한-바나흐 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 한-바나흐 정리의 다양한 형태
5. 응용
6. 선택 공리와의 관계
7. C[a, b]의 쌍대 공간
참조

1. 개요

한-바나흐 정리는 함수해석학의 기본 정리로, 선형 범함수의 확장과 관련된 여러 형태를 포괄하며, 1920년대에 한과 바나흐에 의해 증명되었다. 이 정리는 열선형 함수와 선형 함수의 관계를 통해 선형 범함수를 확장하는 조건을 제시하며, 지배 확장 정리, 연속 확장 정리, 기하학적 한-바나흐 정리 등 다양한 형태로 나타난다. 한-바나흐 정리는 함수해석학의 중요한 철학을 보여주며, 선형 부분 공간의 특징, 약한 위상, 선험적 추정, 반사 공간 등 다양한 분야에 응용된다. 이 정리는 선택 공리와 밀접한 관련이 있으며, 다양한 형태의 선택 공리와 동치 관계를 갖는다. 또한, C[a, b]의 쌍대 공간을 적분 형태로 표현하는 데에도 활용된다.

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한-바나흐 정리
개요
분야	함수 해석학
설명	유계 선형 범함수의 확장
이름의 유래	한스 한과 스테판 바나흐
형식적 표현
기본 설정	벡터 공간 위의 부분 공간에서 정의된 유계 선형 범함수의 확장
주요 내용	원래 공간 전체로 범함수를 확장하면서 원래의 노름을 유지 가능
중요성
중요도	함수 해석학의 핵심 정리 중 하나
응용 분야	다양한 분야 (최적 제어, 근사 이론 등)
관련된 정리
관련 정리	리스 표현 정리, 개방 사상 정리, 균등 유계 원리
역사적 맥락
개발자	한스 한, 스테판 바나흐
최초 발표	1920년대
일반화 및 변형
일반화	다양한 벡터 공간 (국소 볼록 공간 등)에 대한 일반화 존재
변형	기하학적 형태의 한-바나흐 정리 (분리 정리)
참고 문헌
참고	수학적 분석 및 함수 해석학 교재 참고

2. 역사

1912년에 에두아르트 헬리가 이 정리의 특수한 경우를 증명했고,^[32] 1923년에는 리스 머르첼이 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.^[33] 1920년대 말, 한스 한과 슈테판 바나흐가 이 정리를 독립적으로 증명했다. 한은 일반 바나흐 공간에 대한 노름 보존 버전을 증명했고, 바나흐는 준선형 함수를 사용하는 지배된 확장 버전으로 일반화했다. 한과 바나흐의 증명은 초한 귀납법을 사용한 반면, 헬리의 초기 증명은 수학적 귀납법을 사용했다.^[1]^[2]

한-바나흐 정리는 무한 선형 방정식 시스템, 모멘트 문제, 푸리에 급수 문제 등을 해결하려는 시도에서 비롯되었다.

3. 정의

실수 벡터 공간 $V$ 위의 '''열선형 함수'''는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f\colon V\to\mathbb R$ 이다.

(동차성) 임의의 $\gamma\in \mathbb R^+$ 와 $v\in V$ 에 대하여, $f(\gamma v ) = \gamma f(v)$
(준가법성) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $f(u + v) \le f(u) + f(v)$

예를 들어,

V

의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간

V

의 부분 벡터 공간

U\subset V

위에 정의된 선형함수

\phi\colon U\to\mathbb R

가 열선형 함수

f\colon V\to\mathbb R

에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

:

\phi(u)\le f(u)\qquad\forall u\in U

라고 하자. 그렇다면, '''한-바나흐 정리'''에 따라,

\phi

를 같은 열선형 함수에 지배당하는,

V

전체에 정의된 선형함수

\tilde\phi

로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수

\tilde\phi\colon V\to\mathbb R

가 존재한다.

$\phi(u)=\tilde\phi(u)\qquad\forall u\in U$
$\tilde\phi(v)\le f(v)\qquad\forall v\in V$

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

Mizar 프로젝트는, 하-바나흐 정리의 완전한 정식화와 자동 검증된 증명을 [http://mizar.uwb.edu.pl/JFM/Vol5/hahnban.html HAHNBAN file] 에 가지고 있다.

'''하-바나흐 정리'''는 다음과 같다.

\scriptstyle\mathcal{N}:\; V\to\mathbb{R}

이 열선형 함수이고, φ: ''U'' → '''R''' 가 선형 부분 공간 ''U'' ⊆ ''V'' 상의 선형 범함수이며, ''U'' 상에서는 φ 는

\scriptstyle\mathcal{N}

에 의해 지배되는 경우, 즉

:

\varphi(x) \leq \mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U

가 성립하는 경우, φ 에는 전 공간 ''V'' 로의 어떤 선형 확장 ψ: ''V'' → '''R''' 가 존재한다. 즉, 다음을 만족하는 선형 범함수 ψ 가 존재한다.

:

\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U

그리고

:

\psi(x) \le \mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.

^[3]

'''하-바나흐 정리'''의 다른 형태는 다음과 같다. ''V'' 를 계수체 '''K''' (실수 '''R''' 또는 복소수 '''C''') 상의 벡터 공간으로 하고,

\scriptstyle\mathcal{N}:\;V\to\mathbb{R}

을 반노름으로 하고, φ: ''U'' → '''K''' 를 ''V'' 의 '''K'''-선형 부분 공간 ''U'' 상의 '''K'''-선형 범함수로 하며, ''U'' 상에서는 그 절댓값이

\scriptstyle\mathcal{N}

에 의해 지배되는 경우, 즉

:

|\varphi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U

가 성립하는 경우, φ 에는 전 공간 ''V'' 로의 선형 확장 ψ: ''V'' → '''K''' 가 존재한다. 즉, 다음을 만족하는 '''K'''-선형 범함수 ψ 가 존재한다.

:

\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U

그리고

:

|\psi(x)| \le \mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.

^[4]

4. 한-바나흐 정리의 다양한 형태

한-바나흐 정리의 다른 형태 중 하나로, '''한-바나흐 분리 정리'''가 알려져 있다^[28]。이 정리는 볼록 기하학^[29], 최적화 이론, 경제학 분야에서 널리 사용된다.

; 정리.: ''V''를 '''K'''(ℝ 또는 ℂ)에 대한 위상 벡터 공간으로 하고, ''A''와 ''B''를 ''V''의 공집합이 아닌 볼록 부분 집합으로 하며, ''A'' ∩ ''B'' = ∅라고 한다. 이때, 다음이 성립한다.

:# ''A''가 열린 집합이라면, 어떤 연속 선형 작용소 λ: ''V'' → '''K'''와 실수 ''t'' ∈ '''R'''가 존재하여, 모든 ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B''에 대해 Re λ(''a'') < ''t'' ≤ Re λ(''b'')가 성립한다.

:# ''V''가 국소 볼록이고, ''A''가 컴팩트하며, ''B''가 닫힌 집합이라면, 어떤 연속 선형 작용소 λ: ''V'' → '''K'''와 실수 ''s'', ''t'' ∈ '''R'''가 존재하여, 모든 ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B''에 대해 Re λ(''a'') < ''t'' < ''s'' < Re λ(''b'')가 성립한다.

4. 1. 지배 확장 정리

실수 벡터 공간에서 준선형 함수에 의해 지배되는 선형 범함수의 확장에 대한 정리이다. 복소수 벡터 공간의 경우, 실수 벡터 공간에 대한 정리를 적용하여 증명할 수 있다.

이 정리는

p

에 대한 요구 사항이

p

가 볼록 함수일 것을 요구하는 것으로 완화된 경우에도 참이다.

실 선형 범함수에 대한 지배 확장 정리는 실수 또는 복소수 벡터 공간의 선형 범함수에 적용할 수 있는 한-바나흐 정리의 다음과 같은 대안적 진술을 의미한다.

:'''한-바나흐 지배 확장 정리''': 만약

p : X \to \R

이 실수 또는 복소수 벡터 공간

X

에 정의된 세미노름이라면,

X

의 부분 공간에 정의된 모든 지배되는 선형 범함수는

X

전체로의 지배 선형 확장을 갖는다.

이 정리는

p

에 대한 요구 사항이 완화된 경우에도 참이다.

'''증명'''

다음 관찰을 통해 실수 벡터 공간에 대한 한-바나흐 정리를 복소수 값의 복소수 벡터 공간의 선형 범함수에 적용할 수 있다.

복소수 벡터 공간상의 모든 선형 범함수

F : X \to \Complex

는 실수부

\; \operatorname{Re} F : X \to \R \;

에 의해 완전히 결정된다.^[5]

F(x) \;=\; \operatorname{Re} F(x) - i \operatorname{Re} F(i x) \qquad \text{ 모든 } x \in X에 대해

만약

F

가 (복소수 또는 실수) 벡터 공간

X

상의 선형 범함수이고 만약

p : X \to \R

가 세미노름이라면^[6]

|F| \,\leq\, p \quad \text{ 만약 그리고 오직 만약 } \quad \operatorname{Re} F \,\leq\, p.

위상 벡터 공간상의 선형 범함수

F

는 그 실수부

\operatorname{Re} F

가 연속일 때 연속이다.

X

가 위상 벡터 공간이고

p : X \to \R

이 준선형 함수라고 가정한다.

만약

p

가 선형 범함수

F

를 지배하는 연속 준선형 함수라면,

F

는 필연적으로 연속이다. 게다가, 선형 범함수

F

는 그 절댓값

|F|

가 연속인 경우에만 연속이다. 특히, 선형 범함수는 어떤 연속 준선형 함수에 의해 지배되는 경우에만 연속이다.

실수 벡터 공간에 대한 Hahn–Banach 정리는 궁극적으로 선형 범함수가

M

에서

M

이 코차원

1

을 갖는 더 큰 벡터 공간으로 확장되는 특별한 경우에 대한 Helly의 초기 결과에서 파생된다.

이 보조 정리는

p : X \to \R

가 준선형 함수가 아닌 볼록 함수인 경우에도 참이다.

p

가 볼록하다고 가정하자. 이는 모든

0 \leq t \leq 1

및

y, z \in X

에 대해

p(t y + (1 - t) z) \leq t p(y) + (1 - t) p(z)

임을 의미한다. 보조 정리의 내용과 같이

M,

f : M \to \R,

및

x \in X \setminus M

을 설정하자. 임의의

m, n \in M

및 양의 실수

r, s > 0

에 대해, 양의 실수

t := \tfrac{s}{r + s}

및

\tfrac{r}{r + s} = 1 - t

의 합은

1

이므로

X

에서의

p

의 볼록성은 다음을 보장한다.

\begin{alignat}{9}p\left(\tfrac{s}{r + s} m + \tfrac{r}{r + s} n\right)~&=~ p\big(\tfrac{s}{r + s} (m - r x) &&+ \tfrac{r}{r + s} (n + s x)\big) &&  \\&\leq~ \tfrac{s}{r + s} \; p(m - r x) &&+ \tfrac{r}{r + s} \; p(n + s x)  && \\\end{alignat}

따라서

\begin{alignat}{9}s f(m) + r f(n)~&=~ (r + s) \; f\left(\tfrac{s}{r + s} m + \tfrac{r}{r + s} n\right)   && \qquad \text{ by linearity of } f \\&\leq~ (r + s) \; p\left(\tfrac{s}{r + s} m + \tfrac{r}{r + s} n\right) && \qquad f \leq p \text{ on } M \\&\leq~ s p(m - r x) + r p(n + s x) \\\end{alignat}

그러므로

- s p(m - r x) + s f(m) ~\leq~ r p(n + s x) - r f(n),

즉 양변에

\tfrac{1}{rs}

를 곱하면

\tfrac{1}{r} [- p(m - r x) + f(m)] ~\leq~ \tfrac{1}{s} [p(n + s x) - f(n)].

이는 다음 값들을 정의한다.

a = \sup_{\stackrel{m \in M}{r > 0}} \tfrac{1}{r} [- p(m - r x) + f(m)] \qquad \text{ and } \qquad c = \inf_{\stackrel{n \in M}{s > 0}} \tfrac{1}{s} [p(n + s x) - f(n)]

는

a \leq c.

를 만족하는 실수임을 의미한다. 위에 있는 1차원 지배 확장 정리의 증명과 마찬가지로, 임의의 실수

b \in \R

에 대해

F_b : M \oplus \R x \to \R

를

F_b(m + r x) = f(m) + r b.

로 정의한다.

만약

a \leq b \leq c

이면

F_b \leq p

임을 확인할 수 있으며 여기서

r b \leq p(m + r x) - f(m)

는

r > 0

일 때

b \leq c

로부터 (각각

r < 0

일 때

a \leq b

로부터) 유도된다.

위에 있는 보조 정리는 Zorn의 보조 정리에서 지배 확장 정리를 유도하는 핵심 단계이다.

'''노름 공간에 대한 증명'''

노름 공간 상의 선형 범함수

f

는 연속일 필요충분조건은 유계인 것이고, 이는 그 쌍대 노름

\|f\| = \sup \

4. 2. 연속 확장 정리

국소 볼록 위상 벡터 공간

X

의 벡터 부분 공간

M

에서 정의된 모든 연속 선형 범함수

f

는

X

전체에 대한 연속 선형 확장

F

를 갖는다.^[9] 또한

X

가 노름 공간이면 이 확장은 쌍대 노름이

f

의 쌍대 노름과 같도록 선택할 수 있다.

범주론적 용어로, 벡터 공간의 기본 필드는 국소 볼록 벡터 공간 범주에서 단사 대상이다.

노름 공간 (또는 반노름 공간)에서, 유계 선형 범함수

f

의 선형 확장

F

는 원래 범함수와 동일한 쌍대 노름을 가지면

\|F\| = \|f\|

를 만족하는 노름 보존 선형 확장이라고 한다. 이러한 이유로, "노름 보존" 버전이라고 불린다.^[9]

연속 확장 정리는 한-바나흐 정리로부터 유도될 수 있다.^[9]

선형 범함수의 절댓값은 항상 세미노름이다. 위상 벡터 공간

X

상의 선형 범함수

F

가 연속일 필요충분조건은 그 절댓값

|F|

가 연속인 것이고, 이는

|F| \leq p

를 만족하는

X

상의 연속 세미노름

p

가

F

의 정의역에 존재할 경우에 해당한다.^[9]

X

가 국소 볼록 공간이라면, 이 명제는 선형 범함수

F

가

X

의 벡터 부분 공간에서 정의될 때도 참이다.

4. 3. 기하학적 한-바나흐 정리 (한-바나흐 분리 정리)

한-바나흐 정리의 핵심은 두 볼록 집합을 분리하는 것이다. 이러한 개념은 볼록 기하학,^[11] 최적화 이론, 수리 경제학^[12]^[13] 등에서 널리 사용된다. 이를 위해 원래 한-바나흐 정리에서 파생된 보조 정리가 한-바나흐 분리 정리로 알려져 있다.^[12]^[13]

이는 유한 차원 공간

\R^n

에서 서로 겹치지 않는 두 개의 볼록 집합을 아핀 초평면으로 분리할 수 있다는 초평면 분리 정리를 일반화한 것이다. 여기서 아핀 초평면은 영이 아닌 선형 범함수

f \neq 0

와 스칼라

s

에 대해

f^{-1}(s) = \{x : f(x) = s\}

형태의 레벨 집합이다.

볼록 집합이 열린 집합이나 콤팩트 집합과 같은 추가적인 성질을 가지면, 그 결과는 더 강화될 수 있다.

다음의 중요한 따름 정리는 기하 한-바나흐 정리 또는 마주어 정리(아스콜리-마주어 정리라고도 함)^[15]로 알려져 있다.

마주어 정리는 (닫혀 있지 않은 부분 공간을 포함하여) 벡터 부분 공간이 선형 범함수에 의해 특정 지어질 수 있음을 보여준다.

4. 4. 기타 변형

Hahn–Banach theorem^영어의 여러 가지 변형된 형태가 존재한다.

; 준노름에 대한 한-바나흐 정리^[11]^[12]^[13]

예를 들어,

f

가 노름 공간

X

의 벡터 부분 공간

M

에서 정의된 유계 선형 범함수라고 가정하면, 그 작용소 노름

\|f\|

은 음이 아닌 실수이다.

그러면 선형 범함수의 절댓값

p := |f|

는

M

에서 준노름이고,

q(x) = \|f\| \, \|x\|

로 정의된 사상

q : X \to \Reals

는

M

에서

p \leq q\big\vert_M

를 만족하는

X

상의 준노름이다.

준노름에 대한 한-바나흐 정리는

M

에서

|f|

와 같고 (

P\big\vert_M = p = |f|

이므로),

X

의 모든 곳에서

P(x) \leq \|f\| \, \|x\|

로 위로 유계인 (

P \leq q

이므로) 준노름

P : X \to \Reals

의 존재를 보장한다.

; 한-바나흐 샌드위치 정리^[11]^[12]^[13]

; 극대 지배 선형 확장^[11]^[12]^[13]

만약

S = \{s\}

가 단일 집합 (여기서

s \in X

는 어떤 벡터)이고,

F : X \to \R

가

f : M \to \R

의 그러한 극대 지배 선형 확장이라면,

F(s) = \inf_{m \in M} [f(s) + p(s - m)]

이다.

; 벡터 값 한-바나흐 정리^[11]^[12]^[13]

; 불변 한-바나흐 정리^[14]

이 정리는 다음과 같이 요약할 수 있다.

: 노름 공간

X

의 벡터 부분 공간에서 정의된 모든

\Gamma

-불변 연속 선형 범함수는 모든

X

로의

\Gamma

-불변 Hahn–Banach^영어 확장을 갖는다.

; 비선형 함수에 대한 한-바나흐 정리^[11]^[12]^[13]

마주어-오를리츠 정리(1953)는 Hahn–Banach^영어 정리와 동등하다.

다음 정리는

X

상의 스칼라 함수(선형일 필요는 없음)가

X

전체로의 연속적인 선형 확장을 가질 때를 특징짓는다.

5. 응용

한-바나흐 정리는 연속 선형 연산자의 연속 선형 범함수의 존재를 보장하는 데 사용될 수 있다.

노름 공간 (또는 반노름 공간)에서, 유계 선형 범함수 $f$ 의 선형 확장 $F$ 는 원래 범함수와 동일한 쌍대 노름을 가지면 $\|F\| = \|f\|.$ 를 만족한다고 한다.^[24]

한-바나흐 정리는 함수해석학에서 중요한 철학의 첫 번째 징후인데, 공간을 이해하려면 그 연속 범함수를 이해해야 한다.

예를 들어, 선형 부분 공간은 범함수에 의해 특징지어진다. $X$ 가 선형 부분 공간 $M$ (반드시 닫혀 있을 필요는 없음)을 갖는 노름 벡터 공간이고, $z$ 가 $M$ 의 폐포에 속하지 않는 $X$ 의 원소이면, 모든 $m \in M$ 에 대해 $f(m) = 0,$ $f(z) = 1,$ 및 $\|f\| = \operatorname{dist}(z, M)^{-1}.$ 를 만족하는 연속 선형 사상 $f : X \to \mathbf{K}$ 가 존재한다. 또한, $z$ 가 $X$ 의 원소이면, $f(z) = \|z\|$ 이고 $\|f\| \leq 1.$ 을 만족하는 연속 선형 사상 $f : X \to \mathbf{K}$ 가 존재한다. 이는 노름 공간 $X$ 에서 이중 쌍대 공간 $V^{**}$ 로의 자연 주입 $J$ 가 등거리 사상임을 의미한다.

한-바나흐 정리는 "더 좋은" 위상을 찾는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 함수 해석학의 많은 결과는 공간이 하우스도르프 공간 또는 국소 볼록 공간이라고 가정한다. 그러나 $X$ 가 하우스도르프 공간도 아니고 국소 볼록 위상 벡터 공간도 아니지만, 비어 있지 않고, 고유하며, 볼록하고, 열린 집합 $M$ 을 갖는 위상 벡터 공간이라고 가정해 보자. 그러면 기하학적 한-바나흐는 $M$ 을 다른 모든 점에서 분리하는 초평면이 있음을 의미한다. 특히, $X$ 에 대한 0이 아닌 범함수가 있어야 한다. 즉, 연속 쌍대 공간 $X^*$ 는 자명하지 않다. $X^*$ 에 의해 유도된 약한 위상을 갖는 $X$ 를 고려하면 $X$ 는 국소 볼록 공간이 된다. 기하학적 한-바나흐의 두 번째 항목에 의해, 이 새로운 공간에 대한 약한 위상은 점들을 분리한다. 따라서 이 약한 위상을 갖는 $X$ 는 하우스도르프 공간이 된다. 이는 때때로 국소 볼록 위상 벡터 공간의 일부 결과를 비하우스도르프 공간 및 비국소 볼록 공간에 적용할 수 있게 한다.

한-바나흐 정리는 선험적 추정 방법을 적용하고자 할 때 유용하게 사용된다. 선형 미분 방정식 $P u = f$ 를 $u$ 에 대해 풀고, $f$ 는 어떤 바나흐 공간 $X$ 에 주어졌다고 가정하자. 만약 $\|f\|_X$ 를 사용하여 $u$ 의 크기를 제어할 수 있고, $u$ 를 적절한 시험 함수 공간 $g$ 에 대한 유계 선형 범함수로 생각할 수 있다면, 우리는 수반에 의해 $f$ 를 선형 범함수로 볼 수 있다: $(f, g) = (u, P^*g).$ 처음에는 이 범함수는 $P$ 의 이미지에서만 정의되지만, 한-바나흐 정리를 사용하여 전체 공역 $X$ 로 확장하려고 시도할 수 있다. 결과적으로 얻어진 범함수는 종종 방정식의 약한 해로 정의된다.

6. 선택 공리와의 관계

일반적으로 실수 벡터 공간에 대한 한-바나흐 정리(HB)의 증명에는 초른의 보조정리가 사용되는데, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 공리적 틀 내에서 선택 공리(AC)와 동치이다.^[16] Łoś와 Ryll-Nardzewski 그리고 Luxemburg에 의해 HB는 초여과기 보조정리(UL)를 사용하여 증명할 수 있음이 독립적으로 발견되었으며, 이는 (ZF 하에서) 불 대수 소 아이디얼 정리(BPI)와 동치이다. BPI는 선택 공리보다 엄격하게 약하며, 나중에 HB가 BPI보다 엄격하게 약하다는 것이 밝혀졌다.

초여과기 보조정리는 (ZF 하에서) 바나흐-알라오글루 정리와 동치이며, 이는 함수 해석학의 또 다른 기초적인 정리이다. 바나흐-알라오글루 정리는 HB를 함의하지만,^[16] 그것과 동치는 아니다(다르게 말하면, 바나흐-알라오글루 정리는 HB보다 엄격하게 강하다). 하지만, HB는 노름 공간에 대한 바나흐-알라오글루 정리의 특정 약화된 버전과 동치이다.^[17] 한-바나흐 정리는 또한 다음 명제와 동치이다:^[18]

:(∗): 모든 불 대수 위에 "확률 전하"가 존재한다. 즉, $B$ 에서 $[0, 1]$ 로의 비상수 유한 가산 사상이다.

(BPI는 항상 0과 1의 값만 취하는 비상수 확률 전하가 존재한다는 명제와 동치이다.)

ZF에서, 한-바나흐 정리는 비 르베그 가측 집합의 존재를 유도하기에 충분하다.^[19] 또한, 한-바나흐 정리는 바나흐-타르스키 역설을 함의한다.^[20]

분리 가능 바나흐 공간의 경우, D. K. Brown과 S. G. Simpson은 한-바나흐 정리가 이진 트리로 제한된 쾨니그의 보조정리의 형태를 공리로 취하는 2차 산술의 약한 부분 시스템인 WKL₀로부터 도출된다는 것을 증명했다. 사실, 그들은 약한 일련의 가정 하에서 둘이 동치임을 증명했는데, 이는 역 수학의 예이다.^[21]^[22]

7. C[a, b]의 쌍대 공간

하안-바나흐 정리의 결과로 다음이 성립한다.

∞ < a < b < ∞ 일 때, F ∈ C[a, b]^*이기 위한 필요충분조건은 유계 변동 함수 ρ: [a, b] → '''R''' 가 존재하여

:

F(u)=\int_a^b u(x)\,d\rho(x)

가 모든 u ∈ C[a, b]에 대하여 성립하는 것이다.

게다가, ρ의 전변동 V(ρ)에 대해, ǁFǁ = V(ρ)가 성립한다.

참조

_[1] MacTutor Biography
_[2] 논문 Marcel Riesz in memoriam
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