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리 대수 근기

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목차

1. 개요

리 대수 근기는 가환환 K 위의 리 대수 g의 아이디얼 중 가해 리 대수를 이루는 것들의 부분 순서 집합이 최대 원소를 가질 때, 이 최대 원소를 g의 근기라고 정의한다. 리 대수의 근기는 존재한다면 유일하며, K-뇌터 가군인 경우 존재한다. 특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다. 리 대수의 근기가 0일 때 반단순 리 대수이며, 근기가 중심과 같을 때 가약 리 대수이다. 가환환 K 위의 가해 리 대수 g의 근기는 g 전체이다.

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리 대수 근기

2. 정의

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g를 생각하자. \mathfrak g의 부분 리 대수 \mathfrak h가 다음 조건을 만족시킬 때, \mathfrak h를 \mathfrak g의 '''아이디얼'''(ideal영어)이라고 한다.

:[\mathfrak g,\mathfrak h] \subseteq \mathfrak h

만약 \mathfrak g의 아이디얼 중에서 가해 리 대수인 것들의 집합이 (부분 집합 관계에 대해) 부분 순서 집합으로서 최대 원소를 갖는다면, 이 최대 원소를 \mathfrak g의 '''근기'''라고 하며,[2] 다음과 같이 표기한다.

:\operatorname{rad}(\mathfrak g)

체 k 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak{g}는 항상 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기를 갖는다. 이는 다음과 같은 이유 때문이다.

먼저, \mathfrak{a}와 \mathfrak{b}가 \mathfrak{g}의 두 가해 아이디얼이라고 하자. 그러면 이들의 합 \mathfrak{a}+\mathfrak{b} 역시 \mathfrak{g}의 아이디얼이 된다. 또한, 동형 정리에 의해 (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})/\mathfrak{a}\simeq\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})가 성립하는데, 우변은 가해 리 대수 \mathfrak{b}의 몫이므로 가해 리 대수이다. 따라서 \mathfrak{a}+\mathfrak{b}는 가해 아이디얼 \mathfrak{a}를 부분 아이디얼로 갖고 그 몫이 가해 리 대수인 확대 형태이므로, \mathfrak{a}+\mathfrak{b} 자체도 가해 리 대수가 된다. 이제 \mathfrak{g}의 모든 가해 아이디얼의 합을 생각해보자. 영 아이디얼 \{0\}도 가해 아이디얼이므로 이 합은 공집합이 아니다. 위에서 보인 것처럼 가해 아이디얼들의 합은 다시 가해 아이디얼이 되므로, 모든 가해 아이디얼의 합은 \mathfrak{g} 내에 존재하는 가장 큰 가해 아이디얼이다. 따라서 이는 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기가 된다.

3. 성질

정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

리 대수 \mathfrak g가 특정 조건(예: K-뇌터 가군인 경우)을 만족하면 근기가 존재한다. 특히, 체 k 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak{g}는 항상 뇌터 가군이므로 근기를 갖는다.[2] 유한 차원 리 대수의 경우, 모든 가해 아이디얼의 합 역시 유한 차원이므로 자연스럽게 최대 원소가 존재하며, 이것이 바로 유일한 최대 가해 아이디얼인 근기가 된다.

3. 1. 근기 존재 증명

만약 리 대수 \mathfrak g가 K-뇌터 가군이라면, \mathfrak g의 근기가 존재한다. 이는 다음 두 조건을 만족하기 때문에 모든 가해 아이디얼들의 합이 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기가 되기 때문이다.

  • ㈎ \mathfrak g의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
  • ㈏ \mathfrak g의 임의의 부분 가군들의 족 \mathcal I에 대하여, 그 합 \textstyle\sum\mathcal I은 어떤 유한 집합 \mathcal I'\subseteq\mathcal I에 대하여 \textstyle\sum\mathcal I = \sum\mathcal I'를 만족한다. (이 성질은 \mathfrak g가 뇌터 가군이라는 조건으로부터 직접적으로 유도된다.)


특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 뇌터 가군이므로 근기를 갖는다.[2] 유한 차원 리 대수 \mathfrak{g}의 경우, 모든 가해 아이디얼의 합은 유한 차원이므로 자동적으로 최대 원소가 되며, 이것이 바로 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기이다.

3. 1. 1. ㈎ 증명

\mathfrak g의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

:\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq\mathfrak g

그렇다면, \mathfrak a+\mathfrak b는 역시 \mathfrak g의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다.

짧은 완전열

:0\to\mathfrak a\to\mathfrak a+\mathfrak b \to \frac{\mathfrak a+\mathfrak b}{\mathfrak a}\cong \frac{\mathfrak b}{\mathfrak a\cap \mathfrak b}\to0

에 의하여, \mathfrak a+\mathfrak b는 가해 리 대수 \mathfrak b의 몫 \mathfrak b/(\mathfrak a\cap \mathfrak b)의, 가해 리 대수 \mathfrak a에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

3. 1. 2. ㈏ 증명

\mathfrak g의 K-부분 가군들의 족

:\mathcal I\subseteq\operatorname{Pow}(\mathfrak g)

이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 집합

:\mathcal I'\subseteq\mathcal I

:|\mathcal I'|<\aleph_0

에 대하여

:\sum\mathcal I' \subsetneq \sum\mathcal I

라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, \mathcal I의 원소들의 열 \mathfrak a_0,\mathfrak a_1,\dotsc을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.

:임의의 i\in\mathbb N에 대하여, 귀류법 가정에 따라 \textstyle\sum_{j이므로, \{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j이다. 선택 공리를 사용하여, \mathfrak a_i\in\{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j를 임의로 고른다.

그렇다면, 구성에 따라

:0\subsetneq \mathfrak a_0 \subsetneq\mathfrak a_0 + \mathfrak a_1 \subsetneq\mathfrak a_0+\mathfrak a_1+\mathfrak a_2\subsetneq\dotsb

이다. 이는 \mathfrak g가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.

3. 2. 관련 개념과의 관계

체 K 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g에 대하여, 그 근기(\operatorname{rad}\mathfrak g)와 다른 개념들 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

  • 리 대수 \mathfrak g가 반단순 리 대수인 것은 그 근기가 0인 것과 동치이다. 즉, \operatorname{rad}\mathfrak g = 0일 때, 그리고 오직 그때만 \mathfrak g는 반단순 리 대수이다.

  • 만약 리 대수 \mathfrak g의 근기가 그 중심 \operatorname Z(\mathfrak g)과 같다면, 즉 \operatorname{rad}\mathfrak g = \operatorname Z(\mathfrak g)이라면, \mathfrak g를 '''가약 리 대수'''(可約Lie代數, reductive Lie algebraeng)라고 한다. 다시 말해, 리 대수는 그 근기가 중심과 같을 때, 그리고 오직 그때만 가약 리 대수이다.

4. 예

가환환 K 위의 가해 리 대수 \mathfrak g의 근기는 (항상 존재하며) \mathfrak g 전체이다.

참조

[1] 서적 Algebras, Rings and Modules: Lie Algebras and Hopf Algebras https://books.google[...] American Mathematical Society
[2] 서적 Lie groups beyond an introduction https://www.springer[...] Birkhäuser 2002


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