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공종도

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목차

1. 개요

공종도는 임의의 원순서 집합 X에 대해 X의 공종 집합들의 크기 중 최솟값을 의미하며, 공시작도는 X의 공시작 집합들의 크기 중 최솟값이다. 순서수의 공종도는 공종 부분 집합의 순서 타입인 가장 작은 순서수이며, 기수의 공종도는 순서수로서의 공종도이다. 공종도 함수는 멱등 함수이며, 정칙 기수와 특이 기수를 구분하는 데 사용된다. 정규 서수는 공종도와 같으며, 특이 서수는 정규 서수가 아닌 모든 서수를 의미한다.

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공종도
정의
정의어떤 순서 집합에서, 공종수는 그 집합의 공종적인 부분집합의 최소 크기이다.
성질
정칙 기수기수 α의 공종수는 α 이하의 기수이며, α가 정칙 기수일 필요충분조건은 c f ( α ) = α 인 것이다.
예시
자연수 집합자연수 전체의 집합의 공종수는 ℵ 0 이다.
비가산 기수비가산 기수 κ 에 대해, c f ( 2 κ ) > κ 이다.
연속체 가설만약 연속체 가설이 성립한다면, c f ( 2 ℵ 0 ) > ℵ 0 이다.
같이 보기
관련 항목기수
순서수
정칙 기수

2. 정의

임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)에 대하여, X의 '''공종도''' \operatorname{cf}X는 X의 공종 집합들의 크기 중 최소값이다.[2] 마찬가지로, X의 '''공시작도''' \operatorname{cf}(X^{\operatorname{op}})는 X의 공시작 집합들의 크기 중 최소값이다.


  • 최대 원소를 갖는 부분 순서 집합의 공종성은 1이다. 최대 원소만으로 구성된 집합은 공종적이기 때문이다.
  • * 특히, 0이 아닌 유한 순서수나 유한 방향 집합의 공종성은 1이다.
  • 부분 순서 집합의 모든 공종 부분 집합은 해당 집합의 모든 극대 원소를 포함해야 한다. 따라서 유한 부분 순서 집합의 공종성은 극대 원소의 수와 같다.
  • * 특히, 크기가 n인 집합 A의 부분 집합 중 m개 이하의 원소를 포함하는 부분 집합들의 집합을 생각해 보면, 이 집합의 공종성은 n 선택 m이다.
  • 자연수 \N의 부분 집합은 무한인 경우에만 \N에서 공종적이며, 따라서 \aleph_0의 공종성은 \aleph_0이다. 따라서 \aleph_0는 정규 기수이다.
  • 실수의 공종성은 \aleph_0이다. \N이 \R에서 공종적이기 때문이다. \R의 순서는 실수의 기수와 순서 동형이 아니며, 이는 \aleph_0보다 큰 공종성을 갖는다. 이는 공종성이 순서에 따라 달라짐을 보여준다.


0의 공종도는 0이다. 모든 후임 순서수의 공종도는 1이다. 0이 아닌 모든 극한 순서수의 공종도는 무한 정규 기수이다.

2. 1. 순서수의 공종도

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 순서수 \alpha의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 \alpha의 공종도와 일치한다.[3] 순서수의 공종도 \alpha는 \alpha의 공종 부분 집합의 순서 타입인 가장 작은 순서수 \delta이다. 순서수의 집합 또는 다른 전순서 집합의 공종도는 해당 집합의 순서 타입의 공종도이다.

극한 순서수 \alpha의 경우, 극한이 \alpha인 \delta로 인덱싱된 엄격하게 증가하는 수열이 존재한다. 예를 들어, \omega^2의 공종도는 \omega인데, 수열 \omega \cdot m(m은 자연수를 나타냄)가 \omega^2로 수렴하기 때문이다. 일반적으로 모든 가산 극한 순서수는 공종도가 \omega이다. 비가산 극한 순서수는 \omega_\omega처럼 공종도가 \omega이거나 비가산 공종도를 가질 수 있다.

2. 2. 기수의 공종도

기수 \kappa의 '''공종도''' \operatorname{cf}\kappa는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 \kappa의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

:\operatorname{cf}\kappa=\min\left\

3. 성질

공종도 함수는 멱등 함수이다.[3] 즉, 모든 순서수 \alpha에 대하여 \operatorname{cf}\operatorname{cf}\alpha=\operatorname{cf}\alpha이다. 이는 \operatorname{cf}\alpha가 항상 정칙 기수임을 의미한다.

임의의 순서수 \alpha에 대하여 \operatorname{cf}\alpha\le\alpha가 성립한다. 이는 \alpha 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 \kappa에 대하여 \operatorname{cf}\kappa\le\kappa<\min\left\{\operatorname{cf}(2^\kappa),\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}\right\}\le2^\kappa가 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

만약 A가 전순서화된 공종 부분 집합을 허용한다면, 정렬되고 A에서 공종인 부분 집합 B를 찾을 수 있다.

4. 정칙 기수와 특이 기수

순서수 \(\alpha\)가 공종도 함수의 고정점일 때, 즉 \(\alpha = \operatorname{cf}\alpha\)를 만족할 때, \(\alpha\)를 '''정칙 기수'''라고 한다. 정칙 기수가 아닌 순서수를 특이 순서수라고 하며, 그것이 기수일 경우 특이 기수라고 부른다.[2]

모든 정칙 서수는 기수의 초기 서수이다. 정칙 기수의 극한은 초기 서수의 극한이며 따라서 초기 서수이지만 정칙 서수일 필요는 없다. 선택 공리를 가정하면, 각 \(\alpha\)에 대해 \(\omega_{\alpha+1}\)은 정칙 기수이다.

특이 기수의 구조는 공리적 집합론에서 중요한 연구 대상 중 하나이며, 실버의 정리나 셰라의 pcf 이론과 같은 연구 성과가 있다.

5. 예


  • 최대 원소를 갖는 부분 순서 집합의 공종성은 1이다. 최대 원소만으로 구성된 집합은 공종 집합이기 때문이다.
  • 유한 부분 순서 집합의 공종성은 극대 원소의 수와 같다.
  • 자연수 \N의 부분 집합은 무한인 경우에만 \N에서 공종적이며, 따라서 \aleph_0의 공종성은 \aleph_0이다. 따라서 \aleph_0는 정규 기수이다.
  • 실수의 전순서 집합 \mathbb R의 공종도는 \aleph_0이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 \mathbb N\subseteq\mathbb R이 \mathbb R의 공종 집합이기 때문이다.
  • 확장된 실수의 전순서 집합 \bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]의 공종도는 1이다. 이는 \bar{\mathbb R}가 최대 원소 \infty를 갖기 때문이다.
  • 집합 S의 진부분 집합들의 멱집합 \operatorname{Pow}(S)\setminus\{S\}의 공종도는 |S|이다.
  • 닫힌 원순서 집합 (X,\lesssim)의 공종도는 X의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.
  • \omega번째 무한 기수 \aleph_\omega는 특이 기수이다.

5. 1. 극한 순서수

임의의 극한 순서수 \lambda에 대하여, \aleph_\lambda=\sum_{\alpha<\lambda}\aleph_\alpha이므로 \operatorname{cf}\aleph_\lambda=\operatorname{cf}\lambda이다. \operatorname{cf}\aleph_0=\aleph_0이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 \alpha에 대하여 \operatorname{cf}\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha+1}이다. 정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 \aleph_\omega이며, \operatorname{cf}\aleph_\omega=\operatorname{cf}\omega=\aleph_0이다.

참조

[1] 문서 公理的集合論の慣習から、順序数 {{Math|α}} と {{Math|α}} より小さい順序数の集合 {{Math|{{(}} ξ {{!}} ξ < α {{)}}}} を同一視している。
[2] 저널 Cardinal arithmetic for skeptics 1992-04
[3] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://web.archive.[...] North-Holland 2016-09-12


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