H-공간

1. 개요

H-공간은 위상 공간 X와 연속 함수 μ: X × X → X, 항등원 e ∈ X로 구성되며, 이 함수는 곱셈 연산을 정의한다. H-공간은 항등원을 갖는 마그마와 유사하지만, 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않을 수 있다. H-공간은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 구조를 부여하며, 기본군은 아벨 군이다. H-공간은 호모토피류의 연산을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 쌍대 H-공간과 밀접한 관련이 있다. 프랭크 아담스의 호프 불변량 1 정리는 구체적으로 S0, S1, S3, S7이 H-공간인 유일한 n-구라고 명시한다. 이 개념은 장피에르 세르에 의해 개발되었으며, 하인츠 호프의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

H-공간은 위상 공간 $X$, $X$의 원소 $e$(항등원), 그리고 연속 함수 $\backslash mu\; \backslash colon\; X\; \backslash times\; X\; \backslash to\; X$로 구성된다. H-공간은 다음 조건을 만족시킨다.

* $\backslash mu(e,e)\; =\; e$
* $x\; \backslash mapsto\; \backslash mu(x,\; e)$ 와 $x\; \backslash mapsto\; \backslash mu(e,\; x)$는 모두 $e$를 $e$로 보내는 사상을 통해 항등 함수와 호모토픽하다.

이는 기저점을 보존하는 호모토피에서 기저점이 항등원인 연속 곱셈을 갖는 점 있는 위상 공간으로 생각할 수 있다.

위상 공간 $X$에 대해 $(X,\; e,\; \backslash mu)$가 H-공간이 되도록 하는 $e$와 $\backslash mu$가 존재하면, $X$를 H-공간이라고 한다. H-공간은 호모토피가 기저점 $e$를 고정할 필요가 없도록 정의하거나, 호모토피를 고려하지 않고 $e$를 정확한 항등원으로 요구하여 정의할 수도 있다. CW 복합체의 경우 이 세 가지 정의는 동일하다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만, 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는 경우가 일반적이다. 군의 공리를 만족하는 H-공간은 H-군(H-group^영어)이라고 부른다.

2.1. 쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 연속 함수 $\backslash mu\; \backslash colon\; X\; \backslash to\; X\; \backslash vee\; X$
* 항등원 $e\; \backslash in\; X$

3. 예와 성질

H-공간과 유향 위상 공간 사이에 유향 호모토피 동치가 있으면, 후자의 공간에도 자연스럽게 H-공간 구조가 생긴다. 따라서 어떤 공간에 H-공간 구조가 존재하는지는 그 공간의 유향 호모토피 유형에만 달려있다.

H-공간의 곱셈 구조는 호몰로지 군과 코호몰로지 군에도 영향을 준다. 예를 들어 유한하게 생성되고 자유 코호몰로지 군을 갖는 경로 연결 H-공간의 코호몰로지 링은 호프 대수가 된다. H-공간의 호몰로지 군에는 폰트랴긴 곱을 정의할 수도 있다.

H-공간의 기본군은 아벨 군이다. 이를 확인하기 위해 항등원 e를 갖는 H-공간 X를 생각하고, e에서 시작하는 고리 f와 g를 생각하자. 함수 F: [0,1] × [0,1] → X를 F(a,b) = f(a)g(b)로 정의하면, F(a,0) = F(a,1) = f(a)e는 f와 호모토피하고, F(0,b) = F(1,b) = eg(b)는 g와 호모토피하다. 따라서 [f][g]에서 [g][f]로의 호모토피를 쉽게 정의할 수 있다.

3.1. 위상군

위상군 $G$와 그 연산 $G\; \backslash times\; G\; \backslash to\; G$는 그 자체로 H-군을 이룬다. 기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다. 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.

3.2. 초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 $\backslash mathbb\; S^0$, $\backslash mathbb\; S^1$, $\backslash mathbb\; S^3$, $\backslash mathbb\; S^7$뿐이다. $\backslash mathbb\; S^7$을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

프랭크 아담스의 호프 불변량 1 정리에 따르면, S⁰, S¹, S³, S⁷이 H-공간인 유일한 n-구이다. 이들은 각각 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 노름이 1인 원소들의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 대수들에서의 곱셈 연산을 통해 H-공간을 형성한다. 실제로 S⁰, S¹, S³은 이러한 곱셈을 갖는 군(리 군)이다. 그러나 S⁷은 팔원수 곱셈이 결합 법칙을 만족하지 않으므로, 군이 될 수 있는 다른 연속적인 곱셈이 존재하지 않아 이러한 방식으로 군이 될 수 없다.

3.3. 현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 $X$에 대하여 그 축소 현수 $\backslash Sigma\; X$는 쌍대 H-공간을 이룬다. $\backslash Sigma\; X\; =\; X\backslash wedge\backslash mathbb\; S^1\; =\; (X\backslash times\backslash mathbb\; S^1)/(X\backslash vee\backslash mathbb\; S^1)$ 위에서 연산은 다음과 같이 정의한다.

:$(\backslash operatorname\{id\}\_X\backslash wedge\; w\_1)\backslash colon\; X\backslash wedge\backslash mathbb\; S^1\backslash to\; X\backslash wedge(\backslash mathbb\; S^1\backslash vee\backslash mathbb\; S^1)\backslash cong(X\backslash wedge\backslash mathbb\; S^1)\backslash vee(X\backslash wedge\backslash mathbb\; S^1)$

여기서 $\backslash wedge$는 분쇄곱, $\backslash vee$는 쐐기합이고, $w\_1$은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 $\backslash Sigma\; \backslash mathbb\; S^\{n-1\}\backslash simeq\backslash mathbb\; S^n$이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 $\backslash Omega\; X$는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, $\backslash Omega\; X$ 위의 곱셈은 다음과 같다.
:$m\backslash colon\; (\backslash gamma,\backslash gamma\text{'})\backslash mapsto\; (\backslash gamma\backslash vee\backslash gamma\text{'})\backslash circ\; w\_1$
여기서
:$\backslash gamma,\backslash gamma\text{'}\backslash colon\backslash mathbb\; S^1\backslash to\; X$
:$\backslash gamma\backslash vee\backslash gamma\text{'}\backslash colon\backslash mathbb\; S^1\backslash vee\backslash mathbb\; S^1\backslash to\; X$
:$w\_1\backslash colon\backslash mathbb\; S^1\backslash to\backslash mathbb\; S^1\backslash vee\backslash mathbb\; S^1$
이다.

기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다. 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.

3.4. 에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군 $G$ 및 자연수 $n$에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$는 다른 공간의 고리 공간이다.
:$K(G,n)\; \backslash simeq\; \backslash Omega\; K(G,n+1)$
그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 $G$ 및 $n\; \backslash ge\; 3$의 경우 피터슨 공간 $P(G,n)$는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.
:$P(G,n)\; \backslash simeq\; \backslash Sigma\; P(G,n-1)$
그러므로 피터슨 공간 $P(G,n)$은 쌍대 H-공간을 이룬다.

3.5. 호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간 $X$로 가는 호모토피류 $[\backslash mathbb\; S^n,X]\_\backslash bullet$로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 $h\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash vee\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; S^n$에 의해 정의된다.
:$[f]\; \backslash cdot\; [g]\; \backslash colon\; x\; \backslash mapsto\; (f\; \backslash vee\; g)(h(x))$

일반적으로, 쌍대 H-공간 $(X,\; \backslash mu)$에서 공간 $Y$로 가는 호모토피류 $[X,Y]\_\backslash bullet$ 위의 이항 연산은 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$[f]\; \backslash cdot\; [g]\; \backslash colon\; x\; \backslash mapsto\; (f\; \backslash vee\; g)(\backslash mu(x))$

반대로 공간 $X$에서 H-공간 $(Y,\; \backslash mu)$로 가는 호모토피류의 연산은 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$[f]\backslash cdot[g]\; \backslash colon\; x\; \backslash mapsto\; \backslash mu(f(x),g(x))$

위에서 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 $[X,Y]\_\backslash bullet$은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 $\backslash Sigma$와 고리 공간 $\backslash Omega$는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다.
:$[X,\backslash Omega\; Y]\_\backslash bullet\; \backslash cong\; [\backslash Sigma\; X,Y]\_\backslash bullet$

특히, $\backslash Sigma\; \backslash mathbb\; S^\{n-1\}\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; S^n$이므로 호모토피 군에 대해 $\backslash pi\_\{n-1\}(\backslash Omega\; X)\; \backslash cong\; \backslash pi\_n(X)$가 성립한다. 기본군의 표준 정의는 이것이 군이라는 사실과 함께 고리 공간이 유향 위상 공간의 연쇄 및 반전의 표준 연산을 갖춘 H-군의 구조를 갖는다고 다시 말할 수 있다. 또한, 유향 위상 공간의 연속적인 밑점 보존 사상은 해당 고리 공간의 H-준동형을 유도하며, 이는 연속 사상에 의해 유도된 기본군에 대한 군 준동형을 반영한다.

4. 역사

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름 머리글자인 H를 붙였다.