가우스 함수

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1. 개요
2. 성질
3. 다차원 가우스 함수
- 3.1. 2차원 가우스 함수
- 3.2. 고차 가우스 함수
4. 이산 가우스 함수
5. 응용
참조

1. 개요

가우스 함수는 이차 함수와 지수 함수의 합성으로 표현되는 함수로, 로그를 취했을 때 아래로 볼록한 이차 함수가 된다. 가우스 함수는 반치전폭(FWHM)과 변곡점을 가지며, 해석 함수이지만 초등함수로 부정적분되지 않고, 그 적분은 오차 함수로 표현된다. 가우스 함수는 정규 분포의 확률 밀도 함수이며, 두 가우스 함수의 곱과 합성곱은 가우스 함수가 된다. 가우스 함수는 푸리에 변환에 대해 불변하며, 광학, 물리학, 화학, 신호 처리, 영상 처리, 인공 신경망, 지리 통계학 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 성질

가우스 함수는 지수 함수와 이차 함수를 합성한 함수로, 그 로그는 아래로 볼록인 이차 함수이다. 매개변수 c는 함수의 반치전폭(FWHM) 및 변곡점과 관련이 있다.^[2]

'''반치전폭(FWHM)''': $\text{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\,c \approx 2.35482\,c$
'''변곡점''': $x = b \pm c$ 에서 두 변곡점을 가진다.
'''극한''': $x \rightarrow \infty$ 일 때 극한은 0으로 수렴한다.
'''부정적분''': 초등함수로 나타낼 수 없으며, 오차 함수로 표현된다.
'''이상 적분''': 실수 전체 구간에서 가우스 함수의 이상 적분 값은 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}

일반적인 형태의 가우스 함수의 이상적분은 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x - b)^2 / (2c^2)} \,dx = ac \cdot \sqrt{2\pi}

2. 1. 기본 형태

이차 함수와 지수 함수를 합성한 함수는 가우스 함수이다.

:

f(x) = \exp(\alpha x^2 + \beta x + \gamma),

:여기서

\alpha = -1/2c^2

,

\beta = b/c^2

,

\gamma = \ln a-(b^2 / 2c^2)

이다. 따라서 가우스 함수는 로그를 취했을 때 아래로 볼록인 이차함수가 되는 함수이다.

매개변수 c는 함수의 반치전폭(FWHM)을 결정하며, FWHM은 다음과 같다.

:

\text{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\,c \approx 2.35482\,c

반치전폭 w가 주어졌을 때 가우스 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

f(x) = a e^{-4 (\ln 2) (x - b)^2 / w^2}

함수의 최댓값의 1/10이 되는 두 독립변수들의 차이인 FWTM은 다음과 같다.

:

\text{FWTM} = 2 \sqrt{2 \ln 10}\,c \approx 4.29193\,c

가우스 함수는

x = b \pm c

에서 두 변곡점을 가진다. 또한 가우스 함수는 해석 함수이며,

x \rightarrow \infty

일 때 극한은 0으로 수렴한다.

가우스 함수는 초등함수이지만 그 부정적분은 초등함수로 나타내는 것이 불가능하며, 가우스 함수의 적분을 '''오차 함수'''라고 한다. 실수 전체 구간에서 가우스 함수의 이상 적분 값은 아래와 같이 계산된다.

:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}

일반적인 경우에 대해서는 아래와 같다.

:

\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x - b)^2 / (2c^2)} \,dx = ac \cdot \sqrt{2\pi}

a = \tfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}

일 때 가우스 함수의 이상 적분 값은 1이 된다. 이 경우 가우스 함수는 기댓값이 μ = b이고 분산이

\sigma^2 = c^2

인 정규 분포의 확률 밀도 함수가 되며, 식은 아래와 같다.

:

g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(\frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right).

위의 그래프에는 각 μ,

\sigma^2

에 대해 정규화된 가우스 함수가 나타나 있다.

두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 합성곱도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.

2. 2. 정규 분포와의 관계

a = \tfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}

일 때, 가우스 함수는 기댓값이

\mu

이고 분산이

\sigma^2

인 정규 분포의 확률 밀도 함수가 되며, 식은 아래와 같다.^[2]

g(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(\frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right).

위의 그래프에는 각

\mu

,

\sigma^2

에 대해 정규화된 가우스 함수가 나타나 있다.

두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 합성곱도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.

2. 3. 푸리에 변환

가우스 함수는 푸리에 변환 (단위, 각진동수 규약)에 대해 불변하는 특성을 가지고 있다. 매개변수가

a

,

b=0

및

c

인 가우스 함수를 푸리에 변환하면, 매개변수가

c

,

b=0

및

1/c

인 또 다른 가우스 함수가 생성된다.^[2] 특히

b=0

및

c = 1

인 가우스 함수는 푸리에 변환에 의해 고정되는데, 이는 고유값이 1인 푸리에 변환의 고유함수이기 때문이다.

0을 중심으로 하는 가우스 함수는 푸리에 불확정성 원리를 최소화한다.

이러한 가우스 함수의 물리적 실현은 회절 패턴이다. 예를 들어, 투과율이 가우스 변화를 갖는 사진 슬라이드는 가우스 함수이기도 하다.

가우스 함수가 연속 푸리에 변환의 고유 함수라는 사실을 통해 푸아송 합 공식에서 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

\sum_{k\in\Z} \exp\left(-\pi \cdot \left(\frac{k}{c}\right)^2\right) = c \cdot \sum_{k\in\Z} \exp\left(-\pi \cdot (kc)^2\right).

2. 4. 적분

가우스 함수의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없지만, 오차 함수를 사용하여 나타낼 수 있다. 실수 전체 구간에서의 이상 적분(가우스 적분)은 다음과 같이 계산된다.

:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}

일반적인 경우에 대해서는 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x - b)^2 / (2c^2)} \,dx = ac \sqrt{2\pi}

a = \tfrac{1}{c\sqrt{2\pi}}

일 때 가우스 함수의 이상 적분 값은 1이 된다.

2. 5. 다른 함수와의 관계

두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이며, 두 가우스 함수의 합성곱도 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.^[2] 가우스 함수의 도함수는 에르미트 함수를 사용하여 나타낼 수 있다.

3. 다차원 가우스 함수

가우스 함수는 다차원으로 확장될 수 있으며, 다변량 정규 분포의 확률 밀도 함수로 사용된다.

n차원 공간에서 가우스 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $f(x) = \exp(-x^\mathsf{T} C x),$

여기서 $x = \begin{bmatrix} x_1 & \cdots & x_n\end{bmatrix}$ 는 n개의 좌표로 이루어진 열 벡터이고, $C$ 는 양의 정부호 $n \times n$ 행렬이며, ${}^\mathsf{T}$ 는 행렬 전치를 나타낸다.

이 가우스 함수의 전체 n차원 공간에 대한 적분은 다음과 같다.

: $\int_{\R^n} \exp(-x^\mathsf{T} C x) \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det C}}.$

이는 행렬 $C$ 를 대각화하고 적분 변수를 $C$ 의 고유벡터로 변경하여 쉽게 계산할 수 있다.

보다 일반적으로, 이동된 가우스 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $f(x) = \exp(-x^\mathsf{T} C x + s^\mathsf{T} x),$

여기서 $s = \begin{bmatrix} s_1 & \cdots & s_n\end{bmatrix}$ 는 이동 벡터이고, 행렬 $C$ 는 대칭행렬( $C^\mathsf{T} = C$ )이면서 양의 정부호라고 가정할 수 있다. 이 함수를 사용한 다음 적분은 동일한 기법으로 계산할 수 있다.

: $\int_{\R^n} e^{-x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T}x} \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det{C}}} \exp\left(\frac{1}{4} v^\mathsf{T} C^{-1} v\right).$

: $\int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T} x} (a^\mathsf{T} x) \, dx = (a^T u) \cdot \sqrt{\frac{\pi^n}{\det{C}}} \exp\left(\frac{1}{4} v^\mathsf{T} C^{-1} v\right), \text{ where } u = \frac{1}{2} C^{-1} v.$

: $\int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C x + v^\mathsf{T} x} (x^\mathsf{T} D x) \, dx = \left( u^\mathsf{T} D u + \frac{1}{2} \operatorname{tr} (D C^{-1}) \right) \cdot \sqrt{\frac{\pi^n}{\det{C}}} \exp\left(\frac{1}{4} v^\mathsf{T} C^{-1} v\right).$

: $\begin{align}& \int_{\mathbb{R}^n} e^{- x^\mathsf{T} C' x + s'^\mathsf{T} x} \left( -\frac{\partial}{\partial x} \Lambda \frac{\partial}{\partial x} \right) e^{-x^\mathsf{T} C x + s^\mathsf{T} x} \, dx \\& \qquad = \left( 2 \operatorname{tr}(C' \Lambda C B^{- 1}) + 4 u^\mathsf{T} C' \Lambda C u - 2 u^\mathsf{T} (C' \Lambda s + C \Lambda s') + s'^\mathsf{T} \Lambda s \right) \cdot \sqrt{\frac{\pi^n}{\det{C}}} \exp\left(\frac{1}{4} v^\mathsf{T} C^{-1} v\right),\end{align}$

여기서 $u = \frac{1}{2} B^{- 1} v,\ v = s + s',\ B = C + C'.$

3. 1. 2차원 가우스 함수

2차원 가우스 함수에서 ''e''가 거듭제곱되는 지수는 음의 정부호 2차 형식이다. 따라서 가우스 함수의 등위집합은 항상 타원이 된다.

2차원 가우스 함수의 특정 예는 다음과 같다.

:

f(x,y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2} + \frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2} \right)\right).

여기서 계수 ''A''는 진폭, ''x''₀, ''y''₀는 중심이며, ''σ''_''x'', ''σ''_''y''는 블롭의 ''x'' 및 ''y'' 확산이다. 오른쪽 그림은 ''A'' = 1, ''x''₀ = 0, ''y''₀ = 0, ''σ''_''x'' = ''σ''_''y'' = 1을 사용하여 생성되었다.

가우스 함수 아래의 부피는 다음과 같이 주어진다.

:

V = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y)\,dx \,dy = 2 \pi A \sigma_X \sigma_Y.

일반적으로 2차원 타원 가우스 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

f(x, y) = A \exp\Big(-\big(a(x - x_0)^2 + 2b(x - x_0)(y - y_0) + c(y - y_0)^2 \big)\Big),

여기서 행렬

:

\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}

은 정부호이다.

일반 방정식 형태에서 계수 ''A''는 봉우리의 높이이고, (''x''₀, ''y''₀)는 블롭(blob)의 중심이다.

다음과 같이 설정하면

:

\begin{align}a &=  \frac{\cos^2\theta}{2\sigma_X^2} + \frac{\sin^2\theta}{2\sigma_Y^2}, \\b &=  -\frac{\sin \theta \cos \theta}{2\sigma_X^2} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{2\sigma_Y^2}, \\c &=  \frac{\sin^2\theta}{2\sigma_X^2} + \frac{\cos^2\theta}{2\sigma_Y^2},\end{align}

양의 반시계 방향 각도

\theta

만큼 블롭을 회전시킨다.^[3]

a

,

b

,

c

에서 계수

\theta

,

\sigma_X

,

\sigma_Y

를 구하려면 다음을 사용한다.

:

\begin{align}\theta &= \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b}{a-c}\right), \quad \theta \in [-45, 45], \\\sigma_X^2 &= \frac{1}{2 (a \cdot \cos^2\theta + 2 b \cdot \cos\theta\sin\theta + c \cdot \sin^2\theta)}, \\\sigma_Y^2 &= \frac{1}{2 (a \cdot \sin^2\theta - 2 b \cdot \cos\theta\sin\theta + c \cdot \cos^2\theta)}.\end{align}

가우시안 블롭의 회전 예시는 다음과 같다.

이러한 함수는 종종 영상 처리 및 시각 체계 기능의 계산 모델에서 사용된다.

3. 2. 고차 가우스 함수

가우스 함수는 지수 부분을 P승으로 올려 더 일반적인 형태(super-Gaussian function)로 확장할 수 있다.^[4] 이를 초가우스 함수라고 하며, 가우시안 빔 공식화에 자주 사용된다. 이 함수는 반치폭(FWHM, full width at half maximum)을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

f(x) = A \exp\left(-\ln 2\left(4\frac{(x - x_0)^2}{w^2}\right)^P\right).

2차원 공식에서 x와 y를 따라 가우스 함수를 결합하여,^[5] 잠재적으로 다른

P_X

와

P_Y

를 사용하여 직사각형 가우시안 분포를 형성하거나, 타원 가우시안 분포를 형성할 수 있다.

:

f(x, y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2}\right)^{P_X} - \left(\frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2}\right)^{P_Y}\right).

:

f(x , y) = A \exp\left(-\left(\frac{(x - x_0)^2}{2\sigma_X^2} + \frac{(y - y_0)^2}{2\sigma_Y^2}\right)^P\right)

4. 이산 가우스 함수

가우스 함수의 이산적인 대응을 찾는 문제가 있을 수 있다. 이는 특히 디지털 신호 처리와 같은 이산적인 응용 분야에서 필요하다. 간단한 해결책은 연속적인 가우스 함수를 표본화하여 표본화된 가우스 커널을 얻는 것이다. 그러나 이 이산 함수는 연속 함수의 성질에 대한 이산적인 대응을 가지고 있지 않으며, 스케일 공간 구현에서 설명된 바와 같이 원치 않는 효과를 초래할 수 있다.

대안적인 접근 방식은 이산 가우스 커널을 사용하는 것이다.^[10]

:

T(n, t) = e^{-t} I_n(t)

여기서

I_n(t)

는 정수 차수의 변형 베셀 함수를 나타낸다.

이는 연속 가우스 함수에 대한 이산적인 대응으로서, 연속 가우스 함수가 연속 확산 방정식의 해인 것처럼 이산 확산 방정식(이산 공간, 연속 시간)의 해이기 때문이다.^[10]^[11]

5. 응용

가우스 함수는 자연 과학, 사회 과학, 수학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

통계학과 확률론에서 가우스 함수는 정규 분포의 확률 밀도 함수로 나타난다.
물리학에서 가우스 함수는 열 방정식으로도 불리는 확산 방정식의 그린 함수이며, 양자 조화 진동자의 바닥 상태 파동 함수를 나타내기도 한다. 또한, 가우스 빔은 광학, 마이크로파, 레이저 시스템에 활용된다.
계산 화학에서 분자 궤도 함수는 가우스 궤도 함수로 표현된다.
신호 처리에서 가우스 함수는 가우스 필터를 정의하고, 영상 처리에서는 가우스 블러(흐림 효과)에 사용된다. 형광 현미경에서 2차원 가우스 함수는 에어리 원반을 근사하며, 스케일 공간 표현에서 평활화 커널로 사용된다.
특정 유형의 인공 신경망을 정의하는 데 사용된다.
지리 통계학에서 패턴 간 변동성을 이해하고 클러스터링하는 데 활용된다.

두 가우스 함수의 곱과 컨벌루션은 모두 가우스 함수이다.

물리적 실현은 회절 패턴이다. 예를 들어, 투과율이 가우스 형태로 변화하는 사진 슬라이드는 가우스 함수이다.

수학적으로 가우스 함수의 도함수는 에르미트 함수를 사용하여 나타낼 수 있다.

5. 1. 통계학 및 확률론

정규 분포의 확률 밀도 함수는 가우스 함수의 한 종류이며, 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}

여기서 μ는 기댓값, σ는 표준 편차를 나타낸다. 이 함수의 반치반폭(HWHM)과 반치전폭(FWHM)은 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathrm{HWHM} &= \sqrt{2 \ln 2}\cdot \sigma, \\\mathrm{FWHM} &= 2 \sqrt{2 \ln 2}\cdot \sigma\end{align}

통계학과 확률론에서 가우스 함수는 정규 분포의 확률 밀도 함수로 나타나며, 중심 극한 정리에 따라 복잡한 합의 극한 확률 분포로도 나타난다.^[13]

5. 2. 물리학

가우스 함수는 (균질 등방성) 확산 방정식(열 방정식)의 그린 함수이다. 이것은 질량 밀도의 확산에 따른 시간적 변화를 기술하는 편미분 방정식이다. 구체적으로, 시간 ''t''=0에서 질량 밀도가 디랙 델타 함수로 주어져 질량이 처음에는 단일 지점에 집중되어 있다면, 시간 ''t''에서 질량 분포는 가우스 함수로 주어지며, 매개변수 '''a'''는 1/√''t''에, '''c'''는 √''t''에 선형적으로 비례한다. 이 시간에 따라 변하는 가우스 함수는 열핵에 의해 설명된다. 더 일반적으로, 초기 질량 밀도가 φ(''x'')이면, 이후 시간의 질량 밀도는 φ와 가우스 함수의 컨볼루션을 통해 얻는다. 가우스 함수와의 컨볼루션은 바이어슈트라스 변환으로도 알려져 있다.^[13]
가우스 함수는 양자 조화 진동자의 바닥 상태의 파동 함수이다.
가우스 빔은 광학 시스템, 마이크로파 시스템 및 레이저에 사용된다.

5. 3. 화학

계산 화학에서 사용되는 분자 궤도 함수는 가우스 함수의 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 이를 가우스 궤도 함수라고 한다. (기저 함수 집합 참조).^[2]

5. 4. 신호 처리 및 영상 처리

신호 처리에서 가우스 함수는 가우스 필터를 정의하는 데 사용된다. 예를 들어, 영상 처리에서는 2차원 가우스 함수를 가우스 블러(흐림 효과)에 사용한다. 디지털 신호 처리에서는 가우스 함수를 샘플링하여 이산 가우스 커널을 사용한다.^[12]

형광 현미경에서 2차원 가우스 함수는 점광원에 의해 생성되는 강도 분포를 설명하는 에어리 원반을 근사하는 데 사용된다.

스케일 공간 표현에서 가우스 함수는 컴퓨터 비전과 영상 처리에서 다중 스케일 표현을 생성하기 위한 평활화 커널로 사용된다.

5. 5. 인공 신경망

가우스 함수는 특정 유형의 인공 신경망을 정의하는 데 사용된다.^[13]

5. 6. 지리 통계학

지리 통계학에서 가우스 함수는 복잡한 훈련 이미지의 패턴 간 변동성을 이해하고, 커널 방법을 통해 특징 공간에서 패턴을 클러스터링하는 데 사용된다.^[13]

참조

_[1] 서적 Practical Physics https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2001-08-30
_[2] 웹사이트 Fourier Transform – Gaussian http://mathworld.wol[...] MathWorld 2013-12-19
_[3] 웹사이트 Berechnung von Kovarianzellipsen https://web.archive.[...] 2019-08-14
_[4] 간행물 Propagation of super-Gaussian field distributions 1992
_[5] 웹사이트 GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command http://www.aor.com/a[...] 2016-12-15
_[6] 논문 Fast algorithm for the resolution of spectra American Chemical Society (ACS)
_[7] 논문 A simple algorithm for fitting a Gaussian function
_[8] 논문 Gaussian profile estimation in one dimension
_[9] 논문 Gaussian profile estimation in two dimensions
_[10] 논문 Scale-space for discrete signals http://kth.diva-port[...] 1990-03
_[11] 논문 The SMM model as a boundary value problem using the discrete diffusion equation
_[12] 논문 A Class of Fast Gaussian Binomial Filters for Speech and Image processing
_[13] 논문 Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling
_[14] 서적 Practical Physics https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2001-08-30

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