배수 (수학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 십진법의 배수 판정
참조

1. 개요

배수는 정수 n과 임의의 정수의 곱으로 표현되는 정수 m을 의미한다. 정수 n의 배수의 집합은 nZ로 나타낼 수 있으며, 0과 자기 자신을 포함하고 정수 계수 선형 결합에 대해 닫혀있다. 십진법에서 2, 3, 5, 4, 8, 6, 9, 7, 11, 10 등의 작은 자연수의 배수를 판정하는 다양한 방법이 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

곱셈 - 구구단
구구단은 곱셈을 간편하게 계산하도록 곱셈 결과를 표로 정리한 것이며, 1단부터 9단까지 외우는 곱셈 구구가 일반적이고, 덧셈, 뺄셈, 나눗셈 구구 등 다양한 형태가 존재하며, 수학적 개념 이해의 기초가 되고 실생활에도 응용된다.
곱셈 - 네이피어의 뼈
네이피어의 뼈는 존 네이피어가 1617년에 발명한 계산 도구로, 곱셈을 덧셈으로 변환하여 계산을 간편하게 하고 나눗셈과 제곱근 계산에도 활용되며, 계산 기반과 막대 세트로 구성되어 막대에 표시된 숫자를 이용하여 복잡한 곱셈을 단순화한다.
수론 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
수론 - 최소공배수
최소공배수는 둘 이상의 정수들의 공배수 중 가장 작은 양의 정수로서, 소인수분해나 최대공약수와의 관계를 이용하여 구할 수 있으며, 분수 통분이나 기어 회전 수 계산 등 여러 분야에 응용된다.

배수 (수학)

2. 정의

어떤 정수 n의 '''배수'''는 다음 조건을 만족시키는 정수 m이다.

m = nk인 정수 k가 존재한다.

(일부 문헌에서는 n ≠ 0을 가정하기도 한다.)

3. 성질

정수 $n\in\mathbb Z$ 의 배수의 집합은 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}n\mathbb Z&=\{nk\colon k\in\mathbb Z\}\\&=\{\dots,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,\dots\}\end{align}$

정수 $n$ 의 배수의 집합은 0과 $n$ 을 원소로 가지며, 정수 계수 선형 결합에 대해 닫혀있다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.

$n$ 은 $n$ 의 배수다.
0은 $n$ 의 배수다.
$m_1,m_2,\dots,m_t$ 가 $n$ 의 배수라면, $k_1m_1+k_2m_2+\cdots+k_tm_t$ ( $k_i\in\mathbb Z$ ) 역시 $n$ 의 배수다.
위 세 성질로부터 유도될 수 없다면 $n$ 의 배수가 아니다.

정수의 배수의 집합은 정수환의 아이디얼을 이룬다. 소수의 배수의 집합은 정수환의 소 아이디얼을 이룬다.

4. 십진법의 배수 판정

십진법에서는 작은 자연수들의 배수를 판정하는 여러 방법이 있다. 일부 방법은 통상적인 나눗셈보다 느릴 수 있다.

0의 배수는 0뿐이다. 임의의 정수 $k\in\mathbb Z$ 에 대하여 $0k=0$ 이기 때문이다.
1의 배수는 모든 정수다. 임의의 정수 $k\in\mathbb Z$ 에 대하여 $1k=k$ 이기 때문이다.
2, 3, 5의 배수는 하위 항목을 참조.
4, 8의 배수는 하위 항목을 참조.
6, 9의 배수는 하위 항목을 참조.
7, 11의 배수는 하위 항목을 참조.
10의 배수는 하위 항목을 참조.

4. 1. 2, 3, 5의 배수

2의 배수인 정수는 짝수이다. 어떤 정수가 짝수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0, 2, 4, 6, 8과 같이 짝수인 것이다. 다른 자릿수는 상관없다.

:예를 들어, 26은 일의 자릿수가 6이므로 짝수이며, 17은 일의 자릿수가 7이므로 짝수가 아니다.

어떤 정수가 3의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 3의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.)

:예를 들어, 573은 모든 자릿수의 합이 5 + 7 + 3 = 15이고, 15가 3의 배수이므로 573은 3의 배수다.

:그러나, 283은 모든 자릿수의 합이 2 + 8 + 3 = 13이고, 13이 3의 배수가 아니므로 283은 3의 배수가 아니다.

어떤 정수가 5의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0이나 5인 것이다. 다른 자릿수는 상관없다.

:예를 들어, 15는 일의 자릿수가 5이므로 5의 배수다.

4. 2. 4, 8의 배수

어떤 정수가 4의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 뒤의 두 자릿수가 4의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.) 더 쉽게는 뒤에서 2번째 자리(십의 자리)가 짝수라면, 맨 끝의 자리(일의 자리)가 0, 4, 8일 때 4의 배수이고, 십의 자리가 홀수라면, 일의 자리가 2, 6일 때 4의 배수다.

예를 들어, 4316은 뒤의 두 자릿수가 16이므로 4의 배수다. 또, 189,278,504는 십의 자리가 0이므로 짝수이고(0도 짝수다.) 일의 자리가 4이므로 4의 배수다.

어떤 정수가 8의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 뒤의 세 자릿수가 8의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)

예를 들어, 20120은 뒤의 세 자릿수가 120(= 8 × 15)이므로 8의 배수다.

4. 3. 6, 9의 배수

어떤 정수가 6의 배수이려면 짝수이면서 동시에 3의 배수이어야 한다.

예를 들어, 246은 모든 자릿수의 합이 $2+4+6=12$ 로 3의 배수이면서 짝수이므로 6의 배수이다.
그러나 315는 홀수이므로 6의 배수가 아니다. 또한 428은 모든 자릿수의 합이 $4+2+8=14$ 이므로 3의 배수가 아니며, 따라서 6의 배수가 아니다.

어떤 정수가 9의 배수이려면 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 9의 배수이어야 한다.

예를 들어, 765는 모든 자릿수의 합이 $7+6+5=18$ 이고, 18이 9의 배수이므로 765는 9의 배수이다.
그러나 168은 모든 자릿수의 합이 $1+6+8=15$ 이고, 15가 9의 배수가 아니므로 168은 9의 배수가 아니다.

4. 4. 7, 11의 배수

7의 배수는 십진법 전개에서 오른쪽부터 세 자릿수씩 끊어서 교대합을 취했을 때 7의 배수가 되는 수이다. 예를 들어 1,369,851은 851 - 369 + 1 = 483이고, 48 - 3 × 2 = 42이므로 7의 배수이다. 또한, 일의 자릿수의 두 배를 나머지 자릿수에서 뺀 차가 7의 배수인 경우도 7의 배수이다.

11의 배수는 십진법 전개에서 홀수 번째 자릿수의 합과 짝수 번째 자릿수의 합이 같거나, 그 차이가 11의 배수인 수이다. 예를 들어, 10241은 1 + 2 + 1 = 0 + 4이므로 11의 배수이다.

4. 5. 10의 배수

어떤 정수가 10의 배수일 필요충분조건은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0인 두 자리 이상의 정수인 것이다. 예를 들어, 5320은 일의 자릿수가 0이므로 10의 배수다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com