범주의 동치

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 특징
4. 성질
5. 작은 범주와 뼈대
6. 예시
7. 자기 동치
참조

1. 개요

범주의 동치는 두 범주 사이의 관계를 나타내는 개념으로, 두 범주가 '동일하다'는 것을 엄밀하게 정의하는 방법 중 하나이다. 두 범주 C와 D 사이의 동치는 함자 F: C → D, G: D → C, 그리고 두 자연 동형 ε: FG → ID와 η: IC → GF로 구성된다. 여기서 FG와 GF는 함자 F와 G의 합성, IC와 ID는 항등 함자를 나타낸다. 범주의 동치는 극한과 쌍대극한, 단사 사상 및 전사 사상 등 범주론적 개념과 속성을 보존하며, 서로 동치인 두 범주는 거의 모든 성질이 같다. 범주의 동치는 충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자이거나, 수반 펀터가 모두 전사적이고 충실할 경우에만 성립한다. 범주의 자기-동치는 범주 C에서 C로의 동치를 의미하며, 이러한 자기-동치는 합성에 따라 군을 형성한다.

더 읽어볼만한 페이지

수반 함자 - 모나드 (범주론)
모나드는 자기 함자와 두 자연 변환으로 구성된 구조로서, 자기 함자 범주 안의 모노이드로 정의되며, 함수형 프로그래밍에서 입출력 및 데이터 구조를 다루는 데 사용되고 에일렌베르크-무어 범주 및 클라이슬리 범주와 관련된다.
수반 함자 - 반사 부분 범주
반사 부분 범주는 범주 B의 충만한 부분 범주 A가 왼쪽 수반 함자를 가질 경우, 이 왼쪽 수반 함자를 반사 함자라고 하며, 극한과 쌍대극한의 성질 및 모나드와 관계를 갖는 범주론의 개념이다.

범주의 동치

2. 정의

두 범주 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 사이의 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이 조건을 만족시키는 $F$ 를 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 사이의 '''동치'''라고 한다.

$F^{-1}F$ 와 $FF^{-1}$ 가 항등 함자와 자연 동형인 함자 $F^{-1}\colon\mathcal D\to\mathcal C$ 가 존재한다 (이러한 함자는 유일하지 않을 수 있다).
충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자(essentially surjective functor^영어)이다 (즉, $\mathcal D$ 의 모든 원소는 적어도 하나의 $F$ 의 상의 원소와 동형이다).

형식적으로, 두 범주 ''C''와 ''D''가 주어졌을 때, ''범주의 동치''는 함자 ''F'' : ''C'' → ''D'', 함자 ''G'' : ''D'' → ''C'', 그리고 두 자연 동형 ε: ''FG''→'''I'''_''D''와 η : '''I'''_''C''→''GF''로 구성된다. 여기서 ''FG'': ''D''→''D''와 ''GF'': ''C''→''C''는 각각 ''F''와 ''G''의 합성, '''I'''_''C'': ''C''→''C''와 '''I'''_''D'': ''D''→''D''는 각 객체와 사상을 그 자체에 할당하는 ''항등 함자''를 나타낸다. ''F''와 ''G''가 반변 함자일 경우, 대신 ''범주의 쌍대성''이라고 한다.

위의 모든 데이터를 명시하지 않는 경우가 많다. 예를 들어, 두 범주 ''C''와 ''D'' 사이에 동치(각각 쌍대 동치)가 존재하면, ''C''와 ''D''가 ''동치''(각각 ''쌍대 동치'')라고 말한다. 또한, 위와 같은 역 함자 ''G''와 자연 동형이 존재한다면 ''F''가 범주의 동치 "이다"라고 말한다. 그러나 ''F''에 대한 지식만으로는 일반적으로 ''G''와 자연 동형을 재구성하기에 충분하지 않다. 즉, 여러 가지 선택이 있을 수 있다.

3. 특징

함수 ''F'' : ''C'' → ''D''가 다음 조건을 모두 만족할 경우 범주 동치를 제공한다.^[1]

전사 펀터: ''C''의 임의의 두 대상 ''c''₁과 ''c''₂에 대해, ''F''에 의해 유도된 사상 Hom_''C''(''c''₁,''c''₂) → Hom_''D''(''Fc''₁,''Fc''₂)는 전사이다.
충실한 펀터: ''C''의 임의의 두 대상 ''c''₁과 ''c''₂에 대해, ''F''에 의해 유도된 사상 Hom_''C''(''c''₁,''c''₂) → Hom_''D''(''Fc''₁,''Fc''₂)는 단사이다.
본질적 전사(조밀한) 펀터: ''D''의 각 대상 ''d''는 ''C''의 ''c''에 대해 ''Fc'' 형태의 대상과 동형이다.

이는 "역" ''G''와 ''FG'', ''GF'' 및 항등 펀터 간의 자연 동형을 명시적으로 구성할 필요가 없기 때문에 매우 유용하고 일반적으로 적용되는 기준이다. 반면에, 위의 속성은 범주적 동치의 "존재"를 보장하지만, 누락된 데이터가 완전히 지정되지 않으며 종종 많은 선택 사항이 있다. 가능한 경우 누락된 구성을 명시적으로 지정하는 것이 좋다.

이러한 상황 때문에, 이러한 속성을 가진 펀터는 때때로 '''약한 범주의 동치'''라고 불린다.

수반 펀터와도 밀접하게 관련이 있는데, ''F''와 ''G'' 모두 전사적이면서 충실할 경우에만 동치이다.

4. 성질

범주 동치는 모든 "범주론적" 개념과 속성을 보존한다. 만약 ''F'' : ''C'' → ''D''가 동치라면, 다음이 성립한다.

''C''의 대상 ''c''가 시작 대상(또는 종료 대상, 또는 영 대상)일 필요충분조건은 ''Fc''가 ''D''의 시작 대상(또는 종료 대상, 또는 영 대상)인 것이다.
''C''의 사상 α가 단사 사상(또는 전사 사상, 또는 동형 사상)일 필요충분 조건은 ''Fα''가 ''D''의 단사 사상 (또는 전사 사상, 또는 동형 사상)인 것이다.
함자 ''H'' : ''I'' → ''C''가 극한(또는 코극한) ''l''을 가질 필요충분 조건은 함자 ''FH'' : ''I'' → ''D''가 극한 (또는 코극한) ''Fl''을 갖는 것이다. 이는 등화자, 곱 및 코곱 등에 적용될 수 있다. 이를 핵과 코핵에 적용하면, 동치 ''F''가 정확한 함자임을 알 수 있다.
''C''가 데카르트 닫힌 범주(또는 토포스)일 필요충분 조건은 ''D''가 데카르트 닫힌 (또는 토포스)인 것이다.

쌍대성은 "모든 개념을 뒤집는다": 시작 대상을 종료 대상으로, 단사 사상을 전사 사상으로, 핵을 코핵으로, 극한을 코극한 등으로 바꾼다.

만약 ''F'' : ''C'' → ''D''가 범주의 동치이고, ''G''₁과 ''G''₂가 ''F''의 두 역이라면, ''G''₁과 ''G''₂는 자연 동형이다.

만약 ''F'' : ''C'' → ''D''가 범주의 동치이고, ''C''가 전가법 범주(또는 가법 범주, 또는 아벨 범주)라면, ''F''가 가법 함자가 되도록 ''D''를 전가법 범주 (또는 가법 범주, 또는 아벨 범주)로 만들 수 있다. 반면에, 가법 범주 사이의 모든 동치는 필연적으로 가법적이다. (후자의 명제는 전가법 범주 사이의 동치에는 적용되지 않음에 유의해야 한다.)

범주 ''C''의 자기 동치는 ''F'' : ''C'' → ''C''와 같은 동치이다. 만약 두 자기 동치가 자연 동형이면 동일한 것으로 간주한다면, ''C''의 자기 동치는 합성에 따라 군을 형성한다. 이 군은 ''C''의 본질적인 "대칭성"을 포착한다. (한 가지 주의점: ''C''가 작은 범주가 아니라면, ''C''의 자기 동치는 집합이 아닌 진정한 류를 형성할 수 있다.)

5. 작은 범주와 뼈대

범주 $\mathcal C$ 의 부분 범주 $\mathcal D$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 필요충분조건이며, 이를 만족시키는 $\mathcal D$ 를 $\mathcal C$ 의 '''뼈대'''(skeleton^영어)라고 한다.

충만한 부분 범주이며, $\mathcal C$ 의 임의의 대상은 정확히 하나의 $\mathcal D$ 의 대상과 동형이다.
포함 함자 $\mathcal D\to\mathcal C$ 는 동치이며, 뼈대 범주(skeletal category^영어)이다 (즉, $\mathcal D$ 의 임의의 서로 다른 두 대상은 동형이 아니다).

모든 작은 범주는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 선택 공리와 동치이다. 또한, 두 작은 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

$\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 는 서로 동치이다.
$\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 의 뼈대는 서로 동형이다.

6. 예시

단일 객체 $c$와 단일 사상 $1_c$를 갖는 범주 $C$와 두 객체 $d_1$, $d_2$와 네 개의 사상(두 개의 항등 사상 $1_{d_1}$, $1_{d_2}$와 두 개의 동형 사상 $\alpha \colon d_1 \to d_2$ 및 $\beta \colon d_2 \to d_1$)을 갖는 범주 $D$는 서로 동치이다.
단일 객체와 단일 사상을 갖는 범주 $C$는 두 객체와 두 개의 항등 사상만 갖는 범주 $E$와는 동치가 아니다. $E$의 두 객체는 그 사이에 사상이 없기 때문에 서로 동형이 아니기 때문이다.
집합과 부분 함수의 범주는 점 있는 집합과 점을 보존하는 사상의 범주와 동치이지만 동형은 아니다.^[2]
유한 차원의 실수 벡터 공간 범주 $C$와 모든 실수 행렬의 범주 $D = \mathrm{Mat}(\mathbb{R})$(가법 범주 문서에서 설명)는 동치이다.

7. 자기 동치

범주 의 '''자기 동치'''란 와 같은 범주 동치를 말한다. 범주 의 자기 동치는 자연 동형인 자기 동치를 동일시함으로써 합성 연산에 관해 군을 이룬다. 이 군은 본질적으로 범주 의 "대칭성"을 파악한다. (주의: 만약 가 작은 범주가 아니라면, 범주 의 자기 동치는 집합이 아니라 클래스를 이룰 수도 있다.)

참조

_[1] 서적 Theorem IV.4.1 1998
_[2] 서적 Categorical Perspectives Springer Science & Business Media 2001

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com