돌림힘

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1. 개요

돌림힘은 물리학에서 물체를 회전시키는 경향을 나타내는 벡터량으로, 힘과 회전축에서 힘이 작용하는 위치까지의 거리 벡터의 외적으로 정의된다. 돌림힘의 크기는 힘의 수직 성분과 지레 팔의 곱으로 계산되며, 국제 단위계(SI)에서는 뉴턴 미터(N·m)를 사용한다. 돌림힘은 각운동량의 변화율과 관련되며, 회전 운동의 기본 개념을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 자동차 엔진, 전동기, 기계 장치 등 다양한 분야에서 응용되며, 일과 에너지, 일률과 밀접한 관련이 있다.

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돌림힘
역학적 정보
정의	축을 중심으로 물체를 회전시키는 경향을 나타내는 물리량
기호	τ, M
단위	N·m
다른 단위	파운드-힘-피트 lbf⋅인치 ozf⋅in
SI 기본 단위	kg⋅m²⋅s⁻²
차원	wikidata
상세 정보
관련 분야	고전역학
설명	힘 F, 토크 τ, 선형 운동량 p, 각 운동량 L 사이의 관계
추가 정보
참고 서적	ISBN 0-534-40842-7

2. 정의

돌림힘은 벡터량으로, 물체를 회전시키는 효과를 나타내는 물리량이다. 흔히 토크(torque)라고도 부른다. 돌림힘은 힘 벡터와 받침점까지의 거리 벡터의 벡터곱으로 정의되며, 각운동량의 시간에 따른 변화량으로도 표현할 수 있다.

지레를 사용할 때, 물체를 움직이는 데 필요한 힘은 받침점으로부터의 거리에 반비례한다. 이는 지레에 작용하는 토크가 일정하다는 것을 의미한다.

같은 축을 중심으로 하는 토크는 서로 대체, 합성, 분해가 가능하다. 토크를 평행하고 크기가 같으며 반대 방향인 두 힘으로 분해했을 때, 이 힘을 우력이라고 부른다.

물체가 어떤 축을 중심으로 회전하는 경우 돌림힘의 방향은 회전축과 평행하며, 오른손 엄지 법칙을 사용하여 결정할 수 있다. 오른손의 손가락을 지레 팔의 방향에서 힘의 방향으로 굽히면 엄지손가락이 돌림힘의 방향을 가리킨다.^[8]

돌림힘은 주로 자동차 등의 내연기관이나 엔진, 전동기, 발전기, 터빈 등 기계·기계공학 분야에서 많이 사용된다.

2. 1. 수식적 표현

돌림힘은 토크(torque)라고도 불리며, 벡터량으로 힘 벡터와 받침점까지의 거리 벡터의 벡터곱으로 표현된다.^[8] 즉, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

여기서

\mathbf{F}

는 가해지는 힘,

\mathbf{r}

는 회전축에서 힘이 가해지는 위치까지의 변위를 의미한다.

3차원에서 돌림힘은 가짜 벡터이며, 점 입자의 경우 변위 벡터와 힘 벡터의 외적으로 주어진다.^[9]^[10]

:

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \implies \tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta

여기서

$\boldsymbol\tau$ 는 돌림힘 벡터이고, $\tau$ 는 돌림힘의 크기이다.
$\mathbf{r}$ 은 위치 벡터 (돌림힘이 측정되는 점에서 힘이 가해지는 점까지의 벡터)이고, ''r''은 위치 벡터의 크기이다.
$\mathbf{F}$ 는 힘 벡터이고, ''F''는 힘 벡터의 크기이고, ''F''_⊥는 입자의 위치에 수직으로 향하는 힘의 양이다.
$\times$ 는 외적을 나타내며, 오른손 법칙에 따라 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{F}$ 모두에 수직인 벡터를 생성한다.
$\theta$ 는 힘 벡터와 지레 팔 벡터 사이의 각도이다.

돌림힘의 SI 단위는 뉴턴 미터 (N⋅m)이다.

돌림힘은 시간에 따른 각운동량의 변화량으로도 정의할 수 있다. 한 점 입자에 대한 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

여기서 '''p'''는 점 입자의 선형운동량, '''r'''은 한 원점으로부터 작용점까지의 변위를 가리킨다. 양 변을 t에 대해 전미분을 취하면 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{v} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt}

여기서

\mathbf{v}

와

\mathbf{p}

는 서로 평행하기 때문에 외적의 결과가 0이 된다. 또한

\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}

이기 때문에 위의 식은

:

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{\tau}

로 표현할 수 있다.

즉, 돌림힘은 각운동량 벡터

\mathbf L

의 시간

t

에 대한 도함수이며, 힘은 돌림힘에 대응된다.

회전 운동에 관한 운동 방정식은 돌림힘

\mathbf{N}

과 각가속도

\boldsymbol{\alpha}

, 그리고 관성 모멘트

I

를 사용하여

:

I\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{N}

로 표시된다. 회전축이 고정되어 있는 경우에는, 회전축 방향의 성분만 고려하면 되며

:

I \alpha = \tau

로 해도 좋다.

2. 2. 단위

돌림힘의 국제단위계(SI) 단위는 뉴턴 미터(N⋅m)이다.^[14]^[15] 돌림힘은 차원이 힘과 거리를 곱한 것이며, 기호로는

\text{M L}^2 \text{T}^{-2}

로 나타낸다. 이는 에너지 또는 일의 차원과 같다. 공식 SI 문헌에서는 돌림힘의 단위로 ''뉴턴 미터''를 N⋅m로 표기하도록 명시하고 있으며, 차원적으로 줄과 같지만, 돌림힘에는 줄을 사용하지 않는다.^[14]^[15] 돌림힘의 경우 단위는 벡터에 할당되는 반면, 에너지의 경우 스칼라에 할당된다.

토크는 힘과 거리의 곱셈 (모멘트)으로 나타내는 양이다. 힘의 단위는 N(뉴턴)이지만, 토크의 단위는 '''N·m'''(뉴턴 미터)이다.

돌림힘의 전통적인 영국 단위는 파운드 피트 (lbf-ft) 또는 작은 값의 경우 파운드 인치 (lbf-in)이다. 미국에서는 돌림힘을 가장 일반적으로 '''피트-파운드''' (lb-ft 또는 ft-lb로 표기) 및 '''인치-파운드''' (in-lb로 표기)로 지칭한다.^[17]^[18]

3. 역사

'''토크'''라는 용어는 라틴어torquēre|토르퀘레^la(비틀다)에서 유래했으며, 제임스 톰슨이 제안하여 1884년 4월에 인쇄물에 처음 등장했다.^[2]^[3]^[4] 같은 해 실바누스 P. 톰슨이 《전기 기계》(Dynamo-Electric Machinery) 초판에서 이 용어를 사용하면서 널리 알려지게 되었다. 톰슨은 이 용어를 사용한 이유를 다음과 같이 설명했다.

뉴턴의 힘 정의가 (직선 방향으로) 운동을 발생시키거나 발생시키려는 것이듯이, ''토크''는 ''비틀림''(축 주위로)을 발생시키거나 발생시키려는 것으로 정의할 수 있다. 이 작용을 "커플"과 "모멘트"와 같은 더 복잡한 개념을 암시하는 용어를 사용하는 것보다, 하나의 명확한 실체로 취급하는 용어를 사용하는 것이 낫다. 축을 돌리기 위해 비틀림을 가하는 단일 개념이 특정 지렛대를 사용하여 선형 힘(또는 일련의 힘)을 가하는 더 복잡한 개념보다 낫다.

오늘날 토크는 지리적 위치와 연구 분야에 따라 다른 어휘로 불린다. 이 문서에서는 미국 물리학에서 사용되는 정의에 따라 ''토크''라는 단어를 사용한다.

영국과 미국의 기계 공학에서는 토크를 ''힘의 모멘트''라고 부르며, 일반적으로 ''모멘트''로 줄여서 사용한다. 이러한 용어는 1811년 시메옹 드니 푸아송의 Traité de mécanique|트레테 드 메카니크^프랑스어(기계학 논고)에서 유래된 것으로 거슬러 올라간다.^[7] 푸아송의 작품은 1842년에 영어 번역본([https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015067064249])으로 출판되었다.

4. 돌림힘과 관련된 물리량

돌림힘은 벡터량으로, 힘 벡터와 받침점까지의 거리 벡터의 벡터곱으로 표현된다. 식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

여기서 $\mathbf{F}$ 는 가해진 힘, $\mathbf{r}$ 는 회전축에서 힘이 가해지는 위치까지의 변위다.

돌림힘의 크기는 힘의 수직 성분 크기와 돌림힘이 계산되는 점으로부터 힘의 작용선까지의 거리의 곱으로 정의된다.^[8] 3차원에서 돌림힘은 가짜 벡터이며, 점 입자의 경우 변위 벡터와 힘 벡터의 외적으로 주어진다.^[9]^[10]

: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \implies \tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

여기서

$\boldsymbol\tau$ 는 돌림힘 벡터이고, $\tau$ 는 돌림힘의 크기이다.
$\mathbf{r}$ 은 위치 벡터 (돌림힘이 측정되는 점에서 힘이 가해지는 점까지의 벡터)이고, ''r''은 위치 벡터의 크기이다.
$\mathbf{F}$ 는 힘 벡터이고, ''F''는 힘 벡터의 크기이고, ''F''_⊥는 입자의 위치에 수직으로 향하는 힘의 양이다.
$\times$ 는 외적을 나타내며, 오른손 법칙에 따라 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{F}$ 모두에 수직인 벡터를 생성한다.
$\theta$ 는 힘 벡터와 지레 팔 벡터 사이의 각도이다.

돌림힘의 방향은 오른손 엄지 법칙을 사용하여 결정할 수 있다. 오른손의 손가락을 지레 팔의 방향에서 힘의 방향으로 굽히면 엄지손가락이 돌림힘의 방향을 가리킨다.^[8] 따라서 ''돌림힘 벡터''는 ''위치'' 및 ''힘'' 벡터 모두에 수직이며 두 벡터가 놓이는 평면을 정의한다.^[9]^[10]

돌림힘의 SI 단위는 뉴턴 미터 (N⋅m)이다.

회전축 Q 주위에 돌림힘

\boldsymbol{N}

이 작용할 때, 토크는

:

\tau =\boldsymbol{e}_\text{Q} \cdot \boldsymbol{N}

로 정의된다. 여기서

\boldsymbol{e}_\text{Q}

는 회전축 Q의 방향의 단위 벡터이다.

돌림힘의 정의

\boldsymbol{N} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

를 사용하면, 토크는

:

\tau =\boldsymbol{F}\cdot (\boldsymbol{e}_\text{Q} \times \boldsymbol{r}) = F_\text{eff}\, \delta

로 표시된다. 여기서

\delta

는 팔의 길이,

F_\text{eff}

는 회전에 기여하는 실효적인 힘의 크기이다. 회전에 기여하는 힘

F_\text{eff}

가 같을 때, 팔의 길이

\delta

가 길수록 물체를 회전시키는 효과가 크다.

회전 운동과 병진 운동의 비교
양	회전 운동
역학 변수 (벡터)	각도 $\boldsymbol{\theta}$	위치 $\boldsymbol{r}$
1차 미분 (벡터)	각속도 $\boldsymbol{\omega} =\frac{d\boldsymbol{\theta}}{dt}$	속도 $\boldsymbol{v} =\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$
2차 미분 (벡터)	각가속도 $\boldsymbol{\alpha} =\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}$	가속도 $\boldsymbol{a} =\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}$
관성 (스칼라)	관성 모멘트 $I$	질량 $m$
운동량 (벡터)	각운동량 $\boldsymbol{L} =\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$	운동량 $\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
힘 (벡터)	토크 $\boldsymbol{N} =\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$	힘 $\boldsymbol{F}$
운동 방정식	$I \frac{ d^2 \boldsymbol{\theta} }{ d t^2 } = \boldsymbol{N}$	$m \frac{ d^2 \boldsymbol{r} }{ d t^2 } = \boldsymbol{F}$
운동 에너지 (스칼라)	$\frac{1}{2}I\omega^2$	$\frac{1}{2}mv^2$
일 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\Delta\boldsymbol{\theta}$	$\boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{r}$
일률 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\boldsymbol{\omega}$	$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
댐퍼와 스프링에 발생하는 힘을 고려한 운동 방정식	$I\alpha+c\omega+k\theta=N$	$ma+cv+kx=F$

4. 1. 각운동량과의 관계

돌림힘은 각운동량의 시간 변화율과 같다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{\tau}

즉, 돌림힘은 각운동량 벡터

\mathbf L

의 시간

t

에 대한 도함수이며, 질량과 가속도가 각각 관성 모멘트와 각가속도에 대응된다면, 힘은 돌림힘에 대응된다.^[8]

물체에 가해지는 알짜 돌림힘은 물체의 각운동량 변화율을 결정한다.

:

\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}

여기서 '''L'''은 각운동량 벡터이고, ''t''는 시간이다. 점 입자의 운동에 대해,

:

\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},

여기서

I = mr^2

는 관성 모멘트이고, '''ω'''는 궤도 각속도 유사벡터이다. 따라서

:

\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} =  I\boldsymbol\dot{\omega} + \boldsymbol\omega \times (I\boldsymbol\omega)

단위 벡터의 미분을 사용하면

{d\boldsymbol{\hat{e_i}} \over dt} = \boldsymbol\omega \times \boldsymbol{\hat{e_i}}

이다.

이 방정식은 점 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙의 회전 대응 관계이며, 모든 종류의 궤적에 유효하다. 회전하는 원반과 같이 단순한 경우, 즉 회전 축에 대한 관성 모멘트만 존재하는 경우, 회전하는 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{\tau} = I\boldsymbol{\alpha}

여기서

\boldsymbol\alpha = \dot\boldsymbol\omega

이다.

단일 점 입자에 대한 각운동량의 정의는 다음과 같다.

:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

여기서 '''p'''는 입자의 선형 운동량이고, '''r'''은 원점으로부터의 위치 벡터이다. 이것의 시간에 대한 미분은 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}.

이 결과는 벡터를 성분으로 분해하고 곱의 법칙을 적용하여 쉽게 증명할 수 있다. 선형 운동량의 변화율은 힘

\mathbf{F}

이고, 위치의 변화율은 속도

\mathbf{v}

이므로,

:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} + \mathbf{v} \times \mathbf{p}

운동량

\mathbf{p}

과 관련된 속도

\mathbf{v}

의 외적은 속도와 운동량이 평행하므로 0이 되어 두 번째 항은 사라진다. 따라서 입자에 작용하는 토크는 각운동량의 시간에 대한 1차 미분과 같다. 여러 힘이 작용하는 경우, 뉴턴의 제2법칙에 따라 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_{\mathrm{net}} =  \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.

회전 운동에 관한 운동 방정식은 돌림힘과 각가속도, 그리고 관성 모멘트를 사용하여

:

I\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{N}

로 표시된다. 회전축이 고정되어 있는 경우에는, 회전축 방향의 성분만 고려하면 되며

:

I \alpha = \tau

로 해도 좋다.

회전 운동에 관한 양에서는, 직선 운동에서 성립하는 법칙에 대응하는 유사한 법칙을 찾아낼 수 있다. 이는 회전 운동에서의 양을, 법칙이 유사하도록 정의했기 때문이다. 돌림힘은 "힘" 그 자체가 아니라 "힘의 모멘트"이며, 관성 모멘트는 질량에 거리의 제곱을 곱한 것이다.

회전 운동과 병진 운동의 비교
양	회전 운동
역학 변수 (벡터)	각도 $\boldsymbol{\theta}$	위치 $\boldsymbol{r}$
1차 미분 (벡터)	각속도 $\boldsymbol{\omega} =\frac{d\boldsymbol{\theta}}{dt}$	속도 $\boldsymbol{v} =\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$
2차 미분 (벡터)	각가속도 $\boldsymbol{\alpha} =\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}$	가속도 $\boldsymbol{a} =\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}$
관성 (스칼라)	관성 모멘트 $I$	질량 $m$
운동량 (벡터)	각운동량 $\boldsymbol{L} =\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$	운동량 $\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
힘 (벡터)	토크 $\boldsymbol{N} =\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$	힘 $\boldsymbol{F}$
운동 방정식	$I \frac{ d^2 \boldsymbol{\theta} }{ d t^2 } = \boldsymbol{N}$	$m \frac{ d^2 \boldsymbol{r} }{ d t^2 } = \boldsymbol{F}$
운동 에너지 (스칼라)	$\frac{1}{2}I\omega^2$	$\frac{1}{2}mv^2$
일 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\Delta\boldsymbol{\theta}$	$\boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{r}$
일률 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\boldsymbol{\omega}$	$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
댐퍼와 스프링에 발생하는 힘을 고려한 운동 방정식	$I\alpha+c\omega+k\theta=N$	$ma+cv+kx=F$

4. 2. 관성 모멘트 및 각가속도와의 관계

회전 운동에 관한 운동 방정식은 돌림힘

\boldsymbol{N}

과 각가속도

\boldsymbol{\alpha}

, 그리고 관성 모멘트

I

를 사용하여 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

I\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{N}

회전축이 고정되어 있는 경우에는, 회전축 방향의 성분만 고려하면 되며, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[9]

:

I \alpha = \tau

회전 운동에 관한 양에서는 직선 운동에서 성립하는 법칙에 대응하는 유사한 법칙을 찾아낼 수 있다. 이는 회전 운동에서의 양을 법칙이 유사하도록 정의했기 때문이다. 돌림힘은 "힘" 그 자체가 아니라 "힘의 모멘트"이며, 관성 모멘트는 질량에 거리의 제곱을 곱한 것이다.^[10]

회전 운동과 병진 운동의 비교
양	회전 운동		병진 운동
역학 변수 (벡터)	각도	$\boldsymbol{\theta}$	위치	$\boldsymbol{r}$
1차 미분 (벡터)	각속도	$\boldsymbol{\omega}$	속도	$\boldsymbol{v}$
2차 미분 (벡터)	각가속도	$\boldsymbol{\alpha}$	가속도	$\boldsymbol{a}$
관성 (스칼라)	관성 모멘트	$I$	질량	$m$
운동량 (벡터)	각운동량	$\boldsymbol{L}$	운동량	$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
힘 (벡터)	토크	$\boldsymbol{N}$	힘	$\boldsymbol{F}$
운동 방정식	$I \frac{ d^2 \boldsymbol{\theta} }{ d t^2 } = \boldsymbol{N}$		$m \frac{ d^2 \boldsymbol{r} }{ d t^2 } = \boldsymbol{F}$
운동 에너지 (스칼라)	$\frac{1}{2}I\omega^2$		$\frac{1}{2}mv^2$
일 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\Delta\boldsymbol{\theta}$		$\boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{r}$
일률 (스칼라)	$\boldsymbol{N}\cdot\boldsymbol{\omega}$		$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$
댐퍼와 스프링에 발생하는 힘을 고려한 운동 방정식	$I\alpha+c\omega+k\theta=N$		$ma+cv+kx=F$

4. 3. 돌림힘의 미분

물리학에서, '''돌림힘의 미분'''은 시간에 대한 돌림힘의 미분이다.^[12]

$\mathbf P = \frac{\mathrm d \boldsymbol \tau}{\mathrm d t},$

여기서 '''τ'''는 돌림힘이다.

이 단어는 '회전하다'를 의미하는 rotātus|로타투스^la에서 파생되었지만, "돌림힘의 미분"이라는 용어는 일반적으로 인식되지 않지만 흔히 사용된다. 돌림힘의 미분에 대한 연속적인 미분을 나타내는 보편적으로 받아들여지는 어휘는 없지만, 때때로 다양한 제안이 이루어졌다.

돌림힘의 외적 정의를 사용하면, 돌림힘의 미분에 대한 다른 표현식은 다음과 같다.

>

\mathbf{P} = \mathbf{r} \times \frac{\mathrm d \mathbf{F}}{\mathrm d t} + \frac{\mathrm d \mathbf{r}}{\mathrm d t} \times \mathbf{F}.

힘의 변화율은 얀크 (

\mathbf{Y}

)이고 위치의 변화율은 속도 (

\mathbf{v}

)이므로, 이 표현식은 다음과 같이 더 단순화될 수 있다.

>

\mathbf{P} = \mathbf{r} \times \mathbf{Y} + \mathbf{v} \times \mathbf{F}.

5. 돌림힘과 에너지

돌림힘과 에너지는 수학적으로 같은 단위를 가지지만, 전혀 다른 물리량이다. 에너지는 힘과 거리의 내적 결과인 스칼라량이지만, 돌림힘은 거리와 힘의 벡터곱인 벡터량이다. 돌림힘은 각을 일반화 좌표로 취급할 경우의 일반화 힘이다.

에너지 보존 법칙은 돌림힘을 이해하는 데에도 사용될 수 있다. 힘이 거리를 통해 작용하면 역학적 일을 하는 것이고, 돌림힘이 각변위를 통해 작용해도 마찬가지로 일을 하는 것이다.

5. 1. 일-에너지 정리

일정한 돌림힘

\tau

로 물체를

\theta

만큼 회전시킨 경우 한 일

W

는 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

W = \tau\theta

일-에너지 정리에 따르면, ''W''는 또한 물체의 회전 운동 에너지 ''E''_r의 변화량을 나타내며, 다음과 같이 표현된다.^[13]

:

E_{\mathrm{r}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2

여기서 ''I''는 물체의 관성 모멘트이고 ''ω''는 각속도이다.^[13]

5. 2. 일률(동력)

일률은 단위 시간당 한 일이며, 다음과 같이 주어진다.^[13]

:

P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}

여기서 ''P''는 일률, '''''τ'''''는 돌림힘, '''''ω'''''는 각속도이고,

\cdot

는 스칼라 곱을 나타낸다.

대수적으로, 주어진 각속도와 일률 출력을 위해 돌림힘을 계산하도록 방정식을 재배열할 수 있다. 돌림힘에 의해 주입된 일률은 순간 각속도에만 의존하며, 돌림힘이 적용되는 동안 각속도가 증가, 감소 또는 일정하게 유지되는지에 관계없이 적용된다(이는 힘에 의해 주입된 일률이 순간 속도에만 의존하는 선형적인 경우와 동일하며, 결과적인 가속 여부에 관계없이 적용된다).

6. 모멘트의 원리

바리뇽의 정리에 따르면, 한 점에 작용하는 여러 힘에 의한 합력 돌림힘은 각 힘에 의한 돌림힘의 합과 같다.^[8]

: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2 + \ldots + \mathbf{r}_N\times\mathbf{F}_N.$

이로부터, 물체의 지레점에 작용하는 N개의 힘으로 인한 돌림힘은 다음과 같을 때 균형을 이룬다.

: $\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2 + \ldots + \mathbf{r}_N\times\mathbf{F}_N = \mathbf{0}.$

물체가 정적 평형 상태에 있으려면, 힘의 합이 0일 뿐만 아니라 임의의 점에 대한 돌림힘(모멘트)의 합도 0이어야 한다. 수평 및 수직 힘이 작용하는 2차원 상황에서 힘의 합에 대한 요구 사항은 Σ''H'' = 0 과 Σ''V'' = 0 의 두 방정식으로, 돌림힘에 대한 요구사항은 Σ''τ'' = 0 이라는 세 번째 방정식으로 표현된다. 즉, 2차원에서 정역학적 평형 문제를 풀기 위해서는 세 개의 방정식을 사용한다.^[8]

7. 회전 운동과 병진 운동의 비교

고려한 운동 방정식 $I\alpha+c\omega+k\theta=N$ $ma+cv+kx=F$

돌림힘