반사 부분 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 극한과 쌍대극한
- 3.2. 모나드
4. 예시
참조

1. 개요

반사 부분 범주는 범주론에서 정의되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 충만한 부분 범주를 의미한다. 범주 B의 충만한 부분 범주 A가 포함 함자의 왼쪽 수반 함자를 가질 경우, A는 B의 반사 부분 범주가 되며, 이 왼쪽 수반 함자를 반사 함자라고 한다. 반사 부분 범주는 극한과 쌍대극한의 성질, 모나드와의 관계를 가지며, 대수학, 위상수학, 함수해석학 등 다양한 수학 분야에서 예시를 찾을 수 있다.

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수반 함자 - 범주의 동치
범주의 동치는 두 범주가 범주론적으로 "본질적으로 같다"는 관계를 나타내며, 이는 충실충만하고 본질적 전사 함자로 정의되고, 극한, 쌍대극한, 단사 사상, 전사 사상 등의 성질을 보존한다.
수반 함자 - 모나드 (범주론)
모나드는 자기 함자와 두 자연 변환으로 구성된 구조로서, 자기 함자 범주 안의 모노이드로 정의되며, 함수형 프로그래밍에서 입출력 및 데이터 구조를 다루는 데 사용되고 에일렌베르크-무어 범주 및 클라이슬리 범주와 관련된다.

반사 부분 범주
정의
정의	범주론에서, 부분 범주 I: A → B는 포함 사상 I가 왼쪽 수반을 가지는 경우, 즉 범주 B에서 범주 A로 가는 함자 F: B → A가 존재하고, 모든 B의 대상 b에 대해 사상 ηb: b → I(F(b))가 존재하여 다음 조건을 만족하는 경우 반사 부분 범주라고 한다. 임의의 대상 a ∈ A와 사상 f: b → I(a)에 대해, 유일한 사상 g: F(b) → a가 존재하여 f = I(g) ∘ ηb를 만족한다. η는 포함 사상 I에 대한 단위이다.
설명	직관적으로, F는 B의 대상을 A에서 "가장 가까운" 대상으로 보낸다. 이 함자 F를 반사(reflector)라고 한다.
예시
군 범주	군 범주에서 아벨 군의 부분 범주는 반사 부분 범주이다.
환 범주	환 범주에서 가환환의 부분 범주는 반사 부분 범주이다.
위상 공간 범주	위상 공간 범주에서 완비 하우스도르프 공간의 부분 범주는 반사 부분 범주이다.
모노이드 범주	모노이드 범주에서 군의 부분 범주는 반사 부분 범주이다.
추가 예시	완전 격자 범주는 격자 범주의 반사 부분 범주이다. 콤팩트 하우스도르프 공간 범주는 티호노프 공간 범주의 반사 부분 범주이다. 콤팩트 생성 공간 범주는 위상 공간 범주의 반사 부분 범주이다. 비순서 수체 범주는 순서 수체 범주의 반사 부분 범주이다.

2. 정의

범주 $\mathcal B$ 의 충만한 부분 범주 $\mathcal A\subseteq\mathcal B$ 에 대하여, 포함 함자

: $I\colon\mathcal A\to\mathcal B$

가 왼쪽 수반 함자

: $R\colon\mathcal B\to\mathcal A$

: $R\dashv I$

를 갖는다면, $\mathcal A$ 를 '''반사 부분 범주'''라고 하며, $R$ 를 '''반사 함자'''(reflector^영어)라고 한다. 이 경우, $\mathcal A$ 의 극한은 $\mathcal B$ 의 극한과 일치하며, 반대로 $\mathcal A$ 의 쌍대극한은 $\mathcal B$ 의 쌍대극한에 반사 함자 $R$ 를 가하여 얻는다.

마찬가지로, 범주 $\mathcal B$ 의 충만한 부분 범주 $\mathcal A\subseteq\mathcal B$ 에 대하여, 포함 함자

: $I\colon\mathcal A\to\mathcal B$

가 오른쪽 수반 함자

: $R\colon\mathcal B\to\mathcal A$

: $I\dashv R$

를 갖는다면, $\mathcal A$ 를 '''쌍대 반사 부분 범주'''(coreflective subcategory^영어)라고 하며, $R$ 를 '''쌍대 반사 함자'''(coreflector^영어)라고 한다. 이 경우, $\mathcal A$ 의 쌍대극한은 $\mathcal B$ 의 극한과 일치하며, 반대로 $\mathcal A$ 의 극한은 $\mathcal B$ 의 극한에 쌍대 반사 함자 $R$ 를 가하여 얻는다.

반사 부분 함자이자 쌍대 반사 범주인 충만한 부분 범주를 '''쌍반사 부분 범주'''(bireflective subcategory^영어)라고 한다.

'''범주 B'''의 완전한 부분 범주 '''A'''는 각 '''B'''-대상 ''B''에 대해 '''A'''-대상 $A_B$ 와 '''B'''-사상 $r_B \colon B \to A_B$ 가 존재하여, '''A'''-대상 $A$ 로의 모든 '''B'''-사상 $f\colon B\to A$ 에 대해 $\overline f \circ r_B=f$ 를 만족하는 유일한 '''A'''-사상 $\overline f \colon A_B \to A$ 가 존재할 때 '''B'''에서 '''반사적'''이라고 한다.

쌍

(A_B,r_B)

는 ''B''의 '''A-반사'''라고 불린다. 사상

r_B

는 '''A-반사 화살표'''라고 불린다.

이것은 임베딩 함자

E\colon \mathbf{A} \hookrightarrow \mathbf{B}

가 오른쪽 수반이라는 것과 동일하다. 왼쪽 수반 함자

R \colon \mathbf B \to \mathbf A

는 '''반사자'''라고 불린다. 사상

r_B

는 이 수반의 단위이다.

반사자는

B

에 '''A'''-대상

A_B

를 할당하고, '''B'''-사상

f

에 대해

Rf

는 다음 가환도표로 결정된다.

모든 '''A'''-반사 화살표가 (극) 에피사상이면, 부분 범주 '''A'''는 '''(극) 에피반사적'''이라고 한다. 마찬가지로, 모든 반사 화살표가 양사상이면 '''이반사적'''이라고 한다.

이 모든 개념은 일반화된 공통 사례, 즉 '''

E

-반사 부분 범주'''의 특별한 경우이며, 여기서

E

는 사상의 집합이다.

대상의 집합 '''A'''의 '''

E

-반사 껍질'''은 '''A'''를 포함하는 가장 작은

E

-반사 부분 범주로 정의된다. 따라서 반사 껍질, 에피반사 껍질, 극 에피반사 껍질 등에 대해 말할 수 있다.

'''반반사 부분 범주'''는 '''A'''-반사 화살표를 갖는 '''B'''의 유일한 대상이 이미 '''A'''에 있는 대상인 완전한 부분 범주 '''A'''이다.

위에서 언급된 개념의 쌍대 개념은 공반사, 공반사 화살표, (단사)공반사 부분 범주, 공반사 껍질, 반공반사 부분 범주이다.

2. 1. 반사 부분 범주

범주

\mathcal B

의 충만한 부분 범주

\mathcal A\subseteq\mathcal B

에 대하여, 포함 함자

I\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 왼쪽 수반 함자

R\colon\mathcal B\to\mathcal A

(

R\dashv I

)를 갖는다면,

\mathcal A

를 '''반사 부분 범주'''라고 하며,

R

를 '''반사 함자'''(reflector^영어)라고 한다. 이 경우,

\mathcal A

의 극한은

\mathcal B

의 극한과 일치하며, 반대로

\mathcal A

의 쌍대극한은

\mathcal B

의 쌍대극한에 반사 함자

R

를 가하여 얻는다.

마찬가지로, 포함 함자

I\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 오른쪽 수반 함자

R\colon\mathcal B\to\mathcal A

(

I\dashv R

)를 갖는다면,

\mathcal A

를 '''쌍대 반사 부분 범주'''(coreflective subcategory^영어)라고 하며,

R

를 '''쌍대 반사 함자'''(coreflector^영어)라고 한다. 이 경우,

\mathcal A

의 쌍대극한은

\mathcal B

의 극한과 일치하며, 반대로

\mathcal A

의 극한은

\mathcal B

의 극한에 쌍대 반사 함자

R

를 가하여 얻는다.

반사 부분 함자이자 쌍대 반사 범주인 충만한 부분 범주를 '''쌍반사 부분 범주'''(bireflective subcategory^영어)라고 한다.

'''범주 B'''의 완전한 부분 범주 '''A'''는 각 '''B'''-대상 ''B''에 대해 '''A'''-대상

A_B

와 '''B'''-사상

r_B \colon B \to A_B

가 존재하여, '''A'''-대상

A

로의 모든 '''B'''-사상

f\colon B\to A

에 대해

\overline f \circ r_B=f

를 만족하는 유일한 '''A'''-사상

\overline f \colon A_B \to A

가 존재할 때 '''B'''에서 '''반사적'''이라고 한다.

쌍

(A_B,r_B)

는 ''B''의 '''A-반사'''라고 불린다. 사상

r_B

는 '''A-반사 화살표'''라고 불린다.

이것은 임베딩 함자

E\colon \mathbf{A} \hookrightarrow \mathbf{B}

가 오른쪽 수반이라는 것과 동일하다. 왼쪽 수반 함자

R \colon \mathbf B \to \mathbf A

는 '''반사자'''라고 불린다. 사상

r_B

는 이 수반의 단위이다.

반사자는

B

에 '''A'''-대상

A_B

를 할당하고, '''B'''-사상

f

에 대해

Rf

는 다음 가환도표로 결정된다.

모든 '''A'''-반사 화살표가 (극) 에피사상이면, 부분 범주 '''A'''는 '''(극) 에피반사적'''이라고 한다. 마찬가지로, 모든 반사 화살표가 양사상이면 '''이반사적'''이라고 한다.

이 모든 개념은 일반화된 공통 사례, 즉 '''

E

-반사 부분 범주'''의 특별한 경우이며, 여기서

E

는 사상의 집합이다.

대상의 집합 '''A'''의 '''

E

-반사 껍질'''은 '''A'''를 포함하는 가장 작은

E

-반사 부분 범주로 정의된다. 따라서 반사 껍질, 에피반사 껍질, 극 에피반사 껍질 등에 대해 말할 수 있다.

'''반반사 부분 범주'''는 '''A'''-반사 화살표를 갖는 '''B'''의 유일한 대상이 이미 '''A'''에 있는 대상인 완전한 부분 범주 '''A'''이다.

위에서 언급된 개념의 쌍대 개념은 공반사, 공반사 화살표, (단사)공반사 부분 범주, 공반사 껍질, 반공반사 부분 범주이다.

2. 2. 반사 함자

범주

\mathcal B

의 충만한 부분 범주

\mathcal A\subseteq\mathcal B

에 대하여, 포함 함자

I\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 왼쪽 수반 함자

R\colon\mathcal B\to\mathcal A

,

R\dashv I

를 갖는다면,

R

를 '''반사 함자'''(reflector^영어)라고 한다. 이 경우,

\mathcal A

의 극한은

\mathcal B

의 극한과 일치하며, 반대로

\mathcal A

의 쌍대극한은

\mathcal B

의 쌍대극한에 반사 함자

R

를 가하여 얻는다.

2. 3. 쌍대 반사 부분 범주와 쌍대 반사 함자

범주

\mathcal B

의 충만한 부분 범주

\mathcal A\subseteq\mathcal B

에 대하여, 포함 함자

I\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 오른쪽 수반 함자

R\colon\mathcal B\to\mathcal A

(

I\dashv R

)를 갖는다면,

\mathcal A

를 '''쌍대 반사 부분 범주'''(coreflective subcategory^영어)라고 하며,

R

를 '''쌍대 반사 함자'''(coreflector^영어)라고 한다. 이 경우,

\mathcal A

의 쌍대극한은

\mathcal B

의 극한과 일치하며, 반대로

\mathcal A

의 극한은

\mathcal B

의 극한에 쌍대 반사 함자

R

를 가하여 얻는다.

반사 부분 함자이자 쌍대 반사 범주인 충만한 부분 범주를 '''쌍반사 부분 범주'''(bireflective subcategory^영어)라고 한다.

쌍대 반사 부분 범주의 예시는 다음과 같다.

전체 범주	쌍대 반사 부분 범주	쌍대 반사 함자
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	콤팩트 생성 공간의 범주 $\operatorname{CGTop}$	콤팩트 생성화
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	이산 공간의 범주 $\operatorname{DiscTop}\simeq\operatorname{Set}$	망각 함자 $\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}$
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$	꼬임 아벨 군의 범주 $\operatorname{TorsAb}$	꼬임 부분군
준군의 범주 $\operatorname{Gpd}$	작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$	핵(core^영어) (역원을 갖는 사상들만으로 구성된 비충실 부분 범주)

2. 4. 쌍반사 부분 범주

범주

\mathcal B

의 충만한 부분 범주

\mathcal A\subseteq\mathcal B

가 반사 부분 범주이자 쌍대 반사 부분 범주라면, '''쌍반사 부분 범주'''(bireflective subcategory^영어)라고 한다.

쌍반사 부분 범주의 예시는 다음과 같다.

전체 범주	쌍반사 부분 범주	반사 함자	쌍대 반사 함자
모노이드의 범주 $\operatorname{Mon}$	군의 범주 $\operatorname{Grp}$	역원의 추가	가역원군

3. 성질

''D''가 ''C''의 반사 부분 범주이면, 포함 함자 ''D'' → ''C''는 ''C''에 존재하는 모든 극한을 생성한다. 반사 부분 범주는 주변 범주에 존재하는 모든 공극한을 갖는다. 코단위의 구성 요소는 동형 사상이다. 반사/국소화 수반에 의해 유도된 모나드는 멱등이다.

3. 1. 극한과 쌍대극한

''D''가 ''C''의 반사 부분 범주이면, 포함 함자 ''D'' → ''C''는 ''C''에 존재하는 모든 극한을 생성한다. 반사 부분 범주는 주변 범주에 존재하는 모든 공극한을 갖는다. 코단위의 구성 요소는 동형 사상이다. 반사/국소화 수반에 의해 유도된 모나드는 멱등이다.

3. 2. 모나드

반사/국소화 수반에 의해 유도된 모나드는 멱등이다. 코단위의 구성 요소는 동형 사상이다. 만약 ''D''가 ''C''의 반사 부분 범주이면, 포함 함자 ''D'' → ''C''는 ''C''에 존재하는 모든 극한을 생성한다. 반사 부분 범주는 주변 범주에 존재하는 모든 공극한을 갖는다.

4. 예시

전체 범주	반사 부분 범주	반사 함자
군의 범주 $\operatorname{Grp}$	아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$	아벨화(abelianization^영어) $G\mapsto G/[G,G]$
환의 범주 $\operatorname{Ring}$	가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$	가환화 $R\mapsto R/[R,R]$
준군의 범주 $\operatorname{Gpd}$	군의 범주 $\operatorname{Grp}$	준군의 보편군(universal group}})
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K\text{-uAssoc}$	가환 결합 대수의 범주	가환화
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K\text{-uAssoc}$	반가환 결합 대수의 범주	반가환화
정역과 단사 환 준동형의 범주	체의 범주 $\operatorname{Field}$	분수체 $R\mapsto\operatorname{Frac}R$
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname{Kolm}$	콜모고로프 몫공간
콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname{Kolm}$	T1 공간의 범주 $\operatorname{T_1Top}$
T1 공간의 범주 $\operatorname{T_1Top}$	하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{Haus}$
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{Haus}$	하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname{RegHaus}$
하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname{RegHaus}$	티호노프 공간의 범주 $\operatorname{Tych}$
티호노프 공간의 범주 $\operatorname{Tych}$	콤팩트 하우스도르프 공간들의 범주 $\operatorname{CompHaus}$	스톤-체흐 콤팩트화
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	비이산 공간의 범주 $\operatorname{IndiscTop}\simeq\operatorname{Set}$	망각 함자
거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비 거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비화
노름 공간과 유계 작용소의 범주	바나흐 공간과 유계 작용소들의 범주	완비화
위치 $S$ 위의 준층의 범주 $\operatorname{PSh}(S)$	$S$ 위의 층의 범주 $\operatorname{Sh}(S)$	층화(sheafification)
스킴의 범주 $\operatorname{Sch}$	아핀 스킴의 범주 $\operatorname{Aff}\simeq\operatorname{CRing}^{\operatorname{op$ ^영어	정칙 함수환의 스펙트럼 $X\mapsto\operatorname{Spec}\Gamma(X;\mathcal O_X)$

그러나 하우스도르프 정규 공간(=T4 공간)의 범주는 티호노프 공간의 범주 속의 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 반사 부분 범주는 포함되는 범주의 (존재한다고 가정한) 유한곱에 대하여 닫혀 있어야 하는데, 하우스도르프 정규 공간의 범주는 곱공간에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.

4. 1. 대수학

군의 범주

\operatorname{Grp}

는 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

의 쌍대 반사 부분 범주이며, 반사 함자는 아벨화(

G\mapsto G/[G,G]

)이다. 환의 범주

\operatorname{Ring}

에서 가환환의 범주

\operatorname{CRing}

는 반사 부분 범주이며, 반사 함자는 가환화

R\mapsto R/[R,R]

이다. 준군의 범주

\operatorname{Gpd}

에서 군의 범주

\operatorname{Grp}

는 반사 부분 범주이며, 이때 반사 함자는 준군의 보편군이다. 체

K

위의 단위 결합 대수의 범주

K\text{-uAssoc}

에서 가환 결합 대수의 범주와 반가환 결합 대수의 범주는 각각 반사 부분 범주이며, 이때 사용되는 반사 함자는 가환화와 반가환화이다.

정역과 단사 환 준동형의 범주에서 체의 범주

\operatorname{Field}

는 반사 부분 범주이며, 반사 함자는 분수체

R\mapsto\operatorname{Frac}R

이다.

아벨 군의 범주에서 아벨 꼬임군의 범주는 공반사 부분 범주이며, 이때 사용되는 공반사 함자는 각 군을 꼬임 부분군으로 보낸다. 기초 아벨 군, 아벨 ''p-군'', 그리고 ''p''-군의 범주는 모두 군의 범주의 반사 부분 범주이며, 반사 사상의 핵은 초점 부분군 정리에서 확인할 수 있다. 군의 범주는 모노이드의 범주의 공반사 부분 범주이며, 오른쪽 수반자는 모노이드를 그 단위군으로 매핑한다.

4. 2. 위상수학

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서, 콜모고로프 공간의 범주

\operatorname{Kolm}

은 반사 부분 범주이며, 이때 반사 함자는 콜모고로프 몫공간이다. T1 공간의 범주

\operatorname{T_1Top}

는 콜모고로프 공간의 범주

\operatorname{Kolm}

의 반사 부분 범주이다. 하우스도르프 공간의 범주

\operatorname{Haus}

는 T1 공간의 범주

\operatorname{T_1Top}

의 반사 부분 범주이며, 하우스도르프 정칙 공간의 범주

\operatorname{RegHaus}

는 하우스도르프 공간의 범주

\operatorname{Haus}

의 반사 부분 범주이다. 티호노프 공간의 범주

\operatorname{Tych}

는 하우스도르프 정칙 공간의 범주

\operatorname{RegHaus}

의 반사 부분 범주이다.

완전 정규 공간의 범주는

\operatorname{Top}

의 반사 부분 범주이다. 콜모고로프 몫을 취하면, 티호노프 공간의 부분 범주 또한 반사적이다. 모든 콤팩트 공간 하우스도르프 공간의 범주는 모든 티호노프 공간의 범주(그리고 모든 위상 공간의 범주)의 반사 부분 범주이며, 반사자는 스톤-체흐 콤팩트화이다.

거리 공간과 균등 연속 함수의 범주에서 완비 거리 공간과 균등 연속 함수의 범주는 반사 부분 범주이며, 이때 완비화가 반사 함자이다. 노름 공간과 유계 작용소의 범주에서 바나흐 공간과 유계 작용소들의 범주는 반사 부분 범주이며, 이때 완비화가 반사 함자이다.

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 비이산 공간의 범주

\operatorname{IndiscTop}\simeq\operatorname{Set}

는 반사 부분 범주이며, 이때 망각 함자가 반사 함자이다. 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 콤팩트 생성 공간의 범주

\operatorname{CGTop}

는 쌍대 반사 부분 범주이며, 이때 콤팩트 생성화가 쌍대 반사 함자이다. 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 이산 공간의 범주

\operatorname{DiscTop}\simeq\operatorname{Set}

는 쌍대 반사 부분 범주이며, 이때 망각 함자

\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}

가 쌍대 반사 함자이다.

하지만 하우스도르프 정규 공간(=T4 공간)의 범주는 티호노프 공간의 범주 속의 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 반사 부분 범주는 포함되는 범주의 (존재한다고 가정한) 유한곱에 대하여 닫혀 있어야 하는데, 하우스도르프 정규 공간의 범주는 곱공간에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.

4. 3. 함수해석학

바나흐 공간 범주는 노름 공간과 유계 선형 연산자의 범주의 반사 부분 범주이다. 반사자는 노름 완비화 함자이다.

4. 4. 범주론

반사 부분 범주의 예시는 다음과 같다.

전체 범주	반사 부분 범주	반사 함자
군의 범주 $\operatorname{Grp}$	아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$	아벨화(abelianization) $G\mapsto G/[G,G]$
환의 범주 $\operatorname{Ring}$	가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$	가환화 $R\mapsto R/[R,R]$
준군의 범주 $\operatorname{Gpd}$	군의 범주 $\operatorname{Grp}$	준군의 보편군(universal group)
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K\text{-uAssoc}$	가환 결합 대수의 범주	가환화
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K\text{-uAssoc}$	반가환 결합 대수의 범주	반가환화
정역과 단사 환 준동형의 범주	체의 범주 $\operatorname{Field}$	분수체 $R\mapsto\operatorname{Frac}R$
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname{Kolm}$	콜모고로프 몫공간
콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname{Kolm}$	T1 공간의 범주 $\operatorname{T_1Top}$
T1 공간의 범주 $\operatorname{T_1Top}$	하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{Haus}$
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{Haus}$	하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname{RegHaus}$
하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname{RegHaus}$	티호노프 공간의 범주 $\operatorname{Tych}$
티호노프 공간의 범주 $\operatorname{Tych}$	콤팩트 하우스도르프 공간들의 범주 $\operatorname{CompHaus}$	스톤-체흐 콤팩트화
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	비이산 공간의 범주 $\operatorname{IndiscTop}\simeq\operatorname{Set}$	망각 함자
거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비 거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비화
노름 공간과 유계 작용소의 범주	바나흐 공간과 유계 작용소들의 범주	완비화
위치 $S$ 위의 준층의 범주 $\operatorname{PSh}(S)$	$S$ 위의 층의 범주 $\operatorname{Sh}(S)$	층화(sheafification)
스킴의 범주 $\operatorname{Sch}$	아핀 스킴의 범주 $\operatorname{Aff}\simeq\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}$	정칙 함수환의 스펙트럼 $X\mapsto\operatorname{Spec}\Gamma(X;\mathcal O_X)$

하지만 하우스도르프 정규 공간(=T4 공간)의 범주는 티호노프 공간의 범주 속의 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 그 이유는 반사 부분 범주는 포함되는 범주의 (존재한다고 가정한) 유한곱에 대하여 닫혀 있어야 하는데, 하우스도르프 정규 공간의 범주는 곱공간에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.

임의의 그로텐디크 토포스 (''C'', ''J'')에 대해, (''C'', ''J'') 상의 층의 토포스는 ''C'' 상의 프리층의 토포스의 반사 부분 범주이며, 반사자 함자가 좌 완전이라는 특별한 추가 속성을 갖는다. 반사자는 층화 함자 ''a'' : Presh(''C'') → Sh(''C'', ''J'')이며, 쌍대 함자 쌍 (''a'', ''i'')는 토포스 이론에서 기하학적 사상의 중요한 예시이다.

참조

_[1] 서적 Category theory in context 2017-03-09
_[2] 서적 The category of groups is a reflective subcategory https://books.google[...] 1998
_[3] 웹사이트 coreflective subcategory in nLab https://ncatlab.org/[...] 2019-04-02
_[4] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998

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