사용한 정의

$n$차원 복소수 사영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$에 동차 좌표 $Z\_0,\; Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n$을 부여하고, 벡터
:$\backslash mathbf\{z\}\; =\; Z\_0^\{-1\}(Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^n$
으로 나타낸다. 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은
:$K\; =\; \backslash ln(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})$
이다. 즉, 그 리만 계량은
:$ds^2\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})d\backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\}\; -\; (\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{z\})(\backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})\}\{(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})^2\}$
이다.

동차 좌표계 표기법으로도 표현이 가능한데, 이는 대수 기하학의 사영 다양체를 설명하는 데 일반적으로 사용된다. Z = [Z₀:...:Z_n]. 형식적으로 표현식을 적절하게 해석하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\
&=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\beta dZ_\alpha d\bar{Z}^\beta}{\left(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha\right)^2}\\
&= \frac {2Z_{[\alpha}\,dZ_{\beta]} \bar{Z}^{[\alpha}\,\overline{dZ}^{\beta]}}
{\left( Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \right)^2}.
\end{align}

여기서 그리스 문자 지수 α, β는 0에서 n까지의 범위를 가지며, 합 규약이 사용되었으며, 마지막 등식에서는 텐서의 왜곡 부분을 나타내는 표준 표기법이 사용되었다.

:$Z\_\{[\backslash alpha\}W\_\{\backslash beta]\}\; =\; \backslash tfrac12\; \backslash left(\; Z\_\{\backslash alpha\}\; W\_\{\backslash beta\}\; -\; Z\_\{\backslash beta\}\; W\_\{\backslash alpha\}\; \backslash right).$

$ds^2$에 대한 이 표현은 tautological bundle Cⁿ⁺¹\{0}의 전체 공간에 대한 텐서를 정의하는 것으로 보인다. 이는 CPⁿ의 tautological bundle의 정칙 단면 σ를 따라 다시 당겨서 CPⁿ에 대한 텐서로 적절하게 이해해야 한다. 그러면 pullback의 값이 단면의 선택과 무관한지 확인해야 한다. 이는 직접적인 계산으로 수행할 수 있다.

이 메트릭의 Kähler 형식은 다음과 같다.

:$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{i\}\{2\}\backslash partial\backslash bar\{\backslash partial\}\backslash log\; |\backslash mathbf\{Z\}|^2$

여기서 $\backslash partial,\; \backslash bar\backslash partial$는 돌보 연산자이다.
이것의 pullback은 정칙 단면의 선택과 명백히 무관하다. log|Z|²의 값은 CPⁿ의 Kähler potential (때로는 Kähler 스칼라라고도 함)이다.

2.2. 국소 아핀 좌표를 사용한 정의

$n$차원 복소수 사영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$에 동차좌표 $Z\_0,\; Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n$을 부여하면, 벡터 $\backslash mathbf\{z\}\; =\; Z\_0^\{-1\}(Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^n$로 나타낼 수 있다. $Z\_0\; \backslash neq\; 0$일 때, $[Z\_0:\; \backslash dots\; :\; Z\_n]\; \backslash sim\; [1,\; z\_1,\; \backslash dots,\; z\_n]$을 만족하는 유일한 좌표 $(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_n)$이 존재하며, 특히 $z\_j\; =\; Z\_j\; /\; Z\_0$이다.

$(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_n)$은 좌표 조각 $U\_0\; =\; \backslash \{Z\_0\; \backslash neq\; 0\backslash \}$에서 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$에 대한 아핀 좌표계를 형성한다. $U\_i\; =\; \backslash \{Z\_i\; \backslash neq\; 0\backslash \}$ 에서는 $Z\_i$로 나누어 아핀 좌표계를 설정할 수 있다. $n+1$개의 좌표 조각 $U\_i$는 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$을 덮는다.

좌표 도함수는 푸비니-슈투디 계량에 에르미트 성분이 있는 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$의 정칙 접다발의 틀 $\backslash \{\backslash partial\_1,\; \backslash dots,\; \backslash partial\_n\backslash \}$을 정의한다. 이 틀에서 푸비니-슈투디 계량의 에르미트 행렬은 다음과 같다.

:$$
\bigl[g_{i\bar{j}}\bigr] = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}
\left[
\begin{array}{cccc}
1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\
-\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2
\end{array}
\right]

여기서 $|\backslash mathbf\{z\}|^2\; =\; |z\_1|^2\; +\; \backslash cdots\; +\; |z\_n|^2$이다. 각 행렬 성분은 유니터리 불변이다. 즉, $\backslash mathbf\{z\}\; \backslash mapsto\; e^\{i\backslash theta\}\backslash mathbf\{z\}$는 행렬을 바꾸지 않는다.

푸비니-슈투디 계량의 에르미트 성분은 다음과 같이 주어진다.
:$g\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; =\; h(\backslash partial\_i,\; \backslash bar\{\backslash partial\}\_j)\; =\; \backslash frac\{(1+|\backslash mathbf\{z\}|^2)\backslash delta\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; -\; \backslash bar\{z\}\_i\; z\_j\}\{(1+|\backslash mathbf\{z\}|^2)^2\}$

선 요소는 다음과 같이 주어진다.
:$$
\begin{align}
ds^2 &= g_{i\bar{j}} \, dz^i \, d\bar{z}^j \\[4pt]
&= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \\[4pt]
&= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_j d\bar{z}^j - \bar{z}^j z_i dz_j d\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}
\end{align}

이 식에서 아인슈타인 표기법이 사용되었다.

계량은 다음 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.
:$K\; =\; \backslash ln(1\; +\; z\_i\; \backslash bar\{z\}^i)\; =\; \backslash ln(1\; +\; \backslash delta\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; z^i\; \backslash bar\{z\}^j)$
:$g\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; =\; K\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^i\; \backslash ,\; \backslash partial\backslash bar\{z\}^j\}\; K$

2.3. 켈러 퍼텐셜과의 관계

$n$차원 복소수 사영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$에 동차좌표 $Z\_0,\; Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n$을 부여하고, 벡터 $\backslash mathbf\{z\}\; =\; Z\_0^\{-1\}(Z\_1,\; \backslash dots,\; Z\_n)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^n$로 나타내면, 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은 다음과 같다.

:$K\; =\; \backslash ln(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})$

즉, 그 리만 계량은 다음과 같이 표현된다.

:$ds^2\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})\; d\backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\}\; -\; (\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{z\})(\backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})\}\{(1\; +\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash cdot\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{z\}\})^2\}$

푸비니-슈투디 계량은 다음과 같은 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.

:$K\; =\; \backslash ln(1\; +\; z\_i\; \backslash bar\{z\}^i)\; =\; \backslash ln(1\; +\; \backslash delta\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; z^i\; \backslash bar\{z\}^j)$

여기서 $z\_i$는 아핀 좌표계의 좌표를 나타내며, 다음과 같은 관계를 통해 켈러 퍼텐셜로부터 계량 텐서 $g\_\{i\backslash bar\{j\}\}$를 얻을 수 있다.

:$g\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; =\; K\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^i\; \backslash ,\; \backslash partial\; \backslash bar\{z\}^j\}\; K$

이 켈러 퍼텐셜은 동차 좌표 Z = [Z₀, ..., Z_n]를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash omega\; =\; i\; \backslash partial\; \backslash overline\{\backslash partial\}\; \backslash log\; |\backslash mathbf\{Z\}|^2$

여기서 $\backslash omega$는 켈러 형식이며, log|Z|²는 CPⁿ의 켈러 스칼라이다.

3. 구성

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다.

구체적으로, CPⁿ은 Cⁿ⁺¹ 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로 정의할 수 있다. 즉, 각 점에 복소수를 곱하는 것(스케일링)을 동일시하는 Cⁿ⁺¹\{0}의 몫 공간이다. 이는 곱셈군 C^* = C \ {0}의 대각적인 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

:$\backslash mathbf\{CP\}^n\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; =\; [Z\_0,Z\_1,\backslash ldots,Z\_n]\; \backslash in\; \{\backslash mathbf\; C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash ,\; \backslash right\backslash \}\; /\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; \backslash sim\; c\backslash mathbf\{Z\},\; c\; \backslash in\; \backslash mathbf\{C\}^*\; \backslash \}.$

이 몫은 기본 공간 CPⁿ 위의 복소 선다발로서 Cⁿ⁺¹\{0}으로 실현된다. (실제로, 이 몫은 CPⁿ 위의 동어반복 다발이다.) 따라서 CPⁿ은 0이 아닌 복소수에 의한 스케일링을 modulo로 한 (n + 1)-개의 튜플 [Z₀,...,Z_n]의 동치류와 동일시된다. Z_i를 그 점에서의 동차 좌표라고 한다.

이 몫은 두 단계를 거쳐 얻을 수 있다. 0이 아닌 복소 스칼라 z = Re^iθ에 의한 곱은 원점을 중심으로 반시계 방향의 각도 $\backslash theta$의 회전을 modulus R에 의한 지연의 합성으로 생각할 수 있으며, 몫 Cⁿ⁺¹ → CPⁿ은 다음 두 부분으로 분해된다.

:$\backslash mathbf\{C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\; \backslash stackrel\{(a)\}\backslash longrightarrow\; S^\{2n+1\}\; \backslash stackrel\{(b)\}\backslash longrightarrow\; \backslash mathbf\{CP\}^n$

여기서 (a)는 지연 R ∈ R⁺, 즉, 양의 실수에 의한 곱셈에 대한 몫 Z ~ RZ이며, (b)는 회전 Z ~ e^iθZ에 의한 몫이다.

(a)에서의 몫의 결과는 방정식 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1으로 정의되는 실수 초구면 S²ⁿ⁺¹이다. (b)의 몫은 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹이 실현된다. 여기서 S¹은 회전군을 표현한다.

(하위 섹션인 "계량 몫으로서의 구성" 및 "호프 올뭉치와의 관계"에서 자세한 내용을 다루므로, 푸비니-슈투디 계량의 정의와 관련된 내용은 간략하게 요약한다.)

3.1. 계량 몫으로서의 구성

리만 다양체(또는 거리 공간)의 몫 공간을 구성하여 푸비니-슈투디 계량을 유도할 수 있다.

먼저, 복소 사영 공간 CPⁿ은 Cⁿ⁺¹에서 (0, 0, ..., 0)을 제외한 모든 점들에 대해, 0이 아닌 복소수를 곱하는 것을 동치 관계로 묶어 정의한다. 이는 곱셈군 C^* = C \ {0}의 작용에 의한 몫과 같다.

:$\backslash mathbf\{CP\}^n\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; =\; [Z\_0,Z\_1,\backslash ldots,Z\_n]\; \backslash in\; \{\backslash mathbf\; C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash big/\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; \backslash sim\; c\backslash mathbf\{Z\},\; c\; \backslash in\; \backslash mathbf\{C\}^*\; \backslash \}.$

이 몫은 Cⁿ⁺¹\{0}을 복소 선다발로 만든다. 이때 CPⁿ의 한 점은 (n+1)개의 복소수 튜플 [Z₀,...,Z_n]로 나타내며, 0이 아닌 복소수를 곱하는 것은 같은 점으로 간주한다. 이 Z_i들을 동차 좌표라고 부른다.

이 몫 사상은 두 단계로 나눌 수 있다. 0이 아닌 복소수 z = R e^iθ를 곱하는 것은 크기 R만큼 늘리고, 각도 $\backslash theta$만큼 회전시키는 것이다. 따라서 몫 사상 Cⁿ⁺¹ → CPⁿ은 다음과 같이 두 단계로 분리된다.

:$\backslash mathbf\{C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\; \backslash mathrel\{\backslash stackrel\{(a)\}\backslash longrightarrow\}\; S^\{2n+1\}\; \backslash mathrel\{\backslash stackrel\{(b)\}\backslash longrightarrow\}\; \backslash mathbf\{CP\}^n$

(a) 단계는 Z ~ RZ ($R$은 양의 실수)에 의한 몫이다. (b) 단계는 Z ~ e^iθZ (회전)에 의한 몫이다.

(a) 단계의 결과는 방정식 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1을 만족하는 실수 초구 S²ⁿ⁺¹이다. (b) 단계에서는 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹을 얻는다. 여기서 S¹은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 호프 올화 S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ로 나타낼 수 있다.

리만 다양체의 몫을 취할 때는 몫 공간이 잘 정의된 계량을 갖도록 주의해야 한다. 군 G가 리만 다양체 (X,g)에 작용할 때, 궤도 공간 X/G가 유도된 계량을 가지려면, 임의의 $h$ ∈ G와 벡터장 쌍 $X,Y$에 대해 g(Xh,Yh) = g(X,Y)가 성립해야 한다.

Cⁿ⁺¹의 표준 에르미트 계량은 다음과 같다.

:$ds^2\; =\; d\backslash mathbf\{Z\}\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{Z\}\}\; =\; dZ\_0\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{Z\}\_0\; +\; \backslash cdots\; +\; dZ\_n\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{Z\}\_n$

이것의 실수는 R²ⁿ⁺²의 표준 유클리드 계량이다. 이 계량은 C^*의 대각 작용에 대해 변하지 않으므로 CPⁿ으로 직접 보낼 수 없다. 그러나 회전 군 S¹ = U(1)의 대각 작용에서는 변하지 않는다. 따라서 (a) 단계를 완료하면 (b) 단계가 가능하다.

푸비니-슈투디 계량은 몫 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹에서 유도된 계량이다. 여기서 $S^\{2n+1\}$은 표준 유클리드 계량을 단위 초구에 제한하여 얻은 "둥근 계량"을 갖는다.

3.2. 호프 올뭉치와의 관계

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다.

구체적으로, CPⁿ은 Cⁿ⁺¹ 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로 정의할 수 있다. 이는 Cⁿ⁺¹\{0}에서 각 점에 복소수를 곱하는 것을 동일시하는 동치 관계로 나눈 공간이다. 이는 곱셈군 C^* = C \ {0}의 대각선 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

:$\backslash mathbf\{CP\}^n\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; =\; [Z\_0,Z\_1,\backslash ldots,Z\_n]\; \backslash in\; \{\backslash mathbf\; C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash ,\; \backslash right\backslash \}\; /\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{Z\}\; \backslash sim\; c\backslash mathbf\{Z\},\; c\; \backslash in\; \backslash mathbf\{C\}^*\; \backslash \}.$

이 몫은 Cⁿ⁺¹\{0}을 기본 공간 CPⁿ 위에 있는 복소 선다발로 실현한다. (실제로 이것은 CPⁿ 위에 있는 소위 동어반복 다발이다.) 따라서 CPⁿ의 한 점은 0이 아닌 복소수 스케일링을 기준으로 (n+1)튜플 [Z₀,...,Z_n]의 동치류로 식별된다. Z_i는 점의 동차 좌표라고 불린다.

이 몫 사상은 두 단계로 실현할 수 있다. 0이 아닌 복소수 z = Re^iθ를 곱하는 것은 크기 R만큼 늘리고 각도 θ만큼 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 몫 사상 Cⁿ⁺¹ → CPⁿ은 두 부분으로 나뉜다.

:$\backslash mathbf\{C\}^\{n+1\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\; \backslash stackrel\{(a)\}\backslash longrightarrow\; S^\{2n+1\}\; \backslash stackrel\{(b)\}\backslash longrightarrow\; \backslash mathbf\{CP\}^n$

여기서 단계 (a)는 양의 실수의 곱셈 군의 원소 R ∈ R⁺에 대해 Z ~ RZ에 의한 몫이다. 단계 (b)는 회전 Z ~ e^iθZ에 의한 몫이다.

(a)에서 몫의 결과는 방정식 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1로 정의되는 실수 초구 S²ⁿ⁺¹이다. (b)의 몫은 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹을 실현한다. 여기서 S¹은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 유명한 호프 올뭉치 S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ에 의해 명시적으로 실현된다. 그 올들은 S²ⁿ⁺¹의 대원들 중에 있다.

4. 성질

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜에서 유도될 수 있으며, 크리스토펠 기호와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 가져 특히 간단한 형태를 가진다. 또한, 세그레 매장인 사영 공간의 자연스러운 곱에 대해 분리 가능하다.

$\backslash vert\backslash psi\backslash rangle$가 분리 가능한 상태여서 $\backslash vert\backslash psi\backslash rangle=\backslash vert\backslash psi\_A\backslash rangle\backslash otimes\backslash vert\backslash psi\_B\backslash rangle$로 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합으로 표현 가능하다.

:$ds^2\; =\; \{ds\_A\}^2+\{ds\_B\}^2$

여기서 $\{ds\_A\}^2$와 $\{ds\_B\}^2$는 각각 부분 공간 A와 B의 계량이다.

4.1. 곡률 성질

$n=1$인 경우, 푸비니-슈투디 계량은 2차원 구의 둥근 계량과 동등하며, 일정한 단면 곡률 4를 가진다. 이는 리만 구(복소수 사영 직선)의 경우, 푸비니-슈투디 계량이 반지름이 1/2인 구를 나타내므로, 가우스 곡률은 4가 된다. 그러나 $n>1$인 경우, 푸비니-슈투디 계량은 일정한 곡률을 가지지 않는다. 대신 단면 곡률은 다음 방정식으로 주어진다.

:$K(\backslash sigma)\; =\; 1\; +\; 3\backslash langle\; JX,Y\; \backslash rangle^2$

여기서 $\backslash \{X,Y\backslash \}\; \backslash in\; T\_p\; \backslash mathbb\{CP\}^n$는 2차원 평면 $\backslash sigma$의 정규 직교 기저이고, $J$는 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$의 복소 구조이며, $\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle$는 푸비니-슈투디 계량이다.

이 공식의 결과, 단면 곡률은 모든 2차원 평면 $\backslash sigma$에 대해 $1\; \backslash leq\; K(\backslash sigma)\; \backslash leq\; 4$를 만족한다. 최대 단면 곡률(4)은 $J$(σ) ⊂ σ인 정칙 2차원 평면에서 얻어지며, 최소 단면 곡률(1)은 $J$(σ)가 σ에 직교하는 2차원 평면에서 얻어진다. 이러한 이유로 푸비니-슈투디 계량은 종종 "일정 정칙 단면 곡률"이 4라고 표현한다.

이는 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$을 (엄격하지 않은) 4분의 1 핀칭 다양체로 만든다. 유명한 정리에 따르면 엄격하게 4분의 1 핀칭된 단일 연결 $n$-다양체는 구와 위상 동형이다.

푸비니-슈투디 계량은 자체 리치 텐서에 비례한다는 점에서 아인슈타인 계량이기도 하다. 즉, 모든 $i$, $j$에 대해 다음을 만족하는 상수 $\backslash Lambda$가 존재한다.

:$\backslash operatorname\{Ric\}\_\{ij\}\; =\; \backslash Lambda\; g\_\{ij\}$

이는 푸비니-슈투디 계량이 리치 흐름에 따라 스칼라 배수까지 변하지 않는다는 것을 의미한다. 또한 $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$을 일반 상대성 이론에서 중요한 대상으로 만드는데, 진공 아인슈타인 장 방정식의 비자명한 해로 사용되기 때문이다. $\backslash mathbb\{CP\}^\{n\}$에 대한 우주 상수 $\backslash Lambda$는 공간의 차원으로 주어지며, $\backslash operatorname\{Ric\}\_\{ij\}\; =\; 2(n+1)\; g\_\{ij\}$이다.

4.2. 접속 및 곡률

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜
:$K\; =\; \backslash ln(1\; +\; z\_i\; \backslash bar\{z\}^i)\; =\; \backslash ln(1\; +\; \backslash delta\_\{i\backslash bar\{j\}\}\; z^i\; \backslash bar\{z\}^j)$
에서 유도될 수 있다.
여기서
:$$
g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K

이다.

계량이 켈러 포텐셜에서 유도될 수 있다는 사실은 크리스토펠 기호와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 가지며 특히 간단한 형태를 가질 수 있다는 것을 의미한다. 국소 아핀 좌표에서 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

:$$
\Gamma^i_{\;jk}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial g_{k\bar{m}}}{\partial z^j}
\qquad
\Gamma^\bar{i}_{\;\bar{j}\bar{k}}=g^{\bar{i}m}\frac{\partial g_{\bar{k}m}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}


리만 텐서는 특히 간단하다.

:$$
R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial \Gamma^\bar{m}_{\;\;\bar{j}\bar{l}}}{\partial z^k}


리치 텐서는 다음과 같다.

:$$
R_{\bar{i}j}= R^{\bar{k}}_{\; \bar{i}\bar{k} j} =
- \frac{\partial \Gamma^\bar{k}_{\;\bar{i}\bar{k}}}{\partial z^j}
\qquad
R_{i\bar{j}}= R^k_{\; ik \bar{j}} = - \frac{\partial \Gamma^k_{\;ik}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}

4.3. 대칭성

푸비니-슈투디 계량은 각 행렬 요소가 유니터리 불변성을 갖는다. 즉, 대각 작용 $\backslash mathbf\{z\}\; \backslash mapsto\; e^\{i\backslash theta\}\backslash mathbf\{z\}$에 대해 행렬이 변하지 않는다. 이는 회전 변환에 대해 계량이 불변임을 의미한다.

이러한 성질은 푸비니-슈투디 계량이 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다는 사실과 관련이 있다. 켈러 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

:$$
K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)


여기서 $z\_i$는 복소수 좌표를 나타내고, $\backslash bar\{z\}^i$는 그 켤레 복소수를 나타낸다. 이 켈러 퍼텐셜을 이용하여 푸비니-슈투디 계량의 성분을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$$
g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K


이 식을 통해 계산된 푸비니-슈투디 계량은 다음과 같은 에르미트 행렬로 표현된다.

:$\backslash bigl[g\_\{i\backslash bar\{j\}\}\backslash bigr]\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(1+|\backslash mathbf\{z\}|^2\backslash right)^2\}$
\left[
\begin{array}{cccc}
1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\
-\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2
\end{array}
\right]


여기서 $|\backslash mathbf\{z\}|^2\; =\; |z\_1|^2\; +\; \backslash cdots\; +\; |z\_n|^2$이다.

푸비니-슈투디 계량은 몫 공간에서 유도된 계량으로도 이해할 수 있다. Cⁿ⁺¹ 위의 표준 에르미트 계량은 다음과 같이 주어지며,

:$ds^2\; =\; d\backslash mathbf\{Z\}\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{\backslash mathbf\{Z\}\}\; =\; dZ\_0\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{Z\}\_0\; +\; \backslash cdots\; +\; dZ\_n\; \backslash otimes\; d\backslash bar\{Z\}\_n$

이는 실수 부분에서 R²ⁿ⁺² 위의 표준 유클리드 계량과 같다. 이 계량은 S¹ = U(1) (단위 복소수의 곱셈군)의 대각 작용에 대해 불변이다. 따라서 몫 공간 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹ 위에 푸비니-슈투디 계량이 유도된다. 여기서 $S^\{2n+1\}$은 표준 유클리드 계량을 단위 초구에 제한하여 얻어지는 "둥근 계량"을 갖는다.

4.4. 분리 가능성

푸비니-슈투디 계량에는 분리 가능성에 대한 일반적인 개념이 적용된다. 더 정확하게는, 이 계량은 세그레 매장인 사영 공간의 자연스러운 곱에 대해 분리 가능하다. 즉, $\backslash vert\backslash psi\backslash rangle$가 분리 가능한 상태여서 $\backslash vert\backslash psi\backslash rangle=\backslash vert\backslash psi\_A\backslash rangle\backslash otimes\backslash vert\backslash psi\_B\backslash rangle$로 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합으로 표현 가능하다.

:$ds^2\; =\; \{ds\_A\}^2+\{ds\_B\}^2$

여기서 $\{ds\_A\}^2$와 $\{ds\_B\}^2$는 각각 부분 공간 A와 B의 계량이다.

5. 양자역학에서의 응용

양자역학에서 푸비니-슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 불린다. 이 계량의 실수 부분은 피셔 정보 계량의 4배이다. 브라-켓 표기법, 블로흐 구면, 양자 얽힘, 기하학적 위상 등과 같은 개념들과 깊은 관련이 있다.

양자역학의 맥락에서 1차원 복소 사영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^\{1\}$은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학을 기하학적으로 이해하는 데 자연스러운 계량을 제공한다. 특히, 양자 얽힘이나 베리 위상과 같은 양자역학의 독특한 현상들은 푸비니-슈투디 계량의 특성으로 설명될 수 있다.

5.1. 브라-켓 표기법을 사용한 표현

양자역학에서 흔히 사용되는 브라-켓 표기법을 사용하여 푸비니-슈투디 계량을 표현할 수 있다. 이를 위해 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; Z\_k\; \backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$

여기서 $\backslash \{\backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\backslash \}$는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터 집합이고, $Z\_k$는 복소수이며, $Z\_\backslash alpha\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$은 동차 좌표에서 사영 공간 CPⁿ의 점을 나타내는 표준 표기법이다.

공간 상의 두 점 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; Z\_\backslash alpha$와 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle\; =\; W\_\backslash alpha$ 사이의 거리(측지선의 길이)는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\; \backslash arccos$
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;
\langle \varphi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \varphi \vert \varphi \rangle}


또는 사영 다양체 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\backslash gamma\; (Z,W)\; =$
\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}
{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.


여기서 $\backslash bar\{Z\}^\backslash alpha$는 $Z\_\backslash alpha$의 켤레 복소수이다. 분모의 $\backslash langle\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$는 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$와 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle$가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 의미하며, 따라서 정규화가 명시적으로 수행된다. 힐베르트 공간에서 이 거리는 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, 이를 양자 각이라고도 한다. 이 각은 0과 $\backslash pi/2$ 사이의 실수 값을 가진다.

이 계량의 무한소 형태는 $\backslash varphi\; =\; \backslash psi+\backslash delta\backslash psi$ 또는 $W\_\backslash alpha\; =\; Z\_\backslash alpha\; +\; dZ\_\backslash alpha$를 통해 다음과 같이 얻을 수 있다.

:$ds^2\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash rangle\}$
{\langle \psi \vert \psi \rangle} -
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

5.2. 부레스 계량과의 관계

양자역학에서 푸비니-슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 불린다. 하지만 부레스 계량은 일반적으로 혼합 상태 표기법으로 정의되는 반면, 아래 설명은 순수 상태를 기준으로 작성되었다. 이 계량의 실수부는 피셔 정보 계량의 4분의 1이다.

푸비니-슈투디 계량은 양자역학에서 흔히 사용되는 브라-켓 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; Z\_k\; \backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$

여기서 $\backslash \{\backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\backslash \}$는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터의 집합이고, $Z\_k$는 복소수이며, $Z\_\backslash alpha\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$은 동차 좌표에서 사영 공간 CPⁿ의 점에 대한 표준 표기법이다.

공간의 두 점 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; Z\_\backslash alpha$와 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle\; =\; W\_\backslash alpha$ 사이의 거리(측지선의 길이)는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\; \backslash arccos$
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;
\langle \varphi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \varphi \vert \varphi \rangle}


사영 다양체 표기법으로는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\backslash gamma\; (Z,W)\; =$
\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}
{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.


여기서 $\backslash bar\{Z\}^\backslash alpha$는 $Z\_\backslash alpha$의 복소 켤레이다. 분모의 $\backslash langle\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$는 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$와 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle$가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 나타내며, 정규화를 명시적으로 표현한다. 힐베르트 공간에서 이 계량은 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, 양자 각이라고도 한다. 이 각도는 실수 값을 가지며 0에서 $\backslash pi/2$까지의 값을 갖는다.

이 계량의 무한소 형태는 $\backslash varphi\; =\; \backslash psi+\backslash delta\backslash psi$ 또는 $W\_\backslash alpha\; =\; Z\_\backslash alpha\; +\; dZ\_\backslash alpha$를 사용하여 다음과 같이 얻을 수 있다.

:$ds^2\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash rangle\}$
{\langle \psi \vert \psi \rangle} -
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.


양자역학의 맥락에서 CP¹은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학의 기하학화를 위한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 위상 효과를 포함한 양자역학의 특이한 행동의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특이성으로 설명할 수 있다.

5.3. 블로흐 구면과의 관계

양자역학에서 1차원 복소 사영 공간 CP¹은 블로흐 구라고 불린다. 푸비니-슈투디 계량은 양자 역학의 기하학을 설명하는 데 사용되는 자연스러운 계량이다. 이 계량은 양자 얽힘과 베리 위상 효과를 포함한 양자 역학의 독특한 현상들을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

푸비니-슈투디 계량은 양자역학에서 자주 사용되는 브라-켓 표기법으로 표현할 수 있다. 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터 집합 $\backslash \{\backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\backslash \}$와 복소수 $Z\_k$를 사용하여, 상태 벡터 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; Z\_k\; \backslash vert\; e\_k\; \backslash rangle\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$

여기서 $Z\_\backslash alpha\; =\; [Z\_0:Z\_1:\backslash ldots:Z\_n]$은 사영 공간 $\backslash mathbb\{C\}P^n$의 한 점에 대한 동차 좌표 표준 표기법이다.

블로흐 구면 위의 두 점 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; Z\_\backslash alpha$와 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle\; =\; W\_\backslash alpha$ 사이의 거리(측지선의 길이) $\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\; \backslash arccos$
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;
\langle \varphi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \varphi \vert \varphi \rangle}


혹은 사영 다양체 표기법으로는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\; (\backslash psi,\; \backslash varphi)\; =\backslash gamma\; (Z,W)\; =$
\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}
{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.


여기서 $\backslash bar\{Z\}^\backslash alpha$는 $Z\_\backslash alpha$의 켤레 복소수이다. 분모의 $\backslash langle\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$ 항은 벡터 $\backslash vert\; \backslash psi\; \backslash rangle$ (그리고 $\backslash vert\; \backslash varphi\; \backslash rangle$)가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 나타내며, 따라서 정규화가 명시적으로 수행된다. 이 식에서 거리는 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, 이를 양자 각이라고도 부른다. 양자 각은 0에서 $\backslash pi/2$ 사이의 실수 값을 가진다.

이 계량의 무한소 형태는 $\backslash varphi\; =\; \backslash psi+\backslash delta\backslash psi$ (또는 $W\_\backslash alpha\; =\; Z\_\backslash alpha\; +\; dZ\_\backslash alpha$)를 통해 다음과 같이 얻어진다.

:$ds^2\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash vert\; \backslash delta\; \backslash psi\; \backslash rangle\}$
{\langle \psi \vert \psi \rangle} -
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

5.4. 양자 얽힘 및 기하학적 위상과의 연관성

양자역학에서 CP¹은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학의 기하학에 대한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 위상 효과를 포함한 양자 역학의 특이한 동작의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특성에 기인한다.

6. 역사

1904년에 귀도 푸비니가, 1905년에 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디(Christian Hugo Eduard Study^독일어)가 독자적으로 발견하였다.