하크-워푸샨스키-조니우스 정리

1. 개요

하크-워푸샨스키-조니우스 정리는 1975년 루돌프 하크, 얀 워푸샨스키, 마르틴 조니우스에 의해 증명된 정리로, 상호 작용하는 이론의 대칭이 어떻게 구성될 수 있는지에 대한 중요한 결과를 제시한다. 이 정리는 콜먼-만둘라 정리를 기반으로 하며, 리 대수를 리 초대수로 확장하여 시공간 대칭에 대한 유일한 비자명한 확장이 초대칭임을 밝힌다. 4차원 민코프스키 시공간에서 이 정리는 초전하를 도입하여 초-푸앵카레 대수를 형성하며, R-대칭과 컨포멀 대칭을 포함하는 경우 초컨포멀 대수로 확장될 수 있다. 이 정리는 2차원 이하에서는 성립하지 않으며, 민코프스키 시공간에만 적용된다는 한계를 가진다.

2. 역사

독일의 루돌프 하크와 폴란드의 얀 워푸샨스키(Jan Łopuszański^폴란드어), 독일의 마르틴 조니우스(Martin F. Sohnius^독일어)가 1975년에 이 정리를 증명하였다.

1960년대에는 내부 대칭이 시공간 대칭과 어떻게 결합될 수 있는지에 대한 연구가 진행되었고, 여러 정리가 증명되었다. 이 정리를 알지 못했던 1970년대 초, 여러 학자들이 독립적으로 초대칭을 고안했는데, 이는 일부 생성자가 시공간 변환에 따라 자명하지 않게 변환하기 때문에 콜먼-만둘라 정리와 모순되는 것처럼 보였다.

1974년, 얀 워푸샨스키는 율리우스 베스와 브루노 추미노가 최초의 초대칭 양자장론인 베스-추미노 모형을 구성한 직후 브로츠와프에서 칼스루에를 방문했다. 베스와 대화하면서 워푸샨스키는 이 새로운 이론들이 어떻게 콜먼-만둘라 정리를 극복했는지 알아내는 데 관심이 있었다. 베스는 너무 바빠서 워푸샨스키와 함께 작업할 수 없었고, 그의 박사 과정 학생인 마르틴 조니우스가 함께 연구를 진행했다. 그들은 다음 몇 주 동안 자신들의 정리에 대한 증명을 고안했고, 그 후 워푸샨스키는 CERN으로 가서 루돌프 하크와 함께 이 논증을 크게 개선하고 질량이 없는 경우로 확장했다. 나중에 워푸샨스키가 브로츠와프로 돌아간 후, 조니우스는 하크와 함께 논문을 마무리하기 위해 CERN으로 갔고, 이 논문은 1975년에 발표되었다.

2.1. 콜먼-만둘라 정리

1960년대에 내부 대칭이 시공간 대칭과 어떻게 결합될 수 있는지 조사하는 일련의 정리가 증명되었으며, 가장 일반적인 것은 콜먼-만둘라 정리였다. 이 정리는 상호 작용하는 이론의 리 군 대칭이 반드시 푸앵카레 군과 일부 콤팩트 내부 군의 직접 곱이어야 함을 보여주었다.

2.2. 초대칭의 등장

1960년대에 내부 대칭이 시공간 대칭과 어떻게 결합될 수 있는지 조사하는 일련의 정리가 증명되었으며, 가장 일반적인 것은 콜먼-만둘라 정리였다. 이 정리는 상호 작용하는 이론의 리 군 대칭이 반드시 푸앵카레 군과 일부 콤팩트 내부 군의 직접 곱이어야 함을 보여주었다. 이 정리를 알지 못했던 1970년대 초, 여러 학자들이 독립적으로 초대칭을 고안했는데, 이는 일부 생성자가 시공간 변환에 따라 자명하지 않게 변환하기 때문에 이 정리와 모순되는 것처럼 보였다.

1974년 얀 워푸샨스키는 율리우스 베스와 브루노 추미노가 최초의 초대칭 양자장론인 베스-추미노 모형을 구성한 직후 브로츠와프에서 칼스루에를 방문했다. 베스와 대화하면서 워푸샨스키는 이 새로운 이론들이 어떻게 콜먼-만둘라 정리를 극복했는지 알아내는 데 관심이 있었다. 베스는 너무 바빠서 워푸샨스키와 함께 작업할 수 없었고, 그의 박사 과정 학생인 마틴 소니우스가 가능했다. 그들은 다음 몇 주 동안 자신들의 정리에 대한 증명을 고안했고, 그 후 워푸샨스키는 CERN으로 가서 루돌프 하그와 함께 이 논증을 크게 개선하고 질량이 없는 경우로 확장했다. 나중에 워푸샨스키가 브로츠와프로 돌아간 후, 소니우스는 하그와 함께 논문을 마무리하기 위해 CERN으로 갔고, 이 논문은 1975년에 발표되었다.

2.3. 하그-워푸샨스키-조니우스 정리 증명

1974년 얀 워푸샨스키는 율리우스 베스와 브루노 추미노가 최초의 초대칭 양자장론인 베스-추미노 모형을 구성한 직후 브로츠와프에서 칼스루에를 방문했다. 베스와 대화하면서 워푸샨스키는 이 새로운 이론들이 어떻게 콜먼-만둘라 정리를 극복했는지 알아내는 데 관심이 있었다. 베스는 너무 바빠서 워푸샨스키와 함께 작업할 수 없었고, 그의 박사 과정 학생인 마르틴 조니우스(Martin F. Sohnius^독일어)가 함께 연구를 진행했다. 그들은 다음 몇 주 동안 자신들의 정리에 대한 증명을 고안했고, 그 후 워푸샨스키는 CERN으로 가서 루돌프 하크와 함께 이 논증을 크게 개선하고 질량이 없는 경우로 확장했다. 나중에 워푸샨스키가 브로츠와프로 돌아간 후, 조니우스는 하크와 함께 논문을 마무리하기 위해 CERN으로 갔고, 이 논문은 1975년에 발표되었다.

3. 정리

콜먼-만둘라 정리는 이론에 S-행렬이 포함되어 있으며, 모든 에너지와 산란각에서 임의의 두 입자 상태가 어떤 반응을 겪어야 한다는 분석 함수 산란 진폭이 있다는 가정을 전제한다. 또한, 질량이 없는 입자를 배제하고, 임의의 질량 아래에 유한한 수의 입자 유형만 있어야 한다고 가정한다. 이 정리는 이론의 리 대수를 푸앵카레 대수와 어떤 내부 대칭 대수의 직합으로 제한한다.

하그-로푸샨스키-조니우스 정리는 콜먼-만둘라 정리와 동일한 가정을 기반으로 하지만, 추가적인 반가환 생성자를 허용하여 리 대수를 리 초대수로 확장한다.

질량이 없는 입자가 허용되는 경우, 대수는 컨포멀 생성자를 사용하여 추가로 확장할 수 있다. 즉, 딜라톤 생성자 $D$와 특수 컨포멀 변환 생성자 $K\_\backslash mu$를 추가할 수 있다. $\backslash mathcal\; N$개의 초전하가 있는 경우, 다음을 만족하는 동일한 수의 초컨포멀 생성자 $S\_\backslash alpha$도 있어야 한다.

:$$
\{S^A_\alpha, \bar S^B_{\dot \beta}\} = \delta^{AB}\sigma^\mu_{\alpha \dot \beta}K_\mu,


초전하와 초컨포멀 생성자 모두 $\backslash text\{U\}(\backslash mathcal\; N)$ R-대칭 하에서 전하를 띈다. 이 대수는 초컨포멀 대수의 한 예이며, 4차원에서는 $\backslash mathfrak\{su\}(2,2|\backslash mathcal\; N)$로 표시된다. 비컨포멀 초대칭 대수와 달리, R-대칭은 초컨포멀 대수에서 항상 존재한다.

3.1. 기본 가정

콜먼-만둘라 정리의 주요 가정은 이론에 S-행렬이 포함되어 있으며, 모든 에너지와 산란각에서 임의의 두 입자 상태가 어떤 반응을 겪어야 한다는 분석 함수 산란 진폭이 있다는 것이다. 또한, 질량이 없는 입자를 배제하고, 임의의 질량 아래에 유한한 수의 입자 유형만 있어야 한다. 그러면 이 정리는 이론의 리 대수를 푸앵카레 대수와 어떤 내부 대칭 대수의 직합으로 제한한다.

하그-로푸샨스키-조니우스 정리는 동일한 가정을 기반으로 하지만, 추가적인 반가환 생성자를 허용하여 리 대수를 리 초대수로 올린다는 점이 다르다. 4차원에서 이 정리는 추가될 수 있는 유일한 비자명 반가환 생성자는 $\backslash mathcal\; N$ 쌍의 초전하 $Q^L\_\backslash alpha$ 및 $\backslash bar\; Q^R\_\{\backslash dot\; \backslash alpha\}$이며, $\backslash alpha$로 인덱싱되고, 운동량 연산자와 가환하며 좌수 및 우수 바일 방정식 바일 스피너로 변환된다고 명시한다. 반 데르 바에르던 표기법으로 알려진 점이 없는 인덱스와 점이 있는 인덱스 표기법은 서로 다른 좌수와 우수 바일 스피너를 구별한다. 스핀 3/2 또는 그 이상의 다른 스핀의 생성자는 이 정리에 의해 허용되지 않는다.

3.2. 리 초대수

하그-워푸샨스키-조니우스 정리는 리 대수를 리 초대수로 확장하며, 추가되는 반가환 생성자(초전하)를 허용한다. 4차원에서 추가될 수 있는 유일한 비자명 반가환 생성자는 $\backslash mathcal\; N$ 쌍의 초전하 $Q^L\_\backslash alpha$ 및 $\backslash bar\; Q^R\_\{\backslash dot\; \backslash alpha\}$이며, 이들은 운동량 연산자와 가환하며 좌수 및 우수 바일 스피너로 변환된다. 반 데르 바에르던 표기법에서 점이 없는 인덱스와 점이 있는 인덱스는 서로 다른 좌수와 우수 바일 스피너를 구별한다. 스핀 3/2 또는 그 이상의 다른 스핀의 생성자는 이 정리에 의해 허용되지 않는다. $(\backslash bar\; Q^A\_\{\backslash dot\; \backslash alpha\})\; =\; (Q^A\_\backslash alpha)^\backslash dagger$인 기저에서, 이러한 초전하는 다음을 만족한다.

:$$
\{Q^A_\alpha, Q^B_\beta\} = \epsilon_{\alpha \beta} Z^{AB}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{Q^A_\alpha, \bar Q^B_{\dot \beta}\} = \delta^{AB}\sigma^\mu_{\alpha \dot \beta}P_\mu,


여기서 $Z^\{AB\}$는 초대수의 모든 생성자와 가환하는 중심 전하이다. 푸앵카레 대수와 함께, 이 리 초대수는 초-푸앵카레 대수로 알려져 있다. 4차원 민코프스키 시공간은 마요라나 스피너를 기본 스피너 표현으로 허용하므로, 대수는 파울리 행렬 대신 감마 행렬 및 전하 켤레 연산자를 사용하여 대수를 표현하여 4성분 마요라나 스피너 초전하의 관점에서 동등하게 쓸 수 있다.

초전하는 R-대칭으로 알려진 추가 리 대수 대칭을 허용할 수 있으며, 그 생성자 $B\_i$는 다음을 만족한다.

:$$
[Q^A_\alpha, B_i] =\sum_B s^{AB}_i Q^B_\alpha,


여기서 $s\_i^\{AB\}$는 R-대칭 군의 $\backslash mathcal\; N$차원 표현의 생성자의 에르미트 행렬 군 표현 행렬이다.

3.3. 초-푸앵카레 대수

초전하와 푸앵카레 대수를 결합하여 나타나는 초-푸앵카레 대수에 대해 설명한다. 중심 전하의 개념을 소개하고, 초-푸앵카레 대수의 수학적 표현을 제시한다.

하그-로푸샨스키-조니우스 정리에 따르면, 4차원에서 추가될 수 있는 유일한 비자명 반가환 생성자는 $\backslash mathcal\; N$ 쌍의 초전하 $Q^L\_\backslash alpha$ 및 $\backslash bar\; Q^R\_\{\backslash dot\; \backslash alpha\}$이다. 이들은 운동량 연산자와 가환하며 좌수 및 우수 바일 스피너로 변환된다. 반 데르 바에르던 표기법으로 알려진 점이 없는 인덱스와 점이 있는 인덱스 표기법은 서로 다른 좌수와 우수 바일 스피너를 구별한다. 스핀 3/2 또는 그 이상의 다른 스핀 생성자는 이 정리에 의해 허용되지 않는다. $(\backslash bar\; Q^A\_\{\backslash dot\; \backslash alpha\})\; =\; (Q^A\_\backslash alpha)^\backslash dagger$인 기저에서, 이러한 초전하는 다음을 만족한다.

:$$
\{Q^A_\alpha, Q^B_\beta\} = \epsilon_{\alpha \beta} Z^{AB}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{Q^A_\alpha, \bar Q^B_{\dot \beta}\} = \delta^{AB}\sigma^\mu_{\alpha \dot \beta}P_\mu,


여기서 $Z^\{AB\}$는 초대수의 모든 생성자와 가환하는 중심 전하이다. 푸앵카레 대수와 함께, 이 리 초대수는 초-푸앵카레 대수로 알려져 있다. 4차원 민코프스키 시공간은 마요라나 스피너를 기본 스피너 표현으로 허용하므로, 파울리 행렬 대신 감마 행렬 및 전하 켤레 연산자를 사용하여 4성분 마요라나 스피너 초전하 관점에서 대수를 동등하게 표현할 수 있다.

초전하는 R-대칭으로 알려진 추가 리 대수 대칭을 허용할 수 있으며, 그 생성자 $B\_i$는 다음을 만족한다.

:$$
[Q^A_\alpha, B_i] =\sum_B s^{AB}_i Q^B_\alpha,


여기서 $s\_i^\{AB\}$는 R-대칭 군의 $\backslash mathcal\; N$차원 표현 생성자의 에르미트 행렬 군 표현 행렬이다. $\backslash mathcal\; N=1$인 경우 중심 전하는 사라져야 하며 R-대칭은 $\backslash text\{U\}(1)$군에 의해 주어지며, 확장된 초대칭 $\backslash mathcal\; N>1$인 경우 중심 전하는 사라질 필요가 없으며, R-대칭은 $\backslash text\{U\}(\backslash mathcal\; N)$군이다.

3.4. R-대칭

초전하는 R-대칭으로 알려진 추가적인 리 대수 대칭을 허용할 수 있으며, 그 생성자 $B\_i$는 다음 식을 만족한다.

:$$
[Q^A_\alpha, B_i] =\sum_B s^{AB}_i Q^B_\alpha,


여기서 $s\_i^\{AB\}$는 R-대칭 군의 $\backslash mathcal\; N$차원 표현의 생성자의 에르미트 행렬 군 표현 행렬이다. $\backslash mathcal\; N=1$인 경우 중심 전하는 사라져야 하며 R-대칭은 $\backslash text\{U\}(1)$군에 의해 주어지고, 확장된 초대칭 $\backslash mathcal\; N>1$인 경우 중심 전하는 사라질 필요가 없으며, R-대칭은 $\backslash text\{U\}(\backslash mathcal\; N)$군이다.

3.5. 질량이 없는 입자와 컨포멀 대칭

질량이 없는 입자가 허용되는 경우, 컨포멀 대칭을 사용하여 대수를 확장할 수 있다. 즉, 딜라톤 생성자 $D$와 특수 컨포멀 변환 생성자 $K\_\backslash mu$를 추가할 수 있다. $\backslash mathcal\; N$개의 초전하가 있는 경우, 다음을 만족하는 동일한 수의 초컨포멀 생성자 $S\_\backslash alpha$도 있어야 한다.

:$$
\{S^A_\alpha, \bar S^B_{\dot \beta}\} = \delta^{AB}\sigma^\mu_{\alpha \dot \beta}K_\mu,


초전하와 초컨포멀 생성자 모두 $\backslash text\{U\}(\backslash mathcal\; N)$ R-대칭 하에서 전하를 띈다. 이 대수는 초컨포멀 대수의 한 예이며, 4차원에서는 $\backslash mathfrak\{su\}(2,2|\backslash mathcal\; N)$로 표시된다. 비컨포멀 초대칭 대수와 달리, R-대칭은 초컨포멀 대수에서 항상 존재한다.

4. 한계

하그-워푸샨스키-조니우스 정리는 2차원 이하에서는 산란 진폭의 해석성 문제로 성립하지 않는다. 또한, 이산 대칭이나 자발적으로 깨진 대칭과 같이 S-행렬 수준의 대칭이 아닌 경우에도 적용되지 않는다.

4.1. 적용 차원

하크-워푸샨스키-조니우스 정리는 원래 4차원에서 유도되었지만, 시공간 대칭에 대한 유일한 비자명한 확장이 초대칭이라는 결과는 2차원보다 큰 모든 차원에서 성립한다. 그러나 초대칭 대수의 형태는 달라진다. 차원에 따라, 초전하는 바일 스피너(Weyl spinor), 마요라나 스피너(Majorana spinor), 바일-마요라나 스피너(Weyl–Majorana spinor) 또는 심플렉틱 바일-마요라나 스피너(symplectic Weyl–Majorana spinor)가 될 수 있다. 또한, R-대칭군은 차원과 초전하의 수에 따라 달라진다. 이 초대칭 대수는 또한 민코프스키 시공간에만 적용되며, 다른 시공간에서는 수정된다. 예를 들어, 하나 이상의 초전하에 대해 반-드 시터 공간으로의 확장이 존재하며, 드 시터 공간으로의 확장은 여러 초전하가 존재할 경우에만 가능하다.

4.2. 적용 시공간

이 초대칭 대수는 민코프스키 시공간에만 적용되며, 다른 시공간에서는 수정된다. 예를 들어, 하나 이상의 초전하에 대해 반-드 시터 공간으로의 확장이 존재하며, 드 시터 공간으로의 확장은 여러 초전하가 존재할 경우에만 가능하다.

4.3. 2차원 이하의 경우

4차원에서 유도되었던 하그-워푸샨스키-조니우스 정리는 2차원 이하에서는 깨진다. 2차원에서는 정방향 및 역방향 산란만이 존재하여 산란 진폭의 해석성이 더 이상 성립할 수 없기 때문이다. 이 정리는 이산 대칭이나 자발적으로 깨진 대칭에도 적용되지 않는데, 이는 이들이 S-행렬 수준의 대칭이 아니기 때문이다.

4.4. 기타

하그-워푸샨스키-조니우스 정리는 이산 대칭이나 자발적으로 깨진 대칭에는 적용되지 않는데, 이는 이들이 S-행렬 수준의 대칭이 아니기 때문이다.