F이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. F이론과 ⅡB 초끈 이론의 관계
3. 성질
- 3.1. М이론과의 관계
- 3.2. ⅡB 초끈 이론과의 관계
4. 축소화
5. 현상론
6. 역사
참조

1. 개요

F이론은 12차원 이론으로, 10차원의 IIB형 끈 이론을 2차원 토러스로 축소화하여 얻을 수 있다. 이 이론은 IIB형 끈 이론의 S-이중성을 기하학적으로 나타내며, 다양한 칼라비-야우 다양체로 축소화하여 다른 끈 이론들과의 관계를 설명한다. 특히, F이론은 M이론, IIB형 끈 이론과의 관계를 통해 끈 이론의 다양한 측면을 연결하며, 끈 이론 풍경의 상당 부분을 차지한다. F이론은 캄란 바파에 의해 1996년에 처음 소개되었으며, 현재 입자 물리학의 표준 모형과 일치하는 모형 개발에 활용되고 있다.

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F이론

2. 정의

10차원의 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 가지는데, 이는 12차원의 F이론을 원환면 ( $\mathbb T^2$ )에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이 $\tau$ 는 라몽-라몽 장 (액시온) $C_0$ 와 딜라톤 $\Phi$ 의 합, 즉 '''액시오딜라톤'''으로 해석된다. F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다.

보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 모듈라이 공간( $\mathbb C/SL(2,\mathbb Z)$ )의 다발 구조를 갖춘 칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올(singular fibre^영어)은 D7-막의 존재를 나타낸다.

F이론은 형식적으로 12차원 이론이지만, 허용 가능한 배경을 얻는 유일한 방법은 이 이론을 축소화하여 2-토러스로 만드는 것이다. 그렇게 함으로써 10차원에서 ⅡB종 끈 이론을 얻는다.

더 일반적으로, F이론을 섬유가 2차원 토러스(타원 곡선)인 섬유 다발인 타원 섬유화된 다양체로 축소화할 수 있다. 예를 들어, K3 다양체의 하위 클래스는 타원 섬유화되어 있으며, K3 다양체에서의 F이론은 2-토러스에서의 이종 끈 이론과 쌍대적이다.

$10^{272,000}$ 개 정도의 원소를 가진 끈 이론 풍경이라고 하는 끈 이론에 대한 수많은 반현실적인 해는 칼라비-야우 4-겹에서의 F이론 축소화가 지배적이다.^[3] 입자 물리학의 표준 모형과 일치하는 그러한 해는 약 $10^{15}$ 개 정도이다.^[4]

2. 1. F이론과 ⅡB 초끈 이론의 관계

10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 갖는다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 원환면에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이

\tau

를 라몽-라몽 장 (액시온)

C_0

와 딜라톤

\Phi

의 합

:

\tau=C_0+\mathrm i\exp(-\Phi)

으로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 '''액시오딜라톤'''(axiodilaton^영어)이라고 한다. 그러나 원환면의 크기를 나타내는 켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다.

F이론	ⅡB 초끈 이론
타원 곡선 올의 올뭉치 $\Sigma\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M$ 위의 축소화	다양한 액시온·딜라톤·D7-막이 존재하는 $M$ 위의 비섭동적 축소화
타원 곡선의 복소수 모듈라이 $\tau\in\mathbb C,\;\operatorname{Im}\tau>0$	액시오딜라톤 $C_0 + \mathrm i\exp(-\Phi)$
타원 곡선 올의 SL(2;ℤ) 모듈러 변환	SL(2;ℤ) S-이중성
타원 곡선 올이 퇴화하는 복소수 3차원 부분 다양체	D7-막 및 일반적 $(p,q)$ 7-막

3. 성질

F이론을 원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻을 수 있으며, ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성은 원환면의 사상류군에 대응한다.

4차원 $\mathcal N=1$ 초대칭 이론을 얻으려면, ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하거나, F이론을 복소수 4차원 칼라비-야우 다양체 위에 축소화하면 된다. 이는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체보다 일반적인 공간에 축소화하는 것으로 해석할 수 있으며, 4차원에서 E₈ 등의 게이지 군을 만들 수 있게 한다.

F이론은 형식적으로 12차원 이론이지만, 허용 가능한 배경을 얻으려면 이 이론을 2-토러스로 축소화해야 한다. 이를 통해 10차원에서 IIB형 끈 이론을 얻는다. 결과로 나타나는 IIB형 끈 이론의 SL(2,Z) S-이중성 대칭은 2차원 토러스의 대규모 미분동형사상 그룹으로 나타나므로 명백하다.

일반적으로 F이론은 섬유가 2차원 토러스(또는 타원 곡선)인 섬유 다발인 타원 섬유화된 다양체(타원 섬유화)로 축소화할 수 있다. K3 다양체의 하위 클래스는 타원 섬유화되어 있으며, K3 다양체에서의 F이론은 2-토러스에서의 이종 끈 이론과 쌍대적이다. 이 이론들의 모듈 공간은 동형이어야 한다.

끈 이론 풍경은 $10^{272,000}$ 개 정도의 원소를 가지는 끈 이론에 대한 수많은 반현실적인 해를 포함하며, 칼라비-야우 4-겹에서의 F이론 축소화가 지배적이다.^[3] 입자 물리학의 표준 모형과 일치하는 해는 약 $10^{15}$ 개 정도이다.^[4]

3. 1. М이론과의 관계

ⅡB 초끈 이론은 M이론을 원환면 위에 축소화하고, T-이중성을 가한 후, 원환면의 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하여 얻을 수 있다. F이론은 M이론을 칼라비-야우 다양체에 축소화하고, 타원 곡선 올뭉치의 타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 채 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하여 얻을 수 있다. ⅡA 초끈 이론의 D6-막은 M이론의 KK 들뜬 상태이며, T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의 D7-막이 된다.^[3]

3. 2. ⅡB 초끈 이론과의 관계

ⅡB 초끈 이론의 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 끈 결합 상수가 작지 않은, 복소수 여차원 1(실수 여차원 2)의 자취는 ⅡB 초끈 이론의 D7-막에 해당하며, 이를 '''센 극한'''이라고 한다.^[7]

리만 구 위의 축소화에서, D7-막은 모듈러 판별식이 0인 곳, 즉 24개의 점에 해당한다. O7-평면은 센 극한에서

b_2=0

인 곳에 해당한다.^[7]

4. 축소화

F이론은 형식적으로 12차원 이론이지만, 허용 가능한 배경을 얻는 유일한 방법은 이 이론을 축소화하여 2-토러스로 만드는 것이다. 그렇게 하면 10차원에서 IIB형 끈 이론 초끈 이론을 얻는다. 결과로 얻는 IIB형 끈 이론의 SL(2,Z) S-이중성 대칭은 2차원 토러스의 대규모 미분동형사상 그룹으로 나타나기 때문에 명백하다.

더 일반적으로, F이론을 타원 섬유화된 다양체(타원 섬유화), 즉 섬유가 2차원 토러스(또는 타원 곡선)인 섬유 다발로 축소화할 수 있다. 예를 들어, K3 다양체의 하위 클래스는 타원 섬유화되어 있으며, K3 다양체에서의 F이론은 2-토러스에서의 이종 끈 이론과 쌍대적이다. 또한, 이 이론들의 모듈 공간은 동형이어야 한다.

끈 이론 풍경이라고 하는 끈 이론에 대한 수많은 반현실적인 해는 칼라비-야우 4-겹에서의 F이론 축소화가 지배적이다.^[3] 입자 물리학의 표준 모형과 일치하는 그러한 해는 약 $10^{15}$ 개 정도이다.^[4]

5. 현상론

최근 F이론을 사용하여 새로운 대통일 이론 모형이 개발되었다.^[5] F이론은 계량적 부호수가 (10,2)이며, 이는 다중 시간 차원을 포함한다는 것을 의미한다.^[6]

6. 역사

1996년에 캄란 바파가 발표하였다.^[16] ‘F’는 ‘근본적’(fundamental^영어), ‘아버지’(father^영어) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 M이론과 유사하게 명명한 것이다.

참조

_[1] 저널 Evidence for F-theory 1996
_[2] Youtube Michio Kaku: The Universe Is a Symphony of Vibrating Strings – YouTube https://www.youtube.[...]
_[3] 저널 The F-theory geometry with most flux vacua 2015
_[4] arXiv '[1903.00009] A Quadrillion Standard Models from F-theory' https://arxiv.org/ab[...]
_[5] 저널 Particle Physics Implications of F-Theory 2010
_[6] 서적 The Road to Reality Jonathan Cape 2004
_[7] 저널 인용 Basics of F-theory from the Type ⅡB perspective 2010-07
_[8] 서적 인용 String theory and the real world: from particle physics to astrophysics 2008
_[9] 저널 인용 Supercordes, phénoménologie et théorie-F 2010-01-05
_[10] 저널 인용 Lectures on F-theory compactifications and model building 2010-11-07
_[11] 저널 인용 Particle physics implications of F-theory 2010-11
_[12] 저널 인용 ICMP lecture on heterotic/F-theory duality 1998-02
_[13] 저널 인용 Toric methods in F-theory model building 2011
_[14] 저널 인용 Models of particle physics from Type ⅡB string theory and F-theory: a review 2013-03-10
_[15] 저널 인용 F-theory, GUTs and chiral matter 2008-09
_[16] 저널 인용 Evidence for F-theory 1996-06-17

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