A∞-오퍼라드

1. 개요

A_∞-오퍼라드는 위상 공간에서 정의되는 오퍼라드의 일종으로, 대칭군과 호모토피 동치 관계를 가지며, 대칭군의 작용이 군 자체의 작용과 일치하는 특징을 갖는다. A_∞-오퍼라드는 A_∞-대수라는 대수적 구조를 정의하며, 무한 개의 연산과 항등식으로 구성된다. A_∞-대수는 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되며, 코호몰로지 위에 A_∞-대수 구조를 갖는다. A_∞-오퍼라드는 고리 공간과의 관계를 통해 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 중, 각 차원에서 대칭군의 작용과 호모토피 동치 관계를 만족하는 조건을 갖는 것을 A_∞-오퍼라드라고 한다.

2.1. A_∞-오퍼라드의 정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 $A$에 대하여, 만약 $A(n)$이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 $\backslash operatorname\{Sym\}(n)$과 호모토피 동치이며, 또한 $A(n)$ 위의 대칭군 $\backslash operatorname\{Sym\}(n)$의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, $A$를 A_∞-오퍼라드라고 한다.

비-Σ 오퍼라드(비대칭 오퍼라드 또는 순열이 없는 오퍼라드)의 경우, 오퍼라드 A는 모든 공간 A(n)이 수축 가능하면 A_∞이다. 범주가 위상 공간이 아닌 경우, 호모토피와 수축 가능성의 개념은 사슬 복합체 범주에서의 호몰로지 동치와 같은 적절한 유사성으로 대체되어야 한다.

2.2. A_n-오퍼라드

A_n-오퍼라드는 특정 수준의 호모토피까지만 결합적인 곱셈을 매개변수화하는 개념이다. (n ∈ N)

* A₁-공간은 점 있는 공간이다.
* A₂-공간은 결합 조건이 없는 H-공간이다.
* A₃-공간은 호모토피 결합 H-공간이다.

3. A_∞-대수

벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되는 A_∞-오퍼라드를 통해 A_∞-대수를 얻는다. A_∞-대수는 무한히 많은 연산과 이들 사이의 관계식(항등식)으로 정의되는 대수적 구조이다.

A_∞-오퍼라드 위의 다원환은 A_∞-대수라고 불린다. 예를 들어, 심플렉틱 다양체의 후카야 범주( 의사정칙 곡선 참조)가 있다.

3.1. A_∞-대수의 정의

벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현되는 A_∞-오퍼라드를 통해 A_∞-대수를 얻는다. A_∞-대수 $A$는 정수 등급을 갖는 벡터 공간으로 다음과 같이 표현된다.
:$A=\backslash bigoplus\_\{p\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A^p$

모든 $n\backslash ge1$에 대하여, 다음과 같은 $n$항 $n$겹선형 연산이 존재한다.
:$m\_n\backslash colon\; A^\{\backslash oplus\; n\}\backslash to\; A$
:$\backslash deg\; m\_n=2-n$

이 연산들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 $n\backslash ge1$에 대하여 다음이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{r+s+t=n\}(-1)^\{r+st\}m\_\{r+1+t\}(a\_1,\backslash dots,a\_r,m\_s(b\_1,\backslash dots,b\_s),c\_1,\backslash dots,c\_t)=0\backslash qquad\backslash forall\; a\_i,b\_i,c\_i\backslash in\; A$

처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 $m\_1=\backslash delta$, $m\_2=\backslash cdot$으로 쓰자.
* (공경계의 멱영성) $\backslash delta^2=0$
* (곱 규칙) $\backslash delta(ab)=(\backslash delta\; a)b+a(\backslash delta\; b)$
* (호모토피 결합 법칙) $a(bc)-(ab)c=\backslash delta\; m\_3(a,b,c)+m\_3(\backslash delta\; a,b,c)+m\_3(a,\backslash delta\; b,c)+m\_3(a,b,\backslash delta\; c)$
* $m\_3(ab,c,d)-m\_3(a,bc,d)+m\_3(a,b,cd)-m\_3(a,b,c)d-am\_3(b,c,d)=-\backslash delta\; m\_4(a,b,c,d)+m\_4(\backslash delta\; a,b,c,d)+m\_4(a,\backslash delta\; b,c,d)+m\_4(a,b,\backslash delta\; c,d)+m\_4(a,b,c,\backslash delta\; d)$
* $\backslash vdots$

따라서, $(A,\backslash delta)$는 공사슬 복합체를 이룬다.

3.2. A_∞-대수 사이의 사상

두 A_∞-대수 $A$, $B$ 사이의 사상은 다음 데이터로 주어진다.

* 각 $n\backslash ge1$에 대하여, 차수 $1-n$인 겹선형 사상 $f\_n\backslash colon\; A^\{\backslash otimes\; n\}\backslash to\; B$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 $n\backslash ge1$에 대하여,

:$\backslash sum\_\{r+s+t=n\}(-1)^\{r+st\}f\_\{r+1+t\}(a\_1,\backslash dots,a\_r,m\_s(a\_\{r+1\},\backslash dots,a\_\{r+s\}),a\_\{r+s+1\},\backslash dots,a\_n)=\backslash sum\_\{k=1\}^n\backslash sum\_\{i\_1+\backslash cdots+i\_k=n\}(-1)^\{\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^k(k-\backslash ell)(i\_\backslash ell-1)\}m\_r(f\_\{i\_1\}(a\_1,\backslash dots,a\_\{i\_1\}),f\_\{i\_2\}(\backslash dots),\backslash dots,f\_\{i\_k\}(\backslash dots,a\_n))$

구체적으로, 처음 몇 $n$에 대한 조건은 다음과 같다.

:$f\_1\backslash circ\backslash delta=\backslash delta\backslash circ\; f\_1$
:$f\_1(a\backslash cdot\; b)=f\_1(a)\backslash cdot\; f\_1(b)+\backslash delta\; f\_2(a,b)+f\_2(\backslash delta\; a,b)+f\_2(a,\backslash delta\; b)$
:$\backslash vdots$

3.3. A_∞-대수의 코호몰로지

A_∞-대수 $A$의 코호몰로지 $H^\backslash bullet(A)$ 위에도 자연스러운 A_∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 $m\_1=0$이 된다.

4. A_∞-오퍼라드와 고리 공간

공간 X가 다른 공간의 고리 공간 BX이면, 이 경우에만 X는 $A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드 위의 대수이고, 연결 요소의 모노이드 π₀(X)가 그룹이다. $A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드 위의 대수는 $\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash infty\}$-공간이라고 한다. 연결된 $A\_\{\backslash infty\}$-공간은 고리 공간이며, 연결되지 않은 $A\_\{\backslash infty\}$-공간의 군 완성은 고리 공간이다.

$A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드는 $A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드 위의 대수와 고리 공간 사이의 관계 때문에 호모토피 이론에서 중요하다.

5. 예시

결합 오퍼라드는 $A(n)=\backslash operatorname\{Sym\}(n)$인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

작은 구간 오퍼라드(little interval operad^영어)의 경우, $A(n)$은 단위 구간 $(0,1)$ 속에 존재하는 $n$개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

$A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드 위의 대수는 $A\_\{\backslash infty\}$-대수라고 불린다. 예시로는 정의될 수 있을 때 심플렉틱 다양체의 후카야 범주가 있으며, 이는 의사정칙 곡선을 참조하면 된다.

$A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드의 가장 명백하지만, 그다지 유용하지 않은 예시는 $a(n)\; =\; \backslash Sigma\_n$로 주어지는 결합 오퍼라드 a이다. 이 오퍼라드는 엄격히 결합적인 곱셈을 설명한다. 정의에 따라, 다른 모든 $A\_\{\backslash infty\}$-오퍼라드는 호모토피 동치인 a로의 사상을 갖는다.

A_∞-오퍼라드의 기하학적 예시는 Stasheff 다면체로 주어진다.

덜 조합적인 예시는 작은 구간 오퍼라드이다. 공간 $A(n)$은 단위 구간에 n개의 서로소 구간을 임베딩하는 모든 것으로 구성된다.