단위벡터

=\frac{\boldsymbol{r}}{r}

와 같이 나타낸다. 여기서 $r=|\backslash boldsymbol\{r\}|$는 '''r'''의 길이이다.

또한, 곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 나타낼 때, 방향만 파악하기 위해 단위 벡터를 사용하는 경우가 많다. 이때 "단위-"라는 접두사를 붙여 사용한다. 예를 들어, 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

특히 $n$차원 유클리드 공간에서는 벡터가 성분으로 표시되며, 기본 벡터

:$\backslash boldsymbol\{e\}\_1=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash$

0\\

\vdots\\

0\end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}

0\\

1\\

\vdots\\

0

\end{pmatrix},\ldots, \boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}

0\\

0\\

\vdots\\

1

\end{pmatrix}

는 $n$개의 선형 독립인 단위 벡터이다.

$xyz$ 공간에서는 $x,\; y,\; z$ 각 축 방향의 단위 벡터를 각각 $\backslash boldsymbol\{i\},\; \backslash boldsymbol\{j\},\; \backslash boldsymbol\{k\}$로 표기하는 것이 관례이다. 이를 사용하여 공간 벡터 '''r'''을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{r\}=x\backslash boldsymbol\{i\}+y\backslash boldsymbol\{j\}+z\backslash boldsymbol\{k\}$

이 때 단위 벡터 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{r\}\}$의 크기는

:$|\backslash boldsymbol\{r\}|=\backslash sqrt\{x^2+y^2+z^2\}$

이므로,

$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{r\}\}$의 $\backslash boldsymbol\{i\},\; \backslash boldsymbol\{j\},\; \backslash boldsymbol\{k\}$에 대한 분해는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\hat{\boldsymbol{r}} &=\frac{1}

(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}) \\

&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{k}

\end{align}

3. 역사

정규화 연산은 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 도입하였다. 해밀턴은 3차원 단위 벡터를 "버서"(versor^영어)라고 불렀는데, 이는 vertere|베르테레^la에서 유래하였다. 3차원 단위 벡터의 곱은 (사원수로 간주했을 때) 사원수의 회전을 정의하기 때문이다. W. R. 해밀턴은 그의 사원수 체계를 개발하면서 단위 벡터를 '오른쪽 버서'라고 불렀다.

4. 표기법 및 응용

영벡터가 아닌 벡터 $\boldsymbol{p}$는 그 크기와 단위 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉, $\boldsymbol{p} = \|\boldsymbol{p}\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$ 와 같이 표현할 수 있으며, 여기서 $\frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$는 단위 벡터이다.

벡터의 정사영을 표현할 때 단위 벡터를 사용하면 간결하다. 예를 들어 벡터 '''p'''를 단위 벡터 '''e'''에 정사영했을 때,

• '''a'''의 '''e''' 방향 성분은 내적 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}$
• '''a'''의 '''e''' 방향 정사영 벡터는 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}$

와 같이 나타낼 수 있다.

역학, 전자기학 등 이공학 분야에서는 벡터 $\boldsymbol{r}$과 같은 방향의 단위 벡터를 $\hat{\boldsymbol{r}} = \frac{\boldsymbol{r}}

= \frac{\boldsymbol{r}}{r}$ 와 같이 표기한다. 여기서 $r = |\boldsymbol{r}|$는 $\boldsymbol{r}$의 크기이다.

곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 나타낼 때, 방향만 나타내기 위해 단위 벡터를 사용하기도 한다. 예를 들어 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

4. 1. 좌표계

단위 벡터는 데카르트 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계의 축을 나타내는 데 사용될 수 있다.

일반적으로 좌표계는 여러 개의 선형 독립인 단위 벡터를 사용하여 고유하게 지정할 수 있다. 3차원 공간의 경우, 이러한 벡터들은 $\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_1,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_2,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_3$으로 표시될 수 있다. 좌표계를 정규 직교하며 오른손 좌표계로 정의하는 것이 편리하다.

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_j\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_i\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_j\; \backslash times\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_k)\; =\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}$

여기서 $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타(i = j인 경우 1이고 그렇지 않으면 0)이고, $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비-치비타 기호(ijk로 정렬된 순열의 경우 1이고, kji로 정렬된 순열의 경우 -1)이다.

영벡터가 아닌 벡터 '''p'''는 크기와 단위 벡터로 나타낼 수 있다.

: $\backslash boldsymbol\{p\}\; =\; \backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{p\}\}\{\backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\}$

여기서 $\backslash frac\{\backslash boldsymbol\{p\}\}\{\backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\}$가 단위 벡터임은 노름의 선형성에서 확인할 수 있다.

: $\backslash left\backslash |\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{p\}\}\{\backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\}\; \backslash right\backslash |\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\}\; \backslash |\backslash boldsymbol\{p\}\backslash |\; =1$

이로 인해, 어떤 방향^[6]의 벡터는 크기와 방향(고정된 단위 벡터와 같거나 반대)으로 나타낼 수 있다.

벡터의 정사영을 나타낼 때도 단위 벡터를 사용하면 간결하다. 벡터 '''p'''를 (방향이 같지 않을 수도 있는) 단위 벡터 '''e'''에 정사영했을 때,

• '''a'''의 '''e''' 방향 성분은 내적 $\backslash boldsymbol\{a\}\backslash cdot\backslash boldsymbol\{e\}$이다.
• '''a'''의 '''e''' 방향 정사영 벡터는 $(\backslash boldsymbol\{a\}\backslash cdot\backslash boldsymbol\{e\})\backslash boldsymbol\{e\}$이다.

역학이나 전자기학 등의 이공학 분야에서는 벡터 '''r'''에 대해, '''r'''과 같은 방향^[6]의 단위 벡터를

: $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{r\}\}=\backslash frac\{\backslash boldsymbol\{r\}\}$

=\frac{\boldsymbol{r}}{r}

등으로 나타낸다. 여기서, $r=|\backslash boldsymbol\{r\}|$는 '''r'''의 길이이다.

또한, 곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 파악하기 위해, 방향만 나타내는 여러 단위 벡터를 사용하기도 한다. 예를 들어, 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

특히 n차원 유클리드 공간에서는 벡터가 성분으로 표시되며, 기본 벡터

: $\backslash boldsymbol\{e\}\_1=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash$

0\\

\vdots\\

0\end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}

0\\

1\\

\vdots\\

0

\end{pmatrix},\ldots, \boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}

0\\

0\\

\vdots\\

1

\end{pmatrix}

는 n개의 선형 독립인 단위 벡터이다.

4. 1. 1. 직교 좌표계 (데카르트 좌표계)

데카르트 좌표계의 축을 나타내는 데 단위 벡터를 사용할 수 있다. 3차원 데카르트 좌표계에서 ''x'', ''y'', ''z'' 축 방향의 표준 단위 벡터는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{bmatrix\},\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{bmatrix\},\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{bmatrix\}$

이들은 선형대수에서 표준 기저라고 불리는 서로 직교하는 단위 벡터 집합을 형성한다.^[1]

일반적으로 표준 단위 벡터 표기법(예: '''x̂''')보다는 일반적인 벡터 표기법(예: '''x''' 또는 $\backslash vec\{x\}$)을 사용하여 나타낸다. 대부분의 상황에서 '''x''', '''y''', '''z'''(또는 $\backslash vec\{x\},$$\backslash vec\{y\},$ 및 $\backslash vec\{z\}$)는 3차원 데카르트 좌표계의 방향 벡터라고 가정할 수 있다. 햇 기호를 사용하거나 사용하지 않고 ('''î''', '''ĵ''', '''k̂'''), ('''x̂₁''', '''x̂₂''', '''x̂₃'''), ('''ê_x''', '''ê_y''', '''ê_z'''), 또는 ('''ê₁''', '''ê₂''', '''ê₃''') 표기법도 사용된다. 특히 '''i''', '''j''', '''k'''가 다른 양(예: 집합, 배열 또는 변수 시퀀스의 요소를 식별하는 데 사용되는 ''i'', ''j'', ''k''와 같은 색인 기호)과 혼동될 수 있는 상황에서 사용된다.

공간의 단위 벡터가 '''x''', '''y''', '''z'''의 선형 결합으로 데카르트 표기법으로 표현될 때, 세 개의 스칼라 성분을 방향 코사인이라고 할 수 있다. 각 성분의 값은 단위 벡터가 해당 기저 벡터와 이루는 각도의 코사인과 같다. 이것은 직선, 직선의 선분, 방향 축 또는 방향 축의 선분(벡터)의 방향 (각도 위치)을 설명하는 데 사용되는 방법 중 하나이다.

xyz 공간에서는 x, y, z의 각 축 방향의 단위 벡터를 각각 i, j, k로 표기하는 것이 관례이다. 이것들을 사용하여 공간 벡터 '''r'''은

: $\backslash boldsymbol\{r\}=x\backslash boldsymbol\{i\}+y\backslash boldsymbol\{j\}+z\backslash boldsymbol\{k\}$

로 나타낼 수 있다.

이 때 단위 벡터 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{r\}\}$의 크기는

: $|\backslash boldsymbol\{r\}|=\backslash sqrt\{x^2+y^2+z^2\}$

가 되므로,

$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{r\}\}$의 i, j, k에 대한 분해는

: $\backslash begin\{align\}$

\hat{\boldsymbol{r}} &=\frac{1}

(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}) \\

&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{k}

\end{align}

4. 1. 2. 원통 좌표계

원통형 대칭에 적합한 세 개의 직교 단위 벡터는 다음과 같다.

• '''ρ''' ('''ê''' 또는 '''ŝ'''로도 표시됨)는 대칭 축으로부터 점까지의 거리가 측정되는 방향을 나타낸다.
• '''φ'''는 점이 대칭축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 경우 관찰될 운동의 방향을 나타낸다.
• '''ẑ'''는 대칭 축의 방향을 나타낸다.

이들은 다음과 같이 데카르트 기저 x^영어, y^영어, z^영어와 관련이 있다.

:'''ρ''' = cos(φ)x^영어 + sin(φ)y^영어

:'''φ''' = -sin(φ)x^영어 + cos(φ)y^영어

:'''ẑ''' = z^영어

벡터 '''ρ'''와 '''φ'''는 φ의 함수이며 방향이 일정하지 않다. 원통 좌표에서 미분하거나 적분할 때, 이러한 단위 벡터 자체도 연산되어야 한다. φ에 대한 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =\; -\backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =\; -\backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; -\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; -\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}.$

4. 1. 3. 구면 좌표계

구면 대칭에 적합한 단위 벡터는 다음과 같다. $\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$는 원점에서부터의 반경 거리가 증가하는 방향이다. $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}$는 양의 ''x'' 축으로부터 반시계 방향으로 ''x''-''y'' 평면에서의 각도가 증가하는 방향이다. 그리고 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash theta\}$는 양의 ''z'' 축으로부터의 각도가 증가하는 방향이다. 표현의 중복을 최소화하기 위해, 극각 $\backslash theta$는 일반적으로 0도에서 180도 사이로 취한다. 구면 좌표계로 쓰여진 순서쌍의 문맥에 유의하는 것이 특히 중요한데, $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}$와 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash theta\}$의 역할이 종종 바뀌기 때문이다. 여기서는 미국의 "물리" 규칙^[3]이 사용된다. 이것은 방위각$\backslash varphi$를 원통 좌표계와 동일하게 정의한다. 데카르트 관계는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}\; =\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}$

:$\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash theta\}\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; -\; \backslash sin\; \backslash theta\backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}$

:$\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}\; =\; -\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}$

구면 단위 벡터는 $\backslash varphi$와 $\backslash theta$ 모두에 의존하며, 따라서 5개의 가능한 0이 아닌 도함수가 있다. 더 자세한 설명은 야코비 행렬과 행렬식을 참조하라. 0이 아닌 도함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =\; -\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; \backslash sin\; \backslash theta\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash theta\}\; =\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; -\; \backslash sin\; \backslash theta\backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}=\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash theta\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash theta\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =-\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash varphi\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash theta\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash theta\}\; =\; -\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; -\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; -\; \backslash cos\; \backslash theta\backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}\; =\; -\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\; =\; -\backslash cos\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; -\; \backslash sin\; \backslash varphi\backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; =\; -\backslash sin\; \backslash theta\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}\; -\backslash cos\; \backslash theta\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash theta\}\}$

4. 2. 곡선 좌표계

일반적으로 좌표계는 여러 개의 선형 독립 단위 벡터 $\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_n$ (실제 개수는 공간의 자유도와 동일)를 사용하여 고유하게 지정할 수 있다.^[1] 일반적인 3차원 공간의 경우 이러한 벡터는 $\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_1,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_2,\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_3$으로 표시될 수 있다. 시스템을 정규 직교 및 오른손 좌표계로 정의하는 것이 거의 항상 편리하다.

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_j\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$

:$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_i\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_j\; \backslash times\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_k)\; =\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}$

여기서 $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타 (''i'' = ''j''인 경우 1이고 그렇지 않으면 0)이고, $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비-치비타 기호 (''ijk''로 정렬된 순열의 경우 1이고, ''kji''로 정렬된 순열의 경우 −1)이다.

4. 3. 기타 단위 벡터

단위 벡터는 물리학과 기하학 전반에 걸쳐 나타난다.^[4]

단위 벡터	표기법	도해
곡선/플럭스 선에 대한 접선 벡터	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{t\}\}$
표면 접선 평면에 대한 법선/반경 위치 성분과 각도 접선 성분을 포함하는 평면	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{n\}\}$
접선 및 법선에 대한 이중 법선 벡터	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{b\}\}\; =\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{t\}\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{n\}\}$[5]
어떤 축/선에 평행	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_\{\backslash parallel\}$
어떤 반경 방향으로 어떤 축/선에 수직	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_\{\backslash bot\}$
어떤 축/선에 상대적인 가능한 각도 편차	$\backslash mathbf\{\backslash hat\{e\}\}\_\{\backslash angle\}$