반대칭관계

3. 예제

자연수에 대한 나눗셈 가능성 관계는 반대칭 관계의 중요한 예시이다. 이 관계에서 반대칭성은 두 자연수 $n$과 $m$에 대해, $n$이 $m$을 나누고 동시에 $m$이 $n$을 나눌 수 있다면 두 수는 반드시 같아야 함($n=m$)을 의미한다. 즉, 만약 $n$과 $m$이 서로 다르고($n\; \backslash neq\; m$) $n$이 $m$의 약수라면, $m$은 $n$의 약수가 될 수 없다. 예를 들어, 12는 4로 나누어지지만 4는 12로 나누어지지 않는다.

실수에 대한 일반적인 순서 관계 $\backslash ,\backslash leq\backslash ,$(작거나 같다)는 반대칭적이다. 두 실수 $x$와 $y$에 대해, 두 부등식 $x\; \backslash leq\; y$와 $y\; \backslash leq\; x$가 모두 성립한다면 $x$와 $y$는 반드시 같아야 한다($x=y$).

마찬가지로, 주어진 집합의 부분 집합들에 대한 부분 집합 순서 $\backslash ,\backslash subseteq\backslash ,$는 반대칭적이다. 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때, $A$의 모든 원소가 $B$에도 속하고($A\; \backslash subseteq\; B$) $B$의 모든 원소가 $A$에도 속한다면($B\; \backslash subseteq\; A$), $A$와 $B$는 동일한 원소를 포함해야 하므로 서로 같은 집합이다($A\; =\; B$).

$$A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash text\{\; 이고\; \}\; B\; \backslash subseteq\; A\; \backslash text\{\; 이면\; \}\; A\; =\; B\; \backslash text\{\; 이다\}$$

실생활에서 볼 수 있는 반대칭 관계의 예시로는 (특정 상황으로 한정했을 때) "식당 계산서를 지불했다"는 관계를 들 수 있다. 일반적으로 어떤 사람들은 자신의 계산서를 지불하고, 다른 사람들은 배우자나 친구의 계산서를 대신 지불하기도 한다. 이때 두 사람이 서로 상대방의 계산서를 동시에 지불하는 경우가 없다면, 이 관계는 반대칭적이라고 할 수 있다.

4. 반대칭관계와 대칭관계

반대칭관계를 '대칭관계의 반대'로 혼동하기 쉽지만, 이는 사실이 아니다. 어떤 이항관계 ''R''은 다음과 같은 네 가지 모든 경우에 해당할 수 있다.

• 반대칭관계이며 대칭관계인 경우: ''R''이 '''같다''' (=)를 나타내는 경우. 즉, $aRb$가 $a=b$일 때만 성립한다. 이 경우 $a=b$이고 $b=a$이면 $a=b$이므로 반대칭관계이며, $a=b$이면 $b=a$이므로 대칭관계이다.
• 반대칭관계이지만 대칭관계는 아닌 경우: ''R''이 '''작거나 같다''' ($\backslash leq$)를 나타내는 경우.
• $a\backslash leq\; b$이고 $b\backslash leq\; a$이면 $a=b$이므로 ''R''은 반대칭관계이다.
• 그러나 $a\backslash leq\; b$라고 해서 반드시 $b\backslash leq\; a$인 것은 아니므로 (예: $3\; \backslash leq\; 5$이지만 $5\; \backslash not\backslash leq\; 3$), 대칭관계는 아니다.
• 반대칭관계는 아니지만 대칭관계인 경우: ''R''이 '''$n$을 법(法, modulus)으로 하는 합동(合同, congruent)''' ($\backslash equiv\; \backslash pmod\; n$)을 나타내는 경우.
• $a\; \backslash equiv\; b\; \backslash pmod\{n\}$이면 $b\; \backslash equiv\; a\; \backslash pmod\{n\}$이므로 ''R''은 대칭관계이다.
• 하지만 $3\; \backslash equiv\; 7\; \backslash pmod\{4\}$이고 $7\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\{4\}$이지만 $3\; \backslash neq\; 7$이므로, 반대칭관계는 아니다.
• 반대칭관계도 아니고 대칭관계도 아닌 경우: $aRb$가 정수 $a,b$에 대하여 $a$가 $b$를 '''나눈다''' ($a\; \backslash mid\; b$)는 것을 나타내는 경우.
• $1\; \backslash mid\; -1$이고 $-1\; \backslash mid\; 1$이지만 $1\; \backslash neq\; -1$이므로 반대칭관계가 아니다.
• $3\; \backslash mid\; 6$이지만 $6\; \backslash nmid\; 3$이므로 대칭관계가 아니다.

5. 비대칭관계

반대칭관계는 '''비대칭관계'''(非對稱關係, asymmetric relation)와 혼동하기 쉬운데, 이 두 개념은 엄밀히 다른 개념이다. 비대칭관계는 집합 $X$에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대하여 정의된 이항관계 $R$이 있을 때, $a\; R\; b$이면 $b\; R\; a$가 성립하지 않는 관계를 말한다. 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$$

\forall a,b \in X, aRb \Rightarrow \lnot (bRa)



어떤 이항관계 R이 비대칭관계라는 것은, 그 관계 R이 반대칭관계이면서 동시에 비반사관계(irreflexive relation)라는 것과 같은 의미이다.

6. 성질

, modulus)으로 하는 합동($\backslash equiv$, congruent)'''이라고 하자.

• $a\; \backslash equiv\; b\; \backslash pmod\{n\}$이면 $b\; \backslash equiv\; a\; \backslash pmod\{n\}$이므로 ''R''은 대칭관계이다.
• 하지만 $3\; \backslash equiv\; 7\; \backslash pmod\{4\}$이고 $7\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\{4\}$이지만 $3\; \backslash neq\; 7$이므로 반대칭관계는 아니다.
• 반대칭관계도 아니고 대칭관계도 아닌 경우: ''R''이 정수 $a,\; b$에 대하여 $a$가 $b$를 '''나눈다'''($|$)는 것을 나타낸다고 하자.
• $1\; \backslash mid\; -1$이고 $-1\; \backslash mid\; 1$이지만 $1\; \backslash neq\; -1$이므로 반대칭관계가 아니다.
• $3\; \backslash mid\; 6$이지만 $6\; \backslash nmid\; 3$이므로 대칭관계가 아니다.