라돈 측도

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정칙 측도
- 2.2. 라돈 측도의 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

라돈 측도는 하우스도르프 공간의 보렐 집합에 대한 측도로, 내부 정규성과 국소 유한성을 만족한다. 라돈 측도는 국소 콤팩트 공간에서 유한 측도와 유사한 성질을 가지며, 함수 해석학적 관점에서 측도와 적분을 전개하는 데 중요한 역할을 한다. 라돈 측도는 르베그 측도, 하르 측도, 디랙 측도 등을 포함하며, 확률 측도와도 관련이 있다. 라돈 측도의 개념은 요한 라돈의 이름을 따서 명명되었으며, 함수 해석학, 확률론 등 다양한 분야에서 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

측도 - 르베그 측도
르베그 측도는 유클리드 공간에서 정의되는 보렐 측도의 완비화로, 르베그 외측도를 통해 르베그 가측 집합과 르베그 측도를 정의하며, 선택 공리 하에 르베그 측도를 할당할 수 없는 비가측 집합이 존재하기도 한다.
측도 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.

라돈 측도

2. 정의

하우스도르프 공간 ''X'' 위의 보렐 집합의 σ-대수에 대한 측도 ''m''이 다음 조건을 만족하면 라돈 측도라고 한다.

'''내부 정규성''': 모든 열린 집합 ''U''에 대해, ''m(U)''는 ''U''의 모든 콤팩트 부분집합 ''K''에 대한 ''m(K)''의 상한과 같다.
'''국소 유한성''': ''X''의 모든 점이 유한한 측도 값을 가지는 근방 ''U''를 가진다.

''m''이 국소 유한이면, ''m''은 콤팩트 집합에서 유한하다는 결론이 나오며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우 그 역도 성립한다. 따라서 이 경우 국소 유한성은 콤팩트 부분집합에서 유한한 것으로 대체할 수 있다.

2. 1. 정칙 측도

하우스도르프 공간

X

위의 시그마 대수

\Sigma\subseteq\mathcal P(X)

위의 측도

\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]

가 주어졌을 때, 다음을 정의한다.

가측 집합 $S\in\Sigma$ 가 $\mu(S)=\sup_{K\in\operatorname{Compact}(X)\cap\Sigma}^{K\subseteq S}\mu(K)$ 를 만족하면, ''' $\mu$ -내부 정칙 가측 집합'''( $\mu$ -inner regular measurable set^영어)이라고 한다.
가측 집합 $S\in\Sigma$ 가 $\mu(S)=\inf_{U\in\operatorname{Open}(X)\cap\Sigma}^{U\supseteq S}\mu(U)$ 를 만족하면, ''' $\mu$ -외부 정칙 가측 집합'''( $\mu$ -outer regular measurable set^영어)이라고 한다.

만약 모든 가측 집합이

\mu

-내부 정칙 가측 집합이라면,

\mu

를 '''내부 정칙 측도'''(inner-regular measure^영어)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이

\mu

-외부 정칙 가측 집합이라면,

\mu

를 '''외부 정칙 측도'''(outer-regular measure^영어)라고 한다.

m

을 하우스도르프 공간

X

의 보렐 집합의

\sigma

-대수에 대한 측도라고 할 때:

측도 $m$ 은 모든 열린 집합 $U$ 에 대해 $m(U)$ 가 $U$ 의 모든 콤팩트 부분집합 $K$ 에 대한 $m(K)$ 의 상한과 같으면 '''내부 정규''' 또는 '''tight'''라고 한다.
측도 $m$ 은 모든 보렐 집합 $B$ 에 대해 $m(B)$ 가 $B$ 를 포함하는 모든 열린 집합 $U$ 에 대한 $m(U)$ 의 하한과 같으면 '''외부 정규'''라고 한다.
측도 $m$ 은 $X$ 의 모든 점이 $m(U)$ 가 유한한 근방 $U$ 를 가지면 '''국소 유한'''이라고 한다.

m

이 국소 유한이면,

m

은 콤팩트 집합에서 유한하다는 결론이 나오며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우 역도 성립한다. 따라서 이 경우 국소 유한성은 콤팩트 부분집합에서 유한성으로 동등하게 대체될 수 있다.

측도

m

이 내부 정규이고 국소 유한이면 '''라돈 측도'''라고 한다. 국소 콤팩트 공간에서의 유한 측도와 같은 많은 상황에서 이는 외부 정규성을 의미하기도 한다.

2. 2. 라돈 측도의 정의

하우스도르프 공간

X

의 보렐 시그마 대수

\mathcal B(X)

위의 측도

\mu

가 다음 두 조건을 만족하면 라돈 측도라고 한다.

(내부 정칙성) 모든 보렐 집합에 대해 내부 정칙이다. 즉, 모든 보렐 집합은 $\mu$ -내부 정칙 집합이다.
(국소 유한성) $X$ 의 모든 점 $x$ 에 대하여, $\mu(U_x) < \infty$ 인 열린 근방 $U_x \ni x$ 가 존재한다.

이는 위상과 호환되는 위상 공간에서 "좋은" 측도를 찾는 방법 중 하나이다. 위상 공간의 보렐 집합에 측도를 정의하는 방식은 일반적인 접근법이지만, 이러한 측도는 잘 정의된 지지를 가지지 않을 수 있다는 문제가 있다.

다른 접근법은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 제한하고, 콤팩트 지지 집합을 가진 연속 함수 공간에 대한 양의 선형 범함수에 해당하는 측도만 고려하는 것이다. (일부 저자는 이를 라돈 측도의 정의로 사용한다.) 이 접근법은 병리적인 문제가 없는 이론을 제공하지만, 국소 콤팩트가 아닌 공간에는 적용할 수 없다.

라돈 측도 이론은 국소 콤팩트 공간에 대한 일반적인 이론의 대부분의 좋은 속성을 가지면서도, 모든 하우스도르프 위상 공간에 적용 가능하다는 장점이 있다. 라돈 측도는 양의 범함수에 해당하는 국소 콤팩트 공간에 대한 측도를 특징짓는 속성들을 찾아, 이를 임의의 하우스도르프 공간에 대한 측도의 정의로 사용한다.

좀 더 자세하게 정의하면 다음과 같다.

m

을 하우스도르프 공간

X

의 보렐 집합의

\sigma

-대수에 대한 측도라고 할 때:

측도 $m$ 은 모든 열린 집합 $U$ 에 대해 $m(U)$ 가 $U$ 의 모든 콤팩트 부분집합 $K$ 에 대한 $m(K)$ 의 상한과 같으면 '''내부 정규''' 또는 '''tight'''라고 한다.
측도 $m$ 은 모든 보렐 집합 $B$ 에 대해 $m(B)$ 가 $B$ 를 포함하는 모든 열린 집합 $U$ 에 대한 $m(U)$ 의 하한과 같으면 '''외부 정규'''라고 한다.
측도 $m$ 은 $X$ 의 모든 점이 $m(U)$ 가 유한한 근방 $U$ 를 가지면 '''국소 유한'''이라고 한다.

m

이 국소 유한이면,

m

은 콤팩트 집합에서 유한하다는 결론이 나오며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우 역도 성립한다. 따라서 이 경우 국소 유한성은 콤팩트 부분집합에서 유한성으로 동등하게 대체될 수 있다.

내부 정규이고 국소 유한인 측도

m

을 '''라돈 측도'''라고 부른다. 국소 콤팩트 공간에서의 유한 측도와 같은 많은 상황에서 이는 외부 정규성을 의미하기도 한다.

3. 성질

국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 라돈 측도는 콤팩트 지지 연속함수 공간 위의 양의 선형 범함수와 일대일 대응된다.^[3] (리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리)

$X$ 위의 라돈 측도들의 집합은 $\mathcal C_K(X;\mathbb R)$ 위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합과 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 $\mu$ 에 대하여, 다음의 함수는 음이 아닌 범함수이다.

: $f\in\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)\mapsto\int_Xf\,d\mu$ ^[3]

위상 공간 위에 측도가 정해질 때, 그 측도가 공간의 위상과 어떤 의미에서든 양립하는 좋은 측도의 개념이 있는가 하는 것이 흔히 제기되는 문제이다. 해당 위상 공간의 보렐 집합 위의 측도를 정의하는 것은 하나의 방법이지만, 여기에는 일반적으로 몇 가지 문제가 있다. 예를 들어 그러한 측도에는 지지가 제대로 정의될 수 있다고 단정할 수 없다. 또는 측도론을 국소 콤팩트하우스도르프 공간으로 제한하여 생각하고, 측도로서 (일부 문헌에서는 라돈 측도의 정의에 채택된) 콤팩트 지지를 가진 연속 함수의 공간 위의 양의 선형 범함수에 대응하는 것만을 고려하는 방법도 있다. 이렇게 하면 병적인 문제를 포함하지 않는 좋은 이론을 얻을 수 있지만, 그대로는 국소 콤팩트가 아닌 공간에 적용할 수 없다.

라돈 측도의 이론은 국소 콤팩트 공간의 흔한 좋은 성질의 대부분을 가지고 있지만, 임의의 하우스도르프 공간에 적용할 수 있다. 라돈 측도의 정의의 아이디어는, 양의 범함수에 대응하는 국소 콤팩트 공간 위의 측도를 특징짓는 어떤 성질을 찾는 것이고, 이러한 성질을 임의의 하우스도르프 공간 위의 라돈 측도의 정의로 이용하는 데에 있다.

기저가 되는 측도 공간이 국소 컴팩트 공간일 때, 라돈 측도는 컴팩트 지지를 갖는 연속 함수 전체의 공간 위의 연속 선형 범함수의 언어로 정의할 수 있다. 이를 통해 측도와 적분 이론을 함수해석학을 이용하여 전개할 수 있다.

만약 $m$ 이 $X$ 에 대한 라돈 측도라면, 다음 사상은 $\mathcal{K}(X)$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 연속 양의 선형 사상이다.

: $I\colon f \mapsto \int f(x)\, m(dx)$

여기서 양성이라는 것은 $f$ 가 음수가 아닌 함수일 때마다 $I(f) \ge 0$ 임을 의미한다. $X$ 의 모든 콤팩트 부분 집합 $K$ 에 대해, $X$ 에서 $K$ 에 포함된 지지를 갖는 모든 연속 실수 값 함수 $f$ 에 대해 다음을 만족하는 상수 $M_K$ 가 존재한다.

: $|I(f)| \leq M_K \sup_{x\in X} |f(x)|$

리스의 표현 정리에 의해, $\mathcal{K}(X)$ 에 대한 각 양의 선형 형식은 고유한 정규 보렐 측도에 대한 적분으로 나타난다.

'''실수 값 라돈 측도'''는 $\mathcal{K}(X)$ 에 대한 모든 연속 선형 형식으로 정의된다. 이는 두 라돈 측도의 차이이다. 이는 실수 값 라돈 측도와 국소 볼록 공간 $\mathcal{K}(X)$ 의 쌍대 공간 간의 식별을 제공한다.

어떤 보렐 집합 $B$ 에 대한 또 다른 측도 $M$ 은 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{는 } B \subseteq V \subseteq X \text{를 만족하는 열린 집합} \} .$

측도 $M$ 은 외부 정칙이며 국소 유한하고, 열린 집합에 대해 내부 정칙이다. 이 측도는 콤팩트 집합과 열린 집합에서 $m$ 과 일치하며, $m$ 은 콤팩트 집합에서 $M$ 과 같고 유일한 내부 정칙 측도로부터 재구성될 수 있다. 측도 $m$ 이 '''완만한 증가'''(moderated^영어)라는 것은, $m$ 이 $\sigma$ -유한임을 의미한다. 이 경우 측도 $m$ 과 $M$ 은 같다.^[6]

강 린델뢰프 공간에서는 모든 라돈 측도가 완만한 증가이다.

위상 공간에서 모든 유한 보렐 측도가 라돈 측도이면 라돈 공간이라고 하고, 모든 국소 유한 보렐 측도가 라돈 측도이면 강 라돈 공간이라고 한다. 모든 수슬린 공간은 강 라돈 공간이며, 더욱이 모든 라돈 측도는 조절된다.

$X$ 에 대한 모든 (양의) 라돈 측도의 집합 $\mathcal{M}_{+} (X)$ 는 두 측도 사이의 '''라돈 거리'''를 다음과 같이 정의하여 완비 거리 공간의 구조를 부여할 수 있다.

: $\rho (m_{1}, m_{2}) = \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) (m_1 - m_2) (dx) \ \right| \mathrm{연속\,} f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.$

이 거리는 몇 가지 제한 사항이 있다. 예를 들어, $X$ 에 대한 라돈 확률 측도 공간인

: $\mathcal{P} (X) = \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \},$

은 라돈 거리에 대해 열 콤팩트가 아니다. 즉, 확률 측도 시퀀스가 라돈 거리에 대해 수렴하는 부분 시퀀스를 가질 것이라고 보장할 수 없으며, 이는 특정 응용 분야에서 어려움을 야기한다. 반면에, $X$ 가 콤팩트 거리 공간인 경우, 바서슈타인 거리는 $\mathcal{P}(X)$ 를 콤팩트 거리 공간으로 변환한다.

라돈 거리에서의 수렴은 측도의 약한 수렴을 의미한다.

: $\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,$

그러나 일반적인 경우 역은 성립하지 않는다. 라돈 거리에서의 측도 수렴은 약한 수렴과 대조적으로 때때로 '''강한 수렴'''으로 알려져 있다.

3. 1. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도

X^영어가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.

X

위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간 위의 범함수가 음이 아닌 함수에 대해 항상 음이 아닌 값을 가진다면, 이 범함수를 '''음이 아닌 범함수'''라고 한다.

X

위의 라돈 측도들의 집합과

\mathcal C_K(X;\mathbb R)

위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도

\mu

에 대하여,

:

f\in\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)\mapsto\int_Xf\,d\mu

는 음이 아닌 범함수이다.^[2]

리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리에 의해,

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 각 양의 선형 형식은 고유한 정규 보렐 측도에 대한 적분으로 나타난다.

'''실수 값 라돈 측도'''는

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 연속 선형 형식으로 정의된다. 이는 두 라돈 측도의 차이이다. 이는 실수 값 라돈 측도와 국소 볼록 공간

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

의 쌍대 공간 간의 식별을 제공한다.

일부 문헌에서는

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 양의 선형 형식으로 (양의) 라돈 측도를 정의하기도 한다.^[3] 이러한 설정에서 위에서 언급한 의미에서의 라돈 측도를 ''양의'' 측도라고 부르고, 위의 실수 값 라돈 측도를 (실수) 측도라고 부르는 용어를 사용하는 것이 일반적이다.

국소 콤팩트 공간에 대한 측도론을 함수 해석적 관점에서 구축하려면, 측도(적분)를 콤팩트 지지 연속 함수에서 확장해야 한다. 이는 다음과 같은 여러 단계로 실수 또는 복소수 값 함수에 대해 수행할 수 있다.

# 하반연속 양(실수값) 함수

g

의 '''상적분'''

\mu^*(g)

을,

h \le g

인 콤팩트 지지 연속 함수

h

에 대한 양수

\mu(h)

의 상한 (무한대일 수 있음)으로 정의한다.

# 임의의 양(실수값) 함수

f

에 대한 상적분

\mu^*(f)

를

g \ge f

인 하반연속 함수

g

에 대한 상적분

\mu^*(g)

의 하한으로 정의한다.

# 절댓값의 상적분

\mu^*(|f|)

이 유한한

X

상의 모든 함수

f

의 공간으로 벡터 공간

F = F(X, \mu)

를 정의한다. 절댓값의 상적분은

F

에 대한 세미 노름을 정의하며,

F

는 세미 노름에 의해 정의된 위상에 대해 완비 공간이다.

# '''적분 가능 함수'''의 공간

L^1(X, \mu)

를 콤팩트 지지 연속 함수 공간의

F

내부의 폐포로 정의한다.

#

\mu

가

L^1(X, \mu)

의 위상에 대해 연속임을 확인한 후,

L^1(X, \mu)

에 있는 함수에 대한 '''적분'''을 연속성에 의한 확장으로 정의한다.

# 집합의 측도를 집합의 지시 함수의 적분(존재하는 경우)으로 정의한다.

이러한 단계를 통해 각

X

의 보렐 집합에 숫자를 할당하는 함수로 정의된 라돈 측도에서 시작하는 이론과 동일한 이론을 생성함을 확인할 수 있다.

3. 2. 측도

X

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.

X

위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

X

위의 라돈 측도들의 집합과

\mathcal C_K(X;\mathbb R)

위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도

\mu

에 대하여,

:

f\in\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)\mapsto\int_Xf\,d\mu

는 음이 아닌 범함수이다.^[3]

위상 공간 위에 측도가 정해질 때, 그 측도가 공간의 위상과 어떤 의미에서든 양립하는 좋은 측도의 개념이 있는가 하는 것이 흔히 제기되는 문제이다. 해당 위상 공간의 보렐 집합 위의 측도를 정의하는 것은 하나의 방법이지만, 여기에는 일반적으로 몇 가지 문제가 있다. 예를 들어 그러한 측도에는 지지가 제대로 정의될 수 있다고 단정할 수 없다. 또는 측도론을 국소 콤팩트하우스도르프 공간으로 제한하여 생각하고, 측도로서 (일부 문헌에서는 라돈 측도의 정의에 채택된) 콤팩트 지지를 가진 연속 함수의 공간 위의 양의 선형 범함수에 대응하는 것만을 고려하는 방법도 있다. 이렇게 하면 병적인 문제를 포함하지 않는 좋은 이론을 얻을 수 있지만, 그대로는 국소 콤팩트가 아닌 공간에 적용할 수 없다.

기저가 되는 측도 공간이 국소 컴팩트 공간일 때, 라돈 측도는 컴팩트 지지를 갖는 연속 함수 전체의 공간 위의 연속 선형 범함수의 언어로 정의할 수 있다. 이를 통해 측도와 적분 이론을 함수해석학을 이용하여 전개할 수 있다.

만약

m

이

X

에 대한 라돈 측도라면, 사상

:

I\colon f \mapsto \int f(x)\, m(dx)

는

\mathcal{K}(X)

에서

\mathbb{R}

로의 연속 양의 선형 사상이다. 양성이라는 것은

f

가 음수가 아닌 함수일 때마다

I(f) \ge 0

임을 의미한다.

X

의 모든 콤팩트 부분 집합

K

에 대해,

X

에서

K

에 포함된 지지를 갖는 모든 연속 실수 값 함수

f

에 대해

:

|I(f)| \leq M_K  \sup_{x\in X} |f(x)|

를 만족하는 상수

M_K

가 존재한다.

반대로, 리스의 표현 정리에 의해,

\mathcal{K}(X)

에 대한 각 양의 선형 형식은 고유한 정규 보렐 측도에 대한 적분으로 나타난다.

'''실수 값 라돈 측도'''는

\mathcal{K}(X)

에 대한 모든 연속 선형 형식으로 정의된다. 이는 두 라돈 측도의 차이이다. 이는 실수 값 라돈 측도와 국소 볼록 공간

\mathcal{K}(X)

의 쌍대 공간 간의 식별을 제공한다.

3. 3. 적분

X

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 라돈 측도의 적분은 함수해석학적 관점에서 정의될 수 있다.^[2] 이는 함수 해석학을 이용하여 측도와 적분을 전개하는 방법으로, 부르바키 등 여러 학자들이 사용한 접근 방식이다.^[2]

우선,

X

위의 콤팩트 지지집합을 갖는 연속 실수 값 함수들의 공간을 생각한다. 이 공간은 자연스러운 국소 볼록 공간 위상을 가지며, 귀납적 극한을 통해 정의된다.

라돈 측도

m

이 주어지면, 다음 사상은 에서 로의 연속 양의 선형 사상이 된다.

:

I\colon f \mapsto \int f\, dm

여기서 '양'은

f

가 음수가 아닌 함수일 때

I(f) \ge 0

임을 의미한다. 또한, 이 사상의 연속성은 다음 조건과 동치이다.

$X$ 의 임의의 콤팩트 부분 집합 $K$ 에 대해, 상수 $M_K$ 가 존재하여, $X$ 위의 실수값 연속 함수 $f$ 중 그 지지가 $K$ 에 포함되는 모든 $f$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

|I(f)| \leq M_K  \sup_{x\in X} |f(x)|

리스의 표현 정리에 따르면, 위의 모든 양의 선형 형식은 라돈 측도에 관한 적분으로 나타낼 수 있으며, 이는 위의 연속 양의 선형 형식과 같다.
실수 값 라돈 측도는 위의 임의의 연속 선형 형식으로 정의되며, 이는 두 라돈 측도의 차이로 표현될 수 있다. 이는 실수 값 라돈 측도와 국소 볼록 공간의 쌍대 공간을 동일시할 수 있게 한다. 예를 들어,

\sin(x)dx

는 실수 값 라돈 측도이지만, 두 측도의 차이로 나타낼 수 없어 부호 측도로 확장할 수 없다.

일부 문헌에서는 라돈 측도를 위의 양의 선형 형식으로 정의하기도 한다.^[3] 이 경우, 앞서 설명한 라돈 측도는 '양의 측도', 실수 값 라돈 측도는 '측도'라고 불린다.

함수 해석적 관점에서 측도론을 구축하기 위해, 측도(적분)는 콤팩트 지지 연속 함수에서 확장될 수 있다. 이는 다음 단계를 통해 실수 또는 복소수 값 함수에 대해 수행된다.

1. 하반연속 양(실수 값) 함수

g

의 상적분

μ*(g)

는

h ≤ g

인 콤팩트 지지 연속 함수

h

에 대한 양수

μ(h)

의 상한으로 정의된다. (무한대 가능)

2. 임의의 양(실수 값) 함수

f

에 대한 상적분

μ*(f)

는

g ≥ f

인 하반연속 함수

g

의 상적분

μ*(g)

의 하한으로 정의된다.

3. 벡터 공간

F = F(X, μ)

는

X

상의 함수

f

중 절댓값의 상적분

μ*(|f|)

가 유한한 함수들의 공간으로 정의된다. 절댓값의 상적분은

F

상의 반노름을 정의하며,

F

는 이 반노름에 의해 정의된 위상에 대해 완비 공간이 된다.

4. 적분 가능 함수의 공간

L^1(X, μ)

는 콤팩트 지지 연속 함수 공간의

F

내부의 폐포로 정의된다.

5.

L^1(X, μ)

에 있는 함수에 대한 적분은

μ

가

L^1(X, μ)

의 위상에 대해 연속임을 확인한 후, 연속성에 의한 확장으로 정의된다.

6. 집합의 측도는 집합의 지시 함수의 적분(존재하는 경우)으로 정의된다.

이러한 단계를 통해 얻어진 이론은 라돈 측도를

X

상의 각 보렐 집합에 숫자를 할당하는 함수로 정의하는 이론과 동일하다.

르베그 측도는 함수 해석적 설정을 통해 여러 방법으로 도입될 수 있다. 한 가지 방법은 다니엘 적분이나 콤팩트 지지를 갖는 연속 함수에 대한 리만 적분과 같은 "기본" 적분에 의존하는 것이다. 이 기본 적분에 의해 정의된 측도는 정확히 르베그 측도이다. 다른 방법은 하르 측도의 일반 이론을 먼저 개발하고, 정규화 조건

λ([0, 1]) = 1

을 만족하는 상의 하르 측도

λ

로 르베그 측도를 정의하는 것이다.

3. 4. 완만한 증가 라돈 측도

을 하우스도르프 공간 의 보렐 집합의 -대수에 대한 라돈 측도라고 하자. 보렐 집합에 대한 또 다른 측도 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{는 } B \subseteq V \subseteq X \text{를 만족하는 열린 집합} \} .

측도 은 외부 정칙이며 국소 유한하고, 열린 집합에 대해 내부 정칙이다. 이 측도는 콤팩트 집합과 열린 집합에서 과 일치하며, 은 콤팩트 집합에서 과 같고 유일한 내부 정칙 측도로부터 재구성될 수 있다. 측도 이 '''완만한 증가'''(moderated^영어)라는 것은, 이 -유한임을 의미한다. 이 경우 측도 과 은 같다. (이 -유한하다고 해서 이 -유한하다는 것을 의미하지는 않으므로, 조절된 측도가 되는 것은 -유한한 것보다 더 강한 조건이다.)^[6]

강 린델뢰프 공간에서는 모든 라돈 측도가 완만한 증가이다.

3. 5. 라돈 공간

위상 공간에서 모든 유한 보렐 측도가 라돈 측도이면 라돈 공간이라고 하고, 모든 국소 유한 보렐 측도가 라돈 측도이면 강 라돈 공간이라고 한다. 모든 수슬린 공간은 강 라돈 공간이며, 더욱이 모든 라돈 측도는 조절된다.

3. 6. 쌍대성

국소 콤팩트 하우스도르프 공간

X

에서, 콤팩트 지지 집합을 갖는 연속 함수 공간

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 양의 선형 범함수는 라돈 측도에 대응된다.^[3]

X

위의 라돈 측도들의 집합은

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합과 일대일 대응된다. 구체적으로, 라돈 측도

\mu

에 대해, 다음의 함수는 음이 아닌 범함수이다.

:

f\in\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)\mapsto\int_Xf\,d\mu

'''실숫값 라돈 측도'''는

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

에 대한 모든 연속 선형 형식으로 정의되며, 이는 두 라돈 측도의 차이로 표현될 수 있다. 이는 실수 값 라돈 측도와 국소 볼록 공간

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

의 쌍대 공간 간의 대응 관계를 제공한다.

몇몇 문헌에서는 라돈 측도를

\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)

위의 양의 선형 형식으로 정의하기도 한다.^[3] 이 경우, 위에서 설명한 라돈 측도를 '양의 측도'라 부르고, 실숫값 라돈 측도를 '(실) 측도'라고 부른다.

3. 7. 거리 공간 구조

는 에 대한 모든 (양의) 라돈 측도의 집합이며, 두 측도 사이의 '''라돈 거리'''를 다음과 같이 정의하여 완비 거리 공간의 구조를 부여할 수 있다.

:

\rho (m_{1}, m_{2}) = \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) (m_1 - m_2) (dx) \ \right| \mathrm{연속\,} f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.

이 거리는 몇 가지 제한 사항이 있다. 예를 들어, 에 대한 라돈 확률 측도 공간인

:

\mathcal{P} (X) = \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \},

은 라돈 거리에 대해 열 콤팩트가 아니다. 즉, 확률 측도 시퀀스가 라돈 거리에 대해 수렴하는 부분 시퀀스를 가질 것이라고 보장할 수 없으며, 이는 특정 응용 분야에서 어려움을 야기한다. 반면에, 가 콤팩트 거리 공간인 경우, 바서슈타인 거리는 를 콤팩트 거리 공간으로 변환한다.

라돈 거리에서의 수렴은 측도의 약한 수렴을 의미한다.

:

\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,

그러나 일반적인 경우 역은 성립하지 않는다. 라돈 거리에서의 측도 수렴은 약한 수렴과 대조적으로 때때로 '''강한 수렴'''으로 알려져 있다.

4. 예

르베그 측도 (보렐 부분 집합으로 제한됨)^[4]
하르 측도 (모든 국소 콤팩트 위상군에 대한)^[4]
디랙 측도 (모든 위상 공간에 대한)^[4]
가우스 측도 (유클리드 공간 ℝ|R^영어^''n''와 보렐 시그마 대수)^[4]
모든 폴란드 공간의 보렐 집합의 σ-대수에 대한 확률 측도.^[4] 이 예시는 이전 예시를 일반화할 뿐만 아니라, 구간에서 실수 값을 갖는 연속 함수 공간에 대한 비너 측도와 같이 국소 콤팩트 공간이 아닌 많은 공간에 대한 측도를 포함한다.
ℝ|R^한국어에 대한 측도는 국소 유한 보렐 측도일 때만 라돈 측도이다.^[4]

5. 역사

요한 라돈의 이름을 따서 지어졌다.

참조

_[1] 서적 https://archive.org/[...]
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적 Financial modelling with jump processes Chapman & Hall
_[6] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com