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8차원 회전군

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목차

1. 개요

8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 O(8; R)을 의미한다. 이 군은 삼중성으로 알려진 독특한 특징을 가지며, 이는 딘킨 도표의 대칭과 관련이 있다. 8차원 회전군은 콤팩트 형태, 분할 형태, 로런츠 형태 등 다양한 실수 형태를 가지며, 각 형태는 킬링 형식의 부호수, 기호, 직교군 기호, 사타케 도표, 보건 도표 등으로 분류된다. 또한, 8차원 회전군의 원소는 단위 옥토니언으로 설명할 수 있으며, 이는 옥토니언의 비결합성으로 인해 복잡한 관계를 갖는다. 8차원 회전군은 근 체계와 바일 군, 카르탕 행렬을 통해 수학적으로 표현될 수 있다.

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8차원 회전군
기본 정보
이름회전군
다른 이름특수 직교군
기호SO(n, R)
차원n(n-1)/2
리 대수so(n, R)
SO(8)
차원28
극대 부분군U(4) 또는 SU(3) × SU(2) × U(1) 또는 G2 × SU(2) × SU(2)
근계F4
바일 군214. 9!
기본 표현28차원 벡터 표현
스피너 표현8차원 스피너 표현, 8차원 켤레 스피너 표현
성질
성질비가환군, 콤팩트군
관련 개념
관련 개념딸림성

2. 정의

8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 \operatorname O(8;\mathbb R)이다. 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

:\bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet}

이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 \operatorname{Sym}(3) 대칭을 갖는데, 이를 '''삼중성'''(triality영어)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

그 복소수 리 대수 \mathfrak o(8;\mathbb C)는 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음과 같다.

킬링 형식의 부호수기호직교군 기호사타케 도표보건 도표비고
(0,28)Spin(8)\bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} 콤팩트 형태
(7,21)D₄ⅡSpin(1,7)\circ - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} \circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\}
(12,16)D₄Ⅱ, D₄ⅢSO*(8)=SO(2,6)\circ - \circ \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet}\bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}
(15,13)D₄ⅡSpin(3,5)\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\} \bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} \}
(16,12)D₄ⅠSpin(4,4)\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} \circ - \bullet \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} 분할 형태


3. 성질

Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이며, 8차원 벡터 표현과 같은 크기이다. 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.[1]

SO(8)은 단순 리 군 중에서 딘킨 다이어그램이 3중 대칭을 갖는다는 점에서 독특하며, 이는 트라이얼리티로 알려진 Spin(8)의 특징이다. Spin(8)의 두 스피너 군 표현과 기본 표현인 벡터 표현이 모두 8차원이라는 점도 이와 관련이 있다. Spin(8)의 트라이얼리티 자기 동형 사상은 Spin(8)의 외부 자기 동형 사상 군에 존재하며, 이는 세 표현을 순열하는 대칭군 S3와 동형이다.

옥토니언 곱셈에서 xyz=1은 yzx=1과 같으므로, 주어진 동위 (\alpha,\beta,\gamma)를 순환 순열하여 (\beta,\gamma,\alpha) 및 (\gamma,\alpha,\beta)와 같은 추가 동위를 얻을 수 있다. 이는 Spin(8)의 3차 외부 자기동형사상을 생성한다. 주어진 \gamma에 대해 \alpha,\beta가 부호까지 고유하게 결정되므로, SO(8)에는 삼중성 자기동형사상이 없다.[1]

3. 1. 콤팩트 형태 (Spin(8))

Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군이며, 다음과 같다.

:\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\cong\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)

이는 유한체 \mathbb F_2 위의 2차원 벡터 공간 \mathbb F_2^{\oplus2}의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은 다음과 같다.

:\operatorname{Aut}\left(\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\right) \cong \operatorname{GL}(2;\mathbb F_2) \cong \operatorname{Sym}(3)

특수 직교군 \operatorname{SO}(8;\mathbb R)에서 이 중심군은 \operatorname{Cyc}(2)로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨진다.

사영 특수 직교군 \operatorname{PSO}(8;\mathbb R)을 취하면 다시 삼중성이 존재한다.

3. 2. 분할 형태 (Spin(4,4))

\operatorname{SO}^+(4,4)의 군의 중심은 \operatorname{Cyc}(2)이며, 기본군은 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)이다. \operatorname{SO}^+(4,4)의 범피복군의 군의 중심은 다음과 같다.

:\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) \cong \mathbb F_2^{\oplus3}

그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군 \operatorname{GL}(3;\mathbb F_2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

3. 3. SO(3,5)

Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

SO(3,5)의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)이다.

3. 4. 로런츠 형태 SO(1,7)

실수 리 대수 \mathfrak{o}(1,7)은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

4. 삼중성 (Triality)

SO(8)은 단순 리 군 중에서 딘킨 다이어그램이 3중 대칭을 갖는다는 점에서 독특하다. 이는 트라이얼리티로 알려진 Spin(8)의 특이한 특징을 낳는다. 이와 관련하여 Spin(8)의 두 스피너 군 표현과 기본 표현인 벡터 표현이 모두 8차원이라는 사실도 있다.[1]

Spin(8)의 트라이얼리티 자기 동형 사상은 Spin(8)의 외부 자기 동형 사상 군에 존재하며, 이는 이 세 표현을 순열하는 대칭군 S3와 동형이다. Spin(8)을 중심 '''Z'''2로 나누어 SO(8)을 얻을 때, 남은 외부 자기 동형 사상 군은 '''Z'''2이다. 트라이얼리티 대칭은 추가적인 몫 SO(8)/'''Z'''2에 다시 작용한다.[1]

5. 단위 옥토니언 (Unit Octonions)

SO(8)의 원소는 SO(2)의 원소를 단위 복소수로, SO(4)의 원소를 단위 사원수로 설명하는 것처럼 단위 옥토니언으로 설명할 수 있다. 하지만 옥토니언의 비결합성 때문에 관계는 더 복잡하다. SO(8)의 일반적인 원소는 7개의 좌 곱셈, 7개의 우 곱셈, 그리고 단위 옥토니언에 의한 7개의 양쪽 곱셈의 곱으로 설명할 수 있다(양쪽 곱셈은 동일한 옥토니언에 의한 좌 곱셈과 우 곱셈의 합성으로, 옥토니언이 무팡 항등식을 따르기 때문에 모호하지 않게 정의된다).[1]

8차원 공간에서 원점에 대한 반사의 쌍이 단위 옥토니언에 의한 양쪽 곱셈의 쌍에 해당함을 보임으로써, 양쪽 곱셈으로 SO(8)의 원소를 구성할 수 있다. 아래에 설명된 Spin(8)의 삼중성 자기 동형 사상은 좌 곱셈과 우 곱셈을 사용하여 유사한 구성을 제공한다.[1]

5. 1. 옥토니언과 삼중성

만약 x,y,z\in\mathbb{O}이고 (xy)z=1이면, x(yz)=1과 같으므로 xyz=1을 모호함 없이 의미한다. 이러한 항등성을 보존하는 맵의 삼중항 (\alpha,\beta,\gamma)을 동위라고 한다. 동위의 세 맵이 \operatorname{SO(8)}에 속하면 직교 동위라고 한다. 직교 동위 집합은 \operatorname{SO}(8)의 2 대 1 덮개이므로, \operatorname{Spin}(8)이어야 한다.[1]

옥토니언 곱셈에서 순환 순열을 통해 추가적인 동위 (\beta,\gamma,\alpha) 및 (\gamma,\alpha,\beta)를 얻을 수 있다. 이는 \operatorname{Spin}(8)의 3차 외부 자기동형사상을 생성한다. 이러한 "삼중성" 자기동형사상은 스핀 군 중에서 예외적이다.[1]

6. 근 체계 (Root system)

8차원 회전군의 근 체계는 다음과 같은 벡터들로 구성된다.


  • (\pm 1,\pm 1,0,0)
  • (\pm 1,0,\pm 1,0)
  • (\pm 1,0,0,\pm 1)
  • (0,\pm 1,\pm 1,0)
  • (0,\pm 1,0,\pm 1)
  • (0,0,\pm 1,\pm 1)

7. 바일 군 (Weyl group)

바일/콕서터 군은 4! × 8 = 192개의 원소를 갖는다.

8. 카르탕 행렬 (Cartan matrix)

헤더 1헤더 2헤더 3헤더 4
2-1-1-1
-1200
-1020
-1002



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