공 (기하학)
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2. 정의
유클리드 공간 에서 구는 구면으로 둘러싸인 영역으로 이루어진 입체 이다.유클리드 공간 뿐만 아니라, 더 낮은 차원 또는 더 높은 차원의 공간, 또는 더 일반적인 거리 공간 에서도 정의할 수 있다. ''n''-차원의 '''구'''는 '''n-차원 (초)구''' (또는 줄여서 n-구)라고 불리며, 그 경계는 ''n-1''-차원 (초)구면 (또는 줄여서 n-1-구면)이라고 불린다.원판 을 의미하며, 그것을 둘러싸는 경계는 원주 이다. 3차원 유클리드 공간에서의 구(일반적인 구)는 2차원 구면 (일반적인 구면)에 의해 둘러싸인 부피 를 차지한다.유클리드 기하학 등의 문맥에서, '''구'''(ball)의 의미로 종종 약식으로 '''구면'''(sphere)이라고 부르는 경우가 있다 ('''구면'''이 구면의 의미인 경우도 있다).
2. 1. 유클리드 공간
유클리드 공간 \R^n 에서, 중심이 a 이고 반지름이 r 인 열린 공 (open ball영어 ) B_r(a) 는 다음과 같은 집합이다.B_r(a)=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|a 이고 반지름이 r 인 닫힌 공 (closed ball영어 ) B_r[a] 는 다음과 같은 집합이다.B_r[a]=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|\le r\} n -공간에서 반지름 r 과 중심 x 를 갖는 (열린) n -공은 x 로부터 거리가 r 미만인 모든 점들의 집합이다. 반지름 r 을 갖는 닫힌 n -공은 x 로부터 거리가 r 이하인 모든 점들의 집합이다.n -공간에서, 모든 공은 초구 로 경계지어진다. 공은 n = 1 일 때 경계가 있는 구간이고, n = 2 일 때 원 으로 경계지어진 '''원판'''이며, n = 3 일 때 구 로 경계지어진다.n 차원 유클리드 공간 에서 중심 x , 반지름 r 의 열린 공 은 x 로부터의 거리가 r 미만인 점 전체의 집합을 말하며, 닫힌 공 은 x 로부터의 거리가 r 이하인 점 전체의 집합이다.n 차원 유클리드 공간에서 임의의 공은 초구 의 내부이며, 특히 n=1 일 때는 유계인 구간, n=2 일 때는 원이 둘러싼 내부인 원판 , n=3 일 때 통상적인 구 가 둘러싼 내부이다.2. 2. 거리 공간
거리 공간 (X,d) 에서 점 a\in X 와 실수 r\in\R 에 대해,중심이 a 이고 반지름이 r 인 '''열린 공'''(open ball영어 ) B_r(a) 는 B_r(a)=\{x\in X\colon d(x,a)로 정의된다. 중심이 a 이고 반지름이 r 인 '''닫힌 공'''(closed ball영어 ) B_r[a] 는 B_r[a]=\{x\in X\colon d(x,a)\le r\} 로 정의된다. r>0 이므로, 열린 공과 닫힌 공 모두 항상 중심점 a 를 포함한다. 반지름이 1인 구를 '''단위 구'''라고 한다.체비쇼프 거리 를 사용하는 구는 초입방체 모양이고, 택시 거리를 사용하는 구는 교차 다면체 모양이다.거리 공간 의 열린 구는 기저 역할을 하여 위상을 유도할 수 있다. 이 위상에서 열린 집합은 열린 구들의 합집합으로 나타낼 수 있다.\overline{B_r(p)} 를 열린 구 B_r(p) 의 폐포 라고 할 때, B_r(p) \subseteq \overline{B_r(p)} \subseteq B_r[p] 는 항상 성립하지만, \overline{B_r(p)} = B_r[p] 가 항상 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, 이산 거리를 갖는 거리 공간 X 에서는 모든 p \in X 에 대해 \overline{B_1(p)} = \{p\} 이지만 B_1[p] = X 이다.
3. 성질
닫힌 공은 항상 그에 대응하는 열린 공의 폐포 는 아니다.
3. 1. 부피
반지름 $r$인 $n$차원 유클리드 공간에서 구의 $n$차원 부피는 다음과 같다.레온하르트 오일러 의 감마 함수 이다. (이는 계승 함수의 분수 인수로의 확장으로 볼 수 있다.) 감마 함수의 특정 값에 대한 정수 및 반 정수 공식을 사용하면 감마 함수를 평가할 필요 없이 다음과 같이 짝수 차원과 홀수 차원에 대한 부피 공식을 얻을 수 있다.
4. 다양한 공간에서의 구
거리 공간에서는 유클리드 거리 외에도 다양한 거리 함수 를 사용하여 구를 정의할 수 있다. 예를 들어, 실수 좌표 공간에서 체비쇼프 거리 를 사용하는 구는 초입방체 모양을 가지며, 택시 거리를 사용하는 경우에는 구가 교차 다면체 모양을 갖는다.\|\cdot\| 을 갖는 경우 거리 d (x,y)= \|x - y\| 를 갖는 거리 공간이기도 하다. 이러한 공간에서 점 y 주변의 거리 r 미만의 임의의 공은 '단위 공'을 r 만큼 스케일 조정하고 y 만큼 평행 이동하여 얻을 수 있다.위상 공간 ''X''에서 공은 유클리드 공간 의 구와 동형 사상 을 이루는 ''X''의 부분 집합으로 정의된다. 이러한 위상적 n차원 공은 조합 위상수학에서 세포 복합체를 구성하는 중요한 요소이다.
4. 1. 일반적인 거리 공간
Distance space|거리 공간영어 에서는 유클리드 거리 외에도 다양한 거리 함수 를 사용하여 구를 정의할 수 있다. 예를 들어, 실수 좌표 공간에서 체비쇼프 거리 를 사용하는 구는 초입방체 모양을 가진다. 택시 거리를 사용하는 경우에는 구가 교차 다면체 모양을 갖는다.거리 함수 d가 주어져 있고, r이 양의 실수일 때, 점 p를 중심으로 하는 반지름 r의 열린 구는 보통 Br (p) 또는 B(p; r)로 표기하며, M에서 거리가 r 미만인 M의 점 집합으로 정의된다.B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) < r \}. r [p] 또는 B[p; r]로 표기하며, M에서 거리가 r 이하인 점 집합으로 정의된다.B_r[p] = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}. 유계 집합 이라고 한다. 어떤 양의 반지름이 주어졌을 때, 해당 반지름의 유한 개의 구로 덮이면 전체 유계라고 한다.기저 역할을 하여 이 공간에 위상 을 부여할 수 있으며, 그 열린 집합은 열린 구의 모든 가능한 합집합으로 나타낼 수 있다. 거리 공간의 이 위상은 d에 의해 유도된 위상이라고 한다.4. 2. 노름 벡터 공간
노름 벡터 공간은 노름 \|\cdot\| 을 갖는 경우 거리 d (x,y)= \|x - y\| 를 갖는 거리 공간이기도 하다. 이러한 공간에서 점 y 주변의 거리 r 미만의 임의의 공 B_r(y) 은 '단위 공' B_1(0) 을 r 만큼 스케일 조정하고 y 만큼 평행 이동하여 얻을 수 있다. y=0 인 이러한 "중심" 공은 B(r) 로 표시된다.\R^n 에서 p -노름 L_p (p \geq 1 )는 다음과 같이 정의된다.\left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p}, r 의 열린 공은 다음과 같다. B(r) = \left\{ x \in \R^n \,:\left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p} < r \right\}. n=2 )에서 L_1 -노름(흔히 택시 또는 맨해튼 거리)에 따른 "공"은 좌표축과 평행한 대각선을 가진 정사각형으로 경계가 정해진다. L_\infty -노름(체비쇼프 메트릭)에 따르면 경계가 좌표축과 평행한 변을 가진 정사각형이 된다. L_2 -노름은 유클리드 메트릭으로 알려져 있으며, 원 안에 있는 잘 알려진 원판을 생성하고, 다른 p 값의 경우 해당 공은 라메 곡선으로 경계가 정해진 영역이다.n=3 )에서 L_1 -공은 축 정렬된 대각선을 가진 팔면체 내에 있고, L_\infty -공은 축 정렬된 변을 가진 정육면체 내에 있으며, L_p (p>2 )에 대한 공의 경계는 초타원체이다. L_2 는 일반적인 구의 내부를 생성한다.4. 3. 위상 공간
위상 공간 ''X''에서 공은 유클리드 공간 의 구와 동형 사상 을 이루는 ''X''의 부분 집합으로 정의된다. 이러한 위상적 n차원 공은 조합 위상수학에서 세포 복합체를 구성하는 중요한 요소이다.단위 n차원 초입방체 와 동형이다. 닫힌 n차원 위상적 공은 닫힌 n차원 초입방체와 동형이다.
5. 구의 활용
유클리드 공간 뿐만 아니라, 더 낮은 차원 또는 더 높은 차원의 공간, 더 일반적인 거리 공간 에서도 정의할 수 있다. ''n''-차원의 '''구'''는 '''n영어 -차원 (초)구''' (또는 줄여서 n영어 -구)라고 불리며, 그 경계는 n-1영어 -차원 (초)구면 (또는 줄여서 n-1영어 -구면)이라고 불린다.원판 을 의미하며, 그것을 둘러싸는 경계는 원주 이다. 3차원 유클리드 공간에서의 구(일반적인 구)는 2차원 구면 (일반적인 구면)에 의해 둘러싸인 부피 를 차지한다.유클리드 기하학 등의 문맥에서, '''구'''(ball)의 의미로 종종 약식으로 '''구면'''(sphere)이라고 부르는 경우가 있다. ('''구면'''이 구면의 의미인 경우도 있다.)
6. 영역
구에는 여러 가지 특수한 영역을 정의할 수 있다.
구면 캡: 하나의 평면으로 경계가 정해진다. 구면 섹터: 구의 중심을 꼭지점으로 하는 원뿔 경계로 경계가 정해진다. 구면 분할체: 평행한 두 평면으로 경계가 정해진다. 구면 쉘: 서로 다른 반지름을 가진 두 개의 동심 구로 경계가 정해진다. 구면 웨지: 구의 중심과 구의 표면을 통과하는 두 평면으로 경계가 정해진다.
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