루진의 정리

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1. 개요
2. 루진의 정리 (Lusin's Theorem)
3. 예시 (Example)
- 3.1. 디리클레 함수 (Dirichlet Function)
4. 역사 (History)
참조

1. 개요

루진의 정리는 라돈 측도를 갖춘 하우스도르프 공간에서 가측 함수에 대한 정리로, 가측 함수를 연속 함수로 근사할 수 있음을 보여준다. 이 정리는 실수 구간에서 정의된 가측 함수 f에 대해, f를 제한한 함수가 연속이고 특정 측도 조건을 만족하는 콤팩트 집합 E가 존재한다는 내용을 포함한다. 또한, 거의 모든 곳에서 유한한 함수 f가 가측 함수이기 위한 조건을 제시하며, 일반적인 형식과 증명 방법, 그리고 디리클레 함수를 예시로 하여 루진의 정리의 유용성을 설명한다. 이 정리는 니콜라이 루진에 의해 증명되었다.

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루진의 정리
기본 정보
루진 정리의 증명에 대한 다이어그램. 거의 모든 곳에서 연속인 함수가 주어지면 측정 가능한 집합 E에서 해당 함수와 일치하는 연속 함수가 있는 작은 폐쇄 집합을 찾을 수 있다.
수학 분야
분야	실해석학
설명
설명	거의 모든 곳에서 연속인 함수는 측정 가능한 집합에서 연속 함수와 일치하는 작은 폐쇄 집합을 가진다.
이름 정보
이름	루진의 정리
명명자	니콜라이 루진

2. 루진의 정리 (Lusin's Theorem)

라돈 측도를 갖춘 하우스도르프 공간에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간으로 가는 가측 함수에 대해, '''루진의 정리'''는 주어진 가측 함수를 거의 모든 점에서 연속 함수로 근사할 수 있다는 내용을 담고 있다.

만약 $\mu(X) < \infty$ 라면, 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 닫힌 집합 $X_\epsilon \subset X$ 가 존재한다.

$\mu(X \setminus X_\epsilon) < \epsilon$
$f|_{X_\epsilon}\colon X_\epsilon \to Y$ 는 연속 함수이다.

추가로

X

가 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수

\epsilon > 0

에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합

X_\epsilon

및 연속 함수

f_\epsilon\colon X \to Y

가 존재한다.

$\mu(X \setminus X_\epsilon) < \epsilon$
$f|_{X_\epsilon} = f_\epsilon|_{X_\epsilon}$ 이다.

실수 구간의 경우, 루진 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 임의의 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 가측 함수이다. (정의역은 르베그 측도, 공역은 보렐 시그마 대수를 갖춘다.)
임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$ 에 대하여, $\mu(\{x\in[a,b]\colon f(x) \ne f_\epsilon(x)\}) < \epsilon$ 인 연속 함수 $f_\epsilon\colon[a,b]\to\mathbb R$ 가 존재한다.

2. 1. 고전적 형식 (Classical Statement)

라돈 측도를 갖춘 하우스도르프 공간에서 정의된 가측 함수에 대한 고전적 형식의 루진 정리는 다음과 같다.

실수 구간

[a,b]

에서 정의된 가측 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb C

에 대해, 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대해, 다음을 만족하는 콤팩트 집합

E\subset[a,b]

가 존재한다.

$f|_E$ 는 연속 함수이다. (여기서 $E$ 는 $[a,b]$ 로부터 부분 공간 위상을 상속받으며, $f|_E$ 의 연속성은 이 위상을 사용하여 정의된다.)^[1]^[2]
$\mu(E) > b - a - \epsilon$ ^[1]^[2]

또한, 구간

[a,b]

에서 정의되고 거의 어디에서나 유한한 함수

f

가 가측 함수가 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.^[1]^[2]

임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, $\{x\in[a,b]\colon f(x) \neq \phi(x)\}$ 의 측도가 $\epsilon$ 보다 작은, $[a,b]$ 에서 연속인 함수 $\phi$ 가 존재한다.^[1]^[2]

2. 2. 일반적 형식 (General Form)

라돈 측도

\mu

를 갖춘 하우스도르프 공간

X

에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간

Y

로 가는 가측 함수

:

f\colon X\to Y

에 대하여, 만약

\mu(X)<\infty

라면, '''루진의 정리'''에 따르면 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 닫힌 집합

X_\epsilon\subset X

가 존재한다.

$\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon$
$f|_{X_\epsilon}\colon X_\epsilon\to Y$ 는 연속 함수이다.

만약

X

가 추가로 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합

X_\epsilon

및 연속 함수

f_\epsilon\colon X\to Y

가 존재한다.

$\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon$
$f|_{X_\epsilon}=f_\epsilon|_{X_\epsilon}$ 이다.

(X,\Sigma,\mu)

를 라돈 측도 공간으로, ''Y''를 제2 가산 공간 위상 공간으로 하고 보렐 대수를 갖는다고 하자.

f: X \rightarrow Y

는 가측 함수이다.

\varepsilon>0

이 주어졌을 때, 유한 측도를 갖는 모든

A\in\Sigma

에 대해,

\mu(A\setminus E) <\varepsilon

를 만족하고

f

를

E

로 제한했을 때 연속인 닫힌 집합

E

가 존재한다. 만약

A

가 국소 콤팩트 공간이고

Y=\mathbb{R}^d

이면,

E

를 콤팩트 집합으로 선택할 수 있으며, 심지어

E

에서

f

와 일치하고 다음을 만족하는 콤팩트 지지 집합을 갖는 연속 함수

f_\varepsilon: X \rightarrow \mathbb{R}^d

를 찾을 수 있다.

:

\ \sup_{x\in X} | f_\varepsilon (x) | \leq \sup_{x\in X} | f(x) |

.

비공식적으로, 가산 기저를 갖는 공간으로의 가측 함수는 정의역의 임의로 큰 부분에서 연속 함수로 근사될 수 있다.

2. 3. 증명에 관하여 (On the Proof)

루진의 정리 증명은 많은 고전 서적에서 찾아볼 수 있다. 직관적으로, 이는 예고로프의 정리와 매끄러운 함수의 조밀성의 결과로 예상된다. 예고로프의 정리는 점별 수렴이 거의 균등하다는 것을, 균등 수렴은 연속성을 보존한다는 것을 말해준다.^[1]

3. 예시 (Example)

루진의 정리의 유용성은 디리클레 함수를 예시로 들어 설명할 수 있다. 디리클레 함수는 단위 구간 [0,1]에서 유리수에서 1, 그 외의 값에서는 0을 가지는 지시 함수이다. 이 함수의 측도는 0이어야 하지만, 유리수가 실수에서 조밀하다는 점을 고려하면 연속인 영역을 찾기가 쉽지 않다.

임의의 구간 [''a'', ''b'']에서 정의된 가측 함수 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ 에 대해, 임의의 ''ε'' > 0에 대해 콤팩트한 집합 ''E'' ⊆ [''a'', ''b'']가 존재하여 ''f''를 ''E''에 제한한 함수는 연속이며, $\mu ( E ) > b - a - \varepsilon.$ 를 만족한다. 이때 ''E''는 [''a'', ''b'']의 상대 위상을 상속하며, ''E''에 한정된 ''f''의 연속성은 이 위상을 사용하여 정의된다.

또한, 구간 [''a, b''] 상에서 정의된 거의 어디에서나 유한인 임의의 함수 f에 대해, 임의의 ''ε'' > 0''에 대하여, [''a, b''] 상에서 연속적인 함수 ''ϕ''가 존재하여 $\{x\in[a,b]:f(x) \neq \phi(x)\}$ 의 측도가 ''ε'' 미만이 되도록 할 수 있다.^[2]

3. 1. 디리클레 함수 (Dirichlet Function)

디리클레 함수는 0,1 구간에서 유리수일 때 1, 무리수일 때 0의 값을 갖는 지시 함수

1_\mathbb{Q}:[0,1]\to \{0,1\}

이다. 이 함수는 르베그 적분에서 측도가 0이지만, 유리수가 실수에서 조밀하기 때문에 연속인 영역을 찾기 어렵다.

루진의 정리를 적용하기 위해 다음과 같이 집합

E

를 구성한다.

1.

\mathbb{Q}

의 모든 유리수를 나열하여

\{x_n; n=1,2,\dots\}

와 같이 표현한다.

2. 각 유리수

x_n

에 대해 열린 구간

G_n=(x_n-\varepsilon/2^n,x_n+\varepsilon/2^n)

을 정의한다.

3.

E:=[0,1]\setminus\bigcup_{n=1}^\infty G_n

로 설정한다. 즉,

[0,1]

구간에서 모든

G_n

을 제거한 집합이다.

이렇게 구성된

E

는 닫힌 집합이며, 모든 유리수를 "제거"했기 때문에 유리수를 포함하지 않는다. 또한,

E

의 측도는

1-2\varepsilon

보다 크거나 같다. 따라서, 디리클레 함수를

E

에 제한하면 연속 함수가 된다.^[2]

4. 역사 (History)

니콜라이 루진이 증명하였다.^[3]

참조

_[1] 웹사이트 Luzin criterion - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...]
_[2] 웹사이트 Luzin criterion - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2024-06-23
_[3] 저널 Sur les propriétés des fonctions mesurables 1912

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