D가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 바일 대수 위의 가군
- 2.2. 대수다양체 위의 D-가군
3. D-가군의 함자성
4. 홀로노믹 D-가군
5. 응용
6. 관련 인물
참조

1. 개요

D-가군은 대수다양체 위에 정의된 미분 연산자 층을 통해 구성되는 가군으로, 선형 편미분 방정식의 해 공간을 대수적으로 분석하는 데 활용된다. 가장 기본적인 예시는 바일 대수 위의 가군이며, 복소 아핀 공간 위의 함수 공간도 D-가군을 이룬다. D-가군은 힐베르트 다항식, 차원, 베른슈타인 부등식과 같은 개념을 가지며, 차원이 최소인 가군을 호로노믹이라고 한다. D-가군은 대수다양체 위에서 벡터장을 미분 연산자로 해석하여 정의되며, 벡터 다발에 평탄한 접속을 부여하는 것과 동등하다. D-가군은 당겨오기 및 밀어내기 함자를 통해 다른 D-가군과 연결되며, 유도 범주에서 연구된다. 홀로노믹 D-가군은 유한한 길이를 가지며, 특성 다양체를 통해 이해할 수 있으며, 베른슈타인-사토 다항식, 카즈단-러스티그 추측, 리만-힐베르트 대응, 기하학적 표현론, 기하적 랭글랜즈 프로그램 등 다양한 분야에 응용된다.

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D가군
일반 정보
이름	D-가군
다른 이름	D-모듈
분야	대수 해석학
역사적 맥락
기원	미분 방정식 연구
주요 공헌자	사토 미키오 알렉산더 베른스타인 마사키 카시와라 달랑베르
주요 개념
정의	미분 연산자로 생성된 환 위의 가군
관련 개념	특성 다양체 홀로노믹 D-가군 극대 과잉 결정계 포함계
주요 결과 및 응용
주요 정리	카시와라의 구성 가능성 정리 카시와라의 지표 정리
응용 분야	대수 기하학 표현론 정수론 미분 방정식
관련 연구
사토-베른스타인 다항식	b-함수
리만-힐베르트 대응	리만-힐베르트 대응

2. 정의

표수가 0인 체 $k$ 위의 비특이 대수다양체 $X$ 를 생각하자. $X$ 위의 정칙 함수들의 층을 $\mathcal O_X$ 라 하고, $X$ 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal D_X$ 는 미분 연산자로 생각할 수 있다.

$X$ 위의 '''D가군''' $(\mathcal M,\nabla)$ 은 다음과 같이 정의된다.

$\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal M$
$k$ -선형사상 $\nabla\colon\mathcal D_X\to\operatorname{End}(M)$ , $v\mapsto\nabla_v$

이들은 다음 조건을 만족해야 한다. 모든

\mathcal O_X

의 단면

f

,

\mathcal M

의 단면

m

,

X

위의 벡터장

u,v

에 대하여,

( $\mathcal O_X$ -선형성) $\nabla_{fv}m=f(\nabla_vm)$
(곱 규칙) $\nabla_v(fm)=(\nabla_vf)m+f\nabla_vm$
(리 괄호에 대한 준동형) $\nabla_{[u,v]}=[\nabla_v,\nabla_v]$

국소 자유 가군층은 벡터 다발로 볼 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발과 같다.

\mathcal D_X

자체는 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간

\mathbb C^n

위의 함수 공간

F

가 다음 성질들을 만족시킨다면,

F

는 D가군을 이룬다.

$F$ 는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
$\mathbb C[x_1,\dots,x_n]\subset F$ . 즉, $F$ 는 모든 다항함수를 포함한다.
$F$ 는 미분에 대하여 닫혀 있다.

\mathbb C^n=\{(z_1,\dots,z_n)\}

위의 선형 미분 연산자

:

D=\sum_{\alpha,\beta\in\mathbb N^n}C_{\alpha,\beta}z^\alpha\partial_\beta

로 정의되는 선형 편미분 방정식

:

Df=0

을 생각해보자. 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은

D

로 생성되는

\mathcal D_{\mathbb C^n}

의 아이디얼

(D)

에 대한 몫환

:

\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D)

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간

F

속에서,

:

Df=0\qquad(f\in F)

의 해 공간은

:

\operatorname{Hom}_{\mathcal D_{\mathbb C^n}}(\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D),F)

과 같다.

2. 1. 바일 대수 위의 가군

D-가군의 가장 기본적인 예시는 바일 대수 위의 가군이다. 바일 대수는 위치 변수 ''x''_''i''와 편미분 연산자 ∂_''i''로 생성되는 비가환 대수이며, 이들 사이의 교환 관계는 다음과 같다.

:[∂_''i'', ''x''_''i''] = ∂_''i''''x''_''i'' - x_''i''''∂''_''i'' = 1.

이는 미분 연산의 기본 성질을 반영한다. 즉, 임의의 다항식 ''f''(''x''₁, ..., ''x''_''n'')에 대해, 다음 관계가 성립한다.

:[∂_''i'', ''f''] = ∂''f'' / ∂''x''_''i''

이러한 관계를 통해 바일 대수는 미분 방정식과 연결된다.

바일 대수 자체, 다항식 환 ''K''[''x''₁, ..., ''x''_''n''], '''C'''^''n'' 위의 정칙 함수들의 환

\mathcal O(\mathbf C^n)

등은 D-가군의 예시이다.

2. 2. 대수다양체 위의 D-가군

표수 0인 체

k

에 대한 비특이 대수다양체

X

위에서, D-가군은 벡터장들을 미분 연산자로 해석하여 정의된다.

X

위의 정칙 함수들의 층을

\mathcal O_X

라 하고,

X

위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal D_X

는 미분 연산자들로 생각할 수 있다.

X

위의 D-가군

(\mathcal M, \nabla)

은 다음과 같이 정의된다.

$\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal M$
$k$ -선형사상 $\nabla\colon\mathcal D_X\to\operatorname{End}(M)$ , $v\mapsto\nabla_v$

이들은 다음 조건을 만족해야 한다. 모든

\mathcal O_X

의 단면

f

,

\mathcal M

의 단면

m

,

X

위의 벡터장

u,v

에 대하여,

( $\mathcal O_X$ -선형성) $\nabla_{fv}m=f(\nabla_vm)$
(곱 규칙) $\nabla_v(fm)=(\nabla_vf)m+f\nabla_vm$
(리 괄호에 대한 준동형) $\nabla_{[u,v]}=[\nabla_v,\nabla_v]$

국소 자유 가군층은 벡터 다발로 볼 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D-가군은 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발과 같다.

\mathcal D_X

자체는 D-가군을 이룬다.

D-가군 구조는 벡터 다발에 평탄한 접속을 부여하는 것과 같다. 이를 통해 기하학적 구조를 대수적으로 이해할 수 있다.

좌 D-가군과 우 D-가군은 서로 밀접하게 관련되어 있다. 좌 가군 ''M''을 텐서 곱 ''M'' ⊗ Ω_''X''로 매핑하여 두 종류의 가군 사이에 범주 동치를 얻을 수 있다. 여기서 Ω_''X''는 ''X'' 위의 미분 1-형식의 가장 높은 외적에 의해 주어진 선다발이다. 이 다발은 다음으로 결정되는 자연스러운 "우" 작용을 갖는다.

:ω ⋅ ''v'' := − Lie_''v'' (ω)

여기서 ''v''는 1차 미분 연산자, 즉 벡터장이고, ω는 ''n''-형식(''n'' = dim ''X'')이며, Lie는 리 미분을 나타낸다.

국소적으로, ''X''에 대해 좌표계 ''x''₁, ..., ''x''_''n'' (''n'' = dim ''X'')을 선택하면, ''X''의 접공간의 기저 ∂₁, ..., ∂_''n''이 결정되며, ''D''_''X''의 단면은 다음과 같이 유일하게 표현된다.

:

\sum f_{i_1, \dots, i_n} \partial_1^{i_1} \cdots \partial_n^{i_n}

, 여기서

f_{i_1, \dots, i_n}

는 ''X'' 위의 정칙 함수이다.

''X''가 ''n'' 차원 아핀 공간일 때, ''D''_''X''는 ''n''개의 변수를 갖는 바일 대수이다.

3. D-가군의 함자성

서로 다른 대수다양체 위의 ''D''-가군은 당겨오기 및 밀어내기 함자에 의해 연결되는데, 이는 가환층에 대한 함자와 유사하다. 매끄러운 다양체의 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''에 대해, 다음과 같이 정의된다.

:''D''_{''X''→''Y''} := ''O''_''X'' ⊗_{''f''⁻¹(''O''_''Y'')} ''f''⁻¹(''D''_''Y'')

이는 연쇄 법칙을 모방하는 방식으로 왼쪽 ''D''_''X'' 작용과, ''f''⁻¹(''D''_''Y'')의 자연스러운 오른쪽 작용을 갖춘다. 당겨오기는 다음과 같이 정의된다.

:''f''^∗(''M'') := ''D''_{''X''→''Y''} ⊗_{''f''⁻¹(''D''_''Y'')} ''f''⁻¹(''M'').

여기서 ''M''은 왼쪽 ''D''_''Y''-가군이고, 당겨오기는 ''X'' 위의 왼쪽 가군이다. 이 함자는 오른쪽 완전이며, 왼쪽 유도 함자는 L''f''^∗로 표기한다. 반대로, 오른쪽 ''D''_''X''-가군 ''N''에 대해, 다음과 같이 정의된다.

:''f''_∗(''N'') := ''f''_∗(''N'' ⊗_{''D''_''X''} ''D''_{''X''→''Y''})

이는 오른쪽 ''D''_''Y''-가군이다. 이는 오른쪽 완전 텐서 곱과 왼쪽 완전 밀어내기를 섞기 때문에, 대신 다음을 설정하는 것이 일반적이다.

:''f''_∗(''N'') := R''f''_∗(''N'' ⊗^L_{''D''_''X''} ''D''_{''X''→''Y''}).

이 때문에, ''D''-가군 이론의 많은 부분이 호몰로지 대수학, 특히 유도 범주의 모든 힘을 사용하여 개발된다.

4. 홀로노믹 D-가군

홀로노믹 D-가군은 유한 차원 벡터 공간과 유사한 성질을 지닌 특별한 종류의 D-가군이다. 홀로노믹 D-가군의 차원은 번스타인 부등식에 의해 제한되며, 이는 D-가군의 특성 다양체와 밀접하게 관련된다.

번스타인 부등식에 따르면, D-가군의 차원은 항상 원래 다양체의 차원보다 크거나 같고, 원래 다양체의 두 배보다 작거나 같다. 이때, 차원이 원래 다양체의 차원과 같은 D-가군을 홀로노믹 D-가군이라고 한다.

홀로노믹 D-가군은 쌍대성, 리만-힐베르트 대응 등 다양한 이론에서 중요한 역할을 한다. 모든 D-가군 ''M''에 대해 쌍대 가군 D(''M'')을 정의할 수 있는데, ''M''이 홀로노믹 D-가군일 필요충분조건은 D(''M'')이 차수 0에 집중되는 것이다.

4. 1. 바일 대수 위의 홀로노믹 D-가군

바일 대수 ''A''_''n''(''K'') 위의 홀로노믹 D-가군은 힐베르트 다항식의 차원을 통해 정의된다. 유한 생성 D-가군 ''M''은 "좋은" 여과(filtration)를 가지며, 힐베르트 다항식은 큰 ''n''에 대해 다음 함수와 일치하는 수치 다항식으로 정의된다.

:''n'' ↦ dim_''K'' ''F''^''n''''M''

''A''_''n''(''K'')-가군 ''M''의 차원 ''d''(''M'')은 힐베르트 다항식의 차수로 정의된다. 이 차원은 번스타인 부등식에 의해 다음과 같이 제한된다.

:''n'' ≤ ''d''(''M'') ≤ 2''n''.

차원이 가장 작은 가능한 값인 ''n''에 도달하는 가군을 홀로노믹 D-가군이라고 한다. 이러한 차원 제한은 D-가군의 유한성을 보장하는 중요한 조건이 된다.

''A''₁(''K'')-가군 ''M'' = ''A''₁(''K'')/''A''₁(''K'')''P''는 모든 0이 아닌 미분 연산자 ''P''에 대해 홀로노믹이지만, 고차원 바일 대수에 대한 유사한 주장은 성립하지 않는다.

4. 2. 일반적인 정의

대수다양체 위에서 홀로노믹 D-가군은 특성 다양체를 통해 정의된다. 특성 다양체는 D-가군의 여과 구조를 통해 정의되며, 그 차원이 원래 다양체의 차원과 같을 때 홀로노믹 D-가군이 된다.

'''특성 다양체'''는 gr ''M''의 소멸자의 극근에 의해 잘려나간 코탄젠트 다발의 부분 다양체로 정의된다. 여기서 ''M''은 D_''X''의 차수 여과와 관련하여 적절한 여과를 갖춘 D-가군이다.

4. 3. 성질과 특징

홀로노믹 D-가군은 유한한 길이를 가지는 등 유한 차원 벡터 공간과 유사하게 동작한다. D-가군 ''M''이 홀로노믹할 필요충분조건은 모든 코호몰로지 군이 유한 차원 ''K''-벡터 공간이 되는 것이다. 여기서 ''i''는 ''X''의 임의의 점의 폐포 임베딩이다.

모든 ''D''-가군 ''M''에 대한 쌍대 가군은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm D(M) := \mathcal R \operatorname{Hom} (M, D_X) \otimes \Omega^{-1}_X [\dim X].

호몰로지 대수 조건을 통해 홀로노믹 D-가군을 특징지을 수 있다. ''M''이 홀로노믹할 필요충분조건은 D(''M'')이 차수 0에 집중되는 것이다. (''D''-가군의 유도 범주에서 객체로 간주). 이 사실은 베르디에 쌍대성과 리만-힐베르트 대응의 첫 번째 단면이며, 정칙환의 호몰로지 연구(특히 전역 호몰로지 차원과 관련된 내용)를 여과환 ''D''_''X''로 확장하여 증명된다.

심플렉틱 기하학을 통해 홀로노믹 D-가군을 이해할 수도 있다. 모든 ''D''-가군 ''M''의 특성 다양체 Ch(''M'')은 ''X''의 코탄젠트 다발 T^∗''X''의 부분 다양체로 간주되며, 인볼루티브 시스템 다양체이다. 이 가군이 홀로노믹할 필요충분 조건은 Ch(''M'')이 라그랑주 부분다양체인 것이다.

5. 응용

D가군은 여러 분야에 응용된다. 예를 들어, $\mathbb C^n=\{(z_1,\dots,z_n)\}$ 위의 선형 미분 연산자

: $D=\sum_{\alpha,\beta\in\mathbb N^n}C_{\alpha,\beta}z^\alpha\partial_\beta$

로 정의되는 선형 편미분 방정식

: $Df=0$

을 생각해 보자. 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 $D$ 로 생성되는 $\mathcal D_{\mathbb C^n}$ 의 아이디얼 $(D)$ 에 대한 몫환

: $\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D)$

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 $F$ 속에서,

: $Df=0\qquad(f\in F)$

의 해들의 공간은

: $\hom_{\mathcal D_{\mathbb C^n}}(\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D),F)$

과 같다.

홀로노믹 D가군의 초기 응용 분야 중 하나는 베른슈타인-사토 다항식이었다. Bernstein–Sato polynomial^영어은 베른슈타인-사토 다항식을 영어로 표기한 것이다.

5. 1. 카즈단-러스티그 추측

카즈단-러스티그 추측은 ''D''-가군을 사용하여 증명되었다.

5. 2. 리만-힐베르트 대응

리만-힐베르트 대응은 특정 ''D''-가군과 구성 가능 층 사이의 연관성을 확립하여, 편굴층(perverse sheaf) 이론의 발전에 기여했다.

5. 3. 기하학적 표현론

''D''-가군은 기하 표현론에서 중요한 역할을 한다. 이 분야의 주요 결과는 베일린손-번스타인 국소화이다. 이는 깃발다양체 ''G''/''B'' 위의 ''D''-가군을 리 대수

\mathfrak g

의 환원군 ''G''의 표현과 관련시킨다. ''D''-가군은 기하적 랭글랜즈 프로그램의 공식화에도 매우 중요하다.

5. 4. 기하학적 랭글랜즈 프로그램

''D''-가군은 기하적 랭글랜즈 프로그램의 공식화에 매우 중요하다.

6. 관련 인물

모치즈키 타쿠로

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