호프 불변량

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 호프 불변량 준동형의 치역
- 3.2. 호프 함수
4. 화이트헤드 적분 공식
- 4.1. 부피 형식과 당김
- 4.2. 푸앵카레 보조정리
5. 안정 사상에 대한 일반화
6. 역사
- 6.1. 존 프랭크 애덤스와 마이클 아티야의 증명
- 6.2. 한국 수학계의 영향
참조

1. 개요

호프 불변량은 위상수학에서 사용되는 불변량으로, 연속 함수 f: S^(2n-1) -> S^n에 대해 정의되며, CW 복합체의 코호몰로지 환 구조를 통해 정수 값으로 계산된다. 호프 불변량은 호모토피 군에서 정수군으로 가는 군 준동형을 이루며, 상수 함수의 경우 0의 값을 갖는다. 호프 불변량이 1인 경우는 호프 올뭉치에 해당하며, 이는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수와 관련된 호프 사상에서 나타난다. J. H. C. 화이트헤드는 호프 불변량에 대한 적분 공식을 제시했으며, 안정 사상에 대한 일반화된 개념도 존재한다. 호프 불변량은 1935년 하인츠 호프에 의해 처음 발견되었으며, 존 프랭크 애덤스와 마이클 아티야는 이를 위상 K-이론을 사용하여 증명했다.

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호프 불변량
수학적 대상
종류	연속적인 사상
분야	대수적 위상수학
정의
정의	n개의 구에서 n개의 구로의 연속적인 사상 f: S2n-1 → Sn의 호프 불변량은 쌍대 세포 첨부 Sn ∪f D2n을 가진 세포 복합체의 호프 대수 구조를 통해 얻어지는 정수이다.
예시
호프 사상	가장 간단한 예는 호프 사상 η: S3 → S2이다. 이 사상은 호프 불변량 1을 가진다.
일반화	일반적으로, 어떤 n에 대해, S2n-1에서 Sn으로 가는 사상이 존재한다면, 그것은 호프 불변량을 가진다. 이러한 사상들은 호프 사상의 일반화로 생각될 수 있다.
불변량
호모토피 불변량	호프 불변량은 사상의 호모토피 불변량이다. 즉, 두 사상이 서로 호모토피하다면, 그들은 같은 호프 불변량을 가진다.
호모토피 군	호프 불변량은 호모토피 군 π2n-1(Sn)에서 정수 집합 Z로의 호모모피즘을 정의한다.
응용
벡터장 문제	호프 불변량은 구의 접선 벡터장의 존재 문제와 관련이 있다.
사원수와 팔원수	호프 사상은 사원수와 팔원수와 밀접하게 관련되어 있다.

2. 정의

연속 함수

: $f\colon\mathbb S^{2n-1}\to\mathbb S^n$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\mathbb S^{2n-1}=\partial\mathbb D^{2n}$ 이므로 이를 사용하여 CW 복합체

: $\mathbb D^{2n}\cup_f\mathbb S^n$

를 정의할 수 있다. 이는 1개의 0차원 세포 · 1개의 $n$ 차원 세포 · 1개의 $2n$ 차원 세포를 갖는다.

$n=1$ 일 경우, 이러한 함수는 브라우어르 차수에 의하여 완전히 분류된다. 만약 $n\ge2$ 라면, 세포 코호몰로지를 사용하여 CW 복합체의 코호몰로지를 바로 계산할 수 있다.

: $\operatorname H^k(\mathbb D^{2n}\cup_f\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z=\langle1\rangle&k=0\\\mathbb Z=\langle\alpha\rangle&k=n\\\mathbb Z=\langle\beta\rangle&k=2n\\0&n\ne 0,n,2n\end{cases}$

코호몰로지는 등급환을 이룬다. 이 경우, 코호몰로지류의 합곱은 등급 때문에 다음과 같은 꼴이어야 한다.

: $\alpha\smile\beta=\beta\smile\beta=0$

: $\alpha\smile\alpha=h_f\beta\qquad(h_f\in\mathbb Z)$

이 정수 $h_f\in\mathbb Z$ 를 $f$ 의 '''호프 불변량'''이라고 한다.

이는 초구의 호모토피 군으로부터 무한 순환군으로 가는 군 준동형을 이룬다.

: $h\colon\pi_{2n-1}(\mathbb S^n)\to\mathbb Z$

2. 1. CW 복합체 구성

연속 함수

\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n

(

n>1

)가 주어졌을 때, 다음과 같은 셀 복합체를 구성할 수 있다.

:

C_\varphi = S^n \cup_\varphi D^{2n}

여기서

D^{2n}

는

2n

차원 원반이며,

\varphi

를 통해

S^n

에 부착된다. 셀 사슬군

C^*_\mathrm{cell}(C_\varphi)

은 차수

i

의

i

-셀에 대해 자유롭게 생성되므로, 차수 0,

n

,

2n

에서는

\mathbb{Z}

이고, 그 외에는 0이다. 셀 (코)호몰로지는 이 사슬 복합체의 (코)호몰로지이며, 모든 경계 준동형사상이 0이어야 하므로(

n>1

), 코호몰로지는 다음과 같다.

:

H^i_\mathrm{cell}(C_\varphi) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,n,2n, \\ 0 & \text{그 외}. \end{cases}

코호몰로지 군의 생성자를 다음과 같이 나타낸다.

:

H^n(C_\varphi) = \langle\alpha\rangle

그리고

H^{2n}(C_\varphi) = \langle\beta\rangle.

차원 상의 이유로, 이 클래스들 사이의 모든 컵 곱은

\alpha \smile \alpha

를 제외하고는 자명해야 한다. 따라서, ''환''으로서 코호몰로지는 다음과 같다.

:

H^*(C_\varphi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\varphi)\beta\rangle.

2. 2. 코호몰로지 환

연속 함수

\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n

(

n>1

)이 주어지면, 셀 복합체

C_\varphi = S^n \cup_\varphi D^{2n}

를 구성할 수 있다. 여기서

D^{2n}

는

2n

차원 원반이고,

\varphi

를 통해

S^n

에 부착된다.

셀 사슬군

C^*_\mathrm{cell}(C_\varphi)

는 차수

i

의

i

-셀에 대해 자유롭게 생성되므로, 차수 0,

n

,

2n

에서는

\mathbb{Z}

이고, 그 외에는 0이다. 셀 (코)호몰로지는 이 사슬 복합체의 (코)호몰로지이며,

n>1

이므로 모든 경계 준동형사상이 0이다. 따라서 코호몰로지는 다음과 같다.

:

H^i_\mathrm{cell}(C_\varphi) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,n,2n, \\ 0 & \text{그 외}. \end{cases}

코호몰로지 군의 생성자를

H^n(C_\varphi) = \langle\alpha\rangle

,

H^{2n}(C_\varphi) = \langle\beta\rangle

로 나타낸다.

차원 상의 이유로,

\alpha \smile \alpha

를 제외한 모든 컵 곱은 자명하다. 따라서, 환으로서 코호몰로지는 다음과 같다.

:

H^*(C_\varphi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\varphi)\beta\rangle.

여기서 정수

h(\varphi)

는 함수

\varphi

의 '''호프 불변량'''이다.

2. 3. 군 준동형

연속 함수

\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n

(

n>1

)이 주어졌을 때, 셀 복합체

C_\varphi = S^n \cup_\varphi D^{2n}

를 구성할 수 있다. 여기서

D^{2n}

는

2n

차원 원반이며,

\varphi

를 통해

S^n

에 부착된다.

셀 사슬군

C^*_\mathrm{cell}(C_\varphi)

는 차수

i

의

i

-셀에 대해 자유롭게 생성되므로, 차수 0,

n

,

2n

에서는

\mathbb{Z}

이고, 그 외에는 0이다. 셀 (코)호몰로지는 이 사슬 복합체의 (코)호몰로지이며, 모든 경계 준동형사상이 0이므로 (

n>1

), 코호몰로지는 다음과 같다.

:

H^i_\mathrm{cell}(C_\varphi) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,n,2n, \\ 0 & \text{그 외}. \end{cases}

코호몰로지 군의 생성자를

H^n(C_\varphi) = \langle\alpha\rangle

,

H^{2n}(C_\varphi) = \langle\beta\rangle

와 같이 나타낸다.

차원 상의 이유로,

\alpha \smile \alpha

를 제외한 모든 컵 곱은 자명해야 한다. 따라서 코호몰로지는 환으로서 다음과 같다.

:

H^*(C_\varphi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\varphi)\beta\rangle.

여기서 정수

h(\varphi)

는 함수

\varphi

의 호프 불변량이다.

3. 성질

상수 함수의 호프 불변량은 0이다. 유리수 호모토피 이론 등에 의하여, 호모토피 군 $\pi_{2n-1}(\mathbb S^n)$ 은 유한한 아벨 꼬임 부분군과 무한 순환군의 직합이다. 꼬임 부분군은 물론 호프 불변량 준동형 아래 0으로 대응된다.

호프 불변량 준동형의 치역은 다음과 같다.

: $h(\pi_{2n-1}(\mathbb S^n))=\begin{cases}\mathbb Z&n=2,4,8\\2\mathbb Z&n\ge2, n\ne 2,4,8\end{cases}$

즉, $n=2,4,8$ (실수체 위의 노름 나눗셈 대수들의 차원)인 경우, 호프 올뭉치가 존재하여 $h=1$ 이 가능하며, 그렇지 않은 경우 호프 불변량은 항상 짝수이다.

'''정리''': 사상 $h\colon\pi_{2n-1}(S^n)\to\mathbb{Z}$ 는 준동형사상이다.

$n$ 이 홀수이면, $h$ 는 자명하다 (왜냐하면 $\pi_{2n-1}(S^n)$ 은 꼬임군이기 때문이다).

$n$ 이 짝수이면, $h$ 의 상은 $2\mathbb{Z}$ 를 포함한다. 게다가, 화이트헤드 곱의 항등 사상의 상은 2와 같다, 즉 $h([i_n, i_n])=2$ 인데, 여기서 $i_n \colon S^n \to S^n$ 는 항등 사상이고 $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ 는 화이트헤드 곱이다.

호프 불변량은 $n=1,2,4,8$ 인 ''호프 사상''에 대해 $1$ 이며, 이는 각각 실수 나눗셈 대수 $\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}$ 에 해당하며, 구의 방향을 그 방향이 생성하는 부분 공간으로 보내는 올다발 $S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1$ 에 해당한다. 이는 프랭크 아담스에 의해 처음 증명되었고, 이후 아담스와 마이클 아티야가 위상적 K-이론의 방법을 사용하여 증명한 정리인데, 이들이 호프 불변량이 1인 유일한 사상이다.

3. 1. 호프 불변량 준동형의 치역

화이트헤드 곱 항등 사상의 호프 불변량은 2이다. 즉,

h([i_n, i_n])=2

인데, 여기서

i_n \colon S^n \to S^n

는 항등 사상이고

[\,\cdot\,,\,\cdot\,]

는 화이트헤드 곱이다.

n=1, 2, 4, 8인 경우, 호프 불변량은 1이 될 수 있다. 이는 각각 실수 나눗셈 대수

\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}

에 해당하며, 구의 방향을 그 방향이 생성하는 부분 공간으로 보내는 올다발

S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1

에 해당한다. 이러한 경우는 프랭크 아담스가 처음 증명하였고, 이후 마이클 아티야가 위상 K-이론을 사용하여 증명하였다. 그렇지 않은 경우, 호프 불변량은 항상 짝수이다.

3. 2. 호프 함수

호프 불변량이 1인 함수를 '''호프 함수'''(Hopf map^영어)라고 한다. 구체적인 예시는 다음과 같다. 우선

K\in\{\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\}

가 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (복소수체, 사원수 대수, 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하자. 그렇다면,

K

위의 사영 직선

:

\mathbb P^1_K=\frac{K^2}{(a,b)\sim (ca,cb)}=K\sqcup\{\widehat\infty\}\cong\mathbb S^{\dim_{\mathbb R}K}

및

K^2

속의 단위 노름 초구

:

\mathbb S(K^2)=\{(a,b)\in K^2\colon |a|^2+|b|^2=1\}\cong\mathbb S^{2\dim_{\mathbb R}K-1}

를 정의할 수 있다. 그렇다면,

:

\mathbb S(K^2)\to \mathbb P^1_K

:

(a,b)\mapsto [a:b]\in\mathbb P^1_K

는 호프 함수를 이룬다.

사상

h\colon\pi_{2n-1}(S^n)\to\mathbb{Z}

는 준동형사상이다.

n

이 홀수이면,

h

는 자명하다. 왜냐하면

\pi_{2n-1}(S^n)

은 꼬임군이기 때문이다.

n

이 짝수이면,

h

의 상은

2\mathbb{Z}

를 포함한다. 게다가, 화이트헤드 곱의 항등 사상의 상은 2와 같다. 즉

h([i_n, i_n])=2

인데, 여기서

i_n \colon S^n \to S^n

는 항등 사상이고

[\,\cdot\,,\,\cdot\,]

는 화이트헤드 곱이다.

호프 불변량은

n=1,2,4,8

인 호프 사상에 대해

1

이며, 이는 각각 실수 나눗셈 대수

\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}

에 해당하며, 구의 방향을 그 방향이 생성하는 부분 공간으로 보내는 올다발

S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1

에 해당한다. 이는 프랭크 아담스에 의해 처음 증명되었고, 이후 아담스와 마이클 아티야가 위상적 K-이론의 방법을 사용하여 증명한 정리인데, 이들이 호프 불변량이 1인 유일한 사상이다.

4. 화이트헤드 적분 공식

J. H. C. 화이트헤드는 호프 불변량에 대한 다음 적분 공식을 제안했다.^[2]^[3]

: $\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n$ 인 함수가 주어졌을 때, $\int_{S^n}\omega_n = 1$ 이 되는 $S^n$ 위의 부피 형식 $\omega_n$ 을 고려한다.

: $d\omega_n = 0$ 이므로, 당김 $\varphi^* \omega_n$ 은 닫힌 미분 형식이다: $d(\varphi^* \omega_n) = \varphi^* (d\omega_n) = \varphi^* 0 = 0$ .

푸앵카레 보조정리에 따라 이는 정확한 미분 형식이다: $d\eta = \varphi^* \omega_n$ 인 $S^{2n - 1}$ 위의 $(n - 1)$ -형식 $\eta$ 가 존재한다. 그러면 호프 불변량은 다음과 같이 주어진다.

: $\int_{S^{2n - 1}} \eta \wedge d \eta.$

4. 1. 부피 형식과 당김

J. H. C. 화이트헤드는 호프 불변량에 대한 다음 적분 공식을 제안했다.^[2]^[3]

:

\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n

인 함수가 주어졌을 때,

\int_{S^n}\omega_n = 1

이 되는

S^n

위의 부피 형식

\omega_n

을 고려한다.

d\omega_n = 0

이므로, 당김

\varphi^* \omega_n

은 닫힌 미분 형식이다:

d(\varphi^* \omega_n) = \varphi^* (d\omega_n) = \varphi^* 0 = 0

.

푸앵카레 보조정리에 따라 이는 정확한 미분 형식이다:

d\eta = \varphi^* \omega_n

인

S^{2n - 1}

위의

(n - 1)

-형식

\eta

가 존재한다. 그러면 호프 불변량은 다음과 같이 주어진다.

:

\int_{S^{2n - 1}} \eta \wedge d \eta.

4. 2. 푸앵카레 보조정리

J. H. C. 화이트헤드는 호프 불변량에 대한 다음 적분 공식을 제안했다.^[2]^[3]

:

\varphi \colon S^{2n-1} \to S^n

인 함수가 주어졌을 때,

\int_{S^n}\omega_n = 1

이 되는

S^n

위의 부피 형식

\omega_n

을 고려한다.

d\omega_n = 0

이므로, 당김

\varphi^* \omega_n

은 닫힌 미분 형식이다:

d(\varphi^* \omega_n) = \varphi^* (d\omega_n) = \varphi^* 0 = 0

.

푸앵카레 보조정리에 따라 이는 정확한 미분 형식이 된다. 즉,

d\eta = \varphi^* \omega_n

인

S^{2n - 1}

위의

(n - 1)

-형식

\eta

가 존재한다. 그러면 호프 불변량은 다음과 같이 주어진다.

:

\int_{S^{2n - 1}} \eta \wedge d \eta.

5. 안정 사상에 대한 일반화

$V$ 를 벡터 공간으로, $V^\infty$ 를 그 일점 압축으로 정의한다. 즉, $V \cong \mathbb{R}^k$ 이고, $V^\infty \cong S^k$ 이다.

만약 $(X,x_0)$ 가 임의의 가리켜진 공간이고, 무한대 점을 $V^\infty$ 의 기저점으로 한다면, 쐐기곱 $V^\infty \wedge X$ 를 만들 수 있다.

이제 함수

: $F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y$

를 환원된 현수 함수에 안정적인 맵, 즉 안정 맵이라고 하자. $F$ 의 ''(안정) 기하학적 호프 불변량''은

: $h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2},$

이다.

$h(F)$ 는 $X$ 에서 $Y \wedge Y$ 로의 맵의 안정된 $\mathbb{Z}_2$ -동변 호모토피 군의 원소이다. 여기서 "안정"은 "현수에 안정"함을 의미하며, 이는 일반적인 동변 호모토피 군의 $V$ (또는 $k$ )에 대한 직접 극한을 의미한다. 그리고 $\mathbb{Z}_2$ -작용은 $X$ 에 대한 자명한 작용과 $Y \wedge Y$ 의 두 인자에 대한 뒤집기이다.

표준 대각 맵 $\Delta_X \colon X \to X \wedge X$ 와 항등 맵 $I$ 를 이용하여 호프 불변량을 다음과 같이 정의한다.

: $h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).$

이 맵은 처음에는 $V^\infty \wedge V^\infty \wedge X$ 에서 $V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y$ 로의 맵이지만, 직접 극한 아래에서 안정된 호모토피 $\mathbb{Z}_2$ -동변 맵의 군의 원소가 된다. 벡터 공간 $V$ 를 추적해야 하는 호프 불변량의 불안정 버전 $h_V(F)$ 도 존재한다.

5. 1. 벡터 공간과 일점 압축

V

를 벡터 공간으로,

V^\infty

를 그 일점 압축으로 정의한다. 즉,

V \cong \mathbb{R}^k

이고,

V^\infty \cong S^k

이다.

만약

(X,x_0)

가 임의의 가리켜진 공간이고, 무한대 점을

V^\infty

의 기저점으로 취한다면, 쐐기곱

V^\infty \wedge X

를 정의할 수 있다.

이제 안정 사상(stable map)

F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y

를 생각하자. 여기서 안정 사상은 환원된 현수 함수에 안정적인 맵을 의미한다.

F

의 ''(안정) 기하학적 호프 불변량''은

h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2}

로 주어진다.

h(F)

는

X

에서

Y \wedge Y

로의 맵의 안정된

\mathbb{Z}_2

-동변 호모토피 군의 원소이다. 여기서 "안정"은 "현수에 안정"함을 의미하며, 이는 일반적인 동변 호모토피 군의

V

(또는

k

)에 대한 직접 극한을 의미한다. 그리고

\mathbb{Z}_2

-작용은

X

에 대한 자명한 작용과

Y \wedge Y

의 두 인자에 대한 뒤집기이다.

표준 대각 맵

\Delta_X \colon X \to X \wedge X

와 항등 맵

I

에 대해, 호프 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).

이 맵은 처음에는

V^\infty \wedge V^\infty \wedge X

에서

V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y

로의 맵이지만, 직접 극한 아래에서 안정된 호모토피

\mathbb{Z}_2

-동변 맵의 군의 원소가 된다. 벡터 공간

V

를 추적해야 하는 호프 불변량의 불안정 버전

h_V(F)

도 존재한다.

5. 2. 안정 기하학적 호프 불변량

V

를 벡터 공간,

V^\infty

를 일점 압축이라고 하자.

V \cong \mathbb{R}^k

이면

V^\infty \cong S^k

이다. 임의의 가리켜진 공간

(X,x_0)

에 대해, 무한대 점을

V^\infty

의 기저점으로 하면 쐐기곱

V^\infty \wedge X

를 만들 수 있다.

함수

F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y

를 환원된 현수 함수에 안정적인 맵, 즉 안정 맵이라고 하자. 그러면

F

의 ''(안정) 기하학적 호프 불변량''은 다음과 같이 정의되는

X

에서

Y \wedge Y

로의 맵의 안정된

\mathbb{Z}_2

-동변 호모토피 군의 원소이다.

:

h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2}

여기서 "안정"은 "현수에 안정"함을 의미하며, 이는 일반적인 동변 호모토피 군의

V

(또는

k

)에 대한 직접 극한을 의미한다. 그리고

\mathbb{Z}_2

-작용은

X

에 대한 자명한 작용과

Y \wedge Y

의 두 인자에 대한 뒤집기이다.

\Delta_X \colon X \to X \wedge X

를 표준 대각 맵,

I

를 항등 맵이라고 하면, 안정 기하학적 호프 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).

이 맵은 처음에는

V^\infty \wedge V^\infty \wedge X

에서

V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y

로의 맵이지만, 직접 극한 아래에서 안정된 호모토피

\mathbb{Z}_2

-동변 맵의 군의 원소가 된다. 벡터 공간

V

를 추적해야 하는 안정 기하학적 호프 불변량의 불안정 버전

h_V(F)

도 존재한다.

5. 3. 대각 사상

V

를 벡터 공간으로,

V^\infty

를 그 일점 압축으로 정의한다. 즉,

V \cong \mathbb{R}^k

이고,

V^\infty \cong S^k

($k$는 어떤 수)이다.

만약

(X,x_0)

가 임의의 가리켜진 공간이고, 무한대 점을

V^\infty

의 기저점으로 한다면, 쐐기곱

V^\infty \wedge X

를 만들 수 있다.

이제 함수

F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y

를 환원된 현수 함수에 안정적인 맵이라고 하자.

F

의 ''(안정) 기하학적 호프 불변량''은 다음과 같다.

:

h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2},

여기서

h(F)

는

X

에서

Y \wedge Y

로의 맵의 안정된

\mathbb{Z}_2

-동변 호모토피 군의 원소이다. "안정"은 "현수에 안정"함을 의미하며, 일반적인 동변 호모토피 군의

V

(또는

k

)에 대한 직접 극한을 의미한다. 그리고

\mathbb{Z}_2

-작용은

X

에 대한 자명한 작용과

Y \wedge Y

의 두 인자에 대한 뒤집기이다.

표준 대각 맵

\Delta_X \colon X \to X \wedge X

와 항등 맵

I

를 이용하여 호프 불변량을 다음과 같이 정의한다.

:

h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).

이 맵은 처음에는

V^\infty \wedge V^\infty \wedge X

에서

V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y

로의 맵이지만, 직접 극한 아래에서 안정된 호모토피

\mathbb{Z}_2

-동변 맵의 군의 원소가 된다.

호프 불변량의 불안정 버전

h_V(F)

도 존재하며, 이를 위해서는 벡터 공간

V

를 추적해야 한다.

6. 역사

하인츠 호프가 호프 올뭉치를 연구하는 과정에 1935년에 호프 불변량의 개념을 발견하였다.^[4]

6. 1. 존 프랭크 애덤스와 마이클 아티야의 증명

하인츠 호프가 호프 올뭉치를 연구하는 과정에 1935년에 호프 불변량의 개념을 발견하였다.^[4] 1960년에 존 프랭크 애덤스는 호프 불변량이 1인 경우가 2, 4, 8차원 호프 올뭉치 밖에 없다는 것을 보였다.^[5]^[6] 이는 각각 실수 나눗셈 대수

\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}

에 해당하며, 구의 방향을 그 방향이 생성하는 부분 공간으로 보내는 올다발

S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1

에 해당한다. 1966년에 프랭크 아담스와 마이클 아티야는 이를 위상 K이론을 사용하여 다시 증명하였다.^[7]

6. 2. 한국 수학계의 영향

참조

_[1] 논문 Groupes D'Homotopie Et Classes De Groupes Abeliens 1953-09
_[2] 논문 An Expression of Hopf's Invariant as an Integral 1947-05-01
_[3] 서적 Differential forms in algebraic topology 1982
_[4] 저널 Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension http://pldml.icm.edu[...]
_[5] 저널
_[6] 저널 On the non-existence of elements of Hopf invariant one https://www.math.roc[...] 2016-01-12
_[7] 저널 K-theory and the Hopf invariant

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