미분 형식 전기역학

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1. 개요
2. 일반적인 전자기학 (1-형식 전자기학)
3. p-형식 전자기학
4. 제르브 (Gerbe)
5. 끈 이론 및 M-이론과의 관계
6. 비가환 일반화
7. 한국 물리학계의 연구 동향
참조

1. 개요

미분 형식 전기역학은 전자기학을 미분 형식으로 일반화한 이론으로, 1차 미분 형식인 전자기 퍼텐셜을 사용한다. 이 이론은 게이지 변환에 불변하며, 맥스웰 방정식과 연속 방정식을 따른다. p-형식 전자기학은 이를 p차 미분 형식으로 확장한 것으로, 칼브-라몬드 장, 라몽-라몽 장, 11차원 초중력 등 끈 이론 및 M-이론과 연관되어 연구된다. 게이지 퍼텐셜은 제르브와 관련되며, 비가환 일반화도 가능하다.

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미분 형식 전기역학
개요
유형	물리학 이론
분야	전자기학 수학 물리학
관련 개념	미분 형식 게이지 이론 끈 이론
상세 내용
설명	'p-形式電磁気学(p-형식 전자기학)은 전자기학의 일반화된 이론이다.'
수학적 토대	미분 형식
주요 특징	미분 형식을 사용하여 전자기장을 기술
응용 분야	끈 이론 M 이론
관련 이론	맥스웰 방정식 양-밀스 이론 칼브-라몬 장
수학적 표현
장세기	'F = dA (여기서 A는 p-형식 게이지장, F는 (p+1)-형식 장세기)'
작용	'S = ∫ F ∧ ∗F (여기서 ∗는 호지 쌍대)'
운동 방정식	'd∗F = 0 (진공 상태)'
쌍대 형태	'∗F는 또 다른 (D-p-1) 형식 장세기를 정의 (D는 시공간 차원)'
추가 정보
중요성	'끈 이론과 M 이론에서 중요한 역할 수행'
일반화	'전자기학을 넘어서 다양한 물리적 현상 기술 가능'

2. 일반적인 전자기학 (1-형식 전자기학)

일반적인 전기역학에서는 1차 미분 형식 $A$ (전자기 퍼텐셜)가 존재한다. 이는 진공에서 다음과 같은 맥스웰 방정식을 따른다.

: $d*dA=0$

이는 다음과 같은 게이지 변환에 대하여 불변한다.

: $A\to A+d\alpha$

마찬가지로, 임의의 ''p''차 미분 형식 $B$ 에 대하여, 맥스웰 방정식

: $d*dB=0$

과 게이지 변환

: $B\to B+d\alpha$

을 정의할 수 있다.

진공이 아니라, 전하를 지닌 개체가 있다고 하자. 그렇다면 4차원 시공의 1-형식의 경우에는 전류밀도 1-형식 $J$ 를 도입한다. 그렇다면 이는

: $d*dA=*J$

를 만족하고, 또 $J$ 는 연속방정식

: $d*J=0$

을 만족한다. (즉 $*J$ 는 닫혀 있다.) 마찬가지로, ''D''차원에서의 ''p''-형식 전기역학에서는 전류밀도 ''p''-형식 $J$ 를 도입하면,

: $d*dA=*J$

: $d*J=0$

과 같은 맥스웰 방정식과 연속방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 ''p''-형식이므로, ''p''-형식 전기역학에서는 대전된 개체는 $(p-1)$ -막임을 알 수 있다.

1-형식 $\mathbf{A}$ 가 있고, 게이지 대칭은 다음과 같다.

: $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + d\alpha ,$

여기서 $\alpha$ 는 임의의 고정된 0-형식이고, $d$ 는 외미분이며, 텐서 밀도가 1이고 연속 방정식을 만족하는 게이지 불변 벡터 전류 $\mathbf{J}$ 가 있다.

: $d{\star}\mathbf{J} = 0 ,$

여기서 ${\star}$ 는 호지 별 연산자이다.

또는, $\mathbf{J}$ 를 닫힌 (''n'' − 1)-형식으로 표현할 수 있지만, 여기서는 그 경우를 고려하지 않는다.

$\mathbf{F}$ 는 외미분 $\mathbf{F} = d\mathbf{A}$ 로 정의된 게이지 불변 2-형식이다.

$\mathbf{F}$ 는 운동 방정식

: $d{\star}\mathbf{F} = {\star}\mathbf{J}$

(이 방정식은 분명히 연속 방정식을 함축한다)를 만족한다.

이것은 작용

: $S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{F} \wedge {\star}\mathbf{F} - \mathbf{A} \wedge {\star}\mathbf{J}\right] ,$

에서 유도될 수 있으며, 여기서 $M$ 은 시공간 다양체이다.

2. 1. 맥스웰 방정식

일반적 전기역학에서 1차 미분 형식

A

(전자기 퍼텐셜)는 진공에서 다음과 같은 맥스웰 방정식을 따른다.

:

d*dA=0

이는 다음과 같은 게이지 변환에 대하여 불변한다.

:

A\to A+d\alpha

전하를 지닌 개체가 존재할 경우, 4차원 시공에서 전류밀도 1-형식

J

를 도입하여 맥스웰 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

d*dA=*J

이때,

J

는 연속방정식

d*J=0

을 만족한다. 즉,

*J

는 닫혀 있다.

마찬가지로, ''D''차원에서의 ''p''-형식 전기역학에서는 전류밀도 ''p''-형식

J

를 도입하면,

:

d*dA=*J

:

d*J=0

과 같은 맥스웰 방정식과 연속방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 ''p''-형식이므로, ''p''-형식 전기역학에서는 대전된 개체는

(p-1)

-막임을 알 수 있다.

1-형식

\mathbf{A}

는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

:

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + d\alpha ,

여기서

\alpha

는 임의의 고정된 0-형식이고,

d

는 외미분이며, 텐서 밀도가 1이고 연속 방정식을 만족하는 게이지 불변 벡터 전류

\mathbf{J}

가 있다.

:

d{\star}\mathbf{J} = 0 ,

여기서

{\star}

는 호지 별 연산자이다.

\mathbf{F}

는 외미분

\mathbf{F} = d\mathbf{A}

로 정의된 게이지 불변 2-형식이다.

\mathbf{F}

는 운동 방정식

:

d{\star}\mathbf{F} = {\star}\mathbf{J}

를 만족하며, 이는 연속 방정식을 함축한다.

이것은 작용

:

S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{F} \wedge {\star}\mathbf{F} - \mathbf{A} \wedge {\star}\mathbf{J}\right] ,

에서 유도될 수 있으며, 여기서

M

은 시공간 다양체이다.

2. 2. 게이지 변환

일반적 전기역학에서 1차 미분 형식 전자기 퍼텐셜

A

는 다음과 같은 게이지 변환에 대해 불변이다.

:

A\to A+d\alpha

여기서

\alpha

는 임의의 0-형식이고,

d

는 외미분이다. 마찬가지로, 임의의 ''p''차 미분 형식

B

에 대해서도 다음과 같은 게이지 변환을 정의할 수 있다.

:

B\to B+d\alpha

2. 3. 연속 방정식

1-형식

\mathbf{A}

는 게이지 대칭을 가지며, 텐서 밀도가 1이고 연속 방정식을 만족하는 게이지 불변 벡터 전류

\mathbf{J}

가 있다. 연속 방정식은 다음과 같다.

:

d{\star}\mathbf{J} = 0.

여기서

{\star}

는 호지 별 연산자이다.

3. p-형식 전자기학

p-형식 전자기학은 1-형식 전자기학을 p차 미분 형식으로 확장한 이론이다.

== 기본 개념 ==

p-형식 전자기학에서는 p차 미분 형식 B가 전자기 퍼텐셜 역할을 한다. 이 경우, 일반적인 전자기 퍼텐셜은 1차 미분 형식 $A$ 이다. 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다.

: $B\to B+d\alpha$

여기서 $\alpha$ 는 임의의 고정된 (p-1)-형식이고, $d$ 는 외미분이다.

전류밀도는 p-형식 J로 표현되며, 연속 방정식은 다음과 같다.

: $d*J=0$

여기서 *는 호지 쌍대이다.

일반적인 전기역학에서 1차 미분 형식 $A$ (전자기 퍼텐셜)는 진공에서 맥스웰 방정식을 따르며, 이는 특정 게이지 변환에 대해 불변한다. 전류밀도 1-형식 $J$ 를 도입하면, 맥스웰 방정식과 연속 방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 p-형식이므로, p-형식 전기역학에서 대전된 개체는 (p-1)-막이다.

칼브-라몬드 장은 끈 이론에서 p=2인 경우의 예시이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 p 값에 대한 예시이다. 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

== 운동 방정식 ==

p-형식 $\mathbf{B}$ 는 게이지 대칭

: $\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}$

을 가지며, 여기서 $\alpha$ 는 임의의 고정된 (p − 1)-형식이고, $d$ 는 외미분이며, 텐서 밀도가 1인 게이지 불변 p-벡터 $\mathbf{J}$ 는 연속 방정식

: $d{\star}\mathbf{J} = 0$

을 만족한다. 여기서 ${\star}$ 는 호지 별 연산자이다.

또는, $\mathbf{J}$ 를 닫힌 (n − p)-형식으로 표현할 수 있다.

$\mathbf{C}$ 는 외미분 $\mathbf{C} = d\mathbf{B}$ 로 정의된 게이지 불변 (p + 1)-형식이다.

$\mathbf{B}$ 의 운동 방정식은 다음과 같다.

: $d{\star}\mathbf{C} = {\star}\mathbf{J}$

(이 방정식은 분명히 연속 방정식을 암시한다).

이는 작용

: $S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C} \wedge {\star}\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge {\star}\mathbf{J}\right]$

으로부터 유도될 수 있으며, 여기서 $M$ 은 시공간 다양체이다.

다른 부호 규약도 존재한다.

칼브-라몬드 장은 끈 이론에서 p = 2인 경우이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 p 값에 대한 예시이며, 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

== 작용 ==

p-형식 전자기학의 작용은 다음과 같이 주어진다.

: $S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C} \wedge {\star}\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge {\star}\mathbf{J}\right]$

여기서 $M$ 은 시공간 다양체이고, '''C'''는 외미분 $\mathbf{C}=d\mathbf{B}$ 로 정의된 게이지 불변 (p+1)-형식이다. '''B'''는 운동 방정식

: $d{\star}\mathbf{C} = {\star}\mathbf{J}$

을 만족한다.

칼브-라몬 장은 끈 이론에서 p = 2인 예시이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 p 값에 대한 예시이다. 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

p-형식 '''B'''가 있고 게이지 대칭성

: $\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}$

을 가진다. 여기서 '''α'''는 임의의 고정된 (p-1)-형식이고, d는 외미분이며, 게이지 불변p-vector^영어 '''J'''는 밀도/tensor density^영어 1을 가지고 연속 방정식

: $d*\mathbf{J}=0$

을 만족한다. 여기서 *는 호지 쌍대이다.

3. 1. 기본 개념

p-형식 전자기학에서는 p차 미분 형식 B가 전자기 퍼텐셜 역할을 한다. 이 경우, 일반적인 전자기 퍼텐셜은 1차 미분 형식

A

이다. 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다.

:

B\to B+d\alpha

여기서

\alpha

는 임의의 고정된 (p-1)-형식이고,

d

는 외미분이다.

전류밀도는 p-형식 J로 표현되며, 연속 방정식은 다음과 같다.

:

d*J=0

여기서 *는 호지 쌍대이다.

일반적인 전기역학에서 1차 미분 형식

A

(전자기 퍼텐셜)는 진공에서 맥스웰 방정식을 따르며, 이는 특정 게이지 변환에 대해 불변한다. 전류밀도 1-형식

J

를 도입하면, 맥스웰 방정식과 연속 방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 p-형식이므로, p-형식 전기역학에서 대전된 개체는 (p-1)-막이다.

칼브-라몬드 장은 끈 이론에서 p=2인 경우의 예시이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 p 값에 대한 예시이다. 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

3. 2. 운동 방정식

p-형식

\mathbf{B}

는 게이지 대칭

:

\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}

을 가지며, 여기서

\alpha

는 임의의 고정된 (p − 1)-형식이고,

d

는 외미분이며, 텐서 밀도가 1인 게이지 불변 p-벡터

\mathbf{J}

는 연속 방정식

:

d{\star}\mathbf{J} = 0

을 만족한다. 여기서

{\star}

는 호지 별 연산자이다.

또는,

\mathbf{J}

를 닫힌 (n − p)-형식으로 표현할 수 있다.

\mathbf{C}

는 외미분

\mathbf{C} = d\mathbf{B}

로 정의된 게이지 불변 (p + 1)-형식이다.

\mathbf{B}

의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

d{\star}\mathbf{C} = {\star}\mathbf{J}

(이 방정식은 분명히 연속 방정식을 암시한다).

이는 작용

:

S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C} \wedge {\star}\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge {\star}\mathbf{J}\right]

으로부터 유도될 수 있으며, 여기서

M

은 시공간 다양체이다.

다른 부호 규약도 존재한다.

칼브-라몬드 장은 끈 이론에서 p = 2인 경우이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 p 값에 대한 예시이며, 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

3. 3. 작용

p-형식 전자기학의 작용은 다음과 같이 주어진다.

:

S=\int_M \left[\frac{1}{2}\mathbf{C} \wedge {\star}\mathbf{C} +(-1)^p \mathbf{B} \wedge {\star}\mathbf{J}\right]

여기서 는 시공간 다양체이고, '''C'''는 외미분

\mathbf{C}=d\mathbf{B}

로 정의된 게이지 불변 (p+1)-형식이다. '''B'''는 운동 방정식

:

d{\star}\mathbf{C} = {\star}\mathbf{J}

을 만족한다.

칼브-라몬 장은 끈 이론에서 인 예시이고, D-브레인이 전하원인 라몽-라몽 장은 모든 값에 대한 예시이다. 11차원 초중력 또는 M-이론에서는 3-형식 전기역학을 갖는다.

p-형식 '''B'''가 있고 게이지 대칭성

:

\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{B} + d\mathbf{\alpha}

을 가진다. 여기서 '''α'''는 임의의 고정된 (p-1)-형식이고, d는 외미분이며, 게이지 불변p-vector^영어 '''J'''는 밀도/tensor density^영어 1을 가지고 연속 방정식

:

d*\mathbf{J}=0

을 만족한다. 여기서 *는 호지 쌍대이다.

4. 제르브 (Gerbe)

통상적 ( $p=1$ ) 전기역학에서, 게이지 퍼텐셜은 어떤 U(1) 선다발의 코쥘 접속이다. 시공간 $M$ 위에서, 전기 선속의 양자화에 따라, 전자기장의 코호몰로지류 $[F]=2\pi c_1(L)$ 은 정수 계수 2차 코호몰로지의 원소이다. 여기서 $c_1(L)$ 은 $L$ 의 1차 천 류이다.

일반적으로, $p$ 차 형식 퍼텐셜 $A^{(p)}$ 의 장세기 $F^{(p+1)}$ 의 코호몰로지류는 $p+1$ 차 정수 계수 코호몰로지의 원소이다.

: $[F^{(p+1)}]/2\pi\in H^{p+1}(M;\mathbb Z)$

기하학적으로 2차 정수 계수 코호몰로지가 (1차 천 류를 통해) 선다발에 대응하는 것처럼, 고차 정수 계수 코호몰로지는 기하학적으로 '''제르브'''라는, 선다발을 일반화한 개념에 대응한다. 제르브는 선다발의 고차원 일반화로 이해할 수 있다. p-형식 전자기학에서 게이지 퍼텐셜은 제르브와 관련된다. 제르브는 p+1차 정수 계수 코호몰로지류와 관련된다. 마치 전자기학의 비가환 일반화로 양-밀스 이론을 유도한 것처럼, p-형식 전자기학의 비가환 일반화도 얻을 수 있다. 전형적으로 저브/gerbe^영어를 사용하는 것이 요구된다.

5. 끈 이론 및 M-이론과의 관계

끈 이론에서는 여러 ''p''차형식 게이지 장이 존재한다. NS-NS 섹터에서는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장(Kalb-Ramond field) $B_{\mu\nu}$ 가 나타난다. 끈은 1-막이므로 캘브-라몽 장에 대하여 대전된다. R-R 섹터에서는 다양한 ''p''에 대한 게이지 장이 존재한다. (IIB 에서는 짝수 ''p'', IIA 에서는 홀수 ''p''에 대한 게이지 장이 존재한다.) M이론에서는 M2-막에 해당하는 3-형식 게이지 장이 존재한다.

6. 비가환 일반화

양-밀스 이론으로 이어지는 미분 형식 전기역학의 비가환 일반화와 마찬가지로, p-형식 전기역학 또한 비가환 형태로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화는 제르브의 개념을 더욱 일반화한 비가환 제르브를 필요로 한다.

7. 한국 물리학계의 연구 동향

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