힐베르트 다항식

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1. 개요

힐베르트 다항식은 체 K에 대한 유한 생성 등급 가환 대수 S의 차원 dimK Sn을 정수 n에 대응시키는 힐베르트 함수 HF_S가 특정 차수 이상에서 다항식과 일치할 때 이 다항식을 의미한다. 힐베르트 다항식은 대수기하학에서 사영 대수다양체의 기하학적 성질을 나타내며, 베주 정리, 리만-로흐 문제, 힐베르트-사뮈엘 함수 등 다양한 분야에 응용된다. 힐베르트 다항식은 힐베르트 급수와 밀접한 관련이 있으며, 등급 자유 분해, 코히어런트 층 등과 같은 일반화된 개념으로 확장될 수 있다.

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힐베르트 다항식
정의
유형	다항식
분야	가환대수학, 대수기하학
상세 정보
관련 개념	힐베르트 함수, 힐베르트 다양체, 힐베르트-사무엘 다항식
수학적 성질
정의 대상	필터링된 모듈, 등급 모듈
값	정수
같이 보기
관련 항목	힐베르트 급수

2. 정의

체 ''K'' 위의 유한 생성 등급 가환 대수 $S = \bigoplus_{i \ge 0} S_i$ 를 생각하자. 여기서 $S_0 = K$ 이고, ''S''는 양의 차수를 가진 원소에 의해 유한하게 생성된다.

힐베르트 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $HF_S : n\longmapsto \dim_K S_n$

즉, 정수 ''n''을 ''K''-벡터 공간 $S_n$ 의 차원으로 대응시킨다.

힐베르트 다항식은 충분히 큰 ''n''에 대해 힐베르트 함수와 같은 값을 갖는 유리 계수 다항식 $HP_S(n)$ 으로 정의된다. 힐베르트 다항식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $HP_S(n)= \frac{P(1)}{(\delta-1)!}n^{\delta-1} + \text{ (''n''에 대한 더 낮은 차수의 항들)}$

$n \ge n_0$ 에 대해 $HP_S(n) = HF_S(n)$ 을 만족하는 최소 $n_0$ 을 힐베르트 규칙성이라고 한다.

차원은 정수이므로 힐베르트 다항식은 정수값 다항식이지만, 정수 계수를 갖는 경우는 드물다.^[3]

여과된 대수의 힐베르트 함수, 힐베르트 급수, 힐베르트 다항식은 연관된 등급 대수의 것으로 정의된다.

사영 대수다양체의 힐베르트 다항식은 동차 좌표환의 힐베르트 다항식으로 정의된다.

2. 1. 힐베르트 급수와 힐베르트 함수

체

K

위의 등급 벡터 공간

S

가 각 등급의 차원이 유한하다고 할 때,

S

의 '''힐베르트 급수'''(Hilbert級數, Hilbert series^영어) 또는 '''힐베르트-푸앵카레 급수'''(Hilbert-Poincaré級數, Hilbert–Poincaré series^영어)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

:

\operatorname{HS}_S(t)=\sum_{i\in\mathbb N}(\dim_KS_i)t^i\in\mathbb Zt

S

의 '''힐베르트 함수'''(Hilbert函數, Hilbert function^영어)는 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.^[2]^[3]

:

\operatorname{HF}_S\colon\mathbb N\to\mathbb N

:

\operatorname{HF}_S\colon i\mapsto\dim_KS_i

힐베르트 함수는 정수

n

을

K

-벡터 공간

S_n

의 차원으로 매핑한다. 힐베르트 급수는 등급이 매겨진 벡터 공간의 보다 일반적인 설정에서 힐베르트-푸앵카레 급수라고 하며, 다음과 같은 형식적 급수이다.

:

HS_S(t)=\sum_{n=0}^{\infty} HF_S(n)t^n.

S

가

d_1, \ldots, d_h

의 양의 차수를 가진

h

개의 동차 원소에 의해 생성되는 경우, 힐베르트 급수의 합은 다음과 같은 유리 분수이다.

:

HS_S(t)=\frac{Q(t)}{\prod_{i=1}^h \left (1-t^{d_i} \right )},

여기서

Q

는 정수 계수를 가진 다항식이다.

S

가 차수 1의 원소에 의해 생성되는 경우 힐베르트 급수의 합은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

HS_S(t)=\frac{P(t)}{(1-t)^\delta},

여기서

P

는 정수 계수를 가진 다항식이고

\delta

는

S

의 크룰 차원이다.

이 경우 이 유리 분수의 급수 전개는 다음과 같다.

:

HS_S(t)=P(t) \left(1+\delta t+\cdots +\binom{n+\delta-1}{\delta-1} t^n+\cdots\right)

여기서

:

\binom{n+\delta-1}{\delta-1} = \frac{(n+\delta-1)(n+\delta-2)\cdots (n+1)}{(\delta-1)!}

는

n>-\delta,

에 대한 이항 계수이며, 그렇지 않으면 0이다.

만약

:

P(t)=\sum_{i=0}^d a_it^i,

이면,

HS_S(t)

에서

t^n

의 계수는 다음과 같다.

:

HF_S(n)= \sum_{i=0}^d a_i \binom{n -i+\delta-1}{\delta-1}.

2. 2. 힐베르트 다항식

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식

\operatorname{HP}_S(t)\in\mathbb Q[t]

및 자연수

r\in\mathbb N

가 존재한다면, 이를

S

의 '''힐베르트 다항식'''이라고 한다.^[2]^[3]

:

\operatorname{HP}_S(i)=\operatorname{HF}_S(i)\forall i\ge r

위 조건을 만족시키는 최소의

r

를

S

의 '''힐베르트 정칙성'''(Hilbert正則性, Hilbert regularity^영어)이라고 한다.

힐베르트 함수는 충분히 큰

n

에 대해 힐베르트 다항식

HP_S(n)

과 일치한다. 힐베르트 다항식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

HP_S(n)= \frac{P(1)}{(\delta-1)!}n^{\delta-1} + \text{ terms of lower degree in } n.

n\ge n_0

에 대해

HP_S(n)=HF_S(n)

을 만족하는 최소

n_0

은 '''힐베르트 규칙성'''이라고 하며, 이는

\deg P-\delta+1

보다 작을 수 있다.

힐베르트 다항식은 수치 다항식이지만, 정수 계수를 갖는 경우는 드물다.^[3]

사영 대수다양체의 힐베르트 다항식은 동차 좌표환의 힐베르트 다항식으로 정의된다.

3. 성질

힐베르트 급수와 힐베르트 다항식은 완전 순서열에 대해 가산적이다. 즉, 등급 또는 여과된 가군들의 완전 순서열

: $0 \;\rightarrow\; A\;\rightarrow\; B\;\rightarrow\; C \;\rightarrow\; 0$

이 주어지면, 다음이 성립한다.

: $HS_B=HS_A+HS_C$

: $HP_B=HP_A+HP_C$

이것은 벡터 공간의 차원에 대한 동일한 성질로부터 바로 유도된다.

A^영어가 등급 대수이고, f^영어가 A^영어에서 차수 d^영어의 균일 원소이며 영인자가 아니라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

: $HS_{A/(f)}(t)=(1-t^d)\,HS_A(t)\,.$

이는 다음과 같은 완전열에 대한 가산성으로부터 유도된다.

: $0 \;\rightarrow\; A^{[d]}\; \xrightarrow{f}\; A \;\rightarrow\; A/f\rightarrow\; 0\,,$

여기서 f^영어로 표시된 화살표는 f^영어의 곱셈을 나타내며, $A^{[d]}$ 는 차수를 d^영어만큼 이동하여 A^영어로부터 얻어지는 등급 모듈이며, f^영어의 곱셈은 차수가 0이 되도록 한다.^[2]

3. 1. 가법성

짧은 완전열에 대하여 힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 가법적이다. 즉, 체

K

위의 유한 생성 등급 가환 결합 대수

A

,

B

,

C

가 주어졌고, 이들이 등급

K

-가군의 짧은 완전열

:

0\to A\to B\to C\to0

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{HS}_A(t)+\operatorname{HS}_C(t)=\operatorname{HS}_B(t)

:

\operatorname{HP}_A(t)+\operatorname{HP}_C(t)=\operatorname{HP}_B(t)

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

힐베르트 급수와 힐베르트 다항식은 완전 순서열에 대해서도 가산적이다. 보다 정확히 말하면,

:

0 \;\rightarrow\; A\;\rightarrow\; B\;\rightarrow\; C \;\rightarrow\; 0

이 등급 또는 여과된 가군들의 완전 순서열이면, 다음이 성립한다.

:

HS_B=HS_A+HS_C

:

HP_B=HP_A+HP_C

이것은 벡터 공간의 차원에 대한 동일한 성질로부터 즉시 파생된다.

A^영어가 등급 대수이고, f^영어가 A^영어에서 차수 d^영어의 균일 원소이며 영인자가 아니라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

:

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^d)\,HS_A(t)\,.

이는 다음과 같은 완전열에 대한 가산성으로부터 유도된다.

:

0 \;\rightarrow\; A^{[d]}\; \xrightarrow{f}\; A \;\rightarrow\; A/f\rightarrow\; 0\,,

여기서 f^영어로 표시된 화살표는 f^영어의 곱셈을 나타내며,

A^{[d]}

는 차수를 d^영어만큼 이동하여 A^영어로부터 얻어지는 등급 모듈이며, f^영어의 곱셈은 차수가 0이 되도록 한다. 이는

HS_{A^{[d]}}(t)=t^d\,HS_A(t)\,.

임을 의미한다.

3. 2. 힐베르트-세르 정리

S

가 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수일 때, '''힐베르트-세르 정리'''(Hilbert–Serre theorem^영어)에 따르면,

S

는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.^[2]^[3]

생성원들이

s_1,\dots,s_h\in S_1

라고 하면, 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 갖는다. 여기서

P_S(t)

는 양의 정수 계수의 다항식이다.

:

\operatorname{HS}_S(t)=P_S(t)\prod_{k=1}^h(1-t^{\deg s_i})^{-1}

:

P_S=\sum_{i=0}^{\deg P_S}P_it^i\in\mathbb Z[t]

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

:

\operatorname{HS}_S(t)=\frac{P_S(t)}{(1-t)^h}=P_S(t)\sum_{i=0}^\infty\binom{i+h-1}{h-1}t^i

따라서,

:

\operatorname{HF}_S(i)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j\binom{i-j+h-1}{h-1}

이다. 이는

i

에 대한 다항식이므로,

:

\operatorname{HP}_S(t)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j\frac{(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots(t-j)}{(h-1)!}\in\mathbb Q[t]

로 놓으면

:

\operatorname{HF}_S(i)=\operatorname{HP}_S(i)\quad\forall i\ge\deg P_S+1-h

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은

\deg P_S+1-h

이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

차수 1의 동차 원소에 의해 생성된 등급 대수는 차원 0을 갖는다. 즉, 차수 1의 동차 원소에 의해 생성된 아이디얼이 멱영 아이디얼인 경우이다. 이는

K

- 벡터 공간으로서의

A

의 차원이 유한하고

A

의 힐베르트 급수가

P(t)

인 다항식이며,

P(1)

이

A

의

K

- 벡터 공간으로서의 차원과 같다는 것을 의미한다.

A

의 크룰 차원이 양수이면, 영인자가 아닌 차수 1의 동차 원소

f

가 존재한다(사실, 차수 1의 거의 모든 원소는 이러한 속성을 갖는다).

A/(f)

의 크룰 차원은

A

의 크룰 차원에서 1을 뺀 것이다.

힐베르트 급수의 가법성에 의해

HS_{A/(f)}(t)=(1-t)HS_A(t)

가 성립한다.

A

의 크룰 차원과 같은 횟수만큼 이 과정을 반복하면 결국 힐베르트 급수가 다항식

P(t)

인 차원 0의 대수를 얻게 된다. 이는

A

의 힐베르트 급수가 다음과 같다는 것을 보여준다.

:

HS_A(t)=\frac{P(t)}{(1-t)^d}

여기서 다항식

P(t)

는

P(1) \ne 0

이고,

d

는

A

의 크룰 차원이다.

힐베르트 급수에 대한 이 공식은 힐베르트 다항식의 차수가

d

이고 최고차항의 계수가

\frac{P(1)}{d!}

임을 의미한다.

3. 3. 영인자로 나눈 몫

graded algebra|등급 대수^영어에서 영인자가 아닌 차수 의 균일 원소 에 대해, 다음이 성립한다.

:

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^d)\,HS_A(t)\,.

이는 다음과 같은 완전열에 대한 가산성으로부터 유도된다.

:

0 \;\rightarrow\; A^{[d]}\; \xrightarrow{f}\; A \;\rightarrow\; A/f\rightarrow\; 0\,,

여기서 로 표시된 화살표는 의 곱셈을 나타내며,

A^{[d]}

는 차수를 만큼 이동하여 로부터 얻어지는 등급 모듈이며, 의 곱셈은 차수가 0이 되도록 한다. 이는

HS_{A^{[d]}}(t)=t^d\,HS_A(t)\,.

임을 의미한다.

3. 4. 크룰 차원과의 관계

의 크룰 차원이 양수이면, 영인자가 아닌 차수 1의 동차 원소 가 존재한다(사실, 차수 1의 거의 모든 원소는 이러한 속성을 갖는다). 의 크룰 차원은 의 크룰 차원에서 1을 뺀 것이다.

힐베르트 급수의 가법성에 의해

HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_A(t)

가 성립한다. 의 크룰 차원과 같은 횟수만큼 이 과정을 반복하면 결국 힐베르트 급수가 다항식 인 차원 0의 대수를 얻게 된다. 이는 의 힐베르트 급수가 다음과 같다는 것을 보여준다.

:

HS_A(t)=\frac{P(t)}{(1-t)^d}

여기서 다항식 는 이고, 는 의 크룰 차원이다.

힐베르트 급수에 대한 이 공식은 힐베르트 다항식의 차수가 이고 최고차항의 계수가

\frac{P(1)}{d!}

임을 의미한다.

4. 응용

대수기하학에서 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

힐베르트 급수는 대수적 다양체의 차수를 계산하고, 베주 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 사영 대수적 집합의 차수는 힐베르트 급수의 분자를 $P(t)$ 라 할 때, $P(1)$ 의 값으로 계산할 수 있다.^[1]

만약 $f$ 가 $R$ 에서 영인자가 아닌 차수 $\delta$ 의 동차 다항식이면, 다음 완전 수열을 통해 베주 정리를 일반화할 수 있다.^[1]

: $0 \longrightarrow R^{[\delta]} \stackrel{f}{\longrightarrow} R \longrightarrow R/\langle f \rangle \longrightarrow 0,$

이는 다음을 보여준다.^[1]

: $HS_{R/\langle f \rangle}(t) = \left(1 - t^\delta\right)HS_R(t).$

위 내용을 통해 베주 정리를 다음과 같이 일반화하여 표현할 수 있다.^[1]

'''정리''' - 만약 $f$ 가 $R$ 에서 영인자가 아닌 차수 $\delta$ 의 동차 다항식이면, $V$ 와 $f$ 로 정의된 초곡면의 교차점 차수는 $V$ 의 차수에 $\delta$ 를 곱한 값이다.^[1]

좀 더 기하학적인 형태로 베주 정리를 표현하면 다음과 같다.^[1]

'''정리''' - 차수가 $d$ 인 사영 초곡면이 차수가 $\delta$ 인 대수적 집합의 어떤 기약 성분도 포함하지 않으면, 이들의 교차점 차수는 $d\delta$ 이다.^[1]

일반적인 베주 정리는 초곡면에서 시작하여, 차례로

n-1

개의 다른 초곡면과 교차시켜 쉽게 유도할 수 있다.^[1]

사영 대수 집합은 정의 아이디얼이 정칙 수열에 의해 생성되면 완전 교차이다. 이 경우 힐베르트 급수에 대한 간단하고 명시적인 공식이 있다.

뇌터 가환 국소환

(R,\mathfrak m)

의 유한 생성 가군

M

및

R

의 으뜸 아이디얼

\mathfrak q

가 주어졌을 때, '''힐베르트-사뮈엘 함수'''(Hilbert–Samuel function^영어)를 정의할 수 있고, 이 함수의 힐베르트 다항식을 '''힐베르트-사뮈엘 다항식'''(Hilbert–Samuel polynomial^영어)이라고 한다.^[2]

4. 1. 사영 대수다양체

대수적으로 닫힌 체

K

위의

n

차원 사영 공간

\mathbb P^n_k

에서, 사영 대수다양체

X

는 동차 아이디얼

I

에 의해 정의된다. 이때,

X

의 동차 좌표환

K[x_0, x_1, \dots, x_n]/I

의 힐베르트 다항식

\operatorname{HP}_X

는 다음과 같은 기하학적 성질을 갖는다.^[3]

$\operatorname{HP}_X$ 의 차수는 $X$ 의 차원과 같다.
$\operatorname{HP}_X$ 의 최고차항 계수는 $X$ 의 차수와 $X$ 차원의 계승의 비이다. 즉, $\operatorname{HP}_X(d)=\frac{\deg X}{(\dim X)!}d^{\dim X}+\mathcal O(d^{\dim X-1})$ 이다.

힐베르트 급수는 힐베르트 급수의 분자의 1에서의 값으로 대수적 다양체 차수를 계산할 수 있게 해주며, 이를 통해 베주 정리를 증명할 수 있다.

사영 대수적 집합의 차수와 힐베르트 급수 사이의 관계를 설명하기 위해, 체

k

와 동차 아이디얼의 영점 집합으로 정의된 사영 대수적 집합

V

,

I\subset k[x_0, x_1, \ldots, x_n]

를 생각하고,

R=k[x_0, \ldots, x_n]/I

를 대수적 집합

V

의 정칙 함수의 환으로 정의한다.

V

의 차원

d

는

R

의 크룰 차원에서 1을 뺀 값과 같고,

V

의 차수는 일반 위치에 있는

d

개의 초평면과

V

의 교차점의 곱셈을 고려한 점의 개수이다. 이는

R

내에 차수가 1인

d+1

개의 동차 다항식

h_0, \ldots, h_{d}

의 정칙 수열이 존재함을 의미한다.

만약

f

가

R

에서 영인자가 아닌 차수

\delta

의 동차 다항식이면,

V

와

f

로 정의된 초곡면의 교차점의 차수는

V

의 차수에

\delta

를 곱한 값이다. 이는 베주 정리의 일반화된 형태이다.

4. 2. 리만-로흐 문제

대수적으로 닫힌 체

K

위의 비특이 대수다양체

X

위에 선다발

\mathcal L

이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

:

\chi(\mathcal L^{\otimes n})=\int_X\exp(c_1(\mathcal L^{\otimes n})\operatorname{Td}(X)=\int_X\sum_{i=1}^{\dim X}\frac{n^i}{i!}c_1(\mathcal L)\operatorname{Td}(X)=P(n)\in\mathbb Q[n]

이며,

P(n)

은 차수

\dim X

의 유리수 계수 다항식이다. 만약

\mathcal L

이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰

n

에 대하여

H^i(X,\mathcal L^{\otimes n})=0\forall i>0

이며, 또한 사영 공간으로의 매장

:

\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^k

:

\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L

이 존재한다.

P(n)

은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.^[3]

:

\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n

:

\dim\Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n}=\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n\gg1

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은

X

의 오일러 지표가 된다.

:

\chi(X)=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(0)

보다 일반적으로, 만약

\mathcal L

이 풍부한 선다발이라면, 여전히

\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})

은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

4. 3. 힐베르트-사뮈엘 함수

뇌터 가환 국소환

(R,\mathfrak m)

의 유한 생성 가군

M

및

R

의 으뜸 아이디얼

\mathfrak q

가 주어졌을 때, 등급

R

-가군

:

\bigoplus_{i=0}^\infty\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M

을 정의한다. (여기서

\mathfrak m^0=R

로 정의한다.) 이 경우,

R

-가군을 가군의 길이로 측정한다면, '''힐베르트-사뮈엘 함수'''(Hilbert–Samuel function^영어)

:

\operatorname{HF}_M^{\mathfrak q}(i)=\operatorname{length}\left(\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M\right)

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 '''힐베르트-사뮈엘 다항식'''(Hilbert–Samuel polynomial^영어)이라고 한다.^[2]

힐베르트-사뮈엘 다항식

\operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)

의 차수는

M

의 크룰 차원보다 1만큼 작다.^[2]

:

\deg \operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)=\dim M-1

4. 4. 베주 정리

힐베르트 급수는 대수적 다양체의 차수를 계산하고, 베주 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

사영 대수적 집합의 차수는 힐베르트 급수의 분자를 라 할 때, 의 값으로 계산할 수 있다.^[1] 여기서

R = k[x_0, \ldots, x_n]/I

는 대수적 집합의 정칙 함수의 환이고,

I \subset k[x_0, x_1, \ldots, x_n]

은 동차 아이디얼의 영점 집합이다.^[1]

만약

f

가

R

에서 영인자가 아닌 차수

\delta

의 동차 다항식이면, 다음 완전 수열을 통해 베주 정리를 일반화할 수 있다.^[1]

:

0 \longrightarrow R^{[\delta]} \stackrel{f}{\longrightarrow} R \longrightarrow R/\langle f \rangle \longrightarrow 0,

이는 다음을 보여준다.^[1]

:

HS_{R/\langle f \rangle}(t) = \left(1 - t^\delta\right)HS_R(t).

위 내용을 통해 베주 정리를 다음과 같이 일반화하여 표현할 수 있다.^[1]

'''정리''' - 만약 $f$ 가 $R$ 에서 영인자가 아닌 차수 $\delta$ 의 동차 다항식이면, $V$ 와 $f$ 로 정의된 초곡면의 교차점 차수는 $V$ 의 차수에 $\delta$ 를 곱한 값이다.^[1]

좀 더 기하학적인 형태로 베주 정리를 표현하면 다음과 같다.^[1]

'''정리''' - 차수가 $d$ 인 사영 초곡면이 차수가 $\delta$ 인 대수적 집합의 어떤 기약 성분도 포함하지 않으면, 이들의 교차점 차수는 $d\delta$ 이다.^[1]

일반적인 베주 정리는 초곡면에서 시작하여, 차례로

n-1

개의 다른 초곡면과 교차시켜 쉽게 유도할 수 있다.^[1]

4. 5. 완전 교차

사영 대수 집합은 정의 아이디얼이 정칙 수열에 의해 생성되면 완전 교차이다. 이 경우 힐베르트 급수에 대한 간단하고 명시적인 공식이 있다.

R=K[x_1, \ldots, x_n]

에서 각각의 차수가

\delta_1, \ldots, \delta_k

인 k개의 동차 다항식

f_1, \ldots, f_k

가 있다고 하자.

R_i=R/\langle f_1, \ldots, f_i\rangle

로 설정하면 다음의 완전 수열을 얻는다.

:

0 \;\rightarrow\; R_{i-1}^{[\delta_i]}\; \xrightarrow{f_i}\; R_{i-1} \;\rightarrow\; R_i\; \rightarrow\; 0\,.

힐베르트 급수의 가법성에 의해 다음을 얻는다.

:

HS_{R_i}(t)=(1-t^{\delta_i})HS_{R_{i-1}}(t)\,.

간단한 재귀를 통해 다음을 얻는다.

:

HS_{R_k}(t)=\frac{(1-t^{\delta_1})\cdots (1-t^{\delta_k})}{(1-t)^n}= \frac{(1+t+\cdots+t^{\delta_1-1})\cdots (1+t+\cdots+t^{\delta_k-1})}{(1-t)^{n-k}}\,.

이는 k개의 다항식의 정칙 수열에 의해 정의된 완전 교차가 k의 코차원을 가지며, 그 차수는 수열 내 다항식 차수의 곱임을 보여준다.

5. 예시

x|x^영어를 제1차 동차 변수로 하는 ''k''+1 변수 다항식환 ''S'' = ''K''[''x''₀, ''x''₁, …, ''x''_k]의 힐베르트 다항식 ''H''_''S''(''t'')는 이항 계수

: $H_S(t) = \frac{(t+1)\ldots(t+k)}{k!}$

이다.

''M''이 유한 차원 등급 가군이면, 충분히 큰 차수의 동차 성분은 모두 0이 되므로, ''M''의 힐베르트 다항식은 항등적으로 0이 된다.

5. 1. 사영 공간

다항식환

:

R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.^[3]

:

\dim_KR_d=\binom{n+d}n=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)

따라서, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

:

\operatorname{HP}_R(d)=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)=\frac1{n!}d^n+\cdots

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는

n

차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

n

개의 변수로 이루어진 다항식 환

R_n=K[x_1, \ldots, x_n]

의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

:

HP_{R_n}(k) = \frac{(k+1)\cdots(k+n-1)}{(n-1)!}\,.

5. 2. 여차원 1의 초곡면

다항식환

:

R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]

속에서,

k

차 동차다항식

f\in R_k

로 생성되는 동차 아이디얼

(f)

에 대한 몫등급환

R/(f)

의 힐베르트 함수는 짧은 완전열

:

0\to R(-k)\xrightarrow{\cdot f}R\to R/(f)\to 0

으로 인하여 다음과 같이 계산할 수 있다.^[3]

:

\operatorname{HP}(d)=\dim_K(R/(f))_d=\dim_KR_d-\dim_KR_{d-k}=\binom{n+d}n-\binom{n+d-k}n=\frac k{(n-1)!}d^{n-1}+\mathcal O(d^{n-2})

이를 대수기하학적으로 해석하면

k

차 동차다항식의 영점 집합은

n

차원 사영 공간 속에서

n-1

차원

k

차 사영 대수다양체를 정의한다.

5. 3. 대수 곡선

종수

g

의 비특이 대수 곡선

C

위에 매우 풍부한 선다발

\mathcal L

을 통하여,

C

를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

:

\iota\colon C\hookrightarrow\mathbb P^n

:

\mathcal L=\iota^*\mathcal O(1)

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

:

\operatorname{HF}_C(t)=(\deg\mathcal L)t+(g-1)

여기서

\deg\mathcal L

은

\mathcal L

을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

5. 4. 대수 곡면

산술 종수

p_{\text{a}}=\chi(X;\mathcal O_X)-1

인 대수 곡면

X

위에, 매우 풍부한 선다발

\mathcal L

이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가

D

라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

:

\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^{\dim\Gamma(X,\mathcal L)-1}

:

\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

:

\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)=\chi(X;\mathcal L^{\otimes n})=\frac12n^2D.D-\frac12nD.K+p_{\text{a}}(X)+1

여기서

K_X

는

X

의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수

D.D

이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는

\iota^*\mathcal O(1)

과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

6. 일반화

환 S가 차수 1의 성분으로 생성되지 않는 경우에도 S 위의 유한 생성 가군 M의 힐베르트 함수는 여전히 정의될 수 있지만, 더 이상 다항식이라고는 할 수 없다. M의 힐베르트-푸앵카레 급수는 M의 차수화된 성분의 차원의 모함수로 정의된다. M이 좋은 성질을 가지면 힐베르트-푸앵카레 급수는 유리함수가 된다.^[1]

6. 1. 코히어런트 층

대수기하학에서, 차수가 1인 원소로 생성되는 등급환은 Proj 구성을 통해 사영 스킴을 생성하며, 유한 생성 등급 가군은 코히어런 층에 해당한다. 만약

\mathcal{F}

가 사영 스킴 ''X'' 위의 코히어런 층이라면,

\mathcal{F}

의 힐베르트 다항식은 함수

p_{\mathcal{F}}(m) = \chi(X, \mathcal{F}(m))

로 정의된다. 여기서 ''χ''는 코히어런 층의 오일러 지표이고,

\mathcal{F}(m)

는 세르 꼬임이다. 이 경우 오일러 지표는 그로텐디크의 유한성 정리에 의해 잘 정의된 숫자이다.

이 함수는 실제로 다항식이다.^[1] 큰 ''m''에 대해, 이는 세르의 소멸 정리에 의해 dim

H^0(X, \mathcal{F}(m))

과 일치한다. 만약 ''M''이 유한 생성 등급 가군이고

\tilde{M}

이 연관된 코히어런 층이라면, 힐베르트 다항식의 두 정의는 일치한다.

6. 2. 등급 자유 분해

정칙환 ''R'' 위의 모든 등급 가군 ''M''은 힐베르트 시지기 정리에 의해 등급 자유 분해를 갖는다. 이는 다음과 같은 완전열이 존재함을 의미한다.^[1]

:

0 \to L_k \to \cdots \to L_1 \to M \to 0,

여기서

L_i

는 등급 자유 가군이고, 화살표는 차수 0의 등급 선형 사상이다.

힐베르트 급수의 가법성에 의해 다음이 성립한다.

:

HS_M(t) =\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1}HS_{L_i}(t).

만약

R=k[x_1, \ldots, x_n]

이 다항식 환이고,

L_i

의 기저 원소의 차수를 알고 있다면, 앞 절의 공식들을 사용하여

HS_R(t) = 1/(1-t)^n

으로부터

HS_M(t)

를 계산할 수 있다.

이러한 공식들은 힐베르트 급수를 계산하는 방법으로 볼 수 있다. 그러나 실제로는 힐베르트 급수 계산과 자유 분해 계산이 동일한 그뢰브너 기저에서 시작하며, 힐베르트 급수는 자유 분해 계산 복잡도보다 높지 않은 계산 복잡도로 직접 계산될 수 있기 때문에, 이러한 방식으로 힐베르트 급수를 계산하는 경우는 드물다.

대수기하학에서, 차수 1의 원소로 생성된 등급 환은 Proj 구성을 통해 사영 스킴을 생성하며, 유한 생성 등급 가군은 코히어런 층에 해당한다. 사영 스킴 ''X'' 위의 코히어런 층

\mathcal{F}

의 힐베르트 다항식은 함수

p_{\mathcal{F}}(m) = \chi(X, \mathcal{F}(m))

로 정의된다. 여기서 ''χ''는 코히어런 층의 오일러 지표이고,

\mathcal{F}(m)

는 세르 꼬임이다. 이 경우 오일러 지표는 그로텐디크의 유한성 정리에 의해 잘 정의된 숫자이다.

이 함수는 실제로 다항식이다.^[1]

유한 생성 등급 가군 ''M''과 연관된 코히어런 층

\tilde{M}

의 힐베르트 다항식은 서로 일치한다.

사영다양체

X

위의 가환층 범주는 유한 개의 차수 부분을 제외하면 차수 가환 가군 범주와 동치이므로, 이전 절의 결과를 사용하여 가환층의 힐베르트 다항식을 구성할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Foundations of Algebraic Geometry http://math.stanford[...]
_[2] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995
_[3] 서적 Algebraic geometry Springer 1977

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