제르브

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상 공간 위의 제르브
- 2.2. 사이트 위의 제르브
3. 코호몰로지적 분류
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

제르브는 위상 공간 또는 사이트 위에 정의되는 수학적 구조로, 일종의 준군 스택이다. 제르브는 국소적 비공범주성과 추이성을 만족하며, 주로 대수기하학, 위상수학, C*-대수, 끈 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 제르브는 1971년 장 지로에 의해 처음 도입되었으며, 다발의 범주화 개념을 짚단에 빗대어 명명되었다.

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층론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
층론 - 층 (수학)
층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.

제르브

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 '''제르브''' $\mathcal G\colon \operatorname{Open}(X) \to \mathcal C$ 는 다음 조건을 만족시키는 준군 스택이다.

'''국소적 비공범주성 (Locally non-empty):''' 임의의 점 $x\in X$ 에 대하여, 범주 $\mathcal G(U)$ 가 하나 이상의 대상을 갖는 열린 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.
'''추이성 (Transitivity):''' 임의의 열린집합 $U\in\operatorname{Open}(X)$ 및 임의의 두 대상 $a,b\in\mathcal G(U)$ 에 대하여, 다음 조건이 성립하는 어떤 충분히 섬세한 열린 덮개 $U = \textstyle\bigcup_{i\in I}U_i$ 가 존재한다. 각 $i\in I$ 에 대하여, 제한 함자 $\operatorname{res}_i \colon \mathcal G(U) \to \mathcal G(U_i)$ 아래, $\hom_{\mathcal G(U_i)}(\operatorname{res}_i(a),\operatorname{res}_i(b))\ne\varnothing$ 이다. 즉, 어떤 사상 $f\colon\operatorname{res}_i(a)\to\operatorname{res}_i(b)$ 가 존재한다.

2. 1. 위상 공간 위의 제르브

위상 공간

X

위의 '''제르브'''

\mathcal G\colon \operatorname{Open}(X) \to \mathcal C

는 다음 두 가지 조건을 만족시키는 준군 스택이다.

국소적 비공범주성 (Locally non-empty): 임의의 점 $x\in X$ 에 대하여, 그 점을 포함하는 적절한 열린 근방 $U\ni x$ 가 존재하여, 해당 근방 위에서의 범주 $\mathcal G(U)$ 가 적어도 하나 이상의 대상을 가진다. 이는 제르브가 국소적으로는 '비어있지 않음'을 의미한다.
추이성 (Transitivity): 임의의 열린집합 $U\in\operatorname{Open}(X)$ 와 그 위의 임의의 두 대상 $a,b\in\mathcal G(U)$ 에 대하여, $U$ 를 충분히 잘게 나눈 열린 덮개 $U = \textstyle\bigcup_{i\in I}U_i$ 가 존재하여 다음이 성립한다. 각 부분 집합 $U_i$ 위에서, $a$ 와 $b$ 를 $U_i$ 로 제한한 대상들( $\operatorname{res}_i(a)$ , $\operatorname{res}_i(b)$ ) 사이에 적어도 하나의 사상 $f\colon\operatorname{res}_i(a)\to\operatorname{res}_i(b)$ 가 $\mathcal G(U_i)$ 안에 존재한다 ( $\hom_{\mathcal G(U_i)}(\operatorname{res}_i(a),\operatorname{res}_i(b))\ne\varnothing$ ). 이는 대상들이 국소적으로는 서로 연결될 수 있음을 뜻한다.

또는, 위상 공간

S

^[1] 위의 제르브는

S

위의 군 범주들의 스택

\mathcal{X}

으로 정의될 수도 있다. 이 스택은 다음 두 조건을 만족해야 한다.

국소적으로 비어 있지 않음: 모든 점 $p \in S$ 는 열린 근방 $U_p$ 를 가지며, 이 근방 위에서의 단면 범주 $\mathcal{X}(U_p)$ 는 비어 있지 않다(즉, 적어도 하나의 대상을 가진다).
추이적임: 어떤 열린집합 $U$ 위에서 정의된 두 대상 $a$ 와 $b$ 가 있을 때, $U$ 를 열린 덮개 $\mathcal{U} = \{U_i \}_{i \in I}$ 로 덮으면, 각 $U_i$ 위에서 $a$ 와 $b$ 의 제한은 적어도 하나의 사상으로 연결된다.

대표적인 예시로는 고정된 구조군

H

를 갖는 주다발의 제르브

BH

가 있다. 열린집합

U

위에서의 단면 범주는

U

위에 정의된 주

H

-다발들을 대상으로 하고, 다발 사이의 동형 사상을 사상으로 하는 군 범주이다. 주다발은 서로 붙여서 더 큰 주다발을 만들 수 있는 성질(하강 조건)을 만족하므로, 이러한 군 범주들은 스택을 형성한다. 모든 공간 위에는 자명한 주다발

X \times H \to X

이 존재하므로, 국소적으로 비어 있지 않다는 조건이 만족된다. 또한, 주다발은 국소적으로는 자명한 다발과 동형이므로, 충분히 작은 열린집합으로 제한하면 서로 동형이 되어 추이성 조건도 만족한다.

2. 2. 사이트 위의 제르브

\mathcal{C}

사이트 위에 정의된 제르브는 다음과 같이 정의된다. 사이트

\mathcal{C}

가 주어지면,

\mathcal{C}

-제르브

G

^[2]^[3]는 다음과 같은 조건을 만족하는 범주인데, 이는 그룹의 범주

G \to \mathcal{C}

에서 섬유화된다.

# 모든 대상

S \in \text{Ob}(\mathcal{C}')

에 대해 연관된 섬유화된 범주

G_S

가 비어 있지 않도록 하는

\mathcal{C}

의 세분화^[4]

\mathcal{C}'

이 존재한다.

# 모든

S \in \text{Ob}(\mathcal{C})

에 대해, 섬유화된 범주

G_S

에 있는 임의의 두 객체는 국소적으로 동형이다.

최종 객체

e

를 가진 사이트

\mathcal{C}

의 경우, 그룹의 범주

G \to \mathcal{C}

에서 섬유화된 범주는

\text{Ob}(G_e) \neq \varnothing

이면, 첫 번째 공리를 만족하는, 즉 국소적 단면을 허용하는

\mathcal{C}

-제르브이다.

제르브를 고려하는 주요 동기 중 하나는 다음과 같은 질문에서 출발한다. 공간

X

의 적절한 덮개

\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}

에 대한 체흐 코호몰로지 군

H^1(\mathcal{U},G)

이

X

위의 주

G

-다발의 동형류를 제공한다면, 반복 코호몰로지 함자

H^1(-,H^1(-,G))

는 무엇을 나타낼까? 즉, 일부 1-코사이클을 통해 군

H^1(U_i,G)

을 함께 붙이는 과정을 생각할 수 있다. 제르브는 이 질문에 대한 기술적인 답변으로, 더 높은 코호몰로지 군

H^2(\mathcal{U},G)

의 원소에 대한 기하학적 표현을 제공한다. 이러한 직관은 고차 제르브에도 적용될 것으로 예상된다.

3. 코호몰로지적 분류

제르브를 분류하는 중요한 방법 중 하나는 코호몰로지적 접근이다. 특히, 제르브의 밴드(band)라고 불리는 자기 동형군이 고정된 아벨 군의 층 $\underline{L}$ 로 주어질 때, 해당 밴드를 갖는 제르브들을 코호몰로지 군을 이용하여 분류할 수 있다.^[5]^[2] 구체적으로, 어떤 사이트 $\mathcal{C}$ 위의 제르브 $\mathcal{X}$ 가 주어졌을 때, 임의의 대상 $U \in \text{Ob}(\mathcal{C})$ 와 그 위의 대상 $x \in \text{Ob}(\mathcal{X}(U))$ 에 대해, 제르브의 자기 동형군은 $L = \underline{\text{Aut}}_{\mathcal{X}(U)}(x)$ 로 정의된다. 이 자기 동형군이 항상 동일한 층 $\underline{L}$ 과 동형일 때, 이 제르브는 밴드 $\underline{L}$ 을 갖는다고 말한다. 주어진 덮개 $\mathcal{U} = \{U_i \to X \}_{i \in I}$ 에 대해, 밴드 $\underline{L}$ 을 갖는 제르브 $\mathcal{X}$ 의 동형류에 대응하는 코호몰로지 클래스

$c(\underline{L}) \in H^3(X,\underline{L})$

가 존재한다. 이는 밴드

\underline{L}

을 갖는 제르브의 동형류가 세 번째 코호몰로지 군

H^3(X,\underline{L})

의 원소로 분류됨을 의미한다.

위상수학 분야에서 제르브의 중요한 예시는 밴드가

U(1)

군(절댓값이 1인 복소수들의 곱셈군)인 경우이다.

U(1)

의 분류 공간

B(U(1))

은 정수 계수 두 번째 아일렌베르크-매클레인 공간

K(\mathbb{Z},2)

와 호모토피 동치이다. 따라서 위상 공간

X

위에서

U(1)

밴드를 갖는 제르브는 다음 호모토피 클래스 집합과 관련된다.

$[X, B^2(U(1))] = [X,K(\mathbb{Z},3)]$

여기서

B^2(U(1))

은

B(U(1))

의 분류 공간이며, 이는 세 번째 아일렌베르크-매클레인 공간

K(\mathbb{Z},3)

과 호모토피 동치이다. 이 호모토피 클래스 집합은 정확히

X

의 세 번째 특이 코호몰로지 군

H^3(X,\mathbb{Z})

과 같다. 즉,

X

위의

U(1)

-밴드 제르브의 동형류는

H^3(X,\mathbb{Z})

의 원소로 분류된다.

특히,

H^3(X,\mathbb{Z})

내의 비틀림(torsion) 코호몰로지 클래스에 해당하는 제르브는 유한 차원 복소 벡터 공간

V

에 대한 자기준동형사상 대수

\text{End}(V)

의 다발로 표현될 수 있다는 사실이 알려져 있다.^[6] 또한, 모든 비틀림 클래스는 고정된 무한 차원 분리 가능 공간 힐베르트 공간

\mathcal{H}

에 대한 사영 유니터리 군

PU(\mathcal{H})

의 무한 차원 주다발로도 표현될 수 있다. 모든 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간은 제곱합 수열 공간

\ell^2

와 동형이므로, 이 표현은 잘 정의된다.

제르브를 호모토피 이론의 관점에서 해석할 수도 있다. 이는 호모토피 풀백(homotopy pullback)을 통해 이루어진다. 제르브

\mathcal{X}

는 다음과 같은 호모토피 풀백 사각형과 관련된다.

$\begin{matrix}\mathcal{X} & \to & * \\\downarrow & & \downarrow \\S & \xrightarrow{f} & B^2U(1)\end{matrix}$

이는 선다발(line bundle)

L

이 다음과 같은 호모토피 풀백에서 발생하는 방식과 유사하다.

$\begin{matrix}L & \to & * \\\downarrow & & \downarrow \\S & \xrightarrow{f} & BU(1)\end{matrix}$

여기서

BU(1) \simeq K(\mathbb{Z},2)

이며,

S

위의 선다발의 동형류 군은 두 번째 코호몰로지 군

H^2(S,\mathbb{Z})

로 주어진다. 즉, 선다발이

H^2

와 관련되듯이, 제르브는

H^3

와 관련된다고 이해할 수 있다.

4. 예시

매끄러운 다양체 $M$ 과 리 군 $G$ 가 주어졌을 때, $M$ 위의 $G$ -주다발들의 모임은 제르브를 구성하는 중요한 예시 중 하나이다.

4. 1. 주다발의 제르브

매끄러운 다양체

M

과 리 군

G

가 주어졌을 때,

M

위에 정의된

G

-주다발들은 제르브

\operatorname{Prin}_G

를 형성한다. 구체적으로, 열린집합

U\subseteq M

에 대해,

\operatorname{Prin}_G(U)

는 다음과 같은 준군으로 정의된다.

대상: $U$ 위의 $G$ -주다발
사상: $U$ 위의 $G$ -주다발 간의 동형 사상

주다발은 서로 '붙여서' 더 큰 주다발을 만들 수 있는 성질이 있으므로, 이는 스택 구조를 형성한다.^[1] 이 스택은 제르브의 두 가지 주요 조건을 만족한다.

1. 국소적 비어 있지 않음: 어떤 열린집합 위에서든 가장 기본적인 형태의 주다발인 '자명한 주다발'이 항상 존재한다. 따라서 각 점

p \in M

은 그것을 포함하는 적절한 열린 근방

U_p

를 가지며, 이 근방 위에서 정의된 주다발들의 모임(즉, 단면 범주

\operatorname{Prin}_G(U_p)

)은 비어 있지 않다.

2. 추이성: 모든 주다발은 국소적으로는 서로 동형이다. 이는 어떤 열린 집합

U

위의 두 주다발

a

,

b

에 대해,

U

를 충분히 작은 열린 집합들

\{U_i\}

로 덮었을 때 각

U_i

위에서

a

와

b

가 서로 동형 사상으로 연결될 수 있음을 의미한다.

주다발의 제르브의 전형적인 예시는 고정된 구조군

H

를 갖는 주다발들의 모임인

BH

이다. 열린집합

U

위에서 이 제르브의 단면을 살펴보면, 이는

U

위에 정의된

H

-주다발들을 대상으로 하고 그 사이의 동형 사상들을 사상으로 하는 준군이 된다. 주다발은 서로 붙일 수 있으므로(수학적으로 '하강 조건'을 만족함) 이러한 구조는 스택을 형성한다. 자명한 주다발

M \times H \to M

의 존재는 '국소적으로 비어 있지 않음' 조건을 만족시키며, 모든 주다발이 국소적으로는 자명하다는 성질은 '추이성' 조건을 만족시킨다. 따라서

BH

는 제르브의 정의를 충족하는 전형적인 예시이다.

4. 2. 대수기하학에서의 제르브

M

을 대수다양체라고 하고,

k

를 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

G

는 대수군으로, 예를 들어 곱셈군

\mathbb{G}_m

이 있다.

M

위의 ''G''-토서는

G

의 작용과 사상

\pi:P\to M

을 갖는 대수적 공간

P

이며, 이는

M

의 작은 영역 위에서는 (에탈 위상 또는 fppf 위상에서) 사상

\pi

가 직접곱

\pi|_U:G\times U\to U

의 형태를 띤다. 이와 비슷하게 '''

M

위의

G

-제르브'''를 정의할 수 있다. 이는 사상

\pi\colon\mathcal{M} \to M

을 갖는 아르틴 스택

\mathcal{M}

이며,

M

의 작은 영역 위에서는 (에탈 또는 fppf 위상에서) 사상

\pi

가 직접곱

\pi|_U\colon \mathrm{B}G \times U \to U

의 형태를 띤다.^[8] 여기서

BG

는

G

의 분류 스택, 즉 점 하나를

G

의 자명한 작용으로 나눈 몫

[ * / G ]

을 나타낸다. 스택의 정의에 따라 이러한 국소적 표현들이 존재하며, 이 정의에서는 군 구조와의 호환성을 특별히 요구하지 않는다.

\mathcal{M}

과

M

은 기본적으로 같은 위상 공간이지만,

\mathcal{M}

의 각 점에는

G

와 동형인 안정자 군(stabilizer group)이 추가로 부여되어 있다.

스키마

X \in \text{Sch}

위의 두 항 복합체 형태의 가환층

:

\mathcal{E}^\bullet = [\mathcal{E}^{-1} \xrightarrow{d} \mathcal{E}^0]

은 표준적인 군 범주 층을 정의한다. 여기서 열린 부분 집합

U \subseteq X

에 대해,

X(U)

-모듈의 두 항 복합체

:

\mathcal{E}^{-1}(U) \xrightarrow{d} \mathcal{E}^0(U)

는 다음과 같은 군 범주를 제공한다: 대상은

x \in \mathcal{E}^0(U)

이고, 사상

x \to x'

는 방정식

dy + x = x'

을 만족하는 원소

y \in \mathcal{E}^{-1}(U)

이다. 이 스택이 제르브가 되려면, 코호몰로지 층

\mathcal{H}^0(\mathcal{E})

가 항상 단면(section)을 가져야 한다. 이 조건은 위에서 구성된 군 범주가 항상 대상을 가진다는 것을 의미한다. 이러한 구성은 호프 대수준 위의 코모듈 상황에 적용되어, 아핀 스택 또는 사영 스택에 대한 제르브의 대수적 모델을 만드는 데 사용될 수 있다(등급이 매겨진 호프 대수가 사용되는 경우 사영 스택). 또한,

\Gamma

가

A

위에 평탄한 호프 대수준

(A,\Gamma)

의 코모듈의 유도 범주의 안정화에서 얻은 두 항 스펙트라는 비-엄밀한 제르브의 추가 모델을 제공한다.

예시로, 종수

g > 1

인

k

위의 매끄러운 사영 곡선

C

를 생각해보자.

\mathcal{M}^s_{r, d}

는 계수

r

과 차수

d

를 갖는

C

위의 안정적 벡터 다발의 모듈라이 스택이다. 이 스택은 거친 모듈라이 공간

M^s_{r, d}

를 가지며, 이는 준사영 다양체이다. 이 두 모듈라이 문제(스택과 공간)는 동일한 대상(안정적 벡터 다발)을 매개변수화하지만, 스택 버전은 각 벡터 다발의 자기 동형 사상 정보를 포함한다. 임의의 안정적 벡터 다발

E

에 대해, 자기 동형 사상군

Aut(E)

는 스칼라 곱셈으로만 이루어져 있으므로(

\mathbb{G}_m

과 동형), 모듈라이 스택의 각 점은

\mathbb{G}_m

에 동형인 안정자를 갖는다. 사상

\mathcal{M}^s_{r, d} \to M^{s}_{r, d}

는 실제로 위에서 정의한 의미의

\mathbb{G}_m

-제르브임이 알려져 있다.^[9] 이 제르브는

r

과

d

가 서로소일 때만 자명한 제르브(trivial gerbe)가 된다.

이러한 제르브와 더 일반적인 형태의 제르브는 기하학적 공간으로서, 또는 형식적인 기록 도구로서 다양한 맥락에서 나타난다. 예를 들면 다음과 같다.

아주마야 대수
무한소 두께(infinitesimal thickening)의 변형 문제
사영 대수다양체의 꼬인 형태(twisted forms)
모티브의 섬유 함자

4. 3. C*-대수

제르브의 자연스러운 예는 파라콤팩트 공간

X

^[7]^{pg 3} 위의 컴팩트 지지 복소수 값 함수 대수를 연구하면서 발생한다.

X

의 덮개를

\mathcal{U} = \{U_i\}

라 하면, 다음과 같이 정의되는 체흐 군체

\mathcal{G}

가 있다.

:

\mathcal{G} = \left\{ \coprod_{i,j}U_{ij} \rightrightarrows \coprod U_i \right\}

여기서 소스 맵과 타겟 맵은 포함 사상으로 주어진다.

:

\begin{align}s: U_{ij} \hookrightarrow U_j \\t: U_{ij} \hookrightarrow U_i\end{align}

그리고 합성 가능한 화살표의 공간은 다음과 같다.

:

\coprod_{i,j,k}U_{ijk}

이때 2차 코호몰로지 클래스

\sigma \in H^2(X;U(1))

는 다음과 같은 사상이다.

:

\sigma: \coprod U_{ijk} \to U(1)

이를 이용해, 공간의 컴팩트 지지 복소수 값 함수 집합과 관련된 비가환 C*-대수

C_c(\mathcal{G}(\sigma))

를 구성할 수 있다. 여기서

:

\mathcal{G}_1 = \coprod_{i,j}U_{ij}

는 다음과 같은 비가환 곱을 갖는다.

:

a* b(x,i,k) := \sum_j a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma(x,i,j,k)

이 곱셈에서 코호몰로지 클래스

\sigma

는 표준

C^*

-대수 곱의 곱셈을 꼬아주는 역할을 한다.

4. 4. 루트 스택

루트 스택의 구성을 사용하여 다른 종류의 제르브를 찾을 수 있다. 비공식적으로, 스킴

S

위의 선다발

L \to S

의

r

번째 루트 스택은

L

의

r

번째 루트를 나타내는 공간이며, 다음과 같이 표기한다.^[10]^52쪽

$\sqrt[r]{L/S}.\,$

L

의

r

번째 루트 스택은 다음과 같은 속성을 가진다.

$\bigotimes^r\sqrt[{r}]{L/S} \cong L$

제르브로서, 이는 다음과 같이 스택으로 구성된다.

$\sqrt[r]{L/S}: (\operatorname{Sch}/S)^{op} \to \operatorname{Grpd}$

S

-스킴

T \to S

를, 객체가 다음과 같은 형태의 선다발인 범주로 보낸다.

$\left\{(M \to T,\alpha_M) : \alpha_M: M^{\otimes r} \xrightarrow{\sim} L\times_ST\right\}$

그리고 사상은 동형 사상

\alpha_M

과 호환되는 가환 다이어그램이다. 이 제르브는 대수적 군인 단위원의 근

\mu_r

에 의해 밴드화된다. 여기서 덮개

T \to S

위의 점

(M\to T,\alpha_M)

에 대한

\mu_r

의 작용은

M^{\otimes r}

에서

M

의 인수를 순환적으로 치환하는 것이다. 기하학적으로, 이러한 스택은 스택의 섬유 곱으로 형성된다.

$\begin{matrix}X\times_{B\mathbb{G}_m} B\mathbb{G}_m & \to & B\mathbb{G}_m \\\downarrow & & \downarrow \\X & \to & B\mathbb{G}_m\end{matrix}$

여기서

B\mathbb{G}_m \to B\mathbb{G}_m

의 수직 사상은 Kummer 수열에서 비롯된다.

$1 \xrightarrow{} \mu_r \xrightarrow{} \mathbb{G}_m \xrightarrow{ (\cdot)^r} \mathbb{G}_m \xrightarrow{} 1$

이는

B\mathbb{G}_m

이 선다발의 모듈 공간이기 때문이며, 따라서 선다발

L \to S

는 범주

B\mathbb{G}_m(S)

의 객체에 해당한다(모듈 공간의 점으로 간주할 수 있다).

4. 5. 끈 이론에서의 응용

제르브는 끈 이론의 다양한 측면을 이해하고 설명하는 데 중요한 수학적 도구로 활용된다. 예를 들어, 끈 이론에서 나타나는 안정적인 특이점을 분석하는 데 사용되며, 이때 브라우어 군을 이용하여 제르브의 구체적인 예시를 구성하기도 한다. 또한, 군 다양체 상의 브레인이나 글루온 응축 현상, 그리고 꼬인 K-이론과 같은 고급 개념들을 다루는 연구에서도 제르브와의 연관성이 탐구되고 있다.

미러 대칭과 관련된 특수 라그랑지안 부분 다양체 연구에서도 제르브의 응용 가능성이 제시된다. 더 나아가, 콤팩트 단순 리 군에 대한 기본 제르브 연구는 스트링 군과 같은 특정 대수적 구조를 제르브를 통해 기술하는 방법을 제공함으로써 끈 이론의 수학적 기초를 다지는 데 기여한다.

5. 역사

장 지로( Jean Giraud^프랑스어 )가 1971년에 제르브 개념을 도입하였다.^[12] gerbe|제르브^프랑스어는 프랑스어로 '짚단'을 의미하는데, 이는 다발의 범주화 개념과 유사하여 붙여진 이름이다.

제르브는 처음에 대수기하학 분야에서 등장했다. 이후 브릴린스키(Brylinski, 1993)에 의해 좀 더 전통적인 기하학적 틀 안에서 발전했다. 제르브는 적분 코호몰로지 클래스의 기하학적 실현을 제공하는 수학적 대상 중 하나로 여겨진다.

마이클 머레이는 좀 더 전문적인 제르브 개념인 번들 제르브를 도입했다. 이는 본질적으로 주다발에서 시작하는 계열에 속하는 가환 제르브의 매끄러운 버전이며, 층의 개념을 확장한 것이다. 번들 제르브는 게이지 이론과 끈 이론 등 물리학 분야에도 응용되고 있다. 현재는 비가환 번들 제르브 이론을 개발하는 연구가 진행 중이다.

참조

_[1] 서적 Basic bundle theory and K-cohomology invariants https://www.worldcat[...] Springer 2008
_[2] 웹사이트 Section 8.11 (06NY): Gerbes—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-10-27
_[3] 서적 Cohomologie non abélienne. https://www.worldcat[...] Springer-Verlag 1971
_[4] 웹사이트 Section 7.8 (00VS): Families of morphisms with fixed target—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-10-27
_[5] 웹사이트 Section 21.11 (0CJZ): Second cohomology and gerbes—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-10-27
_[6] arXiv Twisted bundles and twisted K-theory 2010-12-12
_[7] arXiv Mukai duality for gerbes with connection 2009-01-09
_[8] 학술지 Brauer groups and quotient stacks
_[9] 학술지 Moduli stacks of vector bundles on curves and the King-Schofield rationality proof
_[10] arXiv Gromov-Witten theory of Deligne-Mumford stacks 2008-04-13
_[11] 학술지 Using stacks to impose tangency conditions on curves https://www.charlesc[...]
_[12] 서적 Cohomologie non abélienne https://www.springer[...] Springer-Verlag

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