굴림 운동

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1. 개요
2. 적용되는 물리학
- 2.1. 경사면에서의 굴림 운동
3. 강체 (Rigid bodies)
- 3.1. 에너지 (Energy)
- 3.2. 힘과 가속도 (Forces and acceleration)
4. 변형체 (Deformable bodies)
5. 응용 (Applications)
참조

1. 개요

굴림 운동은 물체가 표면 위를 미끄러짐 없이 회전하며 이동하는 운동을 의미하며, 병진 운동과 회전 운동이 동시에 나타난다. 굴림 운동은 역학적 에너지 보존 법칙을 따르며, 물체의 모양과 질량 분포에 따라 속력에 차이가 발생한다. 굴림 운동은 강체의 운동, 에너지, 힘과 가속도, 그리고 변형체의 거동으로 분석될 수 있으며, 육상 차량, 회전 요소 베어링, 운송 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 육상 차량의 이동, 회전 요소 베어링을 이용한 마찰 감소, 물체 운송 등에 활용되며, 금속 가공, 윤전기, 페인트 롤러 등 다양한 공정에도 적용된다.

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굴림 운동

2. 적용되는 물리학

굴림 운동의 가장 간단한 경우는 강체가 평평한 평면 위에서 미끄러짐 없이 구르는 경우이다. 이때 물체의 축은 표면에 평행하다.

굴러가는 물체의 질량 중심은 순수한 병진 운동을 하며 직선 궤적을 그린다. 반면, 가장자리 점의 궤적은 사이클로이드 곡선이라는 복잡한 경로를 따른다. 일반적으로 물체 위의 한 점의 궤적은 트로코이드이다.

물체의 모든 점의 순간 속도는 접촉점을 기준으로 계산할 수 있다. 특정 점의 속도 벡터

\mathbf{v}

는 그 점의 접촉점으로부터의 변위 벡터

\mathbf{r}

과 물체의 각속도 벡터

\boldsymbol{\omega}

를 이용하여

\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}

로 주어진다.^[1] 이는 마치 물체가 접촉점을 지나는 축을 중심으로 순간적으로 회전하는 것과 같다. 따라서 굴림 운동은 고정된 축 주위의 회전과 다르지만, 모든 점의 순간 속도는 고정 축 회전과 유사하게 계산될 수 있다.

접촉점보다 축에서 더 멀리 떨어진 점(예: 기차 바퀴의 플랜지 부분)은 구르는 표면 아래에 있을 때 순간적으로 전체 운동 방향과 반대 방향으로 움직이기도 한다.

굴림 운동은 병진 운동과 회전 운동이 동시에 나타나는 운동이므로, 운동 에너지 또한 병진 운동 에너지(

\frac{1}{2}Mv_{cm}^2

,

M

은 질량,

v_{cm}

은 질량 중심 속력)와 회전 운동 에너지(

\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2

,

I_{cm}

은 질량 중심에 대한 회전 관성,

\omega

는 각속도)의 합으로 나타난다.

총 운동 에너지

K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2

경사면을 굴러 내려오는 경우 등 특정 상황에서는 역학적 에너지 보존 법칙이 적용될 수 있다. (자세한 내용은 경사면에서의 굴림 운동 참조)

2. 1. 경사면에서의 굴림 운동

굴림 운동은 병진 운동과 회전 운동이 동시에 나타나는 운동이다. 따라서 경사면을 굴러 내려오는 물체의 운동 에너지는 병진 운동 에너지(

\left ( \frac{1}{2} \right )

Mv^2

)와 회전 운동 에너지(

\left ( \frac{1}{2} \right )

Iw^2

)의 합으로 나타난다.

역학적 에너지 보존 법칙을 적용하면, 높이

h

인 경사면 위에서 정지 상태로 출발한 물체가 바닥에 도달했을 때의 속력

v

는 다음 식을 만족한다.

Mgh

=

\left ( \frac{1}{2} \right )

Mv^2

+

\left ( \frac{1}{2} \right )

Iw^2

여기서

M

은 물체의 질량,

g

는 중력 가속도,

v

는 질량 중심의 속력,

I

는 물체의 회전 관성,

w

는 각속도이다. 회전 관성

I

는 물체의 모양과 질량 분포, 그리고 회전축의 위치에 따라 달라지는 값으로, 물체의 질량과 회전축으로부터의 거리 제곱에 비례한다.

예를 들어, 속이 찬 구(공)의 경우 회전 관성은

I = \left ( \frac{2}{5} \right )Mr^2

이고, 미끄러짐 없이 구르는 경우

v = rw

관계가 성립한다 (

r

은 구의 반지름). 이를 에너지 보존 식에 대입하면 다음과 같다.

Mgh

=

\left ( \frac{1}{2} \right )

Mv^2

+

\left ( \frac{1}{2} \right )

\left ( \frac{2}{5}Mr^2 \right )

\left ( \frac{v}{r} \right )^2

=

\left ( \frac{1}{2} \right )

Mv^2

+

\left ( \frac{1}{5} \right )

Mv^2

=

\left ( \frac{7}{10} \right )Mv^2

따라서 구가 경사면을 굴러 내려왔을 때의 속력은

v^2 = \frac{10}{7}gh

가 된다. 만약 마찰이 없어 미끄러져 내려오는 경우, 회전 운동 에너지가 없으므로

Mgh = \frac{1}{2}Mv^2

이고, 이때의 속력은

v^2 = 2gh

이다.

이를 통해 경사면에서 굴러 내려오는 물체의 속력(

\sqrt{\frac{10}{7}gh}

)은 동일한 높이에서 마찰 없이 미끄러져 내려오는 물체의 속력(

\sqrt{2gh}

)보다 작다는 것을 알 수 있다. 이는 물체가 굴러 내려올 때 초기 위치 에너지가 병진 운동 에너지뿐만 아니라 회전 운동 에너지로도 전환되기 때문이다. 즉, 같은 높이에서는 미끄러지는 경우가 굴러가는 경우보다 더 빠르게 내려온다. 물체의 모양(회전 관성)에 따라 에너지 분배 비율이 달라지므로, 내려오는 속력도 달라진다.

3. 강체 (Rigid bodies)

굴림 운동의 가장 간단한 경우는 강체가 평평한 표면 위에서 축이 표면에 평행하게(즉, 표면의 법선에 수직하게) 미끄러짐 없이 구르는 경우이다.

이때 굴러가는 물체의 질량 중심은 순수한 병진운동을 하며 직선 궤적을 그린다. 반면, 물체 위의 다른 점들은 더 복잡한 궤적을 그리는데, 특히 물체 가장자리의 한 점은 사이클로이드 곡선을 따라 움직이며, 다른 점들은 일반적으로 트로코이드 궤적을 그린다.

구르는 물체의 모든 점의 속도는 접촉점을 기준으로 순간적으로 회전하는 속도와 같다. 각 점의 속도 벡터 $\mathbf{v}$ 는 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}$ 로 주어진다. 여기서 $\boldsymbol{\omega}$ 는 각속도 벡터이고, $\mathbf{r}$ 은 해당 점에서 표면과의 접촉점(또는 선)까지의 변위 벡터이다.^[1] 즉, 굴림 운동은 고정된 축 주위의 회전과 다르지만, 각 입자의 순간 속도는 마치 접촉점을 지나는 축을 중심으로 동일한 각속도로 회전하는 물체의 속도와 같다.

흥미로운 점은, 접촉점보다 축에서 더 멀리 떨어진 점(예: 기차 바퀴의 플랜지 부분이 레일 아래로 내려갔을 때)은 물체의 전체적인 이동 방향과 반대 방향으로 순간적으로 움직인다는 것이다.

3. 1. 에너지 (Energy)

굴림 운동은 병진운동과 회전운동이 동시에 나타나는 운동이므로, 굴림 운동을 하는 물체의 운동 에너지는 병진 운동 에너지(

K_\text{병진}

)와 회전 운동 에너지(

K_\text{회전}

)의 합으로 나타난다.

K_\text{굴림} = K_\text{병진} + K_\text{회전} = \frac{1}{2}Mv_\text{cm}^2 + \frac{1}{2}I_\text{cm}\omega^2

여기서

M

은 물체의 질량,

v_\text{cm}

은 질량 중심의 속도,

I_\text{cm}

은 질량 중심을 지나는 축에 대한 회전 관성,

\omega

는 각속도이다. 물체가 미끄러짐 없이 구를 때, 질량 중심의 속도와 각속도 사이에는

v_\text{cm} = r\omega

의 관계가 성립한다 (여기서

r

은 물체의 반지름).

경사면과 같이 높이 차이가 있는 곳에서 물체가 굴러 내려올 때, 역학적 에너지 보존 법칙을 적용할 수 있다. 높이

h

인 지점에서 정지 상태에서 출발하여 굴러 내려오는 경우, 초기 위치 에너지가 나중의 운동 에너지로 전환된다.

Mgh = \frac{1}{2}Mv_\text{cm}^2 + \frac{1}{2}I_\text{cm}\omega^2

회전 관성

I_\text{cm}

은 물체의 모양과 질량 분포에 따라 달라진다. 예를 들어, 속이 꽉 찬 균일한 구의 경우

I_\text{cm} = \frac{2}{5}Mr^2

이다. 이 값을 에너지 보존 식에 대입하고

v_\text{cm} = r\omega

관계를 이용하면 다음과 같이 정리된다.

Mgh = \frac{1}{2}Mv_\text{cm}^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}Mr^2\right)\left(\frac{v_\text{cm}}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}Mv_\text{cm}^2 + \frac{1}{5}Mv_\text{cm}^2 = \frac{7}{10}Mv_\text{cm}^2

따라서 경사면 바닥에서의 속력 제곱은

v_\text{cm}^2 = \frac{10}{7}gh

이다. 만약 마찰이 없어 미끄러져 내려오는 경우, 회전 운동 에너지가 없으므로

Mgh = \frac{1}{2}Mv_\text{미끄러짐}^2

이고,

v_\text{미끄러짐}^2 = 2gh

이다.

\frac{10}{7} \approx 1.43

이므로,

v_\text{cm} < v_\text{미끄러짐}

임을 알 수 있다. 즉, 같은 높이에서 출발할 경우, 굴러 내려오는 물체보다 미끄러져 내려오는 물체가 더 빠르게 바닥에 도달한다. 이는 굴러 내려오는 경우 초기 위치 에너지의 일부가 회전 운동 에너지로 전환되기 때문이다.

평행축 정리를 이용하면 굴림 운동의 에너지를 다른 방식으로도 설명할 수 있다. 물체가 표면과 접하는 점을 순간적인 회전축으로 간주하면, 이 점에 대한 회전 관성

I_\text{접촉점}

은 평행축 정리에 의해

I_\text{접촉점} = I_\text{cm} + Mr^2

이 된다. 물체의 전체 운동 에너지는 이 순간적인 회전축에 대한 회전 운동 에너지와 같다.

K_\text{굴림} = \frac{1}{2} I_\text{접촉점}\omega^2

이 식을 전개하면 앞서 구한 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 아래 표는 이 유도 과정을 보여준다.

평행축 정리를 이용한 에너지 유도

3. 2. 힘과 가속도 (Forces and acceleration)

공기 저항이 없는 평면을 따라 구르는 네 개의 물체. 뒤에서 앞으로: 구형 껍질(빨간색), 속이 꽉 찬 구(주황색), 원통형 링(녹색) 및 속이 꽉 찬 원통(파란색). 결승선에 도달하는 시간은 전적으로 물체의 질량 분포, 경사 및 중력 가속도의 함수이다.

선형 속도와 각속도 사이의 관계식

v_\text{c.o.m.} = r\omega

를 시간에 대해 미분하면, 선형 가속도와 각가속도 사이의 관계식

a = r\alpha

를 얻을 수 있다. 여기에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다.

a = \frac{F_\text{net}}{m} = r\alpha = \frac{r\tau}{I}.

이 식은 물체의 굴림 운동을 가속시키기 위해서는 알짜 힘(

F_\text{net}

)과 토크(

\tau

)가 모두 필요하다는 것을 의미한다. 만약 토크를 발생시키지 않는 외부 힘(

F_\text{external}

)이 구르는 물체-표면 시스템에 작용한다면, 물체가 순수한 굴림 운동을 유지하는 한, 표면과 물체 사이의 접촉점에서 접선 방향의 힘이 작용하여 필요한 토크를 제공해야 한다. 이 힘은 일반적으로 정지 마찰력이며, 예를 들어 도로와 자동차 바퀴 사이, 또는 볼링 레인과 볼링공 사이에서 작용한다.

만약 정지 마찰력이 충분히 크지 않다면, 마찰력은 운동 마찰력으로 바뀌고 물체는 미끄러지기 시작한다. 정지 마찰력과 같은 접선 방향 힘은 외부 힘과 반대 방향으로 작용하여 외부 힘의 일부를 상쇄시킨다. 결과적으로 물체에 작용하는 알짜 힘과 그로 인한 가속도는 다음과 같이 표현된다.

\begin{align}F_\text{net} &=\frac{F_\text{external}}{1 + \frac{I}{mr^2}} =\frac{F_\text{external}}{1 + \left({r_\text{g}}/{r}\right)^2} \\[1ex]a &= \frac{F_\text{external}}{m + {I}/{r^2}}\end{align}

여기서

I

는 물체의 회전 관성,

m

은 질량,

r

은 반지름,

r_\text{g}

는 회전 반경 (

r_\text{g} = \sqrt{I/m}

)을 나타낸다.

\tfrac{I}{r^2}

항은 질량의 차원을 가지며, 이는 회전축으로부터 거리

r

만큼 떨어진 곳에서 회전 관성

I

를 갖는 물체의 회전 효과를 등가적인 선형 운동의 관성으로 나타낸 값으로 해석할 수 있다. 즉, 외부 힘은 물체의 실제 질량(

m

)과 회전 관성에 해당하는 가상의 질량(

\tfrac{I}{r^2}

)의 합인

m+\tfrac{I}{r^2}

전체를 가속시키는 것처럼 작용한다. 외부 힘이 물체의 병진 운동과 회전 운동 모두를 일으키는 데 분산되기 때문에, 실제 알짜 힘은 외부 힘보다

1/\left(1+\tfrac{I}{mr^2}\right)

배만큼 작아진다. 이 비율에서

\tfrac{I}{mr^2}

은 가상 질량과 실제 질량의 비를 나타내며,

\left({r_\text{g}}/{r}\right)^2

와 같다.

특히, 경사면을 굴러 내려오는 물체가 정지 마찰력, 수직항력, 그리고 중력만을 받는다고 가정할 때(공기 저항은 무시), 경사면을 따라 내려가는 방향의 가속도는 다음과 같다.

a = \frac{g\sin(\theta)}{1+\left({r_\text{g}}/{r}\right)^2}

여기서

g

는 중력 가속도,

\theta

는 경사면의 각도이다. 이 식에서 가속도는

{r_\text{g}}/{r}

값, 즉 물체의 모양과 질량 분포에 의해서만 결정되며, 물체의 크기(반지름

r

)나 밀도에는 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 속이 꽉 찬 구와 속이 빈 구는

r_\text{g}

값이 다르므로 경사면에서 다른 가속도로 굴러 내려오지만, 크기나 질량이 다른 두 개의 속이 꽉 찬 구는 같은 가속도로 굴러 내려온다. 이러한 특성은 물체가 자유 낙하하거나 마찰 없이 경사면을 미끄러져 내려갈 때 가속도가 질량에 무관한 것과 유사하다.

4. 변형체 (Deformable bodies)

회전 대칭을 가진 변형체가 어떤 표면에 접촉하게 되면, 수직력과 전단력이 전달될 수 있는 경계면이 형성된다. 예를 들어, 도로를 달리는 자동차의 타이어는 자동차의 무게(수직 하중)를 지탱하는 동시에, 가속, 제동 또는 방향 전환 시 발생하는 전단력을 도로에 전달한다.

일정한 속도로 굴러가는(정상 롤링, steady rolling) 물체의 변형과 운동은 강체 회전에 대한 오일러 묘사와 변형에 대한 라그랑주 묘사를 사용하여 효율적으로 특징지을 수 있다.^[2]^[3] 이 접근 방식은 시간에 따라 변하는 요소를 고려하지 않아도 되게 만들어 분석 과정을 크게 단순화시킨다. 결과적으로 변위, 속도, 응력, 변형률 등이 시간에 따라 변하지 않고 공간적인 분포만 가지게 된다. 정상 상태 롤링 현상을 유한 요소 해석으로 분석하는 절차는 파도반이 처음 개발했으며, 현재는 여러 상용 소프트웨어에 이 기술이 포함되어 있다.

5. 응용 (Applications)

굴림 운동은 육상 차량의 바퀴, 회전 요소 베어링(예: 볼 베어링), 운송을 위한 도구, 그리고 금속 가공, 윤전기, 페인트 롤러 등 다양한 산업 공정에 이르기까지 폭넓게 응용되는 중요한 물리 현상이다. 각 응용 분야에서는 굴림 운동의 원리를 활용하여 이동, 회전, 힘 전달 등의 기능을 효율적으로 수행한다.

5. 1. 육상 차량 (Land vehicles)

육상 차량의 대부분은 이동을 위해 바퀴를 사용하며, 이는 굴림 운동의 대표적인 예시다. 차량이 움직일 때 바퀴와 지면 사이의 슬립을 최소화하는 것이 중요하다. 슬립이 커지면 순수한 굴림에서 벗어나 제어력을 잃고 사고로 이어질 위험이 높아진다. 특히 도로가 눈, 모래, 기름 등으로 덮여 있거나, 차량이 고속으로 회전하거나 급격한 제동 또는 가속을 시도할 때 슬립이 발생하기 쉽다.^[1]^[2]

굴림 운동은 회전 요소 베어링, 예를 들어 볼 베어링과 같이 회전하는 장치에서도 중요하게 활용된다. 금속으로 만들어진 회전 요소는 보통 서로 독립적으로 회전 가능한 두 개의 링 사이에 위치한다. 많은 기계 장치에서 내부 링은 고정된 차축(shaft 또는 axle)에 부착되어 고정되고, 외부 링은 매우 적은 마찰로 자유롭게 움직일 수 있다. 이는 천장 선풍기, 자동차, 드릴 등 거의 모든 전동기의 작동 원리이다. 반대로 외부 링을 고정 지지대에 부착하고 내부 링이 차축을 지지하며 회전할 수 있도록 하는 방식도 사용된다. 베어링의 품질과 윤활 상태는 기계 부품 간의 마찰 정도에 영향을 미친다.^[3]

또한 굴림 운동은 운송을 위한 도구로도 널리 쓰인다. 가장 기본적인 형태는 평평한 물체를 여러 개의 정렬된 롤러나 바퀴 위에 놓고 이동시키는 방식이다. 앞쪽의 바퀴를 계속해서 뒤쪽으로 옮겨주면 물체를 직선으로 이동시킬 수 있다(베어링의 역사 참조). 이러한 방식은 다른 기계 장치를 사용하기 어려울 때 유용하다. 현대 사회에서 바퀴를 이용한 가장 실용적인 운송 수단은 자동차, 기차를 비롯한 다양한 인간 운송 차량이다.

5. 2. 회전 요소 베어링 (Rolling-element bearings)

굴러가는 물체의 가장 실용적인 응용 분야 중 하나는 회전 요소 베어링으로, 회전 장치에 사용되는 볼 베어링이 대표적인 예이다. 금속으로 만들어진 회전 요소(구름 요소)는 보통 서로 독립적으로 회전할 수 있는 두 개의 링(내륜과 외륜) 사이에 위치한다.

대부분의 기계 장치에서는 내부 링이 고정된 축(차축)에 부착된다. 이 경우 내부 링은 고정된 상태에서 외부 링이 매우 적은 마찰로 자유롭게 움직일 수 있다. 거의 모든 전동기(예: 천장 선풍기, 자동차, 드릴 등에 사용되는 모터)는 이러한 원리에 기반하여 작동한다. 반대로, 외부 링을 고정된 지지대에 부착하고 내부 링이 축을 지지하여 축이 자유롭게 회전하도록 할 수도 있다. 기계 부품의 마찰 정도는 볼 베어링의 품질과 윤활유의 양에 따라 달라진다.

5. 3. 운송 (Transportation)

굴림 운동은 운송을 위한 도구로 자주 사용된다. 가장 기본적인 방법 중 하나는 물체를 일련의 정렬된 롤러나 바퀴 위에 놓고 이동시키는 것이다. 바퀴 위의 물체는 앞쪽에서 계속 바퀴를 교체해 주면 직선으로 이동할 수 있다(베어링의 역사 참조). 이러한 방식은 다른 기계 장치를 사용하기 어려울 때 효율적인 원시적 운송 방법으로 활용되었다.

오늘날 굴림 운동을 이용하는 가장 실용적인 운송 수단은 자동차, 기차 등 육상 차량이다. 대부분의 육상 차량은 바퀴를 사용하여 이동하며, 이는 굴림 운동을 이용한 변위 방식이다. 이때 바퀴가 헛도는 슬립은 최소한으로 유지하는 것이 중요하다. 슬립이 커지면 차량 제어력을 잃고 사고로 이어질 수 있으며, 이는 도로가 눈, 모래, 기름 등으로 덮여 있거나, 고속으로 회전하거나, 갑자기 제동 또는 가속을 시도할 때 발생하기 쉽다.

5. 4. 기타 응용 분야

굴림 운동은 다양한 공정에서 이동하는 접촉 선에 수직력을 가하는 데 사용된다. 예를 들어 금속 가공, 윤전기, 2롤 고무 밀, 페인트 롤러 등이 있다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Physics, Chapter 9 https://books.google[...] Wiley 2013-08-13
_[2] 간행물 Finite element modeling of rolling contact https://www.scienced[...] 1980
_[3] 간행물 Validation of a Steady-State Transport Analysis for Rolling Treaded Tires https://meridian.all[...] 2007

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