함의 도입

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 기호 논리에서의 예
5. 응용
- 5.1. NP-완전 문제
- 5.2. 리만 가설
참조

1. 개요

함의 도입은 논리식 P를 가정하고 과정 D를 통해 논리식 Q를 유도했을 때, P → Q를 결론으로 이끌어내는 추론 규칙이다. 명제 논리에서 성립하며, 1차 논리에서는 자유 변수에 대한 전칭 도입을 사용하지 않을 경우에만 적용된다. 조건 증명 가정(CPA)이 참일 경우 원하는 결론이 필연적으로 따라옴을 증명하는 데 사용되며, 수학에서 여러 추측을 연결하여 하나의 증명이 다른 여러 명제의 유효성을 암시하는 데 중요한 역할을 한다.

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함의 도입
개요
유형	추론 규칙
증명 체계	자연 연역
형식	만약 A로부터 B를 추론할 수 있다면, A→B는 증명이다. (A ⊢ B) ⊢ A→B
설명
다른 이름	조건부 증명
특징	가정을 도입하여 조건문을 증명하는 데 사용됨 전건을 가정하고 후건을 도출하는 방식
사용법
예시	A→(B→A) 증명
증명 과정	1. A (가정) 2. B (가정) 3. A (1, 반복) 4. B→A (2-3, 함의 도입) 5. A→(B→A) (1-4, 함의 도입)

2. 정의

논리식 $P$ 를 가정으로 삼아 과정 $\mathcal D$ 를 통해 논리식 $Q$ 를 유도하는 것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{matrix}P \\(\mathcal D) \\Q\end{matrix}$

이때 '''함의 도입'''은 다음과 같은 추론 규칙이다.^[1]^[2]

: $\begin{matrix}[P] \\(\mathcal D) \\Q \\\hlineP\implies Q\end{matrix}$

여기서 $[P]$ 는 가정 $P$ 를 '취소'한다는 의미이다. 즉, 함의 도입을 통해 얻은 결론 $P\implies Q$ 는 더 이상 $P$ 를 전제로 요구하지 않는다.

함의 도입은 조건 증명(Conditional Proof)이라고도 불린다. 조건 증명에서 처음 가정하는 명제( $P$ )를 '''조건 증명 가정'''(Conditional Proof Assumption, '''CPA''')이라고 한다. 조건 증명의 목표는 CPA가 참이라고 가정했을 때, 원하는 결론( $Q$ )이 논리적으로 반드시 따라 나온다는 것을 보이는 것이다. 조건 증명이 유효하기 위해 CPA 자체가 반드시 참일 필요는 없으며, 단지 "만약 CPA가 참이라면 결론도 참이다"라는 관계를 보이는 것으로 충분하다.

조건 증명은 수학에서 매우 중요한 역할을 한다. 여러 추측들을 "만약 A가 참이라면 B도 참이다"라는 형태로 연결해 주기 때문이다. 이를 통해 하나의 추측이 증명되면 연관된 다른 여러 추측들의 참/거짓 여부도 알 수 있게 된다. 어떤 명제를 직접 증명하는 것보다, 다른 명제로부터 논리적으로 따라 나온다는 것을 보이는 것이 더 쉬운 경우가 많다.

조건 증명의 대표적인 예시로는 NP-완전 복잡도 이론을 들 수 있다. NP-완전 문제들은 수많은 중요한 문제들을 포함하는데, 이 문제들 중 어느 하나라도 다항 시간 안에 풀 수 있는 알고리즘이 발견된다면, 나머지 모든 NP-완전 문제들도 다항 시간 안에 풀 수 있다는 것이 조건 증명을 통해 알려져 있다. (아직 어떤 NP-완전 문제에 대해 다항 시간 해가 존재하는지는 알려지지 않았다.) 또 다른 예시로, 리만 가설이 참이라고 가정했을 때 따라 나오는 많은 수학적 결과들이 이미 증명되어 있다.

3. 성질

명제 논리에서는 항상 성립한다. 1차 논리에서는 $\mathcal D$ 가 $P$ 의 자유 변수에 대한 전칭 도입을 사용하지 않을 경우에 한하여 성립한다.

조건 증명에서 가정하는 선행 조건은 조건 증명 가정 (Conditional Proof Assumption, '''CPA''')이라고 부른다. 따라서 조건 증명의 목표는 이 CPA가 참이라고 가정했을 때, 원하는 결론이 필연적으로 따라 나온다는 것을 증명하는 것이다. 조건 증명이 유효하기 위해 CPA가 실제로 참일 필요는 없으며, 단지 '만약 CPA가 참이라면' 결과가 반드시 따라 나온다는 관계만 보이면 된다.

조건 증명은 수학 분야에서 매우 중요한 역할을 한다. 여러 개의 아직 증명되지 않은 추측들을 서로 연결하는 다리 역할을 하기 때문이다. 즉, 어떤 하나의 추측에 대한 증명이 이루어지면, 그와 연결된 다른 여러 추측들의 참 또는 거짓 여부가 즉시 밝혀질 수 있다. 때로는 어떤 명제가 참이라는 것을 독립적으로 증명하는 것보다, 다른 명제로부터 논리적으로 따라 나온다는 것을 보이는 것이 훨씬 쉬울 수 있다.

조건 증명을 통해 형성된 유명한 네트워크의 예로는 NP-완전 복잡도 이론 클래스가 있다. 이 클래스에는 수많은 중요한 문제들이 포함되어 있으며(''NP-완전 문제 목록'' 참조), 이 문제들 중 어느 하나라도 다항 시간 해법이 존재하는지는 아직 알려지지 않았다. 하지만 만약 이 문제들 중 단 하나라도 다항 시간 해법이 존재한다면, 나머지 모든 문제들에 대해서도 다항 시간 해법이 존재한다는 사실은 이미 조건 증명을 통해 알려져 있다. 마찬가지로, 리만 가설 역시 아직 증명되지는 않았지만, 만약 참이라면 수많은 다른 수학적 결과들이 자동으로 증명된다는 것이 밝혀져 있다.

4. 예

(내용 없음)

4. 1. 기호 논리에서의 예

고전 명제 논리 또는 직관 명제 논리에서, 논리식

:

(P\land Q)\implies(Q\land P)

를 함의 도입을 사용하여 다음과 같이 유도할 수 있다.

:

\begin{matrix}\begin{matrix} [P\land Q] \\ \hline \end{matrix} \qquad\begin{matrix} [P\land Q] \\ \hline \end{matrix} \\\begin{matrix} Q\qquad\qquad\quad P \\ \hline \end{matrix} \\\begin{matrix} \qquad\quad\; Q\land P\qquad\quad\; \\ \hline \end{matrix} \\(P\land Q)\implies(Q\land P)\end{matrix}

위 증명 과정에서 둘째 줄은 첫째 줄의 가정 `[P∧Q]`에서 연언 소거 규칙을 사용하여 `Q`와 `P`를 각각 유도한 것이다. 셋째 줄은 둘째 줄에서 얻은 `Q`와 `P`에 연언 도입 규칙을 사용하여 `Q∧P`를 유도한다. 마지막 줄은 첫 가정 `[P∧Q]`로부터 `Q∧P`가 유도되었으므로, 함의 도입 규칙을 사용하여 최종 결론 `(P∧Q) → (Q∧P)`를 얻는다.

기호 논리에서 조건 증명의 예로, 아래 처음 두 전제로부터 A → C ("만약 A이면 C이다")를 증명하고자 한다고 가정해 보자.

단계	내용	근거
1.	A → B	주어진 전제 ("만약 A이면 B이다")
2.	B → C	주어진 전제 ("만약 B이면 C이다")
3.	A	조건 증명을 위한 가정 ("A가 참이라고 가정하자")
4.	B	1행(A → B)과 3행(A)으로부터 전건 긍정 규칙을 사용하여 유도 ("만약 A이면 B이다; A이다, 그러므로 B이다")
5.	C	2행(B → C)과 4행(B)으로부터 전건 긍정 규칙을 사용하여 유도 ("만약 B이면 C이다; B이다, 그러므로 C이다")
6.	A → C	3행에서 가정한 A로부터 5행의 C가 유도되었으므로, 3-5행의 과정에 조건 증명(함의 도입) 규칙을 적용하여 유도 ("만약 A이면 C이다")

5. 응용

조건 증명에서 가정으로 사용되는 명제의 선행 조건을 '''조건 증명 가정'''(Conditional Proof Assumption|CPA^eng)이라고 부른다. 조건 증명의 핵심 목표는 이 가정이 참이라고 가정했을 때, 원하는 결론이 논리적 귀결로서 반드시 따라온다는 것을 증명하는 것이다. 이 과정에서 조건 증명 가정 자체가 실제로 참이어야 할 필요는 없으며, 단지 "만약 가정이 참이라면" 결과가 필연적으로 도출된다는 점을 보이는 것으로 충분하다.

조건 증명은 수학 분야에서 매우 중요한 방법론으로 활용된다. 아직 증명되지 않은 여러 추측들을 논리적으로 연결하는 역할을 하기 때문이다. 이를 통해 만약 어떤 핵심적인 추측 하나가 증명된다면, 그와 연결된 다른 여러 문제들의 해결 여부가 즉시 결정될 수 있다. 때로는 어떤 명제가 참임을 독립적으로 증명하는 것보다, 그 명제가 다른 알려진 (또는 가정된) 명제로부터 논리적으로 따라 나온다는 것을 보이는 것이 훨씬 쉬울 수 있다.

이러한 조건 증명의 대표적인 응용 사례로는 계산 복잡도 이론의 NP-완전 문제들의 관계나, 수론에서의 리만 가설과 관련된 여러 결과들을 들 수 있다. 이들은 특정 문제나 가설의 해결이 다른 여러 문제들의 해결로 이어질 수 있음을 보여준다.

5. 1. NP-완전 문제

조건 증명의 유명한 네트워크 예시 중 하나로 NP-완전 복잡도 이론 클래스를 들 수 있다. NP-완전 문제에는 여러 흥미로운 문제들이 포함되어 있으며, 이들 중 어느 하나라도 다항 시간 안에 풀 수 있는 해법이 존재하는지는 아직 알려지지 않았다. 하지만 중요한 점은, 만약 NP-완전 문제 중 단 하나라도 다항 시간 해법이 발견된다면, 모든 NP-완전 문제에 대한 다항 시간 해법이 존재한다는 사실이 증명되었다. 이는 조건 증명을 통해 여러 미해결 문제들이 어떻게 서로 연결될 수 있는지를 보여주는 대표적인 사례이다. 이와 유사하게, 리만 가설 역시 증명될 경우 수많은 다른 수학적 결과들의 참거짓을 즉시 결정하게 되는 중요한 위치에 있다.

5. 2. 리만 가설

수학에서 조건 증명은 매우 중요한데, 여러 미해결 추측들을 연결하는 역할을 하기 때문이다. 유명한 예시로 리만 가설이 있다. 리만 가설 자체는 아직 증명되지 않았지만, 만약 이 가설이 참이라고 가정(이를 '''조건 증명 가정'''이라 함)한다면, 수많은 다른 수학적 명제들이 참임이 증명될 수 있다. 이는 조건 증명이 어떻게 하나의 미해결 추측을 바탕으로 여러 다른 결과들의 유효성을 보여줄 수 있는지를 잘 나타낸다.

참조

_[1] 서적 Elementary Logic Springer 2008
_[2] 서적 Logic and Structure https://archive.org/[...] Springer 2013

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