프레넬 방정식

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1. 개요

프레넬 방정식은 빛을 전자기파로 간주하여 반사 및 굴절 현상을 설명하는 방정식으로, 반사의 법칙, 스넬의 법칙과 반사광 및 굴절광의 세기를 나타낸다. 빛의 편광 상태에 따라 반사율과 투과율이 달라지며, s-편광과 p-편광에 대한 반사율 및 투과율을 계산하는 데 사용된다. 이 방정식은 광학 코팅, 광섬유 통신, 분광학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에 응용되며, 수직 입사, 브루스터 각, 전반사, 45° 입사 등 특수한 경우에 대한 반사율과 투과율을 계산하는 데 활용된다.

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프레넬 방정식
개요
이름	프레넬 방정식
분야	광학
관련 개념	굴절 반사 편광 투과율 반사율
상세 정보
정의	두 매질 사이의 경계면에서 빛의 반사와 투과를 설명하는 방정식
변수	'Ei': 입사광의 전기장 진폭 'Er': 반사광의 전기장 진폭 'Et': 투과광의 전기장 진폭 'θi': 입사각 'θt': 굴절각 'ni': 입사 매질의 굴절률 'nt': 투과 매질의 굴절률
s-편광 반사 계수 (rs)	((ni cos θi - nt cos θt) / (ni cos θi + nt cos θt))
p-편광 반사 계수 (rp)	((nt cos θi - ni cos θt) / (nt cos θi + ni cos θt))
s-편광 투과 계수 (ts)	((2ni cos θi) / (ni cos θi + nt cos θt))
p-편광 투과 계수 (tp)	((2ni cos θi) / (nt cos θi + ni cos θt))
가정	매질은 선형, 균일, 등방성, 비자성체임. 경계면은 평면임. 빛은 단색파임.
응용	광학 시스템 설계 박막 코팅 설계 편광 현상 분석 분광학
역사
이름의 유래	오귀스탱 장 프레넬의 이름을 따서 명명됨

2. 정의

프레넬 방정식은 굴절률이 다른 두 매질 사이의 경계면에서 빛이 반사되거나 굴절되는 현상을 설명하는 방정식이다. 빛이 굴절률 $n_1$인 매질에서 $n_2$인 매질로 진행할 때, 일부는 반사되고 일부는 투과(굴절)한다.

이 방정식은 빛이 평면파이고, 두 매질의 경계면이 평평하며, 매질이 균질하고 등방성이라는 가정하에 성립한다.^[1]

프레넬 방정식은 일반적으로 다음과 같이 두 가지로 나뉜다.

'''s-편광'''(수직 편광): 빛의 전기장이 입사면에 수직인 경우이다.
'''p-편광'''(평행 편광): 빛의 전기장이 입사면에 평행한 경우이다.

입사광, 반사광, 투과광 사이의 각도는 반사의 법칙과 스넬의 법칙에 의해 결정된다.

반사의 법칙: $\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r}$
스넬의 법칙: $n_1 \sin \theta_\mathrm{i} = n_2 \sin \theta_\mathrm{t}$

프레넬 방정식은 반사율(R)과 투과율(T)을 통해 빛의 반사와 투과를 정량적으로 나타낸다. 반사율은 입사한 빛의 세기에 대한 반사된 빛의 세기의 비율이고, 투과율은 입사한 빛의 세기에 대한 투과된 빛의 세기의 비율이다.

s-편광의 경우:

R_\mathrm{s} = \left|\frac{n_1 \cos \theta_\mathrm{i} - n_2 \cos \theta_\mathrm{t}}{n_1 \cos \theta_\mathrm{i} + n_2 \cos \theta_\mathrm{t}}\right|^2

T_\mathrm{s} = 1 - R_\mathrm{s}

p-편광의 경우:

R_\mathrm{p} = \left|\frac{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} - n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} + n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}\right|^2

T_\mathrm{p} = 1 - R_\mathrm{p}

Power coefficients: glass to air (Total internal reflection starts from 42° making reflection coefficient 1)

일반적인 자연광은 s-편광과 p-편광이 섞여 있는 상태이므로, 전체 반사율은 두 반사율의 평균으로 계산된다.

R_\mathrm{eff} = \frac{1}{2}\left(R_\mathrm{s} + R_\mathrm{p}\right).

프레넬 방정식은 전자기학의 맥스웰 방정식을 이용하여 유도할 수 있으며,^[4] 광학, 재료 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

3. 역사

에티엔루이 말뤼스는 1808년에 빛이 비금속 표면에서 특정 각도로 반사될 때, 복굴절 칼사이트 결정에서 나오는 두 광선 중 하나처럼 행동한다는 것을 발견하고, 이 현상을 설명하기 위해 '편광'이라는 용어를 만들었다.^[19] 1815년에는 데이비드 브루스터가 편광각이 굴절률에 의존한다는 것을 실험적으로 밝혀냈다.^[20] 그러나 그 의존성의 이유는 당시 과학계의 큰 수수께끼였으며, 1817년 말 토마스 영은 편광된 광선의 반사 또는 비반사에 대한 충분한 이유를 제시하는 것은 어떤 이론으로도 완전히 해결하기 어려운 문제라고 언급했다.^[21]

1821년, 오귀스탱 장 프레넬은 빛의 파동을 횡파로 모델링하여 사인 법칙 및 탄젠트 법칙과 동등한 결과를 도출했다. 그는 빛이 입사면에 대해 45°로 편광되었을 때, 공기에서 유리나 물로 입사하는 경우 자신의 방정식이 반사된 빛의 편광 방향을 정확하게 예측한다는 것을 실험으로 확인했다. 특히, 이 방정식은 브루스터 각에서 정확한 편광을 보였다.^[22] 이 실험적 확인은 프레넬이 빛의 파동이 순전히 횡파라는 자신의 이론을 처음 밝힌 연구의 "추신"에서 보고되었다.^[23]

1823년 1월, 프랑스 과학 아카데미에 발표된 회고록에서 사인 법칙과 탄젠트 법칙의 현대적 형태를 포함한 프레넬의 유도에 대한 자세한 내용이 제공되었다.^[24] 이 유도는 에너지 보존과 계면에서의 접선 진동의 연속성을 결합했지만, 진동의 수직 성분에 대한 어떠한 조건도 허용하지 못했다.^[25] 1875년 헨드릭 로렌츠가 전자기 원리를 기반으로 한 최초의 유도를 제공했다.^[26]

같은 회고록에서 프레넬은 입사각이 임계각보다 클 경우, 반사 계수에 대한 공식이 단위 크기의 복소값을 제공한다는 것을 발견했다. 그는 크기가 피크 진폭의 비율을 나타내고, 인수가 위상 변화를 나타낸다고 추측하고 실험적으로 검증했다.^[27] 이 검증에는 다음 과정이 포함되었다.

s 및 p 성분 간에 총 90°의 위상 차이를 도입할 입사각 계산
해당 각도에서 여러 번의 전반사를 빛에 적용
최종 편광이 원편광인지 확인^[28]

이를 통해 프레넬은 현재 프레넬 롬브라고 불리는 장치에 대한 정량적 이론을 완성했다.

복소 반사 계수의 성공은 1836년부터 제임스 매컬래그와 오귀스탱 루이 코시가 복소 굴절률을 사용하여 프레넬 방정식을 통해 금속으로부터의 반사를 분석하도록 이끌었다.^[29]

프레넬은 전반사 및 롬브에 대한 완성된 이론을 발표하기 4주 전에, 선형 편광, 원형 편광, 타원 편광과 같은 용어를 소개하고,^[31] 광학 회전을 복굴절의 일종으로 설명하는 회고록을 제출했다.^[30]

4. 이론적 배경

프레넬 방정식은 빛이 굴절률이 다른 두 매질의 경계면을 통과할 때 나타나는 반사와 굴절 현상을 설명하는 방정식이다. 이 방정식은 빛을 전자기파로 간주하고, 맥스웰 방정식을 적용하여 유도된다.^[1]

빛이 경계면을 지날 때 전기장과 자기장은 연속이어야 한다는 경계 조건을 이용한다. 입사파와 반사파, 굴절파의 위상이 같다는 조건으로부터 반사의 법칙과 스넬의 법칙이 유도된다.

'''반사의 법칙:''' 입사각(})과 반사각(})은 같다. 즉, 이다.
'''스넬의 법칙:''' 입사각의 사인 값과 굴절각의 사인 값의 비는 두 매질의 굴절률의 비와 같다. 즉, 이다.

빛의 편광 상태는 입사면(입사 광선과 경계면의 수직선이 이루는 평면)에 수직인 s-편광(수직 편광)과 입사면에 평행한 p-편광(평행 편광)으로 나눌 수 있다. 프레넬 방정식은 각 편광 성분에 대해 반사된 파동과 입사 파동의 전기장 진폭의 비(반사율)와 투과된 파동과 입사 파동의 전기장 진폭의 비(투과율)를 제공한다.

브루스터 각은 p-편광된 빛의 반사율이 0이 되는 입사각이며, 전반사는 입사각이 임계각보다 클 때 빛이 모두 반사되는 현상이다.

5. 프레넬 방정식의 유도

프레넬 방정식은 굴절률이 다른 두 매질의 경계면에서 빛이 반사 및 투과(굴절)될 때, 그 비율을 나타내는 방정식이다. 빛을 전자기파로 보고 멕스웰 방정식을 사용하여 유도하며, 경계면에서 전기장과 자기장이 만족해야 하는 경계 조건을 적용한다.

경계 조건을 만족하려면 입사파, 반사파, 투과파 각각의 파동 벡터에서 경계면에 수평한 성분이 같아야 한다. 이를 통해 반사의 법칙(입사각과 반사각은 같다)과 스넬의 법칙( $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$ )이 유도된다. 여기서 ''n₁''과 ''n₂''는 각각 입사 측과 투과 측의 굴절률이며, α는 입사각, β는 굴절각이다.

이 조건들을 바탕으로 전자기장의 진폭 반사율 및 진폭 투과율을 계산할 수 있다. p파(TM파, 입사면에 평행한 편광)의 진폭 반사율은 ''r_p'', 진폭 투과율은 ''t_p''로, s파(TE파, 입사면에 수직인 편광)의 진폭 반사율은 ''r_s'', 진폭 투과율은 ''t_s''로 나타내면, 다음과 같은 프레넬 방정식을 얻는다.^[1]

: $t_p =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}$

: $r_p =\frac{n_2\cos{\alpha}-n_1\cos{\beta}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{\tan{(\alpha-\beta)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}$

: $t_s =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$

: $r_s =\frac{n_1\cos{\alpha}-n_2\cos{\beta}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=-\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$

빛의 에너지는 전자기장 진폭의 제곱에 비례하므로, 에너지 반사율 ''R''과 에너지 투과율 ''T''는 진폭 반사율과 진폭 투과율의 제곱으로 계산한다. 단, 에너지 투과율 계산 시에는 입사 측과 투과 측의 굴절률 차이 및 각도 변화에 따른 계수를 고려한다.^[1]

: $T_{s,p}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }t_{s,p}^{2}=\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }t_{s,p}^{2}$

: $R_{s,p}=r_{s,p}^{2}$

''r_p''가 0이 되는 각 α는 브루스터 각이다. 반대로 ''r_s''와 ''r_p''가 모두 1이 되어 입사광이 모두 반사되는 현상은 전반사이며, 전반사가 일어나는 최소 각도를 임계각이라 한다. 전반사는 $n_1 > n_2$ 일 때 발생한다.

5. 1. 파동 방정식

'''진폭 방정식'''(amplitude equations^영어)은 빛을 전자기파로 취급하여 반사의 법칙, 굴절의 법칙과 이들의 반사광과 굴절광의 세기를 표현한 것이다. 빛이 경계면을 지날 때의 전기장과 자기장의 경계조건을 빛의 파동 방정식에 적용하여 구현하였다.

전자기파인 빛을 파동 형태로 나타낸 방정식으로, 빛이 투과하는 경계면과 법선에 대하여 입사파, 투과파, 반사파로 나누어 나타낼 수 있으며, 각 파들의 계수들은 서로 관련이 있다.

하위 섹션에서 언급된 방정식을 간략하게 요약하면 다음과 같다.

:

\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{E} = {\omega}\boldsymbol{B} = {\omega}{\mu}\boldsymbol{H}

:

\boldsymbol{H} = \frac{n}\bar{k}\times\boldsymbol{E}

:

\tau = \boldsymbol{K}\boldsymbol{r} - \omega t

입사파와 반사파, 굴절파의 위상은 같으며, 파동 벡터는 다음과 같이 표현된다.

:

\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_r \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_t \boldsymbol{r} - \omega t

:

\boldsymbol{K}_i = K_i\sin\theta_{i} \bar{x} + K_i\cos\theta_{i} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_r = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} - K_r\cos\theta_{r} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_t = K_t\sin\theta_{t} \bar{x} + K_t\cos\theta_{t} \bar{z}

이 식들을 통해 반사의 법칙과 스넬의 법칙을 유도할 수 있다.

5. 1. 1. 멕스웰 방정식 및 표기법

프레넬 방정식 유도에 사용되는 전자기파인 빛을 파동 형태로 나타낸 방정식은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{E} = {\omega}\boldsymbol{B} = {\omega}{\mu}\boldsymbol{H}

:

\boldsymbol{H} = \frac{n}\bar{k}\times\boldsymbol{E}

:

\tau = \boldsymbol{K}\boldsymbol{r} - \omega t

여기서 사용된 표기법은 다음과 같다.

$\boldsymbol{K}$ : 파동 벡터
$\boldsymbol{E}$ : 전기장
$\omega$ : 각진동수
$\boldsymbol{B}$ : 자기장
$\mu$ : 투자율
$\boldsymbol{H}$ : 자기장 (H)
$n$ : 굴절률
$\bar{k}$ : 단위 벡터
$\boldsymbol{r}$ : 위치 벡터
$t$ : 시간

이 계산에서는 입사 측, 투과(굴절) 측 모두 투명한 등방성 유전체이며, 투자율

\mu

가

\mu=\mu_{0}

인 (즉 굴절률

n

이

n=\sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}}

로 나타나는) 것을 가정한다.

5. 1. 2. 입사파

입사파는 빛이 경계면에 들어오는 파동으로, 전기장과 자기장은 각각 x, y, z 성분으로 나타낼 수 있다.

:

E^i_x = -I_\parallel \cos\theta_i e^{i\tau_i}

:

E^i_y = I_\bot e^{i\tau_i}

:

E^i_z = I_\parallel \sin\theta_i e^{i\tau_i}

:

H^i_x = -I_\bot \cos\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}

:

H^i_y = -I_\parallel\frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}

:

H^i_z = I_\bot \sin\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}

입사파와 반사파, 굴절파의 위상은 같으며, 다음 식으로 표현된다.

:

\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_r \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_t \boldsymbol{r} - \omega t

입사파, 반사파, 굴절파의 파동 벡터는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{K}_i = K_i\sin\theta_{i} \bar{x} + K_i\cos\theta_{i} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_r = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} - K_r\cos\theta_{r} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_t = K_t\sin\theta_{t} \bar{x} + K_t\cos\theta_{t} \bar{z}

z = 0

일 때, 다음 관계가 성립한다.

:

K_i\sin\theta_{i} \bar{x} = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} = K_t\sin\theta_{t} \bar{x}

:

K_i\sin\theta_{i}  = K_r\sin\theta_{r}  = K_t\sin\theta_{t}

또한, 다음 관계를 통해 반사의 법칙과 스넬의 법칙을 유도할 수 있다.

:

K = n \frac{\omega}{c}

:

n_i = n_r

위 식들로부터,

:

\sin\theta_{i} = \sin\theta_{r}

:

\theta_i=\theta_r

이 성립하며, 이를 반사의 법칙이라고 한다.

그리고,

:

n_i\sin\theta_{i} = n_t\sin\theta_{t}

가 성립하며, 이를 스넬의 법칙이라고 한다.

5. 1. 3. 투과파

빛이 경계면을 투과할 때 나타나는 파동인 투과파는 전기장과 자기장으로 구성되며, 각각 x, y, z 성분을 가진다. 이 성분들은 다음과 같이 표현된다.^[36]

:

E^t_x = -T_\parallel \cos\theta_t e^{i\tau_t}

:

E^t_y = T_\bot e^{i\tau_t}

:

E^t_z = T_\parallel \sin\theta_t e^{i\tau_t}

:

H^t_x = -T_\bot \cos\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}

:

H^t_y = -T_\parallel\frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}

:

H^t_z = T_\bot \sin\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}

여기서

T_\parallel

과

T_\bot

는 각각 입사면에 평행한 성분과 수직인 성분의 투과 계수를 나타내며,

\theta_t

는 굴절각,

n_t

는 투과 매질의 굴절률,

\mu_t

는 투과 매질의 투자율, c는 진공에서의 광속,

e^{i\tau_t}

는 위상 인자를 의미한다.

5. 1. 4. 반사파

경계면에서 반사되는 빛의 파동은 전기장과 자기장의 x, y, z 성분으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

E^r_x = -R_\parallel \cos\theta_r e^{i\tau_r}

:

E^r_y = R_\bot e^{i\tau_r}

:

E^r_z = R_\parallel \sin\theta_r e^{i\tau_r}

:

H^r_x = -R_\bot \cos\theta_r \frac{n_t}{\mu_r c}e^{i\tau_r}

:

H^r_y = -R_\parallel\frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}

:

H^r_z = R_\bot \sin\theta_r \frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}

이 방정식들은 빛을 전자기파로 취급하여 반사의 법칙과 굴절의 법칙을 설명하고, 반사광의 세기를 나타낸다. 이 식은 빛이 경계면을 지날 때 전기장과 자기장의 경계 조건을 빛의 파동 방정식에 적용하여 유도되었다.^[36]

5. 2. 경계조건

입사파와 반사파, 굴절파의 위상은 같다.

:

\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_r \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_t \boldsymbol{r} - \omega t

:

\boldsymbol{K}_i = K_i\sin\theta_{i} \bar{x} + K_i\cos\theta_{i} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_r = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} - K_r\cos\theta_{r} \bar{z}

:

\boldsymbol{K}_t = K_t\sin\theta_{t} \bar{x} + K_t\cos\theta_{t} \bar{z}

z = 0

일 때,

:

K_i\sin\theta_{i} \bar{x} = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} = K_t\sin\theta_{t} \bar{x}

:

K_i\sin\theta_{i}  = K_r\sin\theta_{r}  = K_t\sin\theta_{t}

이고

:

K = n \frac{\omega}{c}

:

n_i = n_r

이므로

:

\sin\theta_{i} = \sin\theta_{r}

:

\theta_i=\theta_r

을 만족한다. 이를 반사의 법칙이라고 한다. 그리고

:

n_i\sin\theta_{i} = n_t\sin\theta_{t}

이다. 이를 스넬의 법칙이라고 한다.

빛이 투과하는 경계면에서 입사파, 투과파, 반사파로 나누어 나타낼 때, 전자기파인 빛을 파동형태로 표현한 방정식에서 각 파들의 계수들은 서로 관련이 있다. s 편광과 p 편광의 경우, 반사 및 투과 계수를 통해 진폭 반사율과 진폭 투과율을 계산할 수 있으며, 이는 멕스웰 방정식의 경계조건을 통해 유도된다.

5. 2. 1. 멕스웰 방정식 경계조건

빛이 경계면을 지날 때 전기장과 자기장은 다음 조건을 만족해야 한다.^[36]

:

\bar{z}\times\left(\boldsymbol{E_2} - \boldsymbol{E_1}\right) = 0

:

\bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{D_2} - \boldsymbol{D_1}\right) = 0

:

\bar{z}\times\left(\boldsymbol{H_2} - \boldsymbol{H_1}\right) = 0

:

\bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{B_2} - \boldsymbol{B_1}\right) = 0

이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

:

E^i_x + E^r_x = E^t_x

:

E^i_y + E^r_y = E^t_y

:

H^i_x + H^r_x = H^t_x

:

H^i_y + H^r_y = H^t_y

:

D^i_z + D^r_z = D^t_z

:

B^i_z + B^r_z = B^t_z

이때 경계면에서는

z=0

이므로 다음과 같다.

:

\tau_i=\tau_r=\tau_t

이는 전자기학적 전제로부터 유도된 관계식이다.

5. 3. 프레넬 계수

주어진 프레넬 방정식에 경계조건을 대입하면 방정식의 계수를 구할 수 있다. 이들을 '''프레넬 계수'''(Fresnell coefficients^영어)라고 하고, 다음과 같다.^[1]

s 편광 (파동의 전기장이 입사면에 수직으로 편광)의 경우 반사 계수 와 투과 계수 는 다음과 같다.

:

r_\text{s} = \frac{  n_1 \cos \theta_\text{i} - n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}

:

t_\text{s} = \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}

p 편광 (파동의 전기장이 입사면에 평행하게 편광)의 경우 반사 계수 와 투과 계수 는 다음과 같다.

:

r_\text{p} = \frac{  n_2 \cos \theta_\text{i} - n_1 \cos \theta_\text{t}}{n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}

:

t_\text{p} = \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}{n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}

여기서 과 는 각각 입사 매질과 투과 매질의 굴절률이고, 와 는 각각 입사각과 굴절각이다.^[7] 및 이 성립한다.

반사파와 입사파는 동일한 매질에서 전파되고 표면에 대해 동일한 각도를 이루기 때문에 전력 반사 계수 는 의 제곱 크기이다.:^[8]

:

R = |r|^2

전력 투과 계수 는 다음과 같다.:^[9]

:

T = \frac{n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i}} |t|^2

전반사의 경우, 는 계면 바로 너머의 전기장(위상 포함)을 설명하는 에바네센트 장을 나타낸다.

6. 반사율과 투과율

프레넬 계수를 통해 반사율과 투과율을 정의할 수 있다. 프레넬 방정식은 빛의 전자기파를 서술하는 방정식이고, 반사율과 투과율은 빛의 세기를 나타낸다. 반사율과 투과율은 입사한 빛의 세기에 대해 얼마만큼 반사하거나 투과했는지의 비율을 나타낸다. 반사율( $\mathbb{R}$ )과 투과율( $\mathbb{T}$ )은 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\mathbb{R} = \frac\right|^2= \left|\frac{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}} - n_2 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}}{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}} + n_2 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}}\right|^2\!,$

p-편광에 대한 반사율은 다음과 같다.

$R_\mathrm{p} = \left|\frac{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} - n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}{n_1 \cos \theta_\mathrm{t} + n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}\right|^2= \left|\frac{n_1 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_\mathrm{i}\right)^2} - n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}{n_1 \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_\mathrm{i}}\right)^2} + n_2 \cos \theta_\mathrm{i}}\right|^2\!.$

각 방정식의 두 번째 형태는 스넬의 법칙과 삼각 함수 항등식을 사용하여 $\theta_t$ 를 제거하여 유도된다.

에너지 보존 법칙에 따라, 투과된 전력은 단순히 반사되지 않은 입사 전력이다.^[4]

$T_\mathrm{s} = 1 - R_\mathrm{s}$

$T_\mathrm{p} = 1 - R_\mathrm{p}$

비편광 광의 경우, 유효 반사율은 두 반사율의 평균이다.

$R_\mathrm{eff} = \frac{1}{2}\left(R_\mathrm{s} + R_\mathrm{p}\right).$

컴퓨터 그래픽스와 같이 비편광광과 관련된 저정밀 응용 분야의 경우, 각도마다 유효 반사 계수를 엄격하게 계산하는 대신, 종종 슐릭 근사가 사용된다.

빛이 굴절률이 다른 물질 사이의 경계면에 입사하면 일부는 반사하고 일부는 투과(굴절)한다. 이러한 거동을 기술하는 것이 프레넬 방정식이다. 전장의 진폭 반사율·진폭 투과율을 나타내는 식을 프레넬 방정식이라고 부르는 경우가 많지만, 에너지 반사율·투과율을 나타내는 식을 프레넬 방정식이라고 부르는 경우도 있다. 또한, 전장의 진폭 반사율·진폭 투과율을 프레넬 계수라고 부르기도 한다. 어느 경우든, p파(TM파, E파, 수직 편파, 평행 편파)와 s파 (TE파, H파, 수평 편파, 직교 편파)로 나누어 기술된다.

위 그림은 입사각에 따른 에너지 반사율과 투과율의 변화를 나타낸다. 브루스터 각은 ''r_p''가 0이 되는 각 α를 말한다. 반대로, ''r_s'' , ''r_p'' 모두 1이 되는, 즉 입사광이 모두 반사되는 현상을 전반사라고 부르며, 전반사를 일으키는 가장 작은 각도를 임계각이라고 부른다. 전반사는 $n_1 > n_2$ 일 때 일어나는 현상이다.

7. 특수한 경우

프레넬의 식에 따르면, 특정한 조건에서 빛의 반사와 투과 현상은 단순화되거나 특별한 현상을 보인다.

'''수직 입사''': 입사각이 0°인 경우, s-편광과 p-편광의 구분이 없어진다. 이때 반사율은 $R_0 = \left|\frac{n_1 - n_2 }{n_1 + n_2 }\right|^2$ 로 단순화된다. 일반적인 유리(n₂ ≈ 1.5)가 공기(n₁ = 1)로 둘러싸인 경우, 수직 입사에서의 전력 반사율은 약 4%이며, 유리창의 양면을 고려하면 8%가 된다.

'''브루스터 각''': p-편광의 반사율(''r_p'')이 0이 되는 특정 입사각 α를 브루스터 각이라고 한다.

'''전반사''': 입사광이 모두 반사되는 현상을 전반사라고 하며, 전반사를 일으키는 가장 작은 각도를 임계각이라고 부른다. 전반사는 입사측의 굴절률이 투과측의 굴절률보다 큰 경우( $n_1 > n_2$ )에 발생한다.

'''45° 입사''': 45° 입사에서 밀도가 낮은 매질에서 밀도가 높은 매질로 빛이 통과하는 경우, R_p는 R_s의 제곱과 같다. (R_p = R_s²)

7. 1. 전반사

밀도가 높은 매질에서 진행하는 빛이 밀도가 낮은 매질의 표면을 칠 때 (즉, ), "임계각"이라고 알려진 특정 입사각을 넘어서면 모든 빛이 반사되고 이 된다. 이 현상은 전반사라고 하며, 스넬의 법칙이 굴절각의 사인 값이 1을 초과한다고 예측하는 입사각에서 발생한다 (실제로 모든 실수 에 대해). 공기로 둘러싸인 의 유리의 경우, 임계각은 약 42°이다.

7. 2. 브루스터 각

오귀스탱 장 프레넬에 따르면, 굴절률이 다른 두 매질(n₁, n₂) 경계면에서 빛이 입사할 때, 특정 입사각에서 p-편광된 빛은 모두 투과되고 반사되지 않는다. 이때 반사되는 빛은 모두 s-편광이 된다. 이 각도를 브루스터 각이라고 하며, 진공에서 유리(n₂ = 1.5)로 빛이 입사하는 경우 약 56°이다.^[19]

1815년, 데이비드 브루스터는 편광각이 굴절률에 따라 달라진다는 것을 실험으로 밝혀냈다.^[20]

투자율이 일정한 비자성 매질에서, 입사각()과 투과각()이 여각 관계에 있으면, 스넬의 법칙에 따라 이 되어 s-편광만 반사된다. 이 현상이 나타나는 각이 브루스터 각이다. 브루스터 각은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위 식에서 ''r_p''가 0이 되는 각 α가 브루스터 각이다.

7. 3. 수직 입사

수직 입사의 경우, s 편광과 p 편광의 구분이 없다. 따라서 반사율은 다음과 같이 단순화된다.

:

R_0 = \left|\frac{n_1  - n_2 }{n_1 + n_2 }\right|^2\,.

일반적인 유리(n₂ ≈ 1.5)가 공기(n₁ = 1)로 둘러싸인 경우, 수직 입사에서의 전력 반사율은 약 4%이며, 유리창의 양면을 고려하면 8%가 된다.

7. 4. 45° 입사

45° 입사에서의 반사는 90° 회전을 만드는 데 매우 흔하게 사용된다. 45° 입사()에서 밀도가 낮은 매질에서 밀도가 높은 매질로 빛이 통과하는 경우, 다음의 방정식으로부터 R_p는 R_s의 제곱과 같다는 것을 알 수 있다.

:R_p = R_s²

이것은 R_s와 R_p의 측정 일관성을 검증하거나, 다른 값을 알고 있을 때 하나를 유도하는 데 사용할 수 있다. 이 관계는 두 개의 균질한 물질 사이의 단일 평면 경계면의 단순한 경우에만 유효하며, 기판 위의 박막의 경우에는 더 복잡한 분석이 필요하다.

45°에서 R_s와 R_p의 측정을 통해 수직 입사에서의 반사율을 추정할 수 있다. 먼저 R_s와 R_p의 산술 평균과 기하 평균을 계산한 다음, 이 두 평균을 다시 산술적으로 평균하여 얻은 "평균의 평균"은 대부분의 일반적인 광학 재료에 대해 약 3% 미만의 오차로 R₀ 값을 제공한다. 이것은 수직 입사에서의 측정이 입사 빔과 감지기가 서로 방해하기 때문에 실험 설정에서 달성하기 어려울 수 있기 때문에 유용하다. 그러나 10° 미만의 각도에 대한 R_s와 R_p의 입사각 의존성은 매우 작기 때문에, 약 5°에서의 측정은 입사 및 반사 빔을 분리하면서 수직 입사에 대한 좋은 근사값을 제공한다.

8. 다양한 형태의 프레넬 방정식

프레넬 방정식은 광도계로 측정 가능한 전력과 관련된 방정식으로, 전자기장 복소 진폭 측면에서 물리적 문제를 해결하여 유도된다. 즉, 위상 이동을 진폭 외에 추가로 고려한다. 이러한 기본 방정식은 일반적으로 전자기장의 복소수 값을 갖는 비율을 제공하며, 사용되는 형식에 따라 여러 다른 형태를 취할 수 있다.^[5] 반사 및 투과에 대한 복소 진폭 계수는 일반적으로 소문자 ''r'' 및 ''t''로 표시된다.

다음은 ''s'' 편광과 ''p'' 편광에 대한 프레넬 방정식이다. ''s'' 편광의 경우, 반사 계수 ''r''은 반사파의 복소 전기장 진폭과 입사파의 진폭의 비율로 정의되는 반면, ''p'' 편광의 경우 ''r''은 파동의 복소 자기장 진폭의 비율(또는 동등하게, 전기장 진폭의 음수)이다. 투과 계수 ''t''는 두 편광 모두에 대해 투과파의 복소 전기장 진폭과 입사파의 진폭의 비율이다.^[6]

: $\begin{align}r_\text{s} &= \frac{ n_1 \cos \theta_\text{i} - n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt]t_\text{s} &= \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}} {n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt]r_\text{p} &= \frac{ n_2 \cos \theta_\text{i} - n_1 \cos \theta_\text{t}}{n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}, \\[3pt]t_\text{p} &= \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}} {n_2 \cos \theta_\text{i} + n_1 \cos \theta_\text{t}}.\end{align}$

여기서 $\theta_\text{i}$ 는 입사각, $\theta_\text{t}$ 는 투과각, $n_1$ 과 $n_2$ 는 각각 입사 매질과 투과 매질의 굴절률이다.

$t_s = r_s + 1$ ^[7], $\frac{n_2}{n_1} t_p = r_p + 1$ 이 성립한다.

전력 반사 계수 ''R''은 ''r''의 제곱 크기이다.^[8]

: $R = |r|^2.$

전력 투과 계수 ''T''는 다음과 같이 계산된다.^[9]

: $T = \frac{n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i}} |t|^2$

전반사의 경우, ''T''는 0이지만, ''t''는 계면 바로 너머의 전기장을 설명하는 에바네센트 장을 나타낸다.

스넬의 법칙을 이용하여 위의 $r_s$ 공식을 변형하면 다음과 같다.^[10]^[11]

: $r_\text{s}=-\frac{\sin(\theta_\text{i}-\theta_\text{t})}{\sin(\theta_\text{i}+\theta_\text{t})}.$

마찬가지로, $r_p$ 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[12]^[13]

: $r_\text{p}=\frac{\tan(\theta_\text{i}-\theta_\text{t})}{\tan(\theta_\text{i}+\theta_\text{t})}.$

이 공식들은 각각 '프레넬의 사인 법칙'과 '프레넬의 탄젠트 법칙'으로 알려져 있다.^[14]^[15]^[16]

다음은 입사 측과 투과 측이 모두 투명한 등방성 유전체이고, 투자율 $\mu$ 가 $\mu=\mu_{0}$ 인 경우(즉, 굴절률 $n$ 이 $n=\sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}}$ 로 나타나는 경우)에 대한 프레넬 방정식이다.

p파와 s파의 진폭 반사율(''r'')과 진폭 투과율(''t'')은 다음과 같다.

: $t_p =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}$

: $r_p =\frac{n_2\cos{\alpha}-n_1\cos{\beta}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{\tan{(\alpha-\beta)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}$

: $t_s =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$

: $r_s =\frac{n_1\cos{\alpha}-n_2\cos{\beta}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=-\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}$

여기서 α는 입사각, β는 굴절각, ''n₁'' , ''n₂''는 각각 입사 측, 투과 측의 굴절률이다.

에너지 반사율 ''R'' 및 에너지 투과율 ''T''는 다음과 같다.

: $T_{s,p}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }t_{s,p}^{2}=\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }t_{s,p}^{2}$

: $R_{s,p}=r_{s,p}^{2}$

''r_p''가 0이 되는 각 α를 브루스터 각이라고 한다. ''r_s'' , ''r_p'' 모두 1이 되는 현상을 전반사라고 하며, 전반사를 일으키는 가장 작은 각도를 임계각이라고 한다. 전반사는 $n_1 > n_2$ 일 때 일어난다.

9. 컴퓨터 그래픽스에서의 근사식

컴퓨터 그래픽스에서 편광되지 않은 빛에 대한 프레넬 반사 계수 ''F_r''의 근사식은 쉴릭에 의해 유도되었다.

: $F_r\left(\theta \right) \approx F_0 + \left( 1 - F_0 \right) \left( 1 - \cos \theta \right)^5$

여기서, $F_0$ 는 수직 입사 시의 프레넬 반사 계수의 실수부이다.

10. 다중 계면에서의 반사 및 투과

빛이 두 개 이상의 평행 표면 사이에서 여러 번 반사될 때, 여러 개의 빛줄기는 일반적으로 서로 간섭하여 빛의 파장에 따라 달라지는 순 투과 및 반사 진폭을 생성한다. 그러나 간섭은 표면 간의 거리가 빛의 결맞음 길이와 비슷하거나 더 작을 때만 관찰되며, 일반적인 백색광의 경우 결맞음 길이는 몇 마이크로미터이다. 레이저에서 나오는 빛의 경우에는 훨씬 더 클 수 있다.

반사 간의 간섭의 예로는 비눗방울이나 물 위의 얇은 기름막에서 보이는 무지개색이 있다. 적용 분야에는 파브리-페로 간섭계, 반사 방지 코팅, 광학 필터 등이 있다. 이러한 효과에 대한 정량적 분석은 프레넬 방정식을 기반으로 하지만, 간섭을 고려하기 위한 추가 계산이 필요하다.

전달 행렬 방법 또는 재귀적 루아르 방법을 사용하여 다중 표면 문제를 해결할 수 있다.^[18]

11. 같이 보기

참조

_[1] 서적 Born & Wolf 1970
_[2] 서적 Hecht 1987
_[3] 서적 Encyclopedia of Optical Engineering
_[4] 서적 Hecht 1987
_[5] 간행물 Lecture notes by Bo Sernelius http://www.ifm.liu.s[...] 2012-02-22
_[6] 서적 Born & Wolf 1970
_[7] 서적 Hecht 2002
_[8] 서적 Hecht 2002
_[9] 서적 Hecht 2002
_[10] 서적 Fresnel 1866
_[11] 서적 Hecht 2002
_[12] 서적 Fresnel 1866
_[13] 서적 Hecht 2002
_[14] 서적 Fresnel 1866
_[15] 서적 Born & Wolf 1970
_[16] 서적 Jenkins & White 1976
_[17] 서적 Whittaker 1910
_[18] 서적 Optical Properties of Thin Films Academic Press 1955
_[19] 서적 Darrigol 2012
_[20] 뉴스 On the laws which regulate the polarisation of light by reflexion from transparent bodies http://rstl.royalsoc[...] 1815-03-16
_[21] 간행물 Chromatics https://archive.org/[...] 1818-02
_[22] 서적 Buchwald 1989
_[23] 간행물 Note sur le calcul des teintes que la polarisation développe dans les lames cristallisées 1821-05
_[24] 간행물 Mémoire sur la loi des modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée 1823
_[25] 서적 Buchwald 1989
_[26] 서적 Buchwald 1989
_[27] 서적 1834
_[28] 서적 Fresnel 1866
_[29] 서적 Whittaker 1910
_[30] 간행물 Mémoire sur la double réfraction que les rayons lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les directions parallèles à l'axe 1822
_[31] 서적 Buchwald 1989
_[32] 서적 Buchwald 1989
_[33] 문서
_[34] 문서
_[35] 간행물 Conical diffraction: Hamilton's diabolical point at the heart of crystal optics Elsevier, Amsterdam 2007
_[36] 서적 광학 (Born & Wolf, 1970)
_[37] 논문 Fresnel Reflection and Transmission at a Planar Boundary from Media of Equal Refractive Indices
_[38] 간행물 Brewster angles for magnetic media http://clgiles.ist.p[...] 1985-03
_[39] 서적
_[39] 서적

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