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바이어슈트라스의 곱 정리

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목차

1. 개요

바이어슈트라스 곱 정리는 복소 평면에서 무한히 많은 영점을 갖는 전해석 함수를 표현하는 방법을 제시한다. 이 정리는 대수학의 기본 정리를 확장하여, 무한 개의 근을 갖는 경우에도 함수를 인수분해할 수 있도록 한다. 핵심은 '기본 인자'라는 개념을 도입하여 무한 곱의 수렴성을 확보하는 것이다. 바이어슈트라스 곱 정리를 통해, 주어진 영점을 가지는 전해석 함수를 구성할 수 있으며, 이는 사인, 코사인, 감마 함수 등의 인수분해에도 적용된다. 또한, 아다마르 곱 정리는 유한 차수를 갖는 전해석 함수에 대한 바이어슈트라스 곱 정리의 특수한 경우를 나타낸다.

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2. 동기

대수학의 기본 정리에 따르면, 복소 평면 상의 유한 집합 \{c_n\}의 점들을 근으로 갖는 다항식 p(z) = \prod_n (z-c_n)를 구성할 수 있다.[1] 이 정리는 복소 평면에서 모든 다항식 함수 p(z)가 p(z) = a\prod_n(z-c_n) 와 같이 인수 분해됨을 보여준다. 여기서 \{c_n\}은 p(z)의 근의 집합이고, a는 0이 아닌 상수이다.[1]

바이어슈트라스 곱 정리는 이 아이디어를 확장하여, 영점의 개수가 무한인 전해석 함수의 경우에도 적용할 수 있도록 한다. \{c_n\} 수열이 유한 집합이 아닌 경우, \prod_n (z-c_n)과 같은 무한 곱은 수렴하지 않아 전해석 함수를 정의할 수 없다.[1] 무한 곱의 수렴을 위한 필요 조건은 각 z에 대해, 인자 (z-c_n) 이 n\to\infty일 때 1에 접근해야 한다는 것이다.[1] 따라서, 처방된 점에서 0이 되면서도, 그 점이 아닐 때는 1에 가깝게 유지되며, 처방된 것보다 더 많은 근을 도입하지 않는 함수가 필요하다.

이러한 문제를 해결하기 위해 바이어슈트라스는 '기본 인자'라는 개념을 도입하여 수렴성을 보장한다.[1] 바이어슈트라스의 기본 인자를 사용하면, (1- \tfrac{z}{a_n})과 계수를 곱한 인자는 E_p(\tfrac{z}{a_n})으로 표시된다.[1] 기본인자는 주어진 영점 외 다른곳에서는 1에 가까운값을 가지도록 설계되어 함수의 수렴에 기여한다.

3. 기본 인자

기본 인자(Elementary Factors)[2][3]는 바이어슈트라스 곱 정리에서 무한 곱의 수렴성을 보장하기 위해 도입되는 함수이다. 기본 인자는 다음과 같이 정의된다.[8]

:E_n(z) = \begin{cases} (1-z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases}

h_n(z) = \tfrac{z^1}{1}+\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^3}{3}+\cdots+\tfrac{z^n}{n} 는 |z| < 1인 경우, \tfrac{1}{1-z} = 1 + z^1 + z^2 + z^3 + \cdots로 테일러 전개가 가능하고 양변을 적분하면 얻을수 있다. 즉, h_n(z)는 -\log(1-z)를 유한항으로 잘라낸 형태이다.

First 5 Weierstrass factors on the unit interval.


r_n(z) = h_\infty(z) - h_n(z)로 정의하면, E_n(z)는 다음과 같이 표현 가능하다.[9]

:E_n(z) = \exp \left( - r_n(z) \right)

기본 인자는 |z|<1일 때, |1 - E_n(z)| \leq |z|^{n+1}을 만족하여,[2] 무한 곱의 수렴에 기여한다. 또한 다음 보조정리가 성립한다.[9]

'''보조 정리''': |z| < 1, \ n \in \mathbb{N}_0에 대해,

:| \log E_{n}(z)| < \frac


4. 바이어슈트라스 곱 정리

주어진 0이 아닌 복소수열 $\{a_n\}$에 대해, $|a_n| \to \infty$ 이고, 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 수열 $\{p_n\}$이 존재하면,

: $\sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,$

다음 함수는 오직 점 $a_n$에서만 영점을 갖는 전해석함수이다.

: $f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n))$

전해석함수 $f(z)$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)$

여기서 $g(z)$는 전해석함수이고, $m$은 $z=0$ 에서 $f(z)$의 영점의 차수이다.

간단한 형태의 구성 방법 증명은 다음과 같다.


  • $|z|\le R<2R\le |a_n|$이면 $P_n(z)$는,


:\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}을 만족한다.

  • 충분히 큰 M에 대하여 $2R\le |a_M|$이면,


:\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1이다.

  • 그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, $f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}$는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, $f$는 그 폐집합 $D$에서 정칙이다. 따라서 $f(z)$는 $(a_n)$의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.


$\{a_n\}$을 $|a_n|\to\infty$를 만족하는 0이 아닌 복소수의 수열이라고 하자. $f(z)$의 대수를 취하면 다음과 같다.

:$\log f(z) = \sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n) = \sum_{n=1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )$

$\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$이 집적점을 갖지 않는다는 것은, 임의의 양수 $R$에 대해 자연수 $N$이 결정되고, $ n > N$이면 $|a_n| > R$이 된다는 조건과 동치이다. $R$과 그에 대응하는 $N$을 고정하여 생각한다. 무한 합 $\sum_{n=1}^\infty \log E_{p_n}(z/a_n)$을 $ n \le N$인 유한 합 $\sum_{n=1}^N E_{p_n}(z/a_n) = \sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$와 $ n > N$인 무한 합 $\sum_{n=N+1}^\infty E_{p_n}(z/a_n) = \sum_{n=N+1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$로 나누어 생각한다.

유한 합 $\sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$는 $ n \le N$인 각 영점 $a_n$에서 음의 무한대가 되고, 복소 평면의 그 외의 점에서는 유한 확정값을 취한다.

$|z| < R $라고 하고, 무한 합 부분의 절대값을 생각하면 다음과 같다.

:$| \sum_{n=N+1}^\infty \log E_{p_n}(z/a_n)| = | \sum_{n=N+1}^\infty r_{p_n}(z/a_n)|$

:$ < \sum_{n=N+1}^\infty \frac { |z/a_n|^{{p_n}+1} }{{p_n}+1} \frac{1}{1-|z/a_n|}$

:$ < \frac{1}{1-|R/a_{N+1}|} \sum_{n=N+1}^\infty \frac

4. 1. 예시

사인과 코사인의 삼각 함수는 다음과 같이 인수분해된다.

  • \sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
  • \cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n+1)^2} \right)

반면, 감마 함수 \Gamma는 다음과 같이 인수분해된다.

\frac{1}{\Gamma (z)}=e^{\gamma z}z\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{z}{n} \right )e^{-z/n},

여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다. 코사인 항등식은 다음의 특수한 경우로 볼 수 있다.

\frac{1}{\Gamma(s-z)\Gamma(s+z)} = \frac{1}{\Gamma(s)^2}\prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \left(\frac{z}{n+s} \right)^2 \right)

s=\tfrac{1}{2}일 때.

5. 증명

|z|\le R<2R\le |a_n|이면 P_n(z)는,

:\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}을 만족한다.

다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 2R\le |a_M|이면,

:\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1이다.

그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, 이 조건에서 f는 그 폐집합 D에서 정칙이다. 따라서 f(z)는 (a_n)의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

6. 일반화

미타그레플레르 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.


  • 정리 : (a_n)을 \infty로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 (b_n)은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 n에 대하여 f(a_n)=b_n을 만족하는 전해석함수 f가 적어도 하나 존재한다.

7. 아다마르 곱 정리

유한 차수를 갖는 전해석함수에 대한 바이어슈트라스 곱 정리의 특수한 경우이다.[4] 전해석함수 f(z)의 차수가 ρ일 때, 다음과 같은 표현을 갖는다.[4]

:f(z)=z^me^{P(z)}\prod_{k=1}^\infty E_p(z/a_k)

여기서 a_k는 0이 아닌 f의 근 (a_k \neq 0)이고, m은 z = 0에서 f의 영점의 차수이며(m = 0인 경우는 f(0) \neq 0을 의미), P는 다항식(그 차수를 q라고 함)이고, p는 다음 급수가

:\sum_{n=1}^\infty\frac{1}

참조

[1] 서적 Theory of Functions, Part II Dover
[2] 서적 Real and Complex Analysis McGraw Hill
[3] 서적 Entire Functions Academic Press Inc.
[4] 서적 Functions of One Complex Variable I, 2nd ed. Springer
[5] 서적 Theory of Functions, Part II Dover
[6] 서적 現代複素解析への道標 現代数学社 2017-11-20
[7] 서적 Entire Functions Academic Press Inc.
[8] 서적 Real and Complex Analysis McGraw Hill
[9] 서적 関数論 学術図書出版社 1966-02
[10] 웹사이트 Weierstrass's Theorem
[11] 웹사이트 Weierstrass Product Theorem
[12] 서적 Functions of One Complex Variable I, 2nd ed. Springer
[13] 문서 z = 0 で ''m'' 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が ''α''1,''α''2, ..., ''α''''n'', ''α''''n''+1,... (0 < |''α''1| ≦ |''α''2| ≦ |''α''3| ...→ ∞) である超越整函数 ''f''(''z'')を、ワイエルシュトラスの標準乗積で、


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