동형 정리

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1. 개요

동형 정리는 추상대수학의 중요한 정리로, 대수적 구조 간의 관계를 이해하는 데 사용된다. 이 정리는 군, 환, 가군과 같은 다양한 대수적 구조에 적용되며, 여러 개의 동형 정리로 구성된다. 1927년 에미 뇌터에 의해 일반화되었으며, 이후 반 데르 바르덴에 의해 현대 대수학 교과서에 소개되었다. 동형 정리는 보편 대수학, 군론, 환론, 가군론 등 다양한 분야에서 그 형태를 달리하며, 각 구조에 맞는 방식으로 정의된다. 특히, 제1 동형 정리, 제2 동형 정리, 제3 동형 정리, 제4 동형 정리(대응 정리)가 널리 사용된다. 한국의 수학 교육 과정에서도 대학교 수학에서 중요하게 다루어진다.

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코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.

동형 정리
개요
분야	수학, 특히 추상대수학
하위 분야	군론, 환론, 모듈 이론, 선형대수학, 범주론
관련 개념	동형 사상, 준동형 사상, 핵, 잉여류, 몫군, 아이디얼, 몫환, 부분군, 부분환, 부분모듈, 부분공간
군론에서의 동형 정리
제1 동형 정리 (준동형 정리)	만약 φ: G → H가 군 준동형 사상이라면, 다음이 성립한다. G / ker(φ) ≅ im(φ)
제2 동형 정리 (격자 정리, 다이아몬드 정리)	만약 G가 군이고, S가 G의 부분군이며, N이 G의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다. (S ∩ N)은 S의 정규 부분군이다. S / (S ∩ N) ≅ (SN) / N
제3 동형 정리	만약 G가 군이고, N과 M이 G의 정규 부분군이며, M이 N의 부분군이라면, 다음이 성립한다. (G / M) / (N / M) ≅ G / N
제4 동형 정리 (격자 정리, 대응 정리)	만약 G가 군이고, N이 G의 정규 부분군이라면, N을 포함하는 G의 부분군들의 집합과 G/N의 부분군들의 집합 사이에 포함 관계를 보존하는 전단사 대응이 존재한다.
환론에서의 동형 정리
제1 동형 정리 (준동형 정리)	만약 φ: R → S가 환 준동형 사상이라면, 다음이 성립한다. R / ker(φ) ≅ im(φ)
제2 동형 정리	만약 R이 환이고, S가 R의 부분환이며, I가 R의 아이디얼이라면, 다음이 성립한다. (S + I) / I ≅ S / (S ∩ I)
제3 동형 정리	만약 R이 환이고, I와 J가 R의 아이디얼이며, J가 I의 부분집합이라면, 다음이 성립한다. (R / J) / (I / J) ≅ R / I
모듈 이론에서의 동형 정리
제1 동형 정리 (준동형 정리)	만약 φ: M → N이 R-가군 준동형 사상이라면, 다음이 성립한다. M / ker(φ) ≅ im(φ)
제2 동형 정리	만약 M이 R-가군이고, S가 M의 부분가군이며, N이 M의 부분가군이라면, 다음이 성립한다. (S + N) / N ≅ S / (S ∩ N)
제3 동형 정리	만약 M이 R-가군이고, N과 K가 M의 부분가군이며, K가 N의 부분가군이라면, 다음이 성립한다. (M / K) / (N / K) ≅ M / N
선형대수학에서의 동형 정리
차원 정리 (랭크-널리티 정리)	만약 T: V → W가 선형 변환이라면, 다음이 성립한다. dim(V) = dim(ker(T)) + dim(im(T))
범주론에서의 동형 정리
동형 정리	만약 f: A → B가 범주 C에서의 사상이라면, f가 동형 사상일 필요충분조건은 f가 단사 사상이며 전사 사상인 것이다.

2. 역사

동형 정리의 개념이 명확하게 정립되기 이전에도, 리하르트 데데킨트의 연구와 에미 뇌터의 초기 논문 등에서 그 기본적인 형태를 찾아볼 수 있다.^[33]

동형 정리는 1927년, 독일의 선구적인 여성 수학자 에미 뇌터가 수학 연보(Mathematische Annalen)에 발표한 논문 "대수적 수체 및 함수체의 아이디얼 이론의 추상적 구성"(Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern^ger)에서 모듈의 준동형사상에 대해 처음으로 일반적인 형태로 공식화되었다.^[32]^[33] 이는 이전의 개별적인 결과들을 통합하고 다양한 대수 구조에 보편적으로 적용될 수 있는 길을 열었다는 점에서 중요한 학문적 진전으로 평가받는다.

3년 뒤인 1930년, 네덜란드의 수학자 판 데르 바르덴(B.L. van der Waerden)은 그의 저서 현대 대수학(Moderne Algebra)를 출판했다. 이 책은 군-환-체 구조를 중심으로 서술한 최초의 추상대수학 교과서로서, 이후 대수학 연구 및 교육에 큰 영향을 미쳤다. 판 데르 바르덴은 이 책을 집필하며 에미 뇌터의 군론 강의, 에밀 아르틴의 대수학 강의, 그리고 아르틴, 빌헬름 블라슈케, 오토 슈라이어, 판 데르 바르덴 자신이 참여했던 아이디얼 관련 세미나 등을 주요 참고 자료로 삼았다고 밝혔다.

"현대 대수학"에서는 군(group)에 적용되는 세 가지 동형 정리, 즉 '준동형 정리(Homomorphism theorem)'와 '두 가지 동형 법칙(two laws of isomorphism)'이 명시적으로 소개되었다.

하지만 동형 정리들을 지칭하는 방식, 특히 "제1 동형 정리", "제2 동형 정리" 등으로 번호를 붙여 부르는 관례는 여러 문헌과 저자에 따라 차이가 있어 통일된 기준은 없다. 아래 표는 주요 저서에서 군 동형 정리를 어떻게 명명하고 분류하는지의 예를 보여준다. 이러한 정리들은 환과 모듈에 대해서도 유사한 형태가 존재한다.

군의 동형 정리 이름 비교

분류

저자

정리 1

정리 2

정리 3

"제3" 없음

Jacobson^[20]

준동형사상의 기본 정리(Fundamental theorem of homomorphisms)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

van der Waerden,^[21] Durbin^[22]

준동형사상의 기본 정리(Fundamental theorem of homomorphisms)

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

Knapp^[23]

(해당 없음)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

Grillet^[24]

준동형사상 정리(Homomorphism theorem)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

"제3" 있음

(Other convention per Grillet)

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

Rotman^[25]

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)

Fraleigh^[26]

(해당 없음)

제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)

제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)

Dummit & Foote^[27]

제1 동형 정리(First isomorphism theorem)

일반적이지는 않지만, 이 세 가지 기본 정리 외에 대응 정리(Correspondence theorem) 또는 격자 정리(Lattice theorem)로 알려진 정리를 네 번째 동형 정리로 포함시켜 다루기도 한다.

3. 보편 대수학에서의 동형 정리

보편 대수학은 다양한 대수 구조들을 통합적으로 다루는 수학의 한 분야이다. 대수 구조 $(S,F)$ 는 집합 $S$ 와, $S^{\times n}\to S$ 꼴의 함수들의 집합 $F$ 의 순서쌍으로 정의된다. 같은 연산들을 갖는 두 대수 구조 사이의 준동형은 이러한 연산들을 보존하는 함수를 의미한다.

군, 환, 가군 등에서 성립하는 세 가지 동형 정리(제1, 제2, 제3 동형 정리)는 보편 대수학의 틀 안에서 임의의 대수 구조에 적용될 수 있도록 일반화될 수 있다. 이러한 일반화의 핵심 개념은 합동 관계(congruence relation)이다.

대수계 $A$ 위의 '''합동'''은 다음 두 조건을 만족하는 동치 관계 $\Phi \subseteq A \times A$ 이다.

$\Phi$ 는 $A \times A$ 의 부분 집합이다.
성분별 연산 구조가 주어진 $A \times A$ 의 부분 대수이다. 즉, $A$ 의 모든 $n$ 항 연산 $f$ 와 $\Phi$ 에 속하는 모든 원소 쌍 $(a_i, b_i)$ (단, $1 \le i \le n$ )에 대해, $(f(a_1, \dots, a_n), f(b_1, \dots, b_n))$ 역시 $\Phi$ 에 속해야 한다.

합동 관계

\Phi

가 주어지면, 동치류들의 집합

A/\Phi

위에 자연스럽게 연산을 정의하여

A

와 같은 타입의 대수 구조를 만들 수 있다. 이를 몫대수(quotient algebra)라고 한다. 합동 관계는 특정 대수 구조에서 중요한 개념들을 일반화하는데, 예를 들어 군 이론의 정규 부분군, 환 이론의 아이디얼, 가군 이론의 부분가군 등은 모두 합동 관계의 특별한 경우에 해당한다.

동형 정리는 에미 뇌터가 1927년 수학 연보에 발표한 논문 ''대수적 수체 및 함수체의 아이디얼 이론의 추상적 구성''(Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern^de)에서 가군의 준동형사상에 대해 일반적으로 공식화되었다.^[13] 이러한 정리의 초기 형태는 리하르트 데데킨트의 저작과 뇌터의 이전 논문에서도 찾아볼 수 있다. 3년 후, 바르텔 레엔데르트 반 데르 바르덴은 군, 환, 체 접근 방식을 취한 최초의 추상대수학 교과서인 현대 대수학(Moderne Algebra)를 출판했다. 반 데르 바르덴은 이 책에서 군론에 대한 뇌터의 강의와 대수에 대한 에밀 아르틴의 강의 등을 주요 참고 문헌으로 언급했으며, 세 개의 동형 정리를 명시적으로 다루었다.^[14]

3. 1. 제1 동형 정리 (보편 대수학)

대수 준동형사상

f:A \rightarrow B

가 주어졌다고 하자. 이때 다음 명제들이 성립한다.

$f$ 의 상 $\operatorname{im} f = f(A)$ 는 $B$ 의 부분 대수 구조이다.
$f(x)=f(y)$ 일 때와 오직 그럴 때만 $x \sim y$ 라고 정의하면, 이 관계 $\sim$ 는 $A$ 위의 합동 관계이다. 이 합동 관계는 준동형사상 $f$ 의 핵 $\ker f$ 에 의해 유도된다. 구체적으로, $x \sim y$ 는 $x$ 와 $y$ 가 핵에 대해 같은 동치류에 속함을 의미한다.
예를 들어, 군의 준동형사상 $f: G \to H$ 의 경우, 핵은 $\ker f = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}$ (여기서 $e_H$ 는 $H$ 의 항등원)이며, 이는 정규 부분군이다. 합동 관계 $x \sim y$ 는 $f(x)=f(y)$ 와 동치이고, 이는 다시 $f(xy^{-1}) = e_H$ , 즉 $xy^{-1} \in \ker f$ 와 동치이다. 이는 $x$ 와 $y$ 가 핵 $\ker f$ 에 대한 같은 잉여류에 속한다는 것( $x(\ker f) = y(\ker f)$ )과 같다.
몫대수 $A/\sim$ (합동 관계 $\sim$ 에 대한 $A$ 의 모든 동치류들의 집합으로 구성된 대수 구조)는 상 $\operatorname{im} f$ 와 동형이다. 즉, 두 대수 구조는 본질적으로 동일하며, $A/\sim \cong \operatorname{im} f$ 로 표기한다.

이 정리는 보편 대수학의 가장 기본적인 결과 중 하나로, 특정 종류의 대수 구조(군, 환, 벡터 공간 등)에 국한되지 않고, 연산이 정의된 거의 모든 대수 구조에 일반적으로 적용될 수 있다는 점에서 중요하다. 주요 대수 구조에서 제1 동형 정리의 핵심 요소들이 구체적으로 어떻게 나타나는지는 아래 표와 같다.

주요 대수 구조에서의 제1 동형 정리 요소 대응
보편 대수	군	환	가군
대수 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$ -왼쪽 가군 $M$
합동 관계 $\sim$ 를 유도하는 핵 $\ker f$	정규 부분군 $N = \ker f \vartriangleleft G$	양쪽 아이디얼 $\mathfrak a = \ker f \subset R$	부분가군 $N = \ker f \subset M$
합동 관계 $x \sim y$	$xN = yN$ (같은 왼쪽 잉여류) 또는 $xy^{-1} \in N$	$x + \mathfrak a = y + \mathfrak a$ (같은 잉여류) 또는 $x - y \in \mathfrak a$	$x + N = y + N$ (같은 잉여류) 또는 $x - y \in N$
몫 대수 $A/\sim$	몫군 $G/N$	몫환 $R/\mathfrak a$	몫가군 $M/N$
상 $\operatorname{im} f$	부분군 $f(G) \le B$	부분환 $f(R) \subset S$ (여기서 $f: R \to S$ )	부분가군 $f(M) \subset P$ (여기서 $f: M \to P$ )

3. 2. 제2 동형 정리 (보편 대수학)

보편 대수학에서 대수

A

와

A

의 부분 대수

B

, 그리고

A

위의 합동 관계

\Phi

가 주어졌다고 가정하자.

\Phi

는

B

의 원소들 사이에도 관계를 정의하는데, 이를

\Phi

의

B

위에서의 자취(trace) 또는 제한(restriction)이라 하며

\Phi_B = \Phi \cap (B \times B)

로 표기한다.

또한, 몫대수

A/\Phi

에서

B

와 교집합을 가지는 동치류들의 모임을

[B]^\Phi

라고 표기한다. 즉,

[B]^\Phi=\{K \in A/\Phi: K \cap B \neq\emptyset\}

이다. (이는

A

의 부분 대수

B^\Phi=\{a\in A|[a]_\Phi\cap B\ne\varnothing\}

에 대응하는

A/\Phi

의 부분 대수이다.)

이때 다음이 성립한다:

#

\Phi_B

는 부분 대수

B

위의 합동 관계이다.

#

[B]^\Phi

는 몫대수

A/\Phi

의 부분 대수이다.

# 두 대수

[B]^\Phi

와

B/\Phi_B

는 서로 동형이다. 즉,

[B]^\Phi \cong B/\Phi_B

이다.

이 정리는 보편 대수학의 결과이므로 모든 종류의 대수 구조에 적용될 수 있다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

제2 동형 정리의 예시
보편 대수	군	환	가군
대수 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$ -왼쪽 가군 $M$
합동 관계 $\Phi$	정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 에 의한 합동	아이디얼 $\mathfrak a\subset R$ 에 의한 합동	부분가군 $N\subset M$ 에 의한 합동
부분 대수 $B\subset A$	부분군 $H\le G$	부분환 $S\subset R$	부분가군 $P\subset M$
$B^\Phi\subset A$	HN=\{hn>h\in H, n\in N\}\le G	S+\mathfrak a=\{s+a>s\in S, a\in\mathfrak a\}\subset R	P+N=\{p+n>p\in P, n\in N\}\subset M
$\Phi_B$	$H\cap N\vartriangleleft H$ 에 의한 합동	$S\cap\mathfrak a\subset S$ 에 의한 합동	$P\cap N\subset P$ 에 의한 합동
동형 관계 $[B]^\Phi \cong B/\Phi_B$	$HN/N \cong H/(H\cap N)$	$(S+\mathfrak a)/\mathfrak a \cong S/(S\cap\mathfrak a)$	$(P+N)/N \cong P/(P\cap N)$

3. 3. 제3 동형 정리 (보편 대수학)

대수

A

위에 두 합동 관계

\sim_1, \sim_2

가 주어졌으며,

a\sim_1b

일 때 항상

a\sim_2b

가 성립한다고 가정하자. 이는

\sim_1

이

\sim_2

보다 더 고른 동치 관계임을 의미한다. 이 경우 다음 두 가지 주요 결과가 성립한다.

몫대수 $A/\sim_1$ 위의 이항 관계 $\sim_2/\sim_1$ 를 $[a]_{\sim_1} \sim_2/\sim_1 [b]_{\sim_1} \iff a\sim_2b$ 로 정의할 수 있다. 이렇게 정의된 $\sim_2/\sim_1$ 는 $A/\sim_1$ 위의 합동 관계이다.
몫대수 $(A/\sim_1)/(\sim_2/\sim_1)$ 는 $A/\sim_2$ 와 동형이다. 즉, $(A/\sim_1)/(\sim_2/\sim_1) \cong A/\sim_2$ 이다.

이 정리는 다른 표기법으로도 나타낼 수 있다. 대수

A

와

A

위의 두 합동 관계

\Phi, \Psi

가 주어지고,

\Psi \subseteq \Phi

(즉,

(a, b) \in \Psi

이면 항상

(a, b) \in \Phi

)라고 하자. 그러면,

$\Phi/\Psi = \{ ([a']_\Psi,[a'']_\Psi) \mid (a',a'')\in \Phi\}$ 는 몫대수 $A/\Psi$ 위의 합동 관계이다. 여기서 $[a]_\Psi$ 는 $\Psi$ 에 대한 $a$ 의 동치류를 나타낸다.
몫대수 $A/\Phi$ 는 $(A/\Psi)/(\Phi/\Psi)$ 와 동형이다. 즉, $A/\Phi \cong (A/\Psi)/(\Phi/\Psi)$ 이다.

이러한 동형 정리는 보편 대수학의 기본 결과 중 하나로, 다양한 대수 구조에 보편적으로 적용될 수 있다. 주요 대수 구조에서의 제3 동형 정리의 구체적인 형태는 다음과 같다.

보편 대수	군	환	가군
대수 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$ -왼쪽 가군 $M$
합동 관계 $\sim$	정규 부분군 $N\vartriangleleft G$	아이디얼 $\mathfrak a\subset R$	부분가군 $N\subset M$
$\sim_1$ 이 $\sim_2$ 보다 더 고름 ( $\Psi \subseteq \Phi$ )	두 정규 부분군 $N_1, N_2 \vartriangleleft G$ 에 대해 $N_1\subset N_2$	두 아이디얼 $\mathfrak a_1, \mathfrak a_2 \subset R$ 에 대해 $\mathfrak a_1\subset\mathfrak a_2$	두 부분가군 $N_1, N_2 \subset M$ 에 대해 $N_1\subset N_2$
몫대수 $A/\sim_1$ ( $A/\Psi$ )	몫군 $G/N_1$	몫환 $R/\mathfrak a_1$	몫가군 $M/N_1$
합동 관계 $\sim_2/\sim_1$ ( $\Phi/\Psi$ )	몫군 $N_2/N_1$ 는 $G/N_1$ 의 정규 부분군이다 ( $N_2/N_1\vartriangleleft G/N_1$ ).	몫환 $\mathfrak a_2/\mathfrak a_1$ 는 $R/\mathfrak a_1$ 의 아이디얼이다 ( $\mathfrak a_2/\mathfrak a_1\subset R/\mathfrak a_1$ ).	몫가군 $N_2/N_1$ 는 $M/N_1$ 의 부분가군이다 ( $N_2/N_1\subset M/N_1$ ).
동형 관계 $(A/\sim_1)/(\sim_2/\sim_1) \cong A/\sim_2$ ( $(A/\Psi)/(\Phi/\Psi) \cong A/\Phi$ )	$(G/N_1)/(N_2/N_1) \cong G/N_2$	$(R/\mathfrak a_1)/(\mathfrak a_2/\mathfrak a_1) \cong R/\mathfrak a_2$	$(M/N_1)/(N_2/N_1) \cong M/N_2$

3. 4. 제4 동형 정리 (보편 대수학, 대응 정리)

A

를 대수 구조라 하고,

\operatorname{Con}A

를

A

상의 모든 합동 관계의 집합으로 나타내자. 집합

\operatorname{Con}A

는 포함 관계에 의해 정렬된 완비 격자를 이룬다.^[17]

\Phi\in\operatorname{Con}A

가

A

의 한 합동 관계라고 하자. 이때,

\Phi

를 포함하는

A

의 모든 합동 관계들의 집합을

\left[\Phi,A\times A\right]\subseteq\operatorname{Con}A

로 나타낼 수 있다. 이 집합

\left[\Phi,A\times A\right]

는

\operatorname{Con}A

에서

\Phi

에 의해 생성되는 주 필터이며, 동시에 부분 격자가 된다.

제4 동형 정리(대응 정리)는 이 집합

\left[\Phi,A\times A\right]

와 몫 대수

A/\Phi

의 합동 관계들의 집합

\operatorname{Con}(A/\Phi)

사이에 특별한 관계가 있음을 보여준다. 구체적으로, 다음과 같이 정의된 사상

\alpha

는 격자 동형 사상이다.^[18]^[19]

\alpha:\left[\Phi,A\times A\right]\to\operatorname{Con}(A/\Phi)

\Psi\mapsto\Psi/\Phi

이는

\Phi

를 포함하는

A

의 합동 관계

\Psi

들과 몫 대수

A/\Phi

의 합동 관계

\Psi/\Phi

들 사이에 구조를 보존하는 일대일 대응 관계가 성립함을 의미한다. 즉,

A

에서

\Phi

보다 '큰' 합동 관계들의 구조와

A/\Phi

의 전체 합동 관계들의 구조가 동일하다는 것이다.

4. 군론에서의 동형 정리

군의 동형 정리는 가군의 준동형사상에 대해 에미 뇌터가 1927년 Mathematische Annalen에 발표한 논문 ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern''에서 다소 일반적인 형태로 공식화되었다.^[20]^[21] 이러한 정리의 덜 일반적인 버전은 리하르트 데데킨트의 저서와 뇌터의 이전 논문에서도 찾아볼 수 있다.

3년 후, 바르텔 레엔데르트 반 데르 바르덴은 그의 영향력 있는 저서 ''Moderne Algebra'' (1930)를 출판했는데, 이는 군-환-체 접근 방식을 취한 최초의 추상대수학 교과서 중 하나였다. 반 데르 바르덴은 군론에 대한 뇌터의 강의와 대수학에 대한 에밀 아르틴의 강의, 그리고 아르틴, 빌헬름 블라슈케, 오토 슈라이어, 반 데르 바르덴 자신이 아이디얼에 관해 진행한 세미나를 주요 참고 문헌으로 언급했다. 이 책에서 군에 적용되는 세 개의 동형 정리, 즉 '''준동형사상 정리'''와 '''두 개의 동형 법칙'''이 명시적으로 나타난다.^[21]

일반적으로 군론에서는 세 가지 동형 정리를 기본으로 다루지만, 문헌에 따라서는 대응 정리를 포함하여 네 가지 정리를 다루기도 한다. 또한 각 정리를 "제1 동형 정리", "제2 동형 정리" 등으로 부르지만, 어떤 정리를 몇 번째로 부를지는 문헌마다 차이가 있다. 다음 표는 여러 문헌에서 군의 동형 정리에 부여하는 이름의 예를 보여준다.

군의 동형 정리 이름 비교
분류	저자	정리 1	정리 2	정리 3
"제3" 없음	Jacobson^[20]	준동형사상의 기본 정리(Fundamental theorem of homomorphisms)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)
	van der Waerden,^[21] Durbin^[22]	준동형사상의 기본 정리(Fundamental theorem of homomorphisms)	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)
	Knapp^[23]	(해당 없음)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)
	Grillet^[24]	준동형사상 정리(Homomorphism theorem)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)
"제3" 있음	(Other convention per Grillet)	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)	제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)
	Rotman^[25]	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)	제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)
	Fraleigh^[26]	(해당 없음)	제2 동형 정리(Second isomorphism theorem)	제3 동형 정리(Third isomorphism theorem)
	Dummit & Foote^[27]	제1 동형 정리(First isomorphism theorem)	일반적이지는 않지만, 이들에 대응 정리를 네 번째 정리로 추가하여 "제4 동형 정리" 또는 "격자 정리"라고 부르기도 한다. 4. 1. 제1 동형 정리 (군) 군 ''G''와 ''H''가 있고, 준동형사상 $\phi\colon G \to H$ 가 주어졌다고 하자. 이때 다음이 성립한다. # $\phi$ 의 핵 $\ker\phi$ 는 ''G''의 정규 부분군이다. # $\phi$ 의 상 $\phi(G)$ 는 ''H''의 부분군이다. # $\phi$ 의 상 $\phi(G)$ 는 몫군 $G/\ker\phi$ 와 동형이다. 즉, $G/\ker\phi \cong \phi(G)$ 이다. 특히, 만약 준동형사상 $\phi$ 가 전사사상이라면, ''H''는 몫군 $G/\ker\phi$ 와 동형이다 ( $H \cong G/\ker\phi$ ). 이 정리는 일반적으로 제1 동형 정리라고 불린다. 4. 2. 제2 동형 정리 (군) 군 $G$ 가 주어졌다고 하자. $S$ 를 $G$ 의 부분군이라 하고, $N$ 을 $G$ 의 정규 부분군이라고 하자. 그러면 다음 명제들이 성립한다. # 곱 $SN = \{sn \| s \in S, n \in N\}$ 은 $G$ 의 부분군이다. # 부분군 $N$ 은 곱 $SN$ 의 정규 부분군이다 ( $N \vartriangleleft SN$ ). # 교집합 $S \cap N$ 은 $S$ 의 정규 부분군이다 ( $S \cap N \vartriangleleft S$ ). # 몫군 $(SN)/N$ 과 $S/(S\cap N)$ 은 동형이다. 즉, $(SN)/N \cong S/(S\cap N)$ 이다. 기술적으로, $N$ 이 반드시 $G$ 전체의 정규 부분군일 필요는 없다. 만약 $S$ 가 $N$ 의 정규화 부분군 $N_G(N)$ 의 부분군이라면 ( $S \le N_G(N)$ ), 위 명제들은 여전히 성립한다. 이 경우, $N$ 은 곱 $SN$ 의 정규 부분군이지만, $G$ 전체의 정규 부분군은 아닐 수도 있다. 또한, 교집합 $S \cap N$ 은 $S$ 의 정규 부분군이다. 이 정리는 때때로 다이아몬드 동형 정리^[1] 또는 평행사변형 정리^[2]라고도 불린다.^[12] 평행사변형이라는 이름은 관련된 부분군들의 하세 도표를 그렸을 때 나타나는 모양에서 유래했다. 제2 동형 정리의 한 가지 응용은 사영 선형군을 식별하는 것이다. 예를 들어, 복소수체 $\mathbb{C}$ 위에서의 경우를 생각해보자. $G = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ 는 가역 2 × 2 복소행렬들의 군이다. $S = \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ 는 행렬식이 1인 행렬들의 부분군이다. $N = \mathbb{C}^{\times}\!I = \left\{\left( \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{smallmatrix} \right) : a \in \mathbb{C}^{\times} \right\}$ 는 0이 아닌 스칼라 행렬들의 정규 부분군이다. 이때 교집합 $S \cap N = \{\pm I\}$ 이고 ( $I$ 는 항등 행렬), 곱 $SN = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ 가 된다. 제2 동형 정리를 적용하면 다음과 같은 동형 관계를 얻는다. $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{C}) := \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})/(\mathbb{C}^{\times}\!I) \cong \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})/\{\pm I\} =: \operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})$ 여기서 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{C})$ 는 사영 일반 선형군이고, $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})$ 는 사영 특수 선형군이다. 4. 3. 제3 동형 정리 (군) $G$ 를 군이라 하고, $N$ 과 $K$ 를 $G$ 의 정규 부분군이며 $K \subseteq N$ 을 만족한다고 하자. (즉, $K \vartriangleleft G$ 이고 $N \vartriangleleft G$ 이며 $K$ 는 $N$ 의 부분군이다.) 이때 다음이 성립한다. 1. 몫군 $N/K$ 는 몫군 $G/K$ 의 정규 부분군이다. ( $N/K \vartriangleleft G/K$ ) 2. 몫군 $(G/K)/(N/K)$ 는 몫군 $G/N$ 과 동형이다. ( $(G/K)/(N/K) \cong G/N$ ) 4. 4. 제4 동형 정리 (군, 대응 정리, 격자 정리) 군 $G$ 와 $G$ 의 정규 부분군 $N$ 이 주어졌다고 하자. 자연스러운 준동형사상 $G \rightarrow G/N$ 은 $N$ 을 포함하는 $G$ 의 부분군들의 집합과 $G/N$ 의 (모든) 부분군들의 집합 사이에 일대일 대응 관계를 정의한다. 이 대응 관계에서 정규 부분군은 정규 부분군으로 정확히 대응된다. 이 정리는 때때로 대응 정리 또는 격자 정리라고도 불리며, 제4 동형 정리라는 이름으로도 알려져 있다. 차례 정규화 보조정리(나비 보조정리라고도 함)가 제4 동형 정리로 불리는 경우도 있다.^[3] 일부 문헌에서는 대응 정리를 세 번째 또는 네 번째 동형 정리로 소개하기도 하며, 다른 문헌에서는 자센하우스 보조정리를 네 번째 동형 정리로 부르기도 한다.^[30] 5. 환론에서의 동형 정리 환에 대한 동형 정리들은 군론에서의 동형 정리와 내용이 유사하며, 군의 정규 부분군 개념이 환의 아이디얼 개념으로 대체된다. 동형 정리는 보편 대수학의 관점에서 다양한 대수 구조에 일반적으로 적용될 수 있다. 역사적으로 동형 정리는 에미 뇌터가 1927년 수학 연보에 발표한 논문 ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern^de''(대수적 수체 및 함수체의 아이디얼 이론의 추상적 구성)에서 가군의 준동형사상에 대해 일반적으로 공식화되었다. 이러한 정리의 초기 형태는 리하르트 데데킨트의 저작과 뇌터의 이전 논문들에서도 찾아볼 수 있다. 3년 후, 바르텔 레엔데르트 반 데르 바르덴은 그의 영향력 있는 저서 ''현대 대수학''(Moderne Algebra)에서 군-환-체 접근 방식을 통해 동형 정리들을 소개했다.^[21] 이는 최초의 현대 추상대수학 교과서 중 하나로 평가받으며, 반 데르 바르덴은 에미 뇌터의 군론 강의, 에밀 아르틴의 대수학 강의, 그리고 아이디얼에 관한 세미나 등을 주요 참고 자료로 언급했다.^[21] 5. 1. 제1 동형 정리 (환) $R$ 과 $S$ 를 환이라고 하고, $\varphi: R \to S$ 를 환 준동형 사상이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. # $\varphi$ 의 핵 $\ker\varphi$ 는 $R$ 의 아이디얼이다. # $\varphi$ 의 상 $\operatorname{im}\varphi$ 는 $S$ 의 부분환이다. # $\varphi$ 의 상 $\operatorname{im}\varphi$ 는 몫환 $R/\ker\varphi$ 와 동형이다. 즉, $R/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi$ 이다. 특히, $\varphi$ 가 전사 사상이면 $S$ 는 $R/\ker\varphi$ 와 동형이다.^[14] 5. 2. 제2 동형 정리 (환) 환 $R$ 과 그것의 부분환 $S\subset R$ , 그리고 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a\subset R$ 가 주어졌다고 하자. 이때 다음 세 가지 명제가 성립한다. 합 $S+\mathfrak a=\{s+a\mid s\in S, a\in\mathfrak a\}$ 는 $R$ 의 부분환이다. 교집합 $S\cap\mathfrak a$ 는 부분환 $S$ 의 아이디얼이다. 몫환 $(S+\mathfrak a)/\mathfrak a$ 와 $S/(S\cap\mathfrak a)$ 는 서로 동형이다. 이를 기호로 표현하면 $(S+\mathfrak a)/\mathfrak a\cong S/(S\cap\mathfrak a)$ 이다. 5. 3. 제3 동형 정리 (환) ''R''을 환으로 한다. ''A''와 ''B''를 ''R''의 아이디얼로 $B \subseteq A \subseteq R$ 라고 하자. 이때 # 집합 $A/B$ 는 몫환 $R/B$ 의 아이디얼이다. # 몫환 $(R/B)/(A/B)$ 는 $R/A$ 와 동형이다. 즉, $(R/B)/(A/B) \cong R/A$ 이다. 5. 4. 제4 동형 정리 (환, 대응 정리) 환 $R$ 과 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 주어졌다고 하자. 이때 $I$ 를 포함하는 $R$ 의 부분환 $A$ 들의 집합과, 몫환 $R/I$ 의 부분환들의 집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 이 대응은 $I$ 를 포함하는 $R$ 의 부분환 $A$ 를 몫환 $R/I$ 의 부분환 $A/I$ 에 대응시키는 함수 $A \mapsto A/I$ 이다. 이 함수는 전단사 함수이며 포함 관계를 보존한다. 즉, $I$ 를 포함하는 $R$ 의 두 부분환 $A, B$ 에 대해, $A \subseteq B$ 일 필요충분 조건은 $A/I \subseteq B/I$ 인 것이다. 또한, 이 대응은 아이디얼 구조도 보존한다. 즉, $I$ 를 포함하는 부분환 $A$ 가 $R$ 의 아이디얼일 필요충분 조건은, 대응하는 몫환의 부분환 $A/I$ 가 $R/I$ 의 아이디얼인 것이다. 이 내용을 대응 정리라고 부른다. 일부 문헌에서는 이 대응 정리를 세 번째 또는 네 번째 동형 정리로 소개하기도 한다. 또한 다른 문헌에서는 Zassenhaus lemma\|자센하우스 보조정리^eng를 네 번째 동형 정리로 하고 있다^[30]。 6. 가군론에서의 동형 정리 보편 대수학의 원리에 따라 세 가지 주요 동형 정리는 다양한 대수 구조에 적용될 수 있으며, 가군 역시 이러한 구조 중 하나이다. 일반적으로 가군에 대한 논의는 주어진 환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군 $M$ 을 기준으로 이루어진다. 가군에 대한 동형 정리는 에미 뇌터가 1927년 수학 연보에 발표한 논문 "대수적 수체 및 함수체의 아이디얼 이론의 추상적 구성"(Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern^de)에서 처음으로 현대적이고 일반적인 형태로 공식화되었다.^[21] 물론 이 정리들의 초기 형태는 리하르트 데데킨트의 연구나 뇌터 자신의 이전 논문에서도 찾아볼 수 있다. 3년 후, 바르텔 레엔데르트 반 데르 바르덴은 영향력 있는 교과서 Moderne Algebra를 출판했는데, 이는 군, 환, 체를 중심으로 추상대수학을 다룬 최초의 교과서 중 하나였다. 반 데르 바르덴은 이 책에서 군론에 대한 뇌터의 강의, 대수학에 대한 에밀 아르틴의 강의, 그리고 아르틴, 빌헬름 블라슈케, 오토 슈라이어, 그리고 자신 등이 참여한 아이디얼 관련 세미나를 주요 참고 자료로 언급했다. 이 책에는 군에 적용되는 세 가지 동형 정리, 즉 '준동형 정리'와 '두 가지 동형 법칙'이 명시적으로 기술되었다. 가군에 대한 동형 정리의 명제는 임의의 부분 가군으로부터 몫 가군을 쉽게 구성할 수 있기 때문에 특히 단순하다. 벡터 공간 (체 위의 가군)과 아벨 군 ( $\mathbb{Z}$ 위의 가군)에 대한 동형 정리는 가군 동형 정리의 특수한 경우로 볼 수 있다. 특히 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이들 정리는 모두 계수-퇴화 차수 정리로부터 유도될 수 있다. 문헌에 따라 동형 정리들에 "제1 동형 정리", "제2 동형 정리" 등으로 번호를 붙이는 방식이 다르기도 하다.^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29] 때로는 대응 정리를 "제4 동형 정리"로 포함시키기도 한다.^[16]^[30] 6. 1. 제1 동형 정리 (가군) '''M'''과 '''N'''을 가군이라고 하고, $\phi\colon M\to N$ 을 가군 준동형사상이라고 하자. 이때 제1 동형 정리는 다음과 같이 서술할 수 있다. # ''φ''의 핵 $\ker\phi$ 는 ''M''의 부분가군이다. # ''φ''의 상 $\phi(M)$ 은 ''N''의 부분가군이다. # ''φ''의 상 $\phi(M)$ 은 몫가군 $M/\ker\phi$ 과 동형이다. 즉, $M/\ker\phi\cong\phi(M)$ 관계가 성립한다. 특히, ''φ''가 전사 사상일 경우, ''N''은 $M/\ker\phi$ 와 동형이다. 6. 2. 제2 동형 정리 (가군) $M$ 을 가군이라고 하고, $S$ 와 $T$ 를 $M$ 의 부분 가군이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. # 합 $S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$ 는 $M$ 의 부분 가군이다. # 교집합 $S \cap T$ 는 $S$ 의 부분 가군이다. (따라서 $M$ 의 부분 가군이기도 하다.) # 몫 가군 $(S + T)/T$ 와 $S/(S \cap T)$ 는 동형이다. 즉, $(S+T)/T \cong S/(S \cap T)$ 이다. 6. 3. 제3 동형 정리 (가군) ''M''을 가군으로 하고, ''S''와 ''T''를 ''M''의 부분 가군으로 $T \subseteq S \subseteq M$ 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다. 몫 가군 $S/T$ 는 몫 가군 $M/T$ 의 부분 가군이다. 몫 가군 $(M/T)/(S/T)$ 는 몫 가군 $M/S$ 와 동형이다. 즉, $(M/T)/(S/T) \cong M/S$ 이다. 6. 4. 제4 동형 정리 (가군, 대응 정리) $M$ 을 가군이라 하고, $N$ 을 $M$ 의 부분가군이라고 하자. 이때 $N$ 을 포함하는 $M$ 의 부분가군과 $M/N$ 의 부분가군 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 이 대응 관계는 $N$ 을 포함하는 모든 부분가군 $A$ ( $A\supseteq N$ )에 대해 $A\leftrightarrow A/N$ 으로 주어진다. 이 대응은 합집합과 교집합 연산에 대해 보존되며, 이는 $M/N$ 의 부분가군 격자와 $N$ 을 포함하는 $M$ 의 부분가군 격자 사이에 격자 동형 관계가 성립함을 의미한다.^[16] 이 정리는 흔히 대응 정리라고 불린다. 일부 문헌에서는 이 대응 정리를 세 번째 또는 네 번째 동형 정리로 소개하기도 한다. 또한 다른 문헌에서는 Zassenhaus lemma\|자센하우스 보조정리^영어를 네 번째 동형 정리로 부르기도 한다^[30]. 참조 _[1] 서적 Algebra: A Graduate Course https://archive.org/[...] American Mathematical Soc. _[2] 서적 Classic Algebra https://archive.org/[...] Wiley _[3] 서적 The Finite Simple Groups Springer-Verlag London 2009 _[4] 문서 Jacobson (2009), sec 1.10 _[5] 서적 Algebra _[6] 문서 Durbin (2009), sec. 54 _[7] 문서 Knapp (2016), sec IV 2 _[8] 문서 Grillet (2007), sec. I 5 _[9] 문서 Rotman (2003), sec. 2.6 _[10] 문서 Fraleigh (2003), Chap. 14, 34 _[11] 서적 Abstract algebra https://www.worldcat[...] 2004 _[12] 문서 Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms _[13] 문서 Scott (1964), secs 2.2 and 2.3 _[14] 웹사이트 An Introduction to the Theory of Field Extensions https://math.uchicag[...] 2022 _[15] 서적 Abstract algebra https://archive.org/[...] Wiley 2004 _[16] 문서 Dummit and Foote (2004), p. 349 _[17] 문서 Burris and Sankappanavar (2012), p. 37 _[18] 문서 Burris and Sankappanavar (2012), p. 49 _[19] 웹사이트 Is there a general form of the correspondence theorem? https://math.stackex[...] 2019-07-20 _[20] 문서 Jacobson (2009), sec 1.10 _[21] 서적 Algebra _[22] 문서 Durbin (2009), sec. 54 _[23] 문서 Knapp (2016), sec IV 2 _[24] 문서 Grillet (2007), sec. I 5 _[25] 문서 Rotman (2003), sec. 2.6 _[26] 문서 Fraleigh (2003), Chap. 34 _[27] 서적 Abstract algebra https://www.worldcat[...] 2004 _[28] 문서 Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms _[29] 문서 Scott (1964), secs 2.2 and 2.3 _[30] 서적 The Finite Simple Groups Springer-Verlag London 2009 _[31] 서적 https://www.math.uwa[...] 2022-08-08 _[32] 저널 http://resolver.sub.[...] 2014-10-19 _[33] 서적 http://ukcatalogue.o[...] 본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다. 모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다. 하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다. 따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다. 문의하기 : help@durumis.com

동형 정리

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참조